Voir la source de Énergie cinétique

{{à sourcer|date=décembre 2017}}
{{Infobox Grandeur physique
| nom          = Énergie cinétique
| image        = Abrissbirne.jpg
| légende      = L'énergie cinétique du boulet est utilisée pour détruire un édifice. 
| unités       = joule (J)
| dimension    = {{dimension|kg=1|m=2|s=-2|A=|K=|mol=|cd=}}
| symbole   = <math> \mathrm E_c</math> , <math>\mathrm E_k</math> ou <math>T</math>
| extensive    = oui
| conservative = Non
| nature       = scalaire
| expressions  = <math> \mathrm E_c \approx \frac{1}{2} m v^2</math><br/>
<math>\mathrm E_{r}\equiv </math>[[Moment cinétique|<math>\frac{1}{2}\vec{L_{G}}</math>]][[Vecteur vitesse angulaire|<math>\cdot \vec{\omega}</math>]]
}}

En [[physique]], l'{{terme défini|énergie cinétique}} est l’[[énergie (physique)|énergie]] que possède un corps du fait de son [[mouvement (mécanique)|mouvement]] dans un [[référentiel (physique)|référentiel]] donné. Dans le [[Système international d'unités|Système international]], son [[unité de mesure]] est le [[joule]] ({{unité|J}}).

L'énergie cinétique d'un [[point matériel]] dans un [[référentiel galiléen]] est égale à la somme des [[travail d'une force|travaux]] des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un [[invariance de Lorentz|invariant galiléen]], sa valeur dépend du [[référentiel (physique)|référentiel]] choisi.

[[Fichier:Wooden roller coaster txgi.jpg|vignette|Les wagons des [[montagnes russes]] possèdent une énergie cinétique maximale en bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique est convertie en [[énergie potentielle de pesanteur|énergie potentielle]].]]

== Histoire ==
{{Article détaillé|Force vive (physique)}}

L'expression ''énergie cinétique'' provient du [[grec ancien|grec]] {{grec ancien|ἐνέργεια|enérgeia}}, « force en action » et {{grec ancien|κίνησις|kínêsis}}, « mouvement ».

[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]], s'opposant ainsi à [[René Descartes|Descartes]] qui estimait que la [[quantité de mouvement]] se conservait toujours, développa l'idée de la « [[Force vive (physique)|force vive]] » (''{{langue|la|vis viva}}''), à laquelle il attribuait la valeur <math>mv^2</math>. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.

{{Bloc citation|Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la [[Force vive (physique)|force]] (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la [[Force vive (physique)|force vive]] qui se conserve<ref>{{Chapitre |langue=en |prénom1=G. W. Leibniz |nom1=von Freiherr |lien auteur1=Gottfried Wilhelm Leibniz |titre chapitre=Specimen dynamicum |auteurs ouvrage=Philip P. Wiener |titre ouvrage=Leibniz Selections |traduction titre=Sélections de Leibniz |lieu=New York |éditeur=Charles Scribner's Sons |année=1979 |année première édition=1951 |réimpression= |pages totales=606 |format={{Unité|21|cm}} |isbn=9780684175959 |oclc=12309633 |présentation en ligne= |lire en ligne= |consulté le=20 mai 2020 |partie=Part 2: First Principles: Foundations of the Sciences, Chapter 5 |page début chapitre= |passage= }}.</ref>…}}

== Définition ==
=== Pour un point ===

Dans la [[relativité restreinte|théorie de la relativité]], l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> d'un point matériel de [[masse|masse inerte]] <math>m</math><ref group=N>Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.</ref> se déplaçant à une vitesse <math>v</math> dans un référentiel donné vaut :

<center><math>\mathrm E_c=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2 \ \ </math> avec <math>\ \ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>
</center>

Le coefficient <math>\gamma</math> (« [[gamma]] ») est le [[facteur de Lorentz]], <math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]].

Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le [[développement limité]] de l'énergie cinétique <math>\mathrm E_c</math> est :
<center><math> \mathrm E_c \approx \frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2}+\frac{5}{16}\frac{mv^6}{c^4}+\dots \approx\frac{1}{2}mv^2 </math></center>

Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de {{unité|1|kg}} allant à la vitesse de {{unité|10|km/s}}, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ <math>10^{-9}</math>, ce qui en fait une très bonne approximation.

=== Pour un solide ===
On peut assimiler un corps à un système de points matériels <math>M_i</math> de masses <math>m_i</math> et de vitesses <math>v_i</math>. En notant <math>M</math> la masse totale du corps, on a <math>M=\sum_{i} m_{i}</math>.

Conformément à l'[[extensivité et intensivité (physique)|extensivité]] de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :
<center><math>\mathrm E_{c}=\sum_{i} \mathrm E_{{c},i} = \sum_{i} \frac{\gamma_{i}^2}{\gamma_{i}+1} m_{i} v_{i}^{2} \approx \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}</math></center>
Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des [[mécanique des milieux continus|milieux continus]] et en intégrant sur le volume, on obtient :
<center><math>\mathrm E_{c}=  \frac{1}{2} \iiint \rho v^{2} \mathrm{d} \tau </math></center>
En notant :
* [[rhô|<math>\rho</math>]] la [[masse volumique]] locale ;
* <math>v</math> la vitesse locale ;
* <math>\mathrm{d}</math>[[tau|<math>\tau</math>]] le [[Volume|volume élémentaire]].

=== Mise en évidence ===

Dans le domaine de validité de la [[mécanique newtonienne]], la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un [[point matériel]] de masse <math>m</math> constante.

La [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|relation fondamentale de la dynamique]] s'écrit :
<center><math>m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}</math></center>
avec <math>\sum \vec{F}</math></font> la résultante des [[force (physique)|forces]] appliquées au point matériel. Elle comprend les [[force d'inertie|forces d'inertie]] dans le cas d'un [[référentiel (physique)|référentiel]] [[référentiel non inertiel|non galiléen]].

En effectuant le [[produit scalaire]] par la vitesse <math>\vec{v}</math> du point, il vient :
<center><math>m\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\left (\sum \vec{F}\right ) \cdot \vec{v}</math></center>

<center>comme <math>\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}v^{2}\right) </math>, alors <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}mv^{2}\right )=\sum \left (\vec{F}\cdot \vec{v}\right )</math></center>

On reconnait dans le membre de gauche la quantité <math>\mathrm E_{c}\equiv \frac{1}{2}mv^{2}</math> qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des [[puissance (physique)|puissances]] <math>\vec{F} \cdot \vec{v}</math> des forces appliquées au point.

On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que <math>\int \mathrm{d}\left (\frac{1}{2}mv^{2}\right )=\int m\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>, puisque <math>\mathrm{d}(v^{2})=2\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>. En introduisant la variation infinitésimale de la [[quantité de mouvement]] du corps <math>\mathrm{d}\vec{p}\equiv m\mathrm{d}\vec{v}</math>, on obtient :
<center><math>\Delta \mathrm E_c = \int \vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{p}</math></center>
où <math>\Delta \mathrm E_c</math> désigne la variation d'énergie cinétique.

Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :

<center><math>\Delta \mathrm E_c=\int \vec{v}\cdot \mathrm{d}(m_\gamma\vec{v})=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^{2}</math></center>

== Théorèmes de l’énergie cinétique ==

Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la [[mécanique newtonienne|mécanique classique]], permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux [[travail d'une force|travaux]] des [[force (physique)|forces]] auxquelles celui-ci a été soumis.

===Pour un point===

Dans un [[référentiel galiléen]], pour un [[point matériel]] de masse constante parcourant un [[intégrale curviligne|chemin]] <math>\Gamma</math> entre une position <math>A</math> et une position <math>B</math> :

{{énoncé|La variation d’énergie cinétique du point entre <math>A</math> et <math>B</math> est égale à la somme des travaux <math>W_{\Gamma}</math> des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin <math>\Gamma</math> :
<center><math>  \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma}}</math></center>}}

avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du point respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>, ce qui découle du caractère exact de la [[différentielle]] de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces [[force conservative|conservatives]] et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures.

On est déduit le théorème de la [[puissance (physique)|puissance]] cinétique :
<center><math> P = \frac{\mathrm{dE}_c}{\mathrm{d}t} </math></center>

===Pour un solide===

Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable<ref group=N>Dans le cas d'un solide indéformable, les puissances et travaux intérieurs sont nuls, et on est ramené au cas du point matériel.</ref> de masse constante parcourant un [[intégrale curviligne|chemin]] <math>\Gamma</math> reliant un point <math>A</math> à un point <math>B</math> : 

{{énoncé|La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures <math>W_{\Gamma}^{int}</math> et extérieures <math>W_{\Gamma}^{ext}</math> qui s'exercent sur et dans le solide le long de <math>\Gamma</math> :
<center><math>  \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}= \sum {W_{\Gamma}^{ext} + W_{\Gamma}^{int}} </math></center>}}

avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>. Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives.

On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :
<center><math> P_{ext} + P_{int} = \frac{\mathrm{dE}_c}{\mathrm{d}t} </math></center>

=== Démonstration pour un point ===
D’après la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|deuxième loi de Newton]], l’[[accélération]] du [[barycentre (physique)|centre de gravité]] est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :
<center><math>m\,\vec{a}=\vec{F}</math></center>
Pendant une durée <math>\mathrm{d}t</math>, le point se déplace de <math>\mathrm{d}\vec{\ell}=\vec{v}\, \mathrm{d}t</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :
<center><math>\delta W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=m\,\vec{a}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}\, \mathrm{d}t=m\,\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math></center>
Si le point parcourt un chemin <math>\Gamma</math> d’un point <math>A</math> à un point <math>B</math>, alors le travail total s’obtient en [[intégration (mathématiques)|intégrant]] le long du chemin :
<center><math> W=\int_{\Gamma}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\int_{\Gamma} m \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math></center>
La quantité <math>\vec{v}\cdot \mathrm d \vec{v}</math> étant une [[forme différentielle exacte|différentielle exacte]], l’intégrale ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math> et peut donc être obtenue explicitement :
<center><math>W=m\,\int_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v} = m\,\left (\int_{v_{xA}}^{v_{xB}}v_x\, \mathrm{d}v_x+\int_{v_{yA}}^{v_{yB}}v_y\, \mathrm{d}v_y+\int_{v_{zA}}^{v_{zB}}v_z\, \mathrm{d}v_z\right )=m\,\left (\left[ \frac{v_x^2}{2} \right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[ \frac{v_y^2}{2} \right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[ \frac{v_z^2}{2} \right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right )</math></center>
<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left[\left (v_{xB}^2+v_{yB}^2+v_{zB}^2\right ) - \left (v_{xA}^2+v_{yA}^2+v_{zA}^2\right )\right]</math></center>
<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\,\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) = \mathrm E_{c_B}- \mathrm E_{c_A}</math></center>

== Théorème énergétique de König ==
{{Article détaillé|théorèmes de König (mécanique)}}

Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique.

=== Énoncé ===
Pour un solide de masse totale <math>m</math>, considéré comme un ensemble de [[point matériel|points matériels]] :
{{énoncé|L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit comme la somme de deux termes :
:<math>E_\mathrm c=\frac12 mv^2+E_\mathrm c^*\ \ </math> avec <math>\ \ E_\mathrm c^*=\frac12 \sum_{i} m_i v_i^2</math>}}
où :
:<math>v</math> désigne la vitesse du [[barycentre (physique)|barycentre]] du solide dans le [[référentiel (physique)|référentiel]] d'étude <math>R</math> ;
:<math>v_i</math> désigne la vitesse de chaque point matériel dans le [[référentiel barycentrique]] <math>R^*</math>, et <math>m_{i}</math> sa masse.

L'énergie <math>E_\mathrm c^*</math> est appelée ''énergie cinétique propre'' du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les [[rotation (physique)|rotations]] et les dilatations. Le premier terme correspond à une ''énergie cinétique de translation'' qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide.

=== Pour un solide indéformable ===

Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de [[torsion]]. Il peut cependant effectuer une [[rotation (physique)|rotation]] dans le référentiel envisagé.

Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son [[barycentre (physique)|centre de masse]] dans <math>R</math> et un [[mouvement de rotation]] autour d'un axe instantané <math>\Delta</math> dans le référentiel barycentrique <math>R^*</math>.

{{énoncé|L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :
<center><math> \mathrm E_c = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \vec{L} \cdot \vec{\omega} </math></center>}}
En notant :
* <math>v</math> la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude <math>R</math> ;
*<math>\vec L</math> le vecteur [[moment cinétique]] du solide par rapport à son centre de masse ;
* <math>\vec{\omega}</math> le vecteur [[vitesse angulaire]] instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel.

L'énergie cinétique propre du solide devient alors une ''énergie cinétique de rotation'' ou encore une ''énergie cinétique angulaire''.

Si de surcroît, l'axe de rotation <math>\Delta</math> est fixe dans le référentiel barycentrique <math>R^*</math> bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie <math>\vec{L}=I_{\Delta}\vec{\omega}</math>, où <math>I_{\Delta}</math> est le [[moment d'inertie]] du solide par rapport à l'axe <math>\Delta</math>. Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme <math> E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I_{\Delta} \omega^2 </math>.

== Lien avec l'énergie thermique ==
{{Article détaillé|Énergie thermique}}

L’énergie thermique est l’énergie associée à l'agitation des [[molécule]]s et des [[atome]]s qui forment la matière. Pour un [[gaz parfait]], l'expression de l'énergie thermique prend une forme analogue à l'énergie cinétique : 
<center><math> E_{th} = \frac{1}{2} mu^2 = \frac{3}{2} k_B T </math></center>
En notant :
*<math>u</math> la [[vitesse quadratique moyenne]] ;
*<math>T</math> la température ;
*<math>k_B</math> la [[constante de Boltzmann]].

De nature [[mécanique quantique|quantique]], l’[[énergie thermique]] se transforme en [[énergie électromagnétique]] par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement du [[corps noir]]. La relation entre la [[transfert thermique|chaleur]], la [[température]] et l’énergie cinétique des atomes et des [[molécule]]s est l’objet de la [[mécanique statistique]] et de la [[thermodynamique]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}
{{Références| groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorie cinétique des gaz]]
* [[Énergie potentielle]]
* [[Énergie mécanique]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}

{{Portail|physique|génie mécanique|énergie}}
[[Catégorie:Mécanique classique]]
[[Catégorie:Énergie (physique)]]