Voir la source de Éléments propres (algèbre linéaire)

{{voir homonyme|Élément propre}}
[[File:Eigenvectors.gif|thumb|La matrice <math>\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)</math> a deux directions propres : elle multiplie par 3 les vecteurs colinéaires à <math>\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)</math> (en bleu) et par 1 ceux colinéaires à <math>\left(\begin{smallmatrix}1\\-1\end{smallmatrix}\right)</math> (en rose). Elle modifie la direction des autres vecteurs (en rouge).]]

Les notions de '''vecteur propre''', de '''valeur propre''', et de '''sous-espace propre''' s'appliquent à des [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes]] (ou opérateurs linéaires), c'est-à-dire des [[application linéaire|applications linéaires]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui-même. Elles sont intimement liées, et forment un pilier de la [[Réduction d'endomorphisme|réduction des endomorphismes]], partie de l'[[algèbre linéaire]] qui vise à décomposer de la manière la plus efficace possible l'espace en [[somme directe]] de [[Sous-espace stable|sous-espaces stables]].

{{Article détaillé|contenu=Pour un article plus large et généraliste sur le sujet, voir : '''[[Valeur propre, vecteur propre et espace propre]]'''.}}

== Définitions et propriétés ==
Dans toute la suite, on considère un espace vectoriel <math>E</math>, sur un [[corps commutatif]] <math>K</math>. Les éléments de <math>E</math> sont les [[vecteur]]s et ceux de <math>K</math> sont les [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]]. En pratique, le corps <math>K</math> est souvent le corps <math>\mathbb C</math> des [[nombre complexe|complexes]] et l'espace vectoriel est [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]]. On précisera dans chaque section, les restrictions éventuelles sur le corps ou la dimension. On notera <math>u</math> un endomorphisme de <math>E</math> et <math>\mathrm{Id}</math> l'endomorphisme [[Application identité|identité]].

=== Valeur propre ===
{{Théorème|énoncé=Un scalaire <math>\lambda</math> est une valeur propre de <math>u</math> s'il existe un vecteur <math>x</math> non nul tel que <math>u(x) = \lambda x</math>.

Les valeurs propres de <math>u</math> sont donc les scalaires <math>\lambda</math> tels que <math>u - \lambda\mathrm{Id}</math> n'est pas [[injection (mathématiques)|injectif]] (autrement dit son [[Application linéaire#Noyau et image|noyau]] n'est pas réduit au [[vecteur nul]]).|nom=Définition{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|p=51|loc=1.1 Définition}}}}

Les valeurs propres d'une matrice carrée <math>A</math> de taille <math>n</math> sont les valeurs propres de l'endomorphisme de <math>K^n</math> [[Matrice d'une application linéaire|de matrice]] <math>A</math> dans la [[base canonique]].

Si <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>, les valeurs propres de <math>u</math> (ou de sa matrice <math>A</math> dans n'importe quelle [[Base (algèbre linéaire)|base]]) :
*sont les [[Racine d'un polynôme|racines]] de leur [[#Polynôme caractéristique|polynôme caractéristique]] commun, <math>\det(XId - u) = \det(XI_n - A)</math> ;
*sont toutes les [[Valeur spectrale|valeurs spectrales]] de <math>u</math> (ou de <math>A</math>) : les éléments de leur [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] commun.

Exemples : 
* si <math>u = \mathrm{Id}</math> alors <math>u</math> ne possède qu'une valeur propre : <math>1</math>.
* si <math>u</math> est défini sur <math>\mathbb R^2</math> par <math>u(x_1,x_2)=(x_1 + 6x_2,x_1 + 2x_2)</math> alors <math>u</math> possède deux valeurs propres :
** <math>4</math> car <math>u(2 , 1) = (8 , 4) = 4(2 , 1)</math>
**<math>-1</math> car <math>u(-3 , 1) = (3, -1) = -1 (-3 , 1)</math>
** pas d'autre valeur propre puisque la dimension est <math>2</math>.

=== Vecteur propre ===
{{Théorème|énoncé=Soit <math>x</math> un vecteur non nul de <math>E</math>, <math>x</math> est un vecteur propre de <math>u</math> s'il existe un scalaire <math>\lambda</math> tel que <math>u(x) = \lambda x</math>. On dit que <math>x</math> est un vecteur propre associé à la valeur propre <math>\lambda</math>.|nom=Définition{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|p=51|loc=1.1 Définition}}}}
Les vecteurs propres (associés à une valeur propre <math>\lambda</math>) d'une matrice carrée <math>A</math> de taille <math>n</math> sont les vecteurs propres (associés à la valeur propre <math>\lambda</math>) de l'endomorphisme de <math>K^n</math> représenté par <math>A</math>.
* Un vecteur propre ne peut pas être associé à deux valeurs propres différentes
* Une famille de <math>k</math> vecteurs propres associés à <math>k</math> valeurs propres différentes constitue une [[famille libre]]{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=1.2 Proposition|p=51}}.

=== Sous-espaces propres ===
{{Théorème|énoncé=Soit <math>\lambda</math> une valeur propre de <math>u</math> ({{resp.}} <math>A</math>) ; alors l'ensemble constitué des vecteurs propres pour la valeur propre <math>\lambda</math> et du vecteur nul est appelé le sous-espace propre de <math>u</math> ({{resp.}} <math>A</math>) associé à la valeur propre <math>\lambda</math>.|nom=Définition{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|p=51|loc=1.1 Définition}}}}
*Le sous-espace propre associé à une valeur propre <math>\lambda</math> est le noyau de <math>u - \lambda \mathrm{Id}</math>. C'est donc un [[sous-espace vectoriel]].
* Par définition d'une valeur propre, un sous-espace propre n'est jamais réduit au vecteur nul.
*Pour une matrice carrée <math>A</math> de taille <math>n</math>, on trouve le sous-espace propre associé à une valeur propre <math>\lambda</math> en [[système d'équations linéaires|résolvant le système]] (homogène) de <math>n</math> [[Équation linéaire|équations linéaires]] à <math>n</math> inconnues dont l'écriture matricielle est <math>(A - \lambda I_n)v = 0</math>.
* Les espaces propres <math>E_i</math> de valeurs propres <math>\lambda_i</math> forment une somme directe de sous-espaces vectoriels stables par <math>u</math>{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=1.6 Proposition et 1.8 Remarque|p=53}}.<br />C'est une conséquence du [[lemme des noyaux]], appliqué aux polynômes <math>X - \lambda_i</math>, qui sont deux à deux premiers entre eux.<br />Cette somme directe des <math>E_i</math> est égale à <math>E</math> si et seulement si l'endomorphisme est diagonalisable.
* Si deux endomorphismes <math>u</math> et <math>v</math> [[Loi commutative#Éléments permutables|commutent]], alors [[Sous-espace stable#Commutation et stabilité|tout sous-espace propre de ''u'' est stable par ''v'']].

=== Polynôme caractéristique ===
{{Article détaillé|Polynôme caractéristique}}
On suppose ici que <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>.

On appelle « [[polynôme caractéristique]] » de l'endomorphisme <math>u</math>, le polynôme <math>\det(X\mathrm{Id} - u)</math>, et « polynôme caractéristique » d'une matrice carrée <math>A</math> d'ordre <math>n</math>, le polynôme caractéristique de l'endomorphisme de <math>K^n</math> canoniquement associé à <math>A</math>, c'est-à-dire le polynôme <math>\det(XI_n - u)</math>, où <math>I_n</math> est la [[matrice identité]] <math>n \times n</math>. Ce polynôme est de [[Degré d'un polynôme|degré]] <math>n</math>, donc a au plus <math>n</math> [[Racine d'un polynôme|racines]]{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=2.1 Définition|p=54}}.
* Soit ''a'' : ''E'' → ''F'' un [[Application linéaire#Cas particuliers|isomorphisme d'espaces vectoriels]], c'est-à-dire une application linéaire [[Bijection|bijective]], alors ''u'' et ''aua''{{-1}} ont même polynôme caractéristique et donc mêmes valeurs propres{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=2.2 Proposition|p=54}}.<br />En effet, <center><math>\det(\lambda{\rm Id}_F-aua^{-1})=\det(a(\lambda{\rm Id}_E-u)a^{-1})=\det(\lambda{\rm Id}_E-u).</math></center>
*Le polynôme caractéristique de <math>u</math> est donc égal à celui de [[Matrice d'une application linéaire|sa matrice]] <math>A</math> dans n'importe quelle [[Base (algèbre linéaire)|base]].
* Les racines du polynôme caractéristique de <math>u</math> (ou de <math>A</math>) sont ses valeurs propres{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=2.8 Proposition|p=55}}.<br />En effet, un endomorphisme est de déterminant nul si et seulement s'il est non injectif.
* Si ''<math>K</math> ''est [[Clôture algébrique|algébriquement clos]], ou encore si <math>K</math> est <math>\mathbb R</math> le corps des [[Nombre réel|nombres réels]] et <math>n</math> est impaire, alors <math>u</math> possède au moins une valeur propre.<br />Dire qu'un corps est algébriquement clos, c'est dire que tout polynôme non [[Polynôme constant|constant]] admet au moins une racine. Cette racine est nécessairement une valeur propre, d'après le premier point ci-dessus. D'autre part, un polynôme réel de degré impair a toujours une racine réelle.
L'ordre de [[Multiplicité (mathématiques)#Multiplicité d'une valeur propre|multiplicité algébrique d'une valeur propre]] <math>\lambda</math> est l'ordre de [[Racine d'un polynôme#Définitions connexes|multiplicité de la racine]] dans le polynôme caractéristique{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=2.11 Définition|p=56}}. C'est donc l'exposant de <math>(X - \lambda)</math> dans le polynôme caractéristique.
* Dans un [[corps algébriquement clos]] :
** Le déterminant est égal au produit des valeurs propres élevées à leur ordre de multiplicité algébrique ;
** La trace est égale à la somme des valeurs propres multipliées par leur ordre de multiplicité algébrique.

=== Polynôme minimal ===
{{Article détaillé|Polynôme minimal d'un endomorphisme}}
On se place ici dans le cadre d'un espace vectoriel <math>E</math> de dimension finie.

On appelle « polynôme minimal » de ''<math>u</math> ''le [[polynôme unitaire]] de plus petit degré qui annule <math>u</math>{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=3.1 Définition et 3.2 Remarque|p=4}}. Le polynôme minimal donne une relation de [[Indépendance linéaire|dépendance linéaire]] sur les puissances <math>u^0, u^1, u^2, \dots</math>, de l'endomorphisme, et réciproquement une telle relation de dépendance linéaire fournit un polynôme annulateur de <math>u</math>, le polynôme minimal en minimisant le degré et en prenant le coefficient&nbsp;1 pour la plus grande puissance de <math>u</math> qui intervient.

* Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres de <math>u</math>{{sfn|Mansuy|Mneimné|2022|loc=1.11 Proposition|p=54}}.
: Si le polynôme minimal se factorise <math>M = (X - \lambda)Q</math>, alors <math>M(u) = (u - \lambda\mathrm{Id})\circ Q(u)</math> est l'endomorphisme nul, alors que <math>Q(u)</math> ne l'est pas (car le degré de <math>Q</math> est trop bas). Par conséquent il existe des vecteurs non nuls dans l'image de <math>Q(u)</math>, qui sont des vecteurs propres pour <math>\lambda</math>.
* Plus généralement pour tout entier <math>i \geq 1</math>, le polynôme minimal est divisible par <math>(X - \lambda)^i</math> si et seulement si le noyau de <math>(u - \lambda \mathrm{Id})^i</math> est strictement plus grand que celui de <math>(u - \lambda \mathrm{Id})^{i-1}</math>. Par conséquent, la multiplicité <math>m</math> de <math>\lambda</math> comme racine du polynôme minimal est égale au plus petit exposant tel que le noyau de <math>(u - \lambda \mathrm{Id})^m</math> soit égal au sous-espace caractéristique associé à la valeur propre <math>\lambda</math>. On l’appelle multiplicité minimale de <math>\lambda</math>{{Refnec|date=11 juillet 2024}}.
* Soit ''a'' un [[automorphisme]] de <math>E</math>, alors <math>u</math> et <math>aua^{-1}</math> ont même polynôme minimal (et donc mêmes valeurs propres). Autrement dit le polynôme minimal est un [[Matrices semblables|invariant de similitude]] de l'endomorphisme{{Refnec|date=11 juillet 2024}}.<br />En effet, <math>P(aua^{-1})</math> est égal à <math>aP(u)a^{-1}</math>, pour tout polynôme <math>P</math>.
* Sur un corps algébriquement clos, le polynôme minimal (comme tout polynôme non nul) est [[Racine d'un polynôme#Définitions connexes|scindé]], et possède donc au moins une racine, qui est valeur propre de <math>u</math> (exception : si la dimension de ''E'' est nulle, le polynôme minimal est 1, tout comme le polynôme caractéristique, et <math>u</math> n'a pas de valeur propre).
* Le [[théorème de Cayley-Hamilton]] permet d'affirmer que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

=== Sous-espaces caractéristiques ===
{{Article détaillé|Sous-espace caractéristique}}
On suppose que ''<math>E</math> ''est de dimension finie et que <math>K</math> est algébriquement clos.

Si <math>\lambda</math> est une valeur propre de <math>u</math>, dont l'ordre de multiplicité est <math>\alpha_\lambda</math>, on appelle « sous-espace caractéristique » de ''<math>u</math> ''associé à la valeur propre <math>\lambda</math> le noyau de <math>(u - \lambda\mathrm{Id})^{\alpha_\lambda}</math>. On notera ce sous-espace caractéristique <math>E_\lambda</math>.
*<math>E_\lambda</math> est aussi le noyau de <math>(u - \lambda\mathrm{Id})^{\beta_\lambda}</math> où <math>\beta_\lambda</math> est l'ordre de multiplicité de <math>\lambda</math> dans le polynôme minimal.
*<math>E_\lambda</math> est stable par <math>u</math>.
*<math>\dim(E_\lambda) = \alpha_\lambda</math>.
* L'espace <math>E</math> est somme directe de ses sous-espaces caractéristiques.
* la restriction de <math>u</math> à <math>E_\lambda</math> a pour polynôme minimal <math>(X - \lambda)^{\beta_\lambda}</math>.

== Réduction d'endomorphisme ==
{{Article détaillé|Réduction d'endomorphisme}}
On suppose que ''<math>E</math> ''est de dimension finie.
L'étude des valeurs propres permet de trouver une forme plus simple des endomorphismes, c'est ce qu'on appelle leur réduction.
=== Diagonalisation ===
{{Article détaillé|Diagonalisation|Matrice diagonalisable}}
L'endomorphisme est entièrement déterminé par ses vecteurs propres et ses valeurs propres associées s'il est diagonalisable, c'est-à-dire s'il existe une base de vecteurs propres. Des exemples numériques sont donnés dans l'article « [[Matrice diagonalisable]] ». Les critères suivants sont tous des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme d'un [[espace vectoriel de dimension finie]] soit diagonalisable :

* Il existe une base de vecteurs propres
* la [[Sous-espace vectoriel#Somme de sous-espaces vectoriels|somme]] des espaces propres est l'espace entier
* la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l'espace entier
* le polynôme minimal est scindé sur <math>K</math> et à racines simples. (''Démonstration dans [[Polynôme d'endomorphisme#Diagonalisabilité|Polynôme d'endomorphisme]].'')
* tout sous-espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.
* toute [[Matrice d'une application linéaire|représentation matricielle]] <math>M</math> de <math>u</math> est diagonalisable, c'est-à-dire peut s'écrire sous la forme <math>M = PDP^{-1}</math>avec <math>P</math> et <math>D</math> matrices respectivement [[Matrice inversible|inversible]] et [[Matrice diagonale|diagonale]].

À ces propriétés équivalentes s'ajoutent les implications suivantes :
* S'il existe <math>\dim(E)</math> valeurs propres distinctes, alors ''<math>u</math> ''est diagonalisable.
* Si ''<math>u</math> ''est diagonalisable, alors son polynôme caractéristique est scindé.

Dans le cas où le corps est <math>\mathbb C</math>, cette propriété est [[Ensemble négligeable|presque partout]] vraie au sens de la [[mesure de Lebesgue]]. De plus, dans l'[[espace topologique]] des endomorphismes de ''<math>E</math> '', le sous-ensemble de ceux qui sont diagonalisables est alors [[Partie dense|dense]].

=== Décomposition de Dunford ===
{{Article détaillé|Décomposition de Dunford}}
Si le polynôme minimal de ''<math>u</math> ''est scindé, alors ''<math>u</math> ''peut s'écrire sous la forme <math>u = d + n</math> avec <math>d</math> [[Diagonalisation|diagonalisable]] et <math>n</math> [[endomorphisme nilpotent|nilpotent]] tels que <math>dn = nd</math>. De plus, <math>d</math> et <math>n</math> sont des polynômes en <math>u</math>.

=== Représentation de Jordan ===
{{Article détaillé|Réduction de Jordan}}
On suppose que ''<math>K</math> ''est algébriquement clos.

La représentation de Jordan prouve qu'alors, tout endomorphisme ''<math>u</math> ''de ''<math>E</math> ''est [[Trigonalisation|trigonalisable]]. Elle démontre que la restriction de ''<math>u</math> ''au sous-espace caractéristique associé à la valeur propre <math>\lambda</math> possède une représentation [[Matrice par blocs|formée de blocs]] de la forme
<center><math>
J_k(\lambda)= \begin{pmatrix} 
    \lambda & 1 &  &  &  &  \\
     & \lambda & 1 &  & (0) &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots &  \\
     & (0) &  &  & \lambda & 1 \\
     &  &  &  &  & \lambda \\
\end{pmatrix}</math></center>
appelés « blocs de Jordan »
et que l'endomorphisme possède une représentation matricielle sous la forme 
<center><math>
\begin{pmatrix} 
J_{k_1}(\lambda_1)&&&&\\
&J_{k_2}(\lambda_2)&&&\\
&&\ddots&&\\
&&&\ddots&\\
&&&&J_{k_r}(\lambda_r)\\
\end{pmatrix}</math></center>
où les scalaires <math>\lambda_i</math> (non nécessairement distincts) sont les valeurs propres de <math>u</math>.

== Références ==
<references />

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Valeur propre, vecteur propre et espace propre]]
*[[Théorème de Gerschgorin]]
*[[Identité vecteur propre-valeur propre]]

=== Bibliographie ===
* {{Lang1}}
* {{Brezis}}
* {{Rudin2}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Nelson Dunford]]|prénom2=Jacob|nom2=Schwartz|lien auteur2=Jacob T. Schwartz|titre=Linear Operators|sous-titre=Part I General Theory|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley-Interscience]]|année=1988}}
* {{Ouvrage|auteur1=Roger Mansuy|auteur2=Rached Mneimné|titre=Algèbre linéaire|sous-titre=Réduction des endomorphismes|éditeur=[[De Boeck]]|année=2022|isbn=978-2-8073-3661-2}}

{{Palette|Algèbre linéaire}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Application linéaire]]

[[de:Eigenvektor]]
[[en:Eigenvector]]
[[ja:固有値問題]]
[[pl:Wartości własne]]