Voir la source de Écoulement de Poiseuille

{{à désacadémiser|date=juillet 2007}}

[[File:Poiseuille abstraction.svg|thumb|'''a)''' Une représentation du tube. '''b)''' Une section montrant le profil de l'écoulement. La vitesse est plus faible à mesure qu'on se rapproche des parois du tube.]]

La '''loi de Poiseuille''', également appelée '''loi de Hagen-Poiseuille''', décrit l'[[écoulement laminaire]] (c'est-à-dire à filets de liquide parallèles) d'un liquide [[viscosité|visqueux]], [[Fluide incompressible|incompressible]], dans une [[Canalisation|conduite]] [[cylindre|cylindrique]]. Découverte indépendamment en [[1840]] par le médecin et physicien français [[Jean-Léonard-Marie Poiseuille]]<ref>Poiseuille, « Recherches experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres ; I-IV », 1840-41.</ref> et par l’ingénieur prussien [[Gotthilf Hagen]]<ref>D'après {{Ouvrage|langue=de|prénom1=István|nom1=Szabó|titre=Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen|lieu=Bâle|éditeur=[[Birkhäuser Verlag]]|collection=Wissenschaft und Kultur|année=1979|réimpression=1987, 1996|pages totales=491|passage=269-273|isbn=978-3-7643-1063-9|isbn2=978-3-764-30864-3|oclc=5801710}}.</ref>, elle constitue la première tentative de dépasser la notion de vitesse moyenne d'un écoulement, jusque-là en usage (cf. [[Antoine Chézy|formules de Chézy]] et de [[Équation de Prony|Prony]]).

Un '''écoulement de Poiseuille''' est un écoulement qui suit une loi de Poiseuille. 

De manière générale, la loi de Poiseuille énonce de façon théorique la relation entre le [[débit (physique)|débit volumique]] d'un écoulement  <math>D_v</math> et la [[viscosité]] du fluide <math>\eta</math>, la différence de pression aux extrémités de la canalisation (notée <math>\Delta P</math>), la longueur et le rayon de cette canalisation. Cette relation est vérifiée expérimentalement dans les canalisations de rayons faibles et est souvent utilisée dans les [[viscosimètre]]s car elle énonce notamment que le débit est inversement proportionnel à la viscosité.

Pour un écoulement dans un tuyau de rayon <math>R</math> et de longueur <math>L</math>, elle s'exprime : 

<math> \Delta P = \frac{8 \eta L}{\pi R^4} D_{v}</math>


== Principe ==
Le principe fondamental est le sens de la grandeur nommée [[viscosité]]. Un « fluide » dans un tube de [[dentifrice]] est plus visqueux que de l'[[huile d'olive]] qui est plus visqueuse que de l'[[eau]]. On peut dire « plus » ou « moins » mais en physique, on exprime cela de manière mathématique par des équations avec des quantités comme « [[viscosité dynamique]] » que l'on notera ci-dessous avec une seule lettre en [[Alphabet grec|grec]]: η (lettre grecque "Êta"). 

Tout le développement « académique » ci-dessous indiquera que la vitesse d'écoulement au centre est proportionnelle à l'inverse de la viscosité (pour ces cas très simples).

Il faut retenir que la viscosité est une grandeur qui est un produit entre une [[pression]] et un temps (le Poiseuille). C'est une grandeur qui associe une grandeur dynamique (le temps, un déplacement) et une pression mécanique (une force appliquée sur une surface, exprimée en pascals, noté Pa ou en [[Newton par mètre carré|newtons par mètre carré]] noté {{nb|N m-2}}).

Un écoulement dépend aussi de la forme (tube, plaque…) et des propriétés de surface comme la [[rugosité]].

Un [[Fluide newtonien|fluide visqueux newtonien]], s'il est en écoulement lent dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches, est en [[écoulement de Stokes]]. En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles :

* l'écoulement du fluide est partout parallèle aux parois ([[approximation de lubrification]]) ;
* le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse du fluide y est nulle ([[condition de non-glissement]]) ;
* la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement ([[approximation de lubrification]]). 

Ces trois conditions impliquent que l'écoulement s'organise selon un champ de vitesse parabolique : vitesse nulle aux parois et maximale à mi-hauteur.

Ci-dessous, on considère deux problèmes différents qui donnent lieu à un écoulement de Poiseuille :

* l'écoulement dans un tube de section circulaire et de rayon constant <math>R</math> ;
* l'écoulement entre deux plaques planes et parallèles, distantes de <math>h</math> ; ce calcul permet notamment d'évaluer la force entre deux objets ([[Force normale entre deux disques dans un fluide visqueux|par exemple deux disques]]) immergés dans un fluide visqueux et s'approchant à une vitesse donnée.

On notera par ailleurs que :

* un cas particulier qui découle des précédents est celui de l'écoulement visqueux d'une [[couche mince]] sur une plaque, tel que la surface supérieure est libre (problème voisin des problèmes en canal découvert). Dans ce cas, le cisaillement est nul à la surface supérieure, et le profil de vitesse est le même que celui obtenu pour un écoulement entre deux plaques, mais en ne considérant que la moitié du profil entre une des plaques, et le milieu. En résumé, Poiseuille avec une plaque, c'est « la moitié de Poiseuille avec deux plaques » ;
* la nature parabolique des vitesses dans l'écoulement de Poiseuille provient du fait qu'on néglige les cisaillements autres que le long du tuyau (ou des plaques). Les couches de fluides sont supposées s'écouler parallèles les unes aux autres dans le tuyau, en sorte que la seule composante de la dérivée de la vitesse est la dérivée de la vitesse longitudinale (parallèle aux parois), prise le long de la section verticale. Cependant, cette approximation de vitesses parallèles à l'axe longitudinal et ne variant que suivant l'axe transversal peut s'étendre au cas d'un solide. Taylor a fait remarquer qu'un solide incompressible, poussé entre deux plaques, satisfait aux mêmes hypothèses que l'écoulement de Poiseuille. Cependant, dans ce cas, ce n'est pas la vitesse qui varie paraboliquement, mais la déformation. Ainsi, un solide poussé dans un tuyau ou entre deux plaques aura un profil de déformation « de Poiseuille », solide, et réversible (élastique).

== Champ de vitesse d'un écoulement de Poiseuille ==

=== Dans un tube ===

La vitesse est parallèle à l'axe du tube (noté {{math|''z''}}) : <math> \vec{v} = v \vec{u}_z </math>.

L'équation du profil de vitesse est alors donnée par :
:<math> v(r,z,\theta) = v(r) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right) </math>

où la vitesse maximale (au centre du tube) est liée au gradient de pression, à la viscosité dynamique et au rayon : 
:<math> v_{\max} = \frac{R^2} {2\;\eta} \; \left|\frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} \right| </math> en deux dimensions et <math> v_{\max} = \frac{R^2} {4\;\eta} \; \left|\frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} \right| </math> en trois dimensions.

{{Démonstration|titre=Démonstration du cas du tube|contenu=

Par symétrie, la vitesse de l'écoulement ne varie ni en {{math|''z''}}, ni en {{math|θ}}, et dans le cas d'un régime stationnaire, elle ne dépend pas non plus du temps :
:<math> v(r,z,\theta) = v(r) </math>

Par conséquent, les seuls efforts de cisaillement sont des forces selon {{math|''z''}} transmises radialement (selon {{math|''r''}}) :

:<math> \sigma_{rz}(r,z,\theta) = \sigma_{rz}(r) = \eta\;\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r} </math>

Par invariance par translation selon {{math|''z''}}, la variation de la pression est constante le long de l'axe {{math|''z''}} :
:<math> \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} = {\rm const} </math>

Considérons les efforts subis par une zone cylindrique de rayon {{math|''r''}} et de longueur {{math|Δ''z''}}.

Les efforts de pression sur les deux faces circulaires du cylindre ont une résultante égale à :
:<math> F_{\rm faces} = \pi\,r^2 \; \Delta z \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} </math>

Les contraintes de cisaillement sur le bord du cylindre lui transmettent une force orientée selon son axe {{math|''z''}} :
:<math> F_{\rm bord} = 2\pi\,r \; \Delta z \; \sigma_{rz}(r) </math>

[[Fichier:Separating-two-plates-pressure-gradient-and-shear-stress.png|thumb|right|Le gradient de pression se transmet aux parois en tant que contrainte de cisaillement.]]
La force totale exercée sur le cylindre de liquide est nulle puisque l'écoulement est permanent. Ainsi :
:<math> \sigma_{rz}(r) = \frac{r}{2} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} </math>

Il s'ensuit que le gradient de vitesse est linéaire en {{math|''r''}} :
:<math> \frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r} = \frac{\sigma_{rz}(r)}{\eta} = \frac{r}{2\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} </math>

Autrement dit, le champ de vitesse est parabolique :
:<math> v(r) = {\rm const} + \frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} </math>

Compte tenu de la condition de non-glissement ({{math|''v''(''R''){{=}}0}}) :

<math> v(r) = -\frac{R^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} \; \left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right) </math>

La vitesse est plus importante au centre du conduit malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression.
}}

=== Entre deux plaques ===

On suppose que le gradient de pression est orienté selon l'axe {{mvar|x}} et que la normale aux plaques est orientée selon {{mvar|z}}, avec les plaques situées en {{math|''z''{{=}}0}} et {{math|''z''{{=}}''h''}}.
La vitesse est alors parallèle aux plaques, et plus précisément orientée selon l'axe {{mvar|x}} : <math> \vec{v} = v \vec{u}_x </math>.

L'équation du profil de vitesse est alors donnée par<ref>{{Lien archive|url=http://www.ae.metu.edu.tr/~ae244/docs/FluidMechanics-by-JamesFay/2003/Textbook/Nodes/chap06/node11.html|horodatage archive=20150402020600|titre=Plane Poiseuille Flow|langue=en}}.</ref> :

:<math> v(x,y,z) = v(z) = v_{\rm max}\;\left( \frac{4\,z}{h} -\frac{4\,z^2}{h^2} \right) </math>

où la vitesse maximale (au milieu de la couche) est liée au gradient de pression, à la viscosité dynamique et à la distance entre les plaques : 
:<math> v_{\max} = - \frac{h^2}{8\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} x}.</math>
On remarque alors que la vitesse maximale positive est atteinte pour un gradient de pression négatif.

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=category:Hagen-Poiseuille equation|commons titre=Équation de Hagen-Poiseuille}}

=== Sources et bibliographie ===
* [[Geoffrey Ingram Taylor|G. I. Taylor]], ''{{Langue|en|Proceedings of the Twelfth International Congress of Applied Mathematics}}'', New York : Springer Verlag, 1969.
* Boudaoud A., Saharaoui C., « {{Langue|en|Singular thin viscous sheet}} », ''{{Langue|en|Phys. Rev. E.}}'', 2001;64:050601(R).
* {{Ouvrage |auteur1=[[Académie des sciences (France)|Académie des Sciences]] |titre=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences |sous-titre=Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres |lieu=Paris |éditeur=[[Gauthier-Villars]] |année=juillet 1840 |pages totales=795 |passage=961-967, 1041-1048 |isbn= |lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2970g/f961.item.r=poiseuille}}, {{gallica|n=bpt6k2970g}} {{commentaire|Poiseuille établit sa fameuse loi, selon laquelle le débit dans de fins tubes capillaires est en puissance quatrième du diamètre du tube.}}

=== Lien externe ===
* L'article de Poiseuille (1840), en ligne et commenté sur ''[https://www.bibnum.education.fr/sciences-de-l-ingenieur/hydraulique/poiseuille-et-l-ecoulement-des-liquides-dans-les-capillaires BibNum]''

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{{DEFAULTSORT:Ecoulement de Poiseuille}}

[[Catégorie:Rhéologie]]
[[Catégorie:Loi en physique|Poiseuille]]