Voir la source de Écart type

{{En-tête label|BA|année=2012}}
[[Fichier:Comparison standard deviations.svg|thumb|Exemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD = ''standard deviation'') de 10 et la population bleue a un écart type de 50.]]

En [[mathématiques]], l’'''écart type''' (aussi orthographié '''écart-type''') est une mesure de la [[Indicateur de dispersion|dispersion]] des valeurs d'un [[échantillon (statistiques)|échantillon statistique]] ou d'une [[loi de probabilité|distribution de probabilité]]. Il est défini comme la [[racine carrée]] de la [[variance (mathématiques)|variance]] ou, de manière équivalente, comme la [[moyenne quadratique]] des écarts par rapport à la [[moyenne]]. Il se note en général avec la lettre grecque σ (« [[sigma]] »), d’après l’appellation {{langue|en|''standard deviation''}} en anglais. Il est [[fonction homogène|homogène]] à la variable mesurée.

Les écarts types sont rencontrés dans tous les domaines où sont appliquées les probabilités et la statistique, en particulier dans le domaine des [[Sondage (statistique)|sondage]]s, en [[physique]], en [[biologie]] ou dans la [[finance]]. Ils permettent en général de synthétiser les résultats numériques d'une expérience répétée. Tant en probabilités qu'en statistique, il sert à l'expression d'autres notions importantes comme le [[Corrélation (statistiques)|coefficient de corrélation]], le [[coefficient de variation]] ou la répartition optimale de [[Jerzy Neyman|Neyman]].

Quand l'écart type d'une population est inconnu, sa valeur est approchée à l'aide d'[[Estimateur (statistique)|estimateurs]].

Exemples :
* Population de personnes de même taille : On considère une population de 4 personnes mesurant {{unité|2|m}}. La moyenne des tailles est de {{unité|2|m}}. Chaque valeur étant égale à la moyenne, l'écart type est de {{unité|0|m}}.
* Population de personnes de tailles différentes : On considère maintenant une population de 4 personnes de taille {{unité|2|m}}, {{unité|1.80|m}}, {{unité|2.20|m}} et {{unité|2|m}}. La moyenne est aussi de <math>\frac {2 + 1{,}8 + 2{,}2 + 2} 4 = 2~\mathrm{m}</math>. Les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de {{unité|0|m}}, {{unité|0.20|m}}, {{unité|0.20|m}} et {{unité|0|m}}, respectivement. Ainsi l'écart type est la [[moyenne quadratique]] de ces écarts, c'est-à-dire <math>\sqrt{\frac {0^{2}+0{,}2^{2}+0{,}2^{2}+0^{2}} 4}</math> , qui vaut environ {{unité|0.14|m}}.

== Histoire ==

L'écart type est une grandeur dont l'invention remonte au {{s-|XIX}}, qui voit la [[statistique]] se développer au [[Royaume-Uni]].

C'est à [[Abraham de Moivre]] qu'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrage ''{{langue|en|The Doctrine of Chances}}'' en 1718<ref name=PBerstein group="b">{{Harvsp|Bernstein|1996|p=127}}.</ref>. Mais le terme d'écart type ({{citation étrangère|lang=en|standard deviation}}) a été employé pour la première fois par [[Karl Pearson]] en 1893 devant la Royal Society<ref name=Dodge506 group="b">{{Harvsp|Dodge|2010|p=506}}</ref>. C'est aussi Karl Pearson qui utilise pour la première fois le symbole σ pour représenter l'écart type<ref name=Dodge506 group="b"/>. En 1908, [[William Gosset]], plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart type empirique d'un [[Échantillon (statistiques)|échantillon]] et montre qu'il est important de le distinguer de l'écart type d'une [[population]]<ref name=Dodge506 group="b"/>. La [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] est une notion qui apparut plus tard, en 1918, dans un texte de [[Ronald Aylmer Fisher|Ronald Fisher]] intitulé ''{{langue|en|The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance}}''<ref name=RAFisher group="i">{{Article|langue=en |prénom1=Ronald Aylmar |nom1=Fisher |lien auteur1=Ronald Aylmer Fisher |titre=The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance |périodique=Philosophical Transactions of the Royal Society of Edinburgh |volume=52 |année=1918|pages=399–433|url texte=http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=25 avril 2012}}</ref>.

== Sur population totale ==
=== Définition ===
À partir d'un relevé exhaustif {{math|(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}} d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire<ref name="Saporta279" group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=279-280}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|titre=Basics of Descriptive Statistics|url=https://www.che.utah.edu/~tony/course/material/Statistics/12_descriptive.php#stan|site=www.che.utah.edu|consulté le=2019-04-18}}</ref>{{,}}<ref> Voir [[théorème de König-Huygens]] pour l'établissement de la seconde formule</ref> :

<center><math>\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2}</math></center> où  <math>\overline{x}</math> représente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficient {{math|α > 0}}, l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif : si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart type. Ces deux propriétés font de l'écart type un [[indicateur de dispersion]].

Par contraste avec d'autres indicateurs de dispersion comme l'[[écart interquartile]], l'écart type a l'avantage de pouvoir se calculer à partir des moyennes et écarts types sur une [[Partitionnement de données|partition]] de la population, puisque la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances. Cela permet de [[#En algorithmique|calculer l'écart type en parallèle]].

L'écart type est implémenté en [[Python (langage)|Python]] dans la bibliothèque <code>numpy</code> avec la méthode <code>std</code>. En [[R (langage)|R]], la fonction <code>sd</code> (pour ''standard deviation'')<ref>{{lien web| url=https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/sd|langue=en|titre=sd: Standard Deviation|site=RDocumentation}}.</ref> utilise <math>\frac{1}{n-1}</math> à la place de <math>\frac1n</math>, ce qui correspond à l'[[#Estimation|estimateur de l'écart-type]] d'une population à partir d'un échantillon.

=== Expression comme distance ===
L'écart type est la [[distance euclidienne]] du point <math>M</math> de coordonnées <math>\left( x_1, \ldots, x_n \right)</math> à la [[droite (mathématiques)|droite]] diagonale engendrée par le vecteur <math>\left( 1, \ldots, 1 \right)</math> dans <math>\R^n</math>, atteinte en son [[projeté orthogonal]] de coordonnées <math>\left( \overline{x}, \ldots, \overline{x} \right)</math>.

L'écart type est donc le [[minimum]] de la fonction <math>t\mapsto \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-t)^2}</math> qui calcule la distance entre {{mvar|M}} et le point de coordonnées {{math|(''t'', ..., ''t'')}}.

=== Coefficient de variation ===
L'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation de <math>0</math> à <math>20</math>, l'écart type minimal est <math>0</math> (notes toutes identiques), et peut valoir jusqu'à <math>10</math> si la moitié de la classe à <math>0 / 20</math> et l'autre moitié <math>20 / 20</math><ref group="Note">Si ''n'' élèves ont 0/20 et ''n'' élèves ont 20/20, c'est-à-dire l'échantillon contient ''n'' fois la valeur 20 et ''n'' fois la valeur 0, la moyenne est <math>\tfrac{n\times 20}{n+n}</math> ; soit {{math|{{surligner|''X''}} {{=}} 10}} et {{math|{{surligner|''X''}} {{2}} {{=}} 100}}.<br /> Les valeurs au carré, notées {{math|''X''{{2}}}}, sont ''n'' fois 400 et ''n'' fois 0. La moyenne de {{math|''X''{{2}}}} vaut donc <math>\overline{X^2} = 200</math>. On en déduit que la variance vaut 100 et l'écart type 10.</ref>.

En revanche, on ne peut comparer tels quels les écarts types de variables différentes, et dont les ordres de grandeur ne correspondent pas nécessairement. Pour une variable quantitative strictement positive, on définit alors le [[coefficient de variation]], égal au quotient de l'écart type par la moyenne<ref name=Saporta121 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=121}}</ref>. Ce nombre adimensionnel ne dépend pas de l'unité de mesure choisie et permet de comparer la dispersion de variables différentes.

Un coefficient de variation élevé peut éventuellement signaler l'existence d'une valeur aberrante. Un critère consiste à rejeter les valeurs qui diffèrent de la moyenne par plus de 3 fois l'écart type. Dans le cas d'une [[distribution gaussienne]], la probabilité d'un tel dépassement<ref name=DAnderson group="b">{{article|langue=en|prénom1=David R.|nom1=Anderson|prénom2=Dennis J.|nom2=Sweeney|prénom3=Thomas A.|nom3=Williams| titre=statistics| périodique=Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite| volume=| numéro=| pages=statistics| mois= |année=2010 |url= | consulté le=26 février 2012}}</ref> est de l'ordre de 3/1000.

== Pour une variable aléatoire ==
=== Définition ===
La modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir une [[variable aléatoire]], c'est-à-dire une [[application (mathématiques)|application]] {{mvar|X}} avec une [[mesure de probabilité]] <math>\mathbb{P}</math>, laquelle permet de définir les [[probabilité]]s de la forme <math>\mathbb{P}(X \in A)</math>. La donnée de ces probabilités constitue la [[loi de probabilité]]<ref name=Saporta16 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=16}}</ref> de {{mvar|X}}.
La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement correspond à la [[fréquence (statistiques)|fréquence]] d'occurrence des valeurs correspondantes dans la population testée, conformément à la [[loi des grands nombres]].

On s'intéresse ici aux [[Variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] ou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espérance {{math|E({{mvar|X}}{{exp|2}})}} converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans un [[espace vectoriel normé]] [[espace de Banach|complet]]), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemble <math>\mathrm{L}^2(\Omega)</math> de ces variables est lui-même un [[espace vectoriel]].

L'écart type de {{mvar|X}} est la racine carrée de la variance<ref group="Note">La deuxième égalité est donnée par le [[théorème de König-Huygens]].</ref>{{,}}<ref name=SMéléard group="i">{{Lien web|auteur=Sylvie Méléard|url=http://catalogue.polytechnique.fr/site.php?id=54&fileid=288 |format électronique=Pdf |titre=Aléatoire : Introduction à la théorie et au calcul des probabilités|page=57,94|consulté le=7 mai 2012}}</ref>
<math>\sigma(X)=\sqrt{ \mathbb{E}\left[\left (X-\mathbb{E}[X]\right )^2 \right]}=\sqrt{ \mathbb{E}[ X^2 ] - \mathbb{E}[ X ]^2}</math>.

L'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densité [[comparaison asymptotique|dominée]] à l'infini par une [[fonction puissance]] <math>t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}</math> avec {{math|''α'' > 3}}.

=== Exemples ===
Dans le cas d'une [[variable aléatoire discrète]] dont les valeurs sont notées {{mvar|x{{ind|i}}}}, avec <math>p_i = \mathbb{P}(X = x_i)</math>, l'écart type s'écrit comme pour une série statistique
<math>\sigma := \sqrt{\sum_{i=1}^n p_i (x_i-\mu)^2} = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^n p_i {x_i}^2 \right) - \mu^2 }</math>, où {{mvar|μ}} est l'espérance de la loi de {{mvar|X}}.

En particulier, si {{mvar|X}} est [[Loi uniforme discrète|uniforme]]<ref name=Saporta30 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=30}}</ref> sur un ensemble fini <math>(x_1, \dots, x_n)</math>, c'est-à-dire si 
: <math>p_i = \frac{1}{n}</math> pour tout {{mvar|i}} entre 1 et {{mvar|n}},
alors
: <math>\sigma_X:=\sqrt{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} = \sqrt{ \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) - \mu^2 }</math>.

Dans le cas d'une [[variable aléatoire à densité]] pour laquelle les probabilités s'écrivent
<math>\mathbb P_X \left(]a,b[\right)  = \mathbb P\left(X\in ]a,b[\right)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>
où {{mvar|f}} est une [[fonction localement intégrable]], pour la [[mesure de Lebesgue]] par exemple, mais pas nécessairement une fonction continue<ref name=Rioul45 group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=45}}</ref>, l'écart type de {{mvar|X}} est défini par <math>\sigma_X:=\sqrt{\int_{\R} (x- \mu)^2  f(x) \mathrm{d}x} = \sqrt{\int_{\R}x^2 f(x)\mathrm{d}x - \mu^2}</math>où <math>\mu = \int_{\R}x f(x)\mathrm{d}x</math> est l'espérance de {{mvar|X}}.

Avec ces formules et la définition, le calcul des écarts types pour les lois couramment rencontrées est aisé. Le tableau suivant donne les écarts types de quelques-unes de ces lois :
{| class="wikitable centre" 
|-align="center" 
! Nom de la loi
! Paramètre(s)
! Description
! Écart type
|-
| [[Loi de Bernoulli]]<ref group="b" name="Saporta30"/> 
| {{math|''p'' ∈ ]0 ; 1[}} 
| Loi discrète sur {{math|{0 ; 1}<nowiki/>}} avec une probabilité {{mvar|p}} d'obtenir 1 
| <math>\sigma=\sqrt{p(1-p)}</math>
|-
| [[Loi binomiale]]<ref name=Saporta31 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=31}}</ref> 
| <math>n\in\N^*</math> et {{math|''p'' ∈ ]0 ; 1[}}  
| Loi de la somme de {{mvar|n}} variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètre {{mvar|p}} 
| <math>\sigma=\sqrt{n p (1-p)}</math>
|-
| [[Loi géométrique]]<ref name=Saporta38 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=38}}</ref> 
| {{math|''p'' ∈ ]0 ; 1[}} 
| Loi du rang de la première réalisation dans une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre {{mvar|p}} 
| <math>\sigma=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}</math>
|-
| Loi uniforme sur un segment<ref name=Saporta39 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=39}}</ref> || {{math|{{mvar|a}} < {{mvar|b}}}} 
| Loi de densité constante sur{{math|[''a'' , ''b'']}} || <math>\sigma=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}</math>
|-
| [[Loi exponentielle]]<ref name=Saporta39 group="b"/> || <math>\lambda\in\R^{+*}</math> 
| Loi à densité avec un taux de panne constant {{math|λ}} || <math>\sigma=\frac{1}{\lambda}</math>
|-
| [[Loi de Poisson]]<ref name=Saporta33 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=33}}</ref> || <math>\lambda \in\R^{+*}</math>
| Loi sur du nombre de réalisations indépendantes sur <math>\N</math> de moyenne {{math|λ}} || <math>\sigma=\sqrt{\lambda}</math>
|-
| [[Loi du χ²]]<ref name=Dodge71 group="b">{{Harvsp|Dodge|2010|p=71}}</ref> || {{mvar|n}} 
|Loi de la somme de {{mvar|n}} carrés de variables normales centrées réduites indépendantes || <math>\sigma=\sqrt{2n}</math>
|-
|}

Si la variable ''X'' suit une [[loi log-normale]] alors {{math|ln ''X''}} suit une [[loi normale]] et l'écart type de ''X'' est relié à l'[[écart type géométrique]]<ref name=WHFinlay group="b">{{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Warren H.
|nom1=Finlay
|titre=The Mechanics of Inhaled Pharmaceutical Aerosols
|sous-titre=An Introduction
|lieu=San Diego
|éditeur=Academic Press Inc
|année=2001
|pages totales=320
|passage=5
|isbn=978-0-12-256971-5
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=A9c4kSVlfv0C&printsec=frontcover
|consulté le=15 avril 2012
}}</ref>.

Mais toutes les lois de probabilité n'admettent pas forcément un écart type fini : la [[Loi de Cauchy (probabilités)|loi de Cauchy]] (ou loi de Lorentz) n'a pas d'écart type, ni même d'espérance mathématique<ref name=Dodge60 group="b">{{Harvsp|Dodge|2010|p=60}}</ref>.

=== Propriétés ===
;Positivité
:L'écart type est toujours positif ou nul. Celui d'une constante est nul.
;Invariance par translation
:L'écart type ne change pas si on ajoute une constante {{mvar|b}} à la variable aléatoire {{mvar|X}} : {{math|σ{{ind|''X''+''b''}}{{=}}σ{{ind|''X''}}}}.
;Homogénéité<ref group="Note">Toutes ces propriétés sont la conséquence directe du théorème de Huygens et des propriétés de l'espérance mathématique.</ref>{{,}}<ref name=Saporta2325 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=23-25}}</ref>
:Pour toute constante positive {{mvar|c}} et toute variable aléatoire réelle {{mvar|X}}, on a {{math|σ{{ind|''cX''}} {{=}} ''c'' σ{{ind|''X''}}}}.
;Somme algébrique de deux variables
:L'écart type de la somme de deux variables s'écrit<ref name=Saporta26 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=26}}</ref> sous la forme 
::<math>\sigma_{X + Y}=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2 + 2\sigma_X \sigma_Y \rho(X,Y)}</math>
où {{math|ρ{{ind|(''X'',''Y'')}}}} est le [[coefficient de corrélation]] entre les deux variables ''X'' et ''Y''.
;Inégalité triangulaire
: L'écart type de la somme est majoré par la somme des écarts types<ref group=Note>L'inégalité découle de l'égalité précédente et de l'encadrement du coefficient de corrélation : <math>-1 \le \rho(X,Y) \le  1</math>.</ref> : 
::<math>\sigma_{X+Y} \le \sigma_X+\sigma_Y</math>.
: De plus, il y a égalité si et seulement s'il existe une relation [[Fonction affine|affine]] presque sûre entre les deux variables.
;Distance euclidienne
:L'écart type d'une variable aléatoire réelle {{mvar|X}} est la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance<ref name=Rioul146 group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=146}}</ref>. C'est donc le [[optimisation (mathématiques)|minimum]] de la fonction <math>\R  \rightarrow  \R^+ : c \rightarrow \sqrt{(|X-c|^2)}</math>, atteint sur la constante {{math|''c'' {{=}} E(''X'')}}.

== Usages ==
=== Intervalle de fluctuation ===
[[Fichier:Standard deviation diagram.svg|thumb|Représentation graphique de la fonction de densité d'une [[loi normale]]. Chaque bande colorée a la largeur d'un écart type.]]

En [[sciences]], il est fréquent de considérer que les mesures d'une grandeur se répartissent selon une [[distribution gaussienne]], par accumulation d'erreurs de mesure ou d'interférences indépendantes avec d'autres phénomènes, en application du [[théorème central limite]]. L'[[histogramme]] des valeurs observées se rapproche alors d'une [[courbe en cloche]] caractéristique de la [[loi normale]]. La courbe étant complètement définie par la donnée de la valeur moyenne et de l'écart type, ces deux valeurs permettent de définir un [[intervalle de fluctuation]] qui concentre l'essentiel des observations.

Le calcul des [[quantile]]s de cette loi montre par exemple que pour une grandeur satisfaisant cette distribution sur une population d'individus, avec une moyenne {{mvar|m}} et un écart type {{math|σ}},
95 % des valeurs observées appartiendront à l'intervalle {{math|[''m'' – 1,96 σ ; ''m'' + 1,96 σ]}} (voir [[97,5e centile]]). On peut ainsi associer des probabilités à des intervalles de valeurs centrés sur la moyenne et dont l'amplitude est un multiple de l'écart type<ref name=Saporta43 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=43-44}}</ref>.
{| class="wikitable"
|+ Intervalles de fluctuation pour une distribution gaussienne
|-
! Écart maximal à la moyenne !! Proportion des valeurs
|-
| <math>\pm\sigma</math> || 68,27 %
|-
| <math>\pm 1.96\cdot \sigma</math> || 95 %
|-
| <math>\pm 2\sigma</math> || 95,45 %
|-
| <math>\pm 3\sigma</math> || 99,73 %
|}
Dans l'[[industrie]], l'écart type intervient dans le calcul de l'indice de qualité des [[Produit manufacturé|produits manufacturé]]s ou dans l'indice de fidélité d'un [[Instrument de mesure|appareil de mesure]]<ref name=PFerignac group="i">{{article|prénom1=P.|nom1=Ferignac|titre=Contrôle de réception quantitatif ou par mesure.|périodique=Revue de statistique appliquée |volume=7|numéro=2|mois=|année=1959|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1959__7_2/RSA_1959__7_2_27_0/RSA_1959__7_2_27_0.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=26 mars 2012}}</ref>{{,}}<ref name=PFerignac2 group="i">{{article|prénom1=P.|nom1=Ferignac|titre=Erreurs de mesure et contrôle de la qualité.|périodique=Revue de statistique appliquée |volume=13|numéro=2 |année=1965|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1965__13_2/RSA_1965__13_2_57_0/RSA_1965__13_2_57_0.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=26 mars 2012}}</ref>.

En [[physique des particules]], la détection d'évènements est ainsi quantifiée en nombre de sigmas, représentant l'écart entre la valeur observée et la moyenne attendue en l'absence d'évènement. Un résultat est considéré comme significatif par l'obtention de 5 sigmas, représentant une probabilité d'erreur inférieure à 0,00006 % (soit niveau de confiance de plus de 99,99994 %)<ref name=RHeuer group="i">{{article|prénom1=Rolf|nom1=Heuer|titre=Une fin d’année pleine de suspense|périodique=Bulletin Hebdomadaire du CERN|volume=2012|numéro=3|année=2012|url=http://cdsweb.cern.ch/record/1416005?ln=fr|consulté le=27 avril 2012}}</ref>.

[[Fichier:Bollinger-bands-example2.jpg|right|thumb|La moyenne mobile est en rouge et les bandes de Bollinger, calculées à l'aide de l'écart type, sont en bleu.]]
Dans le domaine de la communication financière, l'écart type est une mesure de la [[Volatilité (finance)|volatilité]] des cours des actions des sociétés cotées<ref name=JPPetit group="b">{{Ouvrage|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Petit|titre=La Bourse|sous-titre=Rupture et Renouveau|lieu=Paris|éditeur=Odile Jacob économie|année=2003|pages totales=285|passage=36|isbn=978-2-7381-1338-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=VzfqRrruxBMC&printsec=frontcover|consulté le=27 avril 2012}}</ref>. Les [[bandes de Bollinger]] sont des outils facilitant l'analyse des prévisions boursières. [[John Bollinger]] a construit la courbe des [[Moyenne glissante|moyennes mobiles]] sur 20 jours et les courbes, de part et d'autre de cette courbe, situées à deux fois l'écart type sur ces 20 jours. John Bollinger a utilisé une définition adaptée de l'écart type<ref name=JBollinger group="i">{{Lien web|langue=en|auteur=John Bollinger|lien auteur=John Bollinger|url=http://www.bollingerbands.com/#|titre=Bollinger Bands Introduction|consulté le=27 avril 2012}}</ref>. En outre, le risque d'un actif boursier et le risque associé au marché sont mesurés par l'écart type de la [[rentabilité]] attendue, dans le [[modèle d'évaluation des actifs financiers]] de [[Harry Markowitz]]<ref group="i">{{article|prénom1=P|nom1=Fery|titre=Risque et calcul socioéconomique|périodique=Centre d'analyse stratégique |année=2010|url=http://www.strategie.gouv.fr/content/rapport-le-calcul-du-risque-dans-les-investissements-publics |format électronique=Pdf |consulté le=8 avril 2012}}</ref>.

=== Variable centrée réduite ===
[[Fichier:Negative and positive skew diagrams (English).svg|thumb|right|Exemples de distributions asymétriques.]]
[[Fichier:Standard symmetric pdfs.svg|thumb|right|Exemples de distributions plus ou moins aplaties.]]

Si {{mvar|X}} est une variable aléatoire d'écart type non nul, on peut lui faire correspondre la [[Variable centrée réduite|variable centrée et réduite]] {{mvar|Z}} définie par <math>Z= \frac{X - \bar X}{\sigma}</math>. Deux variables aléatoires centrées et réduites {{math|''Z''{{ind|1}}}} et {{math|''Z''{{ind|2}}}} sont aisées à comparer, puisque {{math|E(''Z''{{ind|''i''}}){{=}}0}} et {{math|σ{{ind|''Z''{{ind|''i''}}}}{{=}}1}}<ref name=Gautier387 group="b">{{Harvsp|Gautier|Girard|Gerll|Thiercé|1975|p=387}}</ref>.

Le [[théorème central limite]] a pour objet la [[limite d'une suite]] de variables aléatoires centrées réduites<ref name=Saporta66 group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=66}}</ref>, les [[Asymétrie (statistique)|coefficients de dissymétrie]] et d'[[Kurtosis|aplatissement]] d'une densité de probabilité, {{math|E(''Z''{{3}})}} et {{math|E(''Z''{{4}})}}, permettent de comparer des distributions différentes<ref name=Rioul157 group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=157}}</ref>.
{{clr|left}}

=== Coefficient de corrélation linéaire ===
{{Article détaillé|Corrélation (statistiques)}}
Si {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} sont deux [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] réelles admettant toutes les deux une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est le rapport <math>\operatorname{Cor}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sigma_X \sigma_Y} </math> où <math>\operatorname{Cov}(X,Y)= \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])\,(Y-\mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]</math> est la [[covariance]] des variables {{mvar|X}} et {{mvar|Y}}. D'après l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]], <math>|\operatorname{cov}(X,Y)| \le \sigma_X \sigma_Y</math> ; le coefficient de corrélation prend ses valeurs dans l'[[Intervalle (mathématiques)|intervalle]] {{math|[–1 ; +1]}}<ref name=Rioul175 group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=175}}</ref>.

Si les deux variables sont indépendantes, le coefficient de corrélation linéaire est nul, mais la réciproque est fausse.

Si le coefficient de corrélation linéaire vaut 1 ou −1, les deux variables sont presque sûrement en relation affine<ref name=Rioul178 group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=178}}</ref>.

=== Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ===
{{Article détaillé|Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
C'est grâce à l'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] que l'écart type apparaît comme une mesure de la dispersion autour de la moyenne. En effet, cette inégalité exprime que <math>P(|X-E(X)|>k\sigma) \le \frac{1}{k^2}</math><ref group="b" name="Saporta25">{{Harvsp|Saporta|2006|p=25}}</ref> et montre que la probabilité pour que {{mvar|X}} s'écarte de {{math|E(''X'')}} de plus de {{mvar|k}} fois l'écart type est inférieure à {{math|1/''k''{{2}}}}<ref name=AJacquard2829 group="b">{{Harvsp|Jacquard|1976|p=28-29}}</ref>.

=== Principe d'incertitude ===
En [[mécanique quantique]], le [[principe d'incertitude]] d'[[Heisenberg]] exprime que le produit des écarts types de la [[Vecteur position|position]] ''x'' et de l'[[Moment linéaire|impulsion]] ''p'' d'une [[Particule subatomique|particule]] est supérieur ou égal à la [[constante de Planck réduite]] divisée par deux, soit <math>\sigma_{x} \sigma_{p} \ge \frac{\hbar}{2}</math> <ref name=YMeyer group="i">{{article|prénom1=Yves|nom1=Meyer|titre=Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algèbres d'opérateurs.|périodique=Séminaire Bourbaki |volume=662 |mois=février|année=1986|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1985-1986__28_/SB_1985-1986__28__209_0/SB_1985-1986__28__209_0.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=4 avril 2012}}</ref>.

== Estimation ==
Lorsqu'il n'est pas possible de connaître toutes les valeurs de la caractéristique considérée, on se trouve dans le cadre de la théorie [[statistique]]. Le statisticien procède alors par échantillonnage et estimation pour évaluer les grandeurs analysées telles que l'écart type.

[[Fichier:Fisher's_Iris_data_with_standard_deviation_error_bars_around_means.png|vignette|L'écart type sert à indiquer, à l'aide de [[Barre d'erreur|barres d'erreur]], l'[[Calcul d'incertitude|incertitude]] sur la largeur moyenne des sépales.]]
Un [[Estimateur (statistique)|estimateur]] est une fonction permettant d'approcher un paramètre d'une population à l'aide d'un échantillon tiré au [[hasard]]<ref name="Saporta289" group="b">{{Harvsp|Saporta|2006|p=289}}</ref>, ou une grandeur sur un phénomène aléatoire à partir de plusieurs réalisations de celui-ci.

Dans le cas d'un échantillon de taille {{mvar|n}}, et dont la vraie moyenne -ou espérance- {{mvar|μ}} est connue, l'estimateur est le suivant :
<math display="block">\sigma_X =\sqrt{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}. </math>Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pas {{mvar|μ}} et on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant : <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>. Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plupart de ces estimateurs s'expriment par la formule :
<math display="block">S_k=\sqrt{\frac{1}{k}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}.</math> {{math|''S''{{ind|''n'' – 1}}}} (ou ''S′'') est l'estimateur le plus utilisé<ref name="tuff655" group="b">{{Harvsp|Tufféry|2010|p=655}}</ref>{{,}}<ref name="Saporta279" group="b" />, mais certains auteurs recommandent d'utiliser {{mvar|S{{ind|n}}}} (ou {{mvar|S}})<ref name="EGrenier" group="i">{{article|prénom1=Emmanuel|nom1=Grenier|titre=Quelle est la « bonne » formule de l’écart-type ?|périodique=Revue Modulad |numéro=37 |mois=décembre|année=2007|url=http://www.modulad.fr/archives/numero-37/Notule-Grenier-37/Notule-Grenier-37.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=18 février 2012}}</ref>.

=== Propriétés des estimateurs ===
{{Article détaillé|Estimateur (statistique)#Qualité d'un estimateur {{!}} Qualités d'un estimateur}}

Deux propriétés importantes des estimateurs sont la [[Estimateur (statistique)#Convergence|convergence]] et l'absence de [[Biais (statistique)|biais]]<ref name="Saporta279" group="b" />.

Pour tout {{mvar|k}} tel que {{math|''k''/''n''}} tende vers 1, la [[loi des grands nombres]] garantit que {{math|''S''{{indexp|''n''|2}}}} puis {{math|''S''{{indexp|''k''|2}}}} sont des estimateurs [[Estimateur (statistique)#Convergence|convergents]] de {{math|''σ''{{2}}}}. Grâce au [[Convergence de variables aléatoires#Convergence d'une fonction d'une variable aléatoire|théorème de continuité]], stipulant que si ''{{mvar|f}}'' est continue, alors <math>\lim\limits_{n \to \infty} f(X_n)=f(\lim\limits_{n \to \infty} X_n)</math>. La fonction [[racine carrée]] étant continue,  {{mvar|S{{ind|k}}}} converge lui aussi vers {{mvar|σ}}. En particulier {{mvar|S{{ind|n}}}} et {{math|''S''{{ind|''n'' – 1}}}} sont des estimateurs convergents de {{mvar|σ}}, ce qui reflète l'approximation de {{mvar|σ}} par ces deux séries lorsque ''n'' devient de plus en plus grand<ref group="Note">D'après le théorème de continuité on a :{{Théorème|Si {{mvar|g}} est continue, alors :
<math>X_n\xrightarrow{\mathbb{P}}X \Longrightarrow g(X_n)\xrightarrow{\mathbb{P}}g(X)</math>}}. Comme la fonction [[racine carrée]] est une fonction [[Continuité (mathématiques)|continue]], {{math|''S''{{ind|''n''-1}}}} et {{mvar|S{{ind|n}}}} sont des estimateurs convergents de l'écart type, autrement dit : <math>S_{n-1} \xrightarrow{\mathbb{P}} \sigma \text{ et } S_{n} \xrightarrow{\mathbb{P}} \sigma</math></ref>{{,}}<ref name="Rioul253" group="b">{{Harvsp|Rioul|2008|p=253}}</ref> et conforte le statisticien à utiliser ces estimateurs.

L'estimateur de la variance {{math|''S''{{indexp|''n'' – 1|2}}}} est sans biais. Cependant, la non-linéarité de la fonction racine carrée fait que {{math|''S''{{ind|''n'' – 1}}}} est légèrement biaisé<ref name="EGrenier" group="i" />. Les estimateurs {{math|''S''{{indexp|''n''|2}}}} et {{mvar|S{{ind|n}}}} sont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pas {{mvar|n}} mais {{math|''n'' – 1}} au dénominateur ({{lien|langue=en|trad=Bessel's correction|fr=correction de Bessel}}) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne de {{mvar|x}} à partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté puisque la formule <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math> relie <math>\bar{x}</math> aux valeurs {{mvar|x{{ind|i}}}}. On a donc seulement {{math|''n'' – 1}} valeurs indépendantes après le calcul de <math>\bar{x}</math>. Dans le cas ou l'on cherche à estimer l’écart-type d'une [[loi normale]], on dispose d'un estimateur non biaisé de {{mvar|σ}} proche de <math>S_{n - 3/2}</math> <ref name="RBrugger" group="i">{{Article|prénom1=Richard M.|nom1=Brugger|titre=A Note on Unbiased Estimation of the Standard Deviation|périodique=The American Statistician|volume=23|numéro=4|date=1969-10-01|issn=0003-1305|doi=10.1080/00031305.1969.10481865|lire en ligne=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1969.10481865|consulté le=2019-03-29|pages=32–32}}</ref>. Le choix de <math>n - 3/2</math> permet de corriger le biais supplémentaire lié à la racine carrée.

La précision, donnée par l'erreur quadratique moyenne, est difficile à calculer explicitement pour des lois quelconques. Il semblerait cependant qu'en dépit d'un biais plus important, {{mvar|S{{ind|n}}}} soit plus précis que {{math|''S''{{ind|''n'' –1}}}}<ref name="EGrenier" group="i" />.

=== Écart type des moyennes ===
Pour estimer la précision de l'estimation de la moyenne d'une variable, la méthode du calcul de l'écart type de la distribution d'échantillonnage des moyennes est utilisée. Appelé aussi [[Erreur type|erreur type de la moyenne]] ({{Citation étrangère|lang=en|Standard error}}), noté <math>\sigma_{\bar x} </math>, c'est l'écart type des moyennes des échantillons de tailles identiques d'une population. Si {{mvar|n}} est la taille des échantillons prélevés sur une population d'écart type {{math|σ}}, et si {{mvar|N}} est la taille de la population, alors <math>\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}</math><ref name=Dodge509 group="b">{{Harvsp|Dodge|2010|p=508-509}}</ref>. Lorsque l'écart type {{mvar|σ}} de la population est inconnu, il peut être remplacé par l'estimateur {{math|''S''{{ind|''n''–1}}}}<ref name=Dodge509 group="b"/>. Quand {{mvar|n}} est suffisamment grand ({{math|''n'' ≥ 30}}), la distribution d'échantillonnage suit approximativement une loi de Laplace-Gauss, ce qui permet de déduire un [[intervalle de confiance]], fonction de <math>\sigma_{\bar x} </math>, permettant de situer la moyenne de la population par rapport à la moyenne de l'échantillon<ref name=Dodge472 group="b">{{Harvsp|Dodge|2010|p=472}}</ref>{{,}}<ref name=AVessereau56 group="b">{{Harvsp|Vessereau|1976|p=56}}</ref>.

=== Écart type des écarts types empiriques ===
En général, il est très difficile de calculer la loi de distribution des écarts types empiriques. Mais si {{mvar|X{{ind|n}}}} est une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi normale <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) </math>, alors <math>n\frac{S_n^2}{\sigma^2}</math> suit une loi du {{math|χ{{2}}}} à {{mvar|n}} [[Degré de liberté (statistiques)|degrés de liberté]]<ref group="b" name="Dodge71"/>{{,}}<ref group="Note">par définition de la [[Loi du χ²|loi du {{math|χ{{2}}}}]]</ref>.
Cette loi a pour écart type {{math|{{racine|2''n''}}}} et donc l'écart type de la distribution des variances de variables normales a pour expression <math>\sigma_{S_n^2}=\sigma^2\sqrt{\frac{2}{n}}</math><ref name=Dodge71 group="b"/>.

=== Sondages d'opinion ===
Dans les [[Sondage d'opinion|sondages d'opinion]], l'écart type <math>\sigma_{\bar x}</math> évalue l'incertitude des variations accidentelles de {{surligner|{{mvar|x}}}} inhérentes au sondage, ce qu'on appelle la marge d'erreur due aux variations accidentelles<ref name=WEDeming group="i">{{article|prénom1=W.E.|nom1=Deming|titre=Quelques méthodes de sondage.|périodique=Revue de statistique appliquée |volume=12 |numéro=4  | année=1964| url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1964__12_4/RSA_1964__12_4_11_0/RSA_1964__12_4_11_0.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=9 avril 2012}}</ref>.

De plus, avec la méthode d'échantillonnage représentatif, lorsque les différentes strates ont des écarts types très différents, l'écart type est utilisé pour calculer la répartition optimale de [[Jerzy Neyman|Neyman]] qui permet d'évaluer la population dans les différentes strates en fonction de leur l'écart type ; en d'autres termes <math>n_i=n\frac{N_i\sigma_i}{\sum N_j\sigma_j}</math> est la taille de l'échantillon dans la strate {{mvar|i}}, où {{mvar|n}} est la taille totale de l'échantillon, {{mvar|N{{ind|i}}}} est la taille de la strate {{mvar|i}}, {{mvar|σ{{ind|i}}}} l'écart type de la strate {{mvar|i}}<ref name=WEDeming group="i"/>.

== En algorithmique ==
Les écarts types obtenus par un programme d'ordinateur peuvent être incorrects si on n'utilise pas un algorithme adapté aux données, comme lorsqu'on utilise celui qui exploite directement la formule <math>\sqrt{ \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) - \left( {\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i} \right)^2 }</math> sur des grands échantillons de valeurs comprises entre 0 et 1<ref group="i">{{Lien web|langue=en|auteur=John D. Cook|url=http://www.johndcook.com/blog/2008/09/28/theoretical-explanation-for-numerical-results/|titre=Theoretical explanation for numerical results| consulté le=20 avril 2012}}</ref>{{,}}<ref group="i">{{Lien web|langue=en|auteur=John D. Cook|url=http://www.johndcook.com/blog/2008/09/26/comparing-three-methods-of-computing-standard-deviation/|titre=Comparing three methods of computing standard deviation|consulté le=20 avril 2012}}</ref>.

Un des meilleurs algorithmes est celui de B.P. Welford qui est décrit par [[Donald Knuth]] dans son livre {{Langue|en|''The Art of Computer Programming'', vol. 2}}<ref name=Welfod group="i">{{article|langue=en|prénom1=B.P.|nom1=Welford|titre=Note on a Method for Calculating Corrected Sums of Squares and Products|périodique=Technometrics |volume=4 |numéro=3 |pages=419-420 |mois=août|année=1962 |url=http://ebookfreetoday.com/view-pdf.php?bt=NOTE-XXX:-WELFORD%E2%80%99S-ALGORITHM-FOR-MEAN-AND-VARIANCE&lj=http://daheiser.info/excel/notes/NOTE%20P.pdf |format électronique=Pdf |consulté le=4 avril 2012}}</ref>{{,}}<ref group="i">{{Lien web|langue=en|auteur=John D. Cook|url=http://www.johndcook.com/standard_deviation.html|titre=Accurately computing running variance|consulté le= 20 avril 2012}}</ref>.

Une approximation de l'écart type de la direction du vent est donnée par l'[[Méthode de Yamartino|algorithme de Yamartino]] dont on se sert dans les [[anémomètre]]s modernes<ref name=RJYamartino group="i">{{article |langue=en |prénom1=R.J. |nom1=Yamartino |titre=A comparison of several "single-pass" estimators of the standard deviation of wind direction |périodique=Journal of climate and applied meteorology|volume=23|pages=1362-1366|mois=janvier |année=1984 |url=http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0450%281984%29023%3C1362%3AACOSPE%3E2.0.CO%3B2 |format électronique=Pdf |consulté le=27 avril 2012}}</ref>{{,}}<ref group="i">{{Lien web|langue=en| auteur=Mike Bagot |url=http://www.ata.org.au/wp-content/projects/ata_wind_resource_assessment_report.pdf |format électronique=Pdf |titre=Victorian Urban Wind Resource Assessment|consulté le=24 avril 2012}}</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|group="Note"}}

=== Références ===
==== Ouvrages spécialisés ====
{{références|groupe="b"}}

==== Articles de revue ====
{{références|groupe="i"}}

==== Autres références ====
<references/>

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Saporta1|id=Saporta2006}}, seconde édition {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Alain|nom1=Monfort|lien auteur1=Alain Monfort|titre=Cours de Statistique Mathématique|lieu=Paris|éditeur=éditions Economica|année=1997|pages totales=333|isbn=2-7178-3217-3|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|titre=Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite|lieu=Chicago|éditeur=Encyclopædia Britannica|année=2010|isbn=|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Olivier|nom1=Rioul|titre=Théorie des probabilités|lieu=Paris|éditeur=éditions Hermes sciences|année=2008|pages totales=364|isbn=978-2-7462-1720-1|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Yadolah|nom1=Dodge|titre=The Concise Encyclopaedia of Statistics|lieu=New York|éditeur=Springer|année=2010|pages totales=622|isbn=978-0-387-31742-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=k2zklGOBRDwC&printsec=frontcover|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Stéphane|nom1=Tufféry|titre=Data Mining et statistique décisionnelle|sous-titre=l'intelligence des données|lieu=Paris|éditeur=éditions Technip|année=2010|pages totales=705|isbn=978-2-7108-0946-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=AyIYAAn4a2kC&printsec=frontcover|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Peter L.|nom1=Bernstein|titre=Against the Gods|sous-titre=The Remarkable Story of Risk|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons|John Wiley & sons, inc]]|année=1996|pages totales=383|isbn=978-0-471-12104-6|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Albert|nom1=Jacquard|titre=Les Probabilités|lieu=Paris|éditeur=[[Presses universitaires de France|Presses Universitaires de France]]|collection=Que sais-je|numéro dans collection=1571|année=1976|pages totales=125|isbn=2-13-036532-9|plume=oui}}
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=C. |nom1=Gautier |prénom2=G. |nom2=Girard |prénom3=D. |nom3=Gerll |prénom4=C. |nom4=Thiercé |prénom5=A. |nom5=Warusfel|titre=Aleph1 Analyse|lieu=Paris|éditeur=éditions Hachette|année=1975|pages totales=465|isbn=2-01-001370-0|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=André|nom1=Vessereau|titre=La Statistique|lieu=Paris|éditeur=[[Presses universitaires de France|Presses Universitaires de France]]|collection=Que sais-je|numéro dans collection=281|année=1976|pages totales=128|isbn=2-13-052942-9|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Richard|nom1=Herrnstein|lien auteur1=Richard Herrnstein|prénom2=Charles|nom2=Murray|lien auteur2=Charles Murray (politologue)|titre=The Bell Curve|sous-titre=Intelligence and Class Structure in American Life|lieu=New York|éditeur=Simon & Schuster Ltd|année=1994|pages totales=896|passage=Appendix 1, "Statistics for People Who Are Sure They Can't Learn Statistics"|isbn=978-0-684-82429-1}}

=== Articles connexes ===
* [[Calcul d'erreur]]
* [[Indicateur de dispersion]]
* [[Erreur type]]
* [[Écart type géométrique]]
* [[Moment (probabilités)|Moment d'ordre n]]
* [[Coefficient de variation]]
* [[Variance (mathématiques)|Variance]]
* [[Écart moyen]]
* [[Algorithme de calcul de la variance]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{Palette|Probabilités et statistiques|Analyse technique}}
{{Portail|probabilités}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=78530950|date=9 mai 2012}}

{{DEFAULTSORT:Ecart type}}
[[Catégorie:Moment (mathématiques)]]