Voir la source de Élément entier

{{Ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre commutative]], les '''éléments entiers''' sur un [[anneau commutatif]] sont à la fois une généralisation des [[entier algébrique|entiers algébriques]] (les éléments entiers sur l'anneau des [[entier relatif|entiers relatifs]]) et des [[Élément algébrique|éléments algébriques]] dans une [[extension de corps]]. C'est une notion très utile en [[théorie algébrique des nombres]] et en [[géométrie algébrique]]. Son émergence a commencé par l'étude des [[Entier quadratique|entiers quadratiques]], en particulier les [[Entier de Gauss|entiers de Gauss]].

== Définition ==

On fixe un anneau commutatif {{mvar|A}}.
{{énoncé|Soit {{mvar|B}} une [[Algèbre associative|{{mvar|A}}-algèbre]] commutative (c'est-à-dire un anneau commutatif (unitaire) muni d'un [[morphisme d'anneaux]] <math>\phi:A\to B</math>). Un élément {{mvar|b}} de {{mvar|B}} est dit entier sur {{mvar|A}} s'il existe un [[polynôme unitaire]] à coefficients dans {{mvar|A}} [[Racine d'un polynôme|s'annulant en]] {{mvar|b}}.
}}

'''Exemples''' 

* Lorsque ''A'' est un [[Corps commutatif|corps (commutatif)]], un élément est entier sur ''A'' si (et seulement si) il est [[élément algébrique|algébrique]] sur ''A''.
* Dans le corps <math>\Complex</math> vu comme une algèbre sur l'anneau <math>\Z</math> des [[Entier relatif|entiers relatifs]], les éléments entiers sont les [[entier algébrique|entiers algébriques]]. Par exemple :
**tout [[entier de Gauss]] <math>\alpha=a+\mathrm ib\in\Complex</math> avec <math>a, b\in\Z</math> et <math>\mathrm i</math> une [[Unité imaginaire|racine carrée de {{math|–1}}]], est entier sur <math>\Z</math>, car <math>\alpha</math> est annulé par le polynôme unitaire à coefficients entiers <math>X^2-2aX+(a^2+b^2)</math> ;
**les seuls entiers algébriques [[Nombre rationnel|rationnels]] sont les entiers relatifs.
* Soient ''a'' un élément de ''A'' et ''B'' l'[[anneau quotient]] ''A''[''X'']/(''X''{{2}} – ''a''). L'image de ''X'' dans ''B'' est entière sur ''A''.
*Soient ''G'' un [[groupe fini]] d'[[Morphisme d'anneaux|automorphismes]] de ''A'', et ''A{{exp|G}}'' le [[sous-anneau]] des éléments de ''A'' [[Point fixe|fixes]] par tous les éléments de ''G''. Alors, tout élément de ''A'' est entier sur ''A{{exp|G}}''<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Michael Atiyah|M. F. Atiyah]]|auteur2=[[Ian G. Macdonald|I. G. Macdonald]]|titre=Introduction to Commutative Algebra|éditeur=[[Taylor & Francis]]|année=1969|url={{Google Livres|161SDwAAQBAJ|page=68}}|page=68}}, ex. 12.</ref>.
{{Démonstration|
Si ''α'' est un élément de ''A'', alors ''α'' est racine du polynôme ∏{{ind|''σ'' ∈ ''G''}}(''X – σα''), dont les coefficients sont invariants par les automorphismes de ''G'', puisque [[Fonction symétrique|fonctions symétriques]] des ''σα''.
}}
On dit que {{mvar|B}} est '''entier sur {{mvar|A}}''', ou que c'est une '''{{mvar|A}}-algèbre entière''' si tout élément de {{mvar|B}} est entier sur {{mvar|A}}. On dira aussi que <math>\phi: A\to B</math> est un '''morphisme entier''' ou que <math>A\to B</math> est une '''extension entière'''.

Contrairement au cas des extensions de corps, un morphisme d'anneaux <math>\phi:A\to B</math> n'est pas nécessairement injectif. Mais dire que {{mvar|b}} est entier sur {{mvar|A}} revient à dire que {{mvar|b}} est entier sur le sous-anneau <math>\phi(A)</math> de {{mvar|B}}. On peut donc toujours se restreindre aux morphismes injectifs. Mais il est plus commode de garder la définition du cas général (on peut ainsi dire qu'un morphisme surjectif est entier).

== Propriétés ==

On dit qu'un morphisme de ''A'' dans ''B'' est un '''morphisme fini''' s'il fait de ''B'' un [[Module sur un anneau|''A''-module]] de type fini, autrement dit, s'il existe <math>b_1,\ldots, b_n\in B</math> tels que <math>B=b_1A+\ldots +b_nA.</math> On dit aussi que ''B'' est '''fini sur''' ''A''.

{{Théorème|Les conditions suivantes sont équivalentes :
# ''b'' est entier sur ''A'',
# ''A''[''b''] est fini sur ''A'' (en tant que ''A''-module),
# il existe une sous-algèbre (unitaire) de ''B'' contenant ''b'' et finie sur ''A'' (en tant que ''A''-module),
# il existe un ''A''[''b'']-[[module fidèle]] et de type fini en tant que ''A''-module<ref>Cette dernière caractérisation est moins souvent utilisée, mais sert par exemple dans l'étude des [[Anneau de valuation discrète|anneaux de valuation discrète]].</ref>.}}

{{démonstration|contenu=
*<math>2\Rightarrow 3</math> et <math>3\Rightarrow 4</math> sont immédiats.
*<math>1\Rightarrow 2</math> :
Soit <math>P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_0\in A[X]</math> tel que <math>P(b)=0</math>. Soit <math>F(X)\in A[X]</math>. Par [[Division_d'un_polynôme|division euclidienne]] dans <math>A[X]</math> (c'est possible ici car <math>P(X)</math> est unitaire), on a <math>F(X)=Q(X)P(X)+R(X)</math> avec <math>R(X)</math> de degré au plus <math>n-1</math>. Donc <math>F(b)=R(b)</math> est une combinaison linéaire de <math>1, b, \ldots, b^{n-1}</math> et <math>A[b]</math> est de type fini.
*<math>4\Rightarrow 1</math> :
Soient ''D'' un tel module et <math>(d_1,\ldots,d_n)</math> une famille génératrice du ''A''-module ''D''. Pour tout ''i'', ''b.d''<sub>i</sub> est un élément de ''D'' et s'exprime comme une combinaison linéaire des <math>d_j</math> à coefficients dans ''A''. Il existe donc des éléments ''a''<sub>ij</sub> de ''A'' tels que :
<center><math>\forall i \in [1, n],\quad b.d_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}d_j</math>,</center>
ce qui s'écrit aussi
<center><math>\forall i \in [1, n],\quad \sum_{j=1}^n (\delta_{ij}b-a_{ij})d_j=0</math>,</center>
où δ<sub>ij</sub> désigne le [[symbole de Kronecker]].

Si l'on note ''d'' le déterminant <math>\det(\delta_{ij}b-a_{ij})</math>, la [[formule de Laplace]]<ref>Cet argument figure dans {{Samuel1}}, dans {{Ouvrage|id=Bourbaki AC|nom=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre commutative]]|page=V.1.1}}, dans {{Lang1}} et dans {{Ouvrage|lang=en|auteur=Pierre Samuel|auteur2=[[Oscar Zariski]]|titre=Commutative Algebra|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|éditeur=[[Springer Verlag]]|numéro dans collection=28|vol=1}}. C'est une variante de l'argument utilisé pour démontrer le [[lemme de Nakayama]]. Alternativement, on peut invoquer le [[Théorème de Cayley-Hamilton#Abstraction et généralisations|théorème de Cayley-Hamilton]] pour l'endomorphisme de ''D'' : « produit par ''b'' ».</ref> montre que l'on a ''d.d''<sub>i</sub> = 0 pour tout ''i''. Comme les ''d''<sub>i</sub> engendrent ''D'', on en déduit ''d.D'' = 0 donc (puisque ''D'' est fidèle) ''d'' = 0. Si l'on développe ce déterminant ''d'', on obtient bien une équation de la forme ''P''(''b'') = 0, où ''P'' est un polynôme unitaire à coefficients dans ''A''.}}

{{Théorème|Corollaire 1|L'ensemble des éléments de ''B'' entiers sur ''A'' est un sous-anneau de ''B'' contenant l'image de <math>\phi: A\to B</math>.
}}

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>Une preuve plus explicite [[Résultant#Applications|utilisant les résultants]] est présentée par {{Szpirglas}}, <!--aperçu indisponible https://books.google.fr/books?id=y6rHYbpf3SsC&pg=PT590-->chap. 10, § 4.2.2 dans le cas ''A'' = ℤ mais {{refsou|s'étend par généricité à tout anneau|date=juin 2012}}. Une [[Théorème fondamental des fonctions symétriques#Exemple 1|autre méthode repose sur le théorème fondamental des polynômes symétriques]].</ref>|contenu=
Si ''b'' et ''c'' sont entiers sur ''A'' alors la sous-algèbre ''A''[''b'', ''c''] est finie (en tant que module) sur ''A''[''b''] qui lui-même est fini sur ''A'', donc ''A''[''b'', ''c''] est fini sur ''A'' donc (d'après le théorème) tous ses éléments sont entiers sur ''A'', en particulier les éléments ''b – c'' et ''bc''.
}}

{{Théorème|Corollaire 2|
Si ''B'' est [[#Définition|entier sur ''A'']] et si ''c'' est un élément entier sur ''B'' d'une ''B''-algèbre, alors ''c'' est entier sur ''A''. Ainsi, un anneau entier sur un anneau entier sur ''A'' est entier sur ''A''.
}} 

{{Démonstration|contenu=
Soit <math>X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\ldots+b_0\in B[X]</math> un polynôme qui annule ''c''. Comme les <math>b_k</math> sont entiers sur ''A'', l'algèbre <math>C=A[b_0,\ldots,b_{n-1}]</math> est un ''A''-module de type fini (en itérant le raisonnement du corollaire précédent). Comme ''c'' est entier sur ''C'', l'algèbre ''D'' = ''C''[''c''] est un ''C''-module de type fini. On en déduit que ''D'' est un ''A''-module de type fini, et le théorème permet de conclure.
}}

* Si {{mvar|B}} est entier sur {{mvar|A}}, alors :
**pour toute {{mvar|A}}-algèbre {{mvar|C}}, le [[produit tensoriel d'algèbres|produit tensoriel]] <math>B\otimes_A C</math> est entier sur {{mvar|C}} (par exemple : ''B''[''X''] est entier sur ''A''[''X'']) ;
**si de plus {{mvar|C}} est entier sur {{mvar|A}}, alors <math>B\otimes_A C</math> est entier sur {{mvar|A}}.
*Si un polynôme de ''B''[''X''] est entier sur ''A''[''X''] alors ses coefficients sont entiers sur ''A''<ref>{{harvsp|Atiyah|Macdonald|1969|p=67-68}} (ex. 8 et 9).</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=Henri Lombardi|auteur2=Claude Quitté|titre=Algèbre commutative — Méthodes constructives — Modules projectifs de type fini|page=137|éditeur=Calvage & Mounet|année=2016|année première édition=2011|arxiv=1611.02942|présentation en ligne=https://webusers.imj-prg.fr/~rached.mneimne/CM/fiches-representants/Lombardi-Quitte-2010-03-press.pdf}}, lemme 8.4<!--http://hlombardi.free.fr/publis/ComplementsPTF-CM.pdf {{Ouvrage|lang=en|titre=Commutative algebra: Constructive methods. Finite projective modules|auteur=Henri Lombardi|auteur2=Claude Quitté|arxiv=1605.04832|page=?|year=2016|année première édition=2011}}-->.</ref>.

== Fermeture et clôture intégrales ==

D'après le '''corollaire 1''' ci-dessus, l'ensemble des éléments de {{mvar|B}} entiers sur {{mvar|A}} est une sous-{{mvar|A}}-algèbre de {{mvar|B}} (c'est-à-dire un sous-anneau de {{mvar|B}} stable par la multiplication par {{mvar|A}}). Cet ensemble est appelé la '''fermeture intégrale''' de {{mvar|A}} dans {{mvar|B}}. 

Si {{mvar|A}} est [[Anneau intègre|intègre]], sa fermeture intégrale dans son [[corps des fractions]] est appelée la '''clôture intégrale''' de {{mvar|A}}. En géométrie algébrique, cela correspond à la normalisation du schéma défini par {{mvar|A}}. Si {{mvar|A}} est égal à sa clôture intégrale, on dit que {{mvar|A}} est '''[[Anneau intégralement clos|intégralement clos]]''' ou '''normal'''.

D'après le corollaire 2 [[#Propriétés|ci-dessus]], la fermeture intégrale de {{mvar|A}} dans une extension de son corps des fractions est toujours intégralement close. En particulier :
*la clôture intégrale de {{mvar|A}} est intégralement close ;
*l'[[Anneau des entiers|anneau ''O{{ind|K}}'' des entiers]] d'un corps ''K'' est intégralement clos, donc la clôture intégrale d'un anneau d'[[Entier algébrique|entiers algébriques]] est réduite à l'anneau des entiers de son corps des fractions.<!--{{Lien web|url=https://math.stackexchange.com/questions/100639/what-are-the-integers-n-such-that-mathbbz-sqrtn-is-integrally-closed|langue=en|titre=What are the integers ''n'' such that ℤ[{{sqrt|''n''}}] is integrally closed?}}-->

'''Exemples'''

* L'anneau ℤ = ''O''{{ind|ℚ}} des entiers est intégralement clos, l'anneau ℤ[{{math|i}}] = ''O''{{ind|ℚ[i]}} des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]] aussi. En fait tout [[anneau principal]] est intégralement clos.
* Plus généralement (cf. [[Lemme d'Euclide|Lemme de Gauss]]) un anneau intègre [[anneau à PGCD|à PGCD]] — en particulier un [[anneau factoriel]] — est intégralement clos (par exemple un [[anneau local régulier|anneau régulier]], comme l'anneau de polynômes ''R''[''X''{{ind|1}}, … , ''X{{ind|n}}''] à coefficients dans un corps ou anneau principal ''R'').
*L'anneau ''O''{{ind|ℚ({{sqrt|''d''}})}} des entiers d'un [[corps quadratique]] ℚ({{sqrt|''d''}}) est bien connu : voir « [[Entier quadratique#Entier quadratique|Entier quadratique]] ». Par exemple, [[Anneau des entiers de Q(√5)|''O''{{ind|ℚ(√5)}} = ℤ[(1 + {{sqrt|5}})/2]]] et ''O''{{ind|ℚ(√–2)}} = ℤ[{{sqrt|–2}}].
*La clôture intégrale de ℤ[''t''{{2}}, ''t''{{3}}] est ℤ[''t'']<ref>Pour le calcul général de la clôture intégrale d'une algèbre engendrée par des [[Monôme (mathématiques)|monômes]], voir par exemple {{Ouvrage|lang=en|titre=Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry|collection=GTM|auteur=[[David Eisenbud]]|numéro dans collection=150|date=1995|url={{Google Livres|Fm_yPgZBucMC|page=139}}|page=139-140}}, exercice 4.22.</ref>.
* Un [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]] est intégralement clos ; une intersection d'anneaux de valuation aussi<ref>{{Lien web|url=http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/N_NERON-95.pdf|titre=Notions élémentaires de géométrie algébrique|auteur=[[André Néron]]|année=1964-65|éditeur=Publications mathématiques d'Orsay}}.</ref>.
{{démonstration|contenu=*Tout anneau de valuation est [[Anneau de Bézout|de Bézout]] donc à PGCD et a fortiori intégralement clos.
* Une intersection de sous-anneaux intégralement fermés dans ''K'' est clairement intégralement fermée.
}}
En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions<ref>{{harvsp|Bourbaki AC}} VI § 1 {{Numéro|3}}.</ref>.
* Un [[anneau de Dedekind]] est intégralement clos (par définition).
*{{Citation|Le passage aux [[localisation (mathématiques)|anneaux de fractions]] commute à la fermeture intégrale : soit ''A'' un sous-anneau d'un corps ''K'', et soit ''S'' une partie multiplicative de ''A'' ne contenant pas 0. Pour qu'un élément de ''K'' soit entier sur ''S''{{-1}}''A'', il faut et il suffit qu'il soit de la forme ''a' / s'' où ''a' '' est entier sur ''A'', et où ''s'' appartient à ''S''<ref>{{Serre3}} p. 22.</ref>.}} En particulier :
** si ''A'' est intégralement clos alors ''S''{{-1}}''A'' aussi ;
** dans ''K'', la [[extension algébrique#Définitions et premières propriétés|fermeture algébrique]] du corps des fractions de ''A'' est égale au corps des fractions de la fermeture intégrale de ''A''.
{{démonstration|
Si ''x'' est entier sur ''S''{{-1}}''A'' alors il vérifie une équation de la forme
<center><math>x^n+\frac{a_{n-1}}sx^{n-1}+\ldots+\frac{a_0}s=0\ \text{avec}\ a_k\in A\ \text{et}\ s\in S</math>.</center>
En multipliant par ''s''{{exp|n}}, on en déduit que ''sx'' est entier sur ''A''. La réciproque se prouve de même en reprenant ce calcul en sens inverse. Le premier cas particulier s'obtient en prenant ''K'' égal au corps des fractions de ''A'', et le second en prenant ''S'' égal à l'ensemble des éléments non nuls de ''A''.}}

En [[théorie algébrique des nombres]], on a par exemple fréquemment besoin de l'anneau des ''S-entiers'' d'un [[corps de nombres]] ''K'', où ''S'' est un [[ensemble fini]] de nombres premiers. Il s'agit des éléments de ''K'' annulés par un polynôme unitaire à coefficients dans ''S''<sup>–1</sup>ℤ, anneau des nombres rationnels dont le dénominateur n'est divisible que par les premiers de ''S'' (par exemple si ''S ''= {2, 3}, alors ''S''<sup>–1</sup>ℤ est l'ensemble des fractions de la forme ''c''/2<sup>''a''</sup>3<sup>''b''</sup>).

== Lien avec les extensions algébriques ==
Soient ''A'' un anneau intègre, ''K'' son corps des fractions et ''L'' une [[extension de corps|extension]] de ''K''.
* Si un élément de ''L'' est entier sur ''A'' alors les coefficients de son [[Polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] sur ''K'' sont entiers sur ''A''.
{{Démonstration/début}}
Si ''x'' est entier sur ''A'', il existe un polynôme unitaire ''Q'' ∈ ''A''[''X''] annulant ''x''. A fortiori, ''x'' est [[Élément algébrique|algébrique]] sur ''K'', et son polynôme minimal ''P'' divise ''Q'' dans ''K''[''X'']. Désignons par ''a'', ''b'', ''c'', … les racines de ''P'' (dans un [[corps de décomposition]]) ; ainsi, ''P''(''X'') = (''X – a'')(''X – b'')(''X – c'')… . Puisque ces racines sont aussi racines de ''Q'', elles sont toutes entières sur ''A'' ; par conséquent, [[Relations entre coefficients et racines|les coefficients de ''P'', qui sont des polynômes en ''a'', ''b'', ''c'', … ]], sont aussi entiers sur ''A'' (d'après le corollaire 1).
{{Démonstration/fin}}
* Si ''L'' est une [[extension finie]] de ''K'' et si ''B'' est la fermeture intégrale de ''A'' dans ''L'', l'une des deux conditions suivantes suffit pour que ''B'' soit fini sur ''A'' :
** l'extension est [[extension séparable|séparable]], ou
** ''A'' est une algèbre intègre de type fini sur un corps ou un anneau de Dedekind de caractéristique nulle.
:(Il existe des contre-exemples dans le cas général).

== Applications à la [[géométrie algébrique]] ==
{{Article détaillé|Théorème de Cohen-Seidenberg|}}
Soit <math>\phi: A\to B</math> un morphisme entier.

* Les [[dimension de Krull|dimensions de Krull]] vérifient l'inégalité <math>\dim B\le \dim A</math>.
* Le morphisme de schémas <math>f: {\rm Spec} B\to {\rm Spec} A</math> associé à <math>\phi</math> est fermé (c'est-à-dire qu'il envoie une partie fermée sur une partie fermée).
* Si de plus <math>\phi</math> est injectif, alors <math>f</math> est surjectif. Autrement dit, pour tout idéal premier <math>\mathfrak p</math> de {{mvar|A}}, il existe un idéal premier <math>\mathfrak q</math> de {{mvar|B}} tel que <math>\mathfrak p=\phi^{-1}(\mathfrak q)</math>. De plus, <math>\mathfrak p</math> est maximal si et seulement si <math>\mathfrak q</math> est maximal. Enfin, on a l'égalité des dimensions <math>\dim A=\dim B</math><ref>{{harvsp|Atiyah|Macdonald|1969|p=61-64}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

{{Portail|algèbre}}

{{DEFAULTSORT:Element entier}}
[[Catégorie:Algèbre commutative]]
[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]