Voir la source de Équation

{{En-tête label|AdQ|année=2009}}
[[Fichier:First Equation Ever.png|vignette|upright=1.2|<center><math>14\,x+15=71</math></center>[[Robert Recorde]] est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe <math>\textbf{=}</math> pour désigner une égalité<ref>Cette équation provient du livre de Recorde {{en}} ''{{Lang|en|The Whetstone of Witte}}'', publié en 1557,[https://archive.org/details/TheWhetstoneOfWitte/page/n237 p. 237] . Voir à ce sujet {{MacTutor|id=Recorde|title=Robert Recorde}}.</ref>.]]
[[Fichier:Attracteur étrange de Lorenz.png|vignette|upright=1.2|Un [[système dynamique]] correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée [[Attracteur|attracteur étrange]].]]

Une '''équation''' est, en [[mathématiques]], une '''relation''' (en général une égalité) contenant une ou plusieurs [[variable (mathématiques)|variables]]. ''Résoudre'' l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée ''[[Inconnue (mathématiques)|inconnue]]'' et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée ''solutions''. À la différence d'une [[Identité (mathématiques)|identité]], une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable<ref>Cette définition s'inspire de {{chapitre
|url=http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/files/lachaud/2004a.pdf<!--http://www.universalis.fr/encyclopedie/NT01240/EQUATION_mathematique.htm-->
|titre=Équation, mathématique
|prénom=Gilles|nom1=Lachaud
|lien titre ouvrage=Encyclopædia Universalis|titre ouvrage=Encyclopædia Universalis
}}.</ref>{{,}}<ref>Une autre source propose une définition du même esprit : {{Citation étrangère|langue=en|A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, '''identities''' and '''conditional equations''' (or usually simply "equations")}}. {{en}} « ''Equation'' », dans ''{{Lang|en|Mathematics Dictionary}}'', {{Lien|lang=de|Glenn James}} et {{Lien|lang=de|Robert C. James}} (éd.), Van Nostrand, 1968, {{3e}} éd. ({{1re}} éd. 1948), {{p.|131}}.</ref>.

Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques ; les techniques associées à leur traitement diffèrent selon leur type.

L'[[algèbre]] étudie surtout deux familles d'équations : les ''[[équation polynomiale|équations polynomiales]]'' et parmi elles les ''[[équation linéaire|équations linéaires]]''. Les équations polynomiales sont de la forme <math>P(X)=0</math>, où <math>P</math> est un [[polynôme formel|polynôme]]. Des méthodes de transformation et de [[Changement de variable (simplification algébrique)|changement de variable]] permettent de venir à bout des plus simples. Les équations linéaires sont de la forme <math>a(x)+b=0</math>, où <math>a</math> est une [[application linéaire]] et <math>b</math> un [[vecteur]]. On utilise pour les résoudre des techniques [[algorithmique]]s ou [[Géométrie|géométriques]], issues de l'[[algèbre linéaire]] ou de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]]. Modifier le [[ensemble de définition|domaine de définition]] de la variable peut changer considérablement la nature de l'équation. L'algèbre étudie également les [[équation diophantienne|équations diophantiennes]], équations dont les [[coefficient]]s et les solutions sont des [[Entier relatif|entiers]]. Les techniques utilisées sont différentes et essentiellement issues de l'[[arithmétique]]. Ces équations sont en général difficiles, on cherche souvent uniquement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.

La [[géométrie]] utilise les équations pour décrire et caractériser des [[Figure (géométrie)|figures]]. L'objectif est encore différent des cas précédents, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les [[équation cartésienne|cartésiennes]] et les [[équation paramétrique|paramétriques]].

L'[[analyse (mathématiques)|analyse]] étudie des équations du type <math>f(x)=0</math>, où <math>f</math> est une fonction ayant certaines propriétés comme la [[Continuité (mathématiques)|continuité]], la [[Dérivée|dérivabilité]] ou encore le fait d'être [[application contractante|contractante]]. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi précisément que possible.

Un [[système dynamique]] est défini par une équation dont les solutions sont, soit des [[suite (mathématiques)|suites]], soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales : l'''état initial'' et le ''comportement asymptotique''. Pour chaque état initial admissible, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Parfois, une petite modification de l'état initial modifie peu la solution. Ce n'est pas toujours le cas, cette ''sensibilité'' à la condition initiale est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore [[Asymptote|asymptotique]] d'une solution correspond à la forme de la solution quand la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la deuxième question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une [[fonction périodique]] ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement [[Théorie du chaos|chaotique]], semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.

: ''Remarque'' : Le terme [[inéquation]] correspond à une définition différente<ref>Voir, par exemple la définition proposée dans l'article « [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://fr.encarta.msn.com/dictionary_2016012982_2016013586/nextpage.html&title=In%C3%A9quation Inéquation] » de l'encyclopédie en ligne ''[[Encarta]]''.</ref>. Si dans certains cas particuliers<ref>C'est le cas par exemple, pour certaines équation étudiés dans l'enseignement pré-universitaire : ''[http://mathocollege.free.fr/brevet/equ1/equ_ineq.html Équations - Inéquations]'' par L. Pecqueux, sur le site mathocollege.free.</ref> les sujets sont connexes, dans le cas général ils sont suffisamment éloignés pour mériter des traitements distincts. Les inéquations sont en conséquence traitées dans un article séparé.

== Préambule ==
=== Définitions : équation, inconnue et solution ===
{{Article détaillé|Inconnue (mathématiques){{!}}Inconnue}}

{| width=100% class="wikitable"
|+ L'exemple suivant est extrait<ref>{{en}} {{Lang|en|''The Algebra of Mohammed Ben Musa'', edited and translated by Frederic Rosen}}, 1831 {{Lire en ligne|lien=https://archive.org/stream/algebraofmohamme00khuwuoft#page/n9/mode/2up}}, {{p.|104}}.</ref> du [[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|livre]] d'[[Al-Khawarizmi]], l'un des fondateurs de l'algèbre.
|{{Citation|Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à un homme, une donation égale à la part d'un de ses fils et, à un autre, le quart de la différence entre le tiers de l'héritage et la première donation.}}. Si <math>x</math> désigne l'inconnue, ici la fraction de l'héritage que reçoit un fils, la question se traduit par l'équation suivante, où la valeur <math>1</math> à droite désigne <math>\textbf 1</math> héritage :
<center><math>(1)\quad 4x + x + \frac 14\left(\frac 13-x\right)=1.</math></center>
|}

Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité <math>(1)</math>, est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue <math>x</math> pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'[[Inconnue (mathématiques)|inconnue]] permet de résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour l'''Encyclopédie Soviétique de Mathématiques'', une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème<ref>{{EncycloMath|id=Equation|titre=Equation}} - ''An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia'', Reidel, 1988, vol. 3 {{ISBN|1556080107}}, {{p.|399}}. L'article, non signé, précise être « basé sur l'article du même nom de la Grande Encyclopédie Soviétique. »</ref>{{,}}<ref>On trouve encore une définition ou l'idée de question est sous-jacente dans l'article « [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761565434/%25C3%25A9quations.html&title=Encyclop%C3%A9die%20Encarta équations] » d'''Encarta'' : {{Citation|égalité entre deux expressions mathématiques dont on cherche si elle est vérifiée pour certaine(s) valeurs(s) de la variable appelée inconnue.}}</ref>. L'équation <math>f(x)=g(x)</math> correspond à la question : pour quelle valeur de <math>x</math>, l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont parfois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.

Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en [[géométrie]], l'équation du [[cercle]] ne fait pas référence à une question<ref>Voir par exemple : ''[http://homeomath.imingo.net/cercle1.htm Équation cartésienne d'un cercle dans le plan]'', sur le site homeomath.</ref>. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables généralement notées <math>x</math> et <math>y</math>.

=== Paramètre ===
Au {{s-|XVI}}, [[François Viète|Viète]], un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équations<ref>J. P. Guichard ''CultureMATH. François Viète'' ENS Ulm Paris (2007) (partiellement disponible sur [http://www.cc-parthenay.fr/parthenay/creparth/GUICHARDJp/inventeur/Inventeur.html Viète inventeur de l'algèbre nouvelle])</ref>. Pour en comprendre l'intérêt, illustrons-le par une question.

{| width=100% class="wikitable"
|+ Exemple d'équation paramétrée.
|-
|[[Fichier:Équation-paramétrée.svg|upright=0.9|vignette|Le graphe de la fonction <math>f</math> est la [[parabole]] illustrée en bleu sur la figure, celui de <math>g_1(x)</math> la droite illustrée en rouge, celui de <math>g_{-2}(x)</math> en violet et celui de <math>g_{-1}(x)</math> en vert.]]
Quel est le nombre de solutions des équations réelles<ref>Cet exemple s'inspire de F. Vandebrouck, ''[http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/SujetsAvecParametres.pdf Introduction de la notion de paramètre au lycée]'', [[IREM]] de [[Paris VII]], 2008.</ref> suivantes ?
<center><math>(1)\;x^2=2x + 1,\; (2)\;x^2=2x -2 \;\text{et}\; (3)\;x^2=2x -1 . </math></center>

Pour trouver ce nombre, on considère la fonction <math>f(x)</math>, qui à <math>x</math> associe <math>x^2</math>, dont le graphe est la [[parabole]] représentée à droite en bleu. La fonction <math>g_1(x)</math> associe à <math>x</math> la valeur <math>2x+1</math> (la droite rouge). Les solutions de l'équation sont les abscisses des intersections de la parabole avec la droite rouge, la représentation graphique montre l'existence de deux solutions, car il existe deux intersections. Pour l'équation <math>(2)</math>, considérons la fonction <math>g_{-2}(x)</math> qui à <math>x</math> associe <math>2x - 2</math> (la droite violette). Elle ne rencontre pas la parabole et l'équation n'admet pas de solution. Pour traiter le dernier cas, on considère la fonction <math>g_{-1}(x)</math> qui à <math>x</math> associe <math>2x - 1</math> (la droite verte) ; c'est encore une droite parallèle à la précédente et cette fois-ci il existe une unique solution.

Une manière globale de résoudre ces trois questions est de faire appel à une lettre <math>a</math> qui représente un nombre quelconque. Les trois équations précédentes correspondent à la suivante, si <math>a</math> est égal à <math>1,-2</math> ou encore à <math>-1</math> :
<center><math>(4)\quad x^2=2x +a . </math></center>
|}

L'équation <math>(4)</math> ci-contre est dite « équation paramétrée » et la lettre <math>a</math> désigne le « paramètre ». Son usage permet d'étudier les équations par familles.

=== Problèmes soulevés par une équation ===
[[Fichier:Fonction continue sur un compact.jpg|upright=1.1|vignette|Démontrer l'existence d'une solution au [[théorème isopérimétrique|problème isopérimétrique]], revient à montrer l'existence d'un sommet sur la figure. À chaque couple <math>(C, \varphi)</math>, on associe l'aire du triangle de périmètre <math>3</math>, contenant un côté de longueur <math>C</math> et un angle adjacent à ce côté égal à <math>\varphi</math>. Les mathématiciens de l'antiquité ne disposaient pas d'outils pour résoudre cette question<ref group="Note">En termes modernes, on remarque que la fonction est continue et définie sur un [[espace compact|compact]], ce qui montre l'existence d'un sommet (cf. l'article « [[Théorème isopérimétrique]] »).</ref>.]]

Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies à l'aide d'une fonction <math>f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math>, c'est-à-dire de l'ensemble des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit <math>f(x)=0</math> (plus généralement, une équation de la forme <math>g(x)=h(x)</math> sera ramenée à la forme <math>f(x)=0</math> en posant <math>f=g-h</math>'')''. On commence parfois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donnée par l'étude de la fonction <math>f</math>, ce cas est étudié dans le paragraphe sur les [[#Zéro d'une fonction|zéros d'une fonction]].

Parfois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de la ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le [[isopérimétrie|problème isopérimétrique]] du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur <math>3</math>) de plus grande aire possible. Si <math>T</math> désigne l'inconnue, ici un triangle de périmètre <math>3</math>, <math>S(T)</math> la fonction qui à un triangle associe son aire et <math>m</math> la [[Borne (mathématiques)|borne supérieure]] des surfaces des triangles de périmètre <math>3</math>, la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit :
<center><math>S(T) = m . </math></center>

Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse possible est le [[triangle équilatéral]]<ref>Ce résultat est attribué à [[Zénodore (mathématicien)|Zénodore]] au {{-s-|II}} : {{en}} [[Paul J. Nahin]], ''When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible'', [[Princeton University Press]], 2007 {{ISBN|978-0-69113052-1}}, [https://books.google.fr/books?id=Nma2TjY5L28C&pg=PA47 {{P.|47}}].</ref>. En revanche, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au {{s-|XVIII}}<ref group="Note">Le raisonnement de l'époque consistait à montrer que toute solution est nécessairement un triangle dont deux côtés adjacents sont de longueurs égales. Ce résultat montre l'unicité d'une éventuelle solution, mais pas son existence. François Dress indique {{p.|43}} : {{Citation|O. Perron a fait observer que le même schéma de démonstration prouverait que "le nombre 1 est le plus grand nombre entier", puisqu'à tout nombre entier ''a'' différent de 1 on peut en effet associer un nombre entier plus grand, son carré ''a''<sup>2</sup>. Cet argument montre seulement que le nombre 1 est le seul ''candidat'' possible, et l'erreur de cette "démonstration" est évidemment qu'ici le maximum n'existe pas.}} F. Dress {{et al.}}, « [http://www.maths-a-venir.org/2009/sites/maths-a-venir.org/files/pdf/35-57.pdf Quelques grands problèmes en mathématiques] », ''Bulletin de la [[Société mathématique de France]]'', vol. 115, 1987, {{p.|35-57}}.</ref>. L'existence d'une solution est intimement liée à l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des [[polygone]]s de périmètre <math>3</math>, l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre dans un premier temps qu'une éventuelle solution serait nécessairement un [[polygone régulier]]<ref group="Note">Une démonstration se trouve dans l'article « [[Isopérimétrie]] ».</ref>. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.

La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le [[nombre d'or]] <math>\varphi</math> est : <math>X^2-X-1=0</math>. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme <math>1,618</math>. En revanche, si l'objectif est d'établir la formule reliant la [[suite de Fibonacci]] <math>(u_n)</math> avec <math>\varphi</math> :
<center><math>\forall n \in \N\quad u_n= \frac1{\sqrt 5}\left(\varphi^n -(1- \varphi)^n \right) . </math></center>
Une forme exacte comme <math>\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}</math> est indispensable. Comme le nombre d'or est [[nombre irrationnel|irrationnel]], il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la [[racine carrée]], car les quatre opérations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes études, qui entrent dans un domaine des mathématiques appelé [[analyse numérique]]<ref>L'analyse numérique est un large domaine qui traite en particulier la résolution d'équations de différente nature, en page 2 de cette référence, on trouve : {{Citation|Ce cours est une introduction aux méthodes d'analyse numérique ... afin de résoudre les équations algébriques ou différentielles}} : P. Viot, ''[http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092946 Méthodes d'analyse numérique]'' (cours en ligne d'un bon niveau mathématique [[Diplôme d'études approfondies|DEA]]).</ref>.

== Algèbre ==
=== Théorie des équations ===
{{Article détaillé|Racine d'un polynôme réel ou complexe}}

[[Fichier:Polynôme non résoluble.jpg|vignette|upright=1.2|Le graphe du module du polynôme <math>X^5- 3X+2</math>, montre que ce polynôme admet au moins quatre racines (la cinquième n'est pas visible sur le graphique), illustrant le [[théorème de d'Alembert-Gauss]] dans un cas particulier.]]

La première ''théorie des équations'' ne concerne que les [[équation polynomiale|équations polynomiales]], c'est-à-dire de la forme <math>P(X)=0</math> où <math>P</math> est un [[polynôme formel|polynôme]]<ref>L'usage d'une notation indiquant une [[Polynôme formel|indéterminée]] plutôt qu'une variable n'est pas rare en algèbre ; c'est ainsi qu'est définie l'équation polynomiale dans : [[Laurent Lafforgue]], « [http://images.math.cnrs.fr/pdf2004/Lafforgue.pdf La théorie de Galois et l’arithmétique] », ''[[images des Maths]]'', [[CNRS]], 2004.</ref>. Elle est basée sur des transformations des membres de l'équation en appliquant les cinq opérations {{Citation|classiques}} ([[addition]], [[Produit (mathématiques)|multiplication]], [[soustraction]], [[division]] et extraction de [[Racine d'un nombre|racine]]) aux coefficients de l'équation comme à son inconnue.

Si le [[degré (mathématiques)|degré]] du polynôme est égal à <math>2</math> et si les coefficients et les solutions recherchées sont réels, alors ces méthodes permettent de trouver les solutions, encore appelées [[racine d'un polynôme|racine]] (cf. l'article « [[Équation du second degré]] »). L'usage du [[changement de variable (simplification algébrique)|changement de variable]] permet d'étendre la famille d'équations qui se résolvent, comme l'illustre l'exemple<ref group="Note">Cette équation peut servir d'exemple introductif, elle est intégralement traitée dans le site vidéo : {{Lien brisé|url=http://www.kewego.fr/video/iLyROoaft5ZT.html|titre=Équation du second degré paramétrée}} Exercice de mathématiques Terminale S.</ref> <math>e^{2x}-(e^a+e^b)e^x +e^{a+b}=0 </math>  en posant <math>X=e^x</math>. Cette méthode du changement de variable ne se limite pas aux équations algébriques.

Pour aller plus loin et résoudre l'[[équation cubique]], c'est-à-dire du troisième degré, les mathématiciens italiens de la Renaissance découvrent la nécessité d'enrichir l'ensemble des nombres en lui adjoignant des [[nombre complexe|nombres imaginaires]]<ref>Voir à ce sujet P. Freguglia, « Sur la théorie des équations algébriques entre le {{sp-|XVI|et le|XVII}} », ''Bollettino di storia delle scienze matematiche'', vol. 14, {{n°}} 2, 1994, {{p.|259-298}}.</ref>. Cette découverte permet la résolution des équations du troisième et quatrième degré (voir les [[méthode de Cardan|méthodes de Cardan]] et [[méthode de Ferrari|Ferrari]]).

Le [[Théorème fondamental de l'algèbre|théorème de d'Alembert-Gauss]] précise que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 et à coefficients réels ou complexes, admet au moins une [[racine d'un polynôme|racine]] complexe<ref>Il existe plusieurs formulations de ce théorème. Dans {{Harvsp|R. et A. Douady|p=283}}, il est formulé par : {{Citation|Le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos.}} Les énoncés ont l'air différents mais l'article « [[Théorème de d'Alembert-Gauss]] » montre que les deux sont équivalents.</ref>. Si ce théorème assure, dans un cas très général, l'existence d'une solution, il n'en offre aucune formulation explicite, et l'intuition de ces [[Solutions complexes d'équations polynomiales à coefficients réels|racines complexes pour les polynômes réels]] n'est pas immédiate. Le deuxième théorème, dit [[théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]] en explique la raison : il n'existe, en général, aucune formule analogue<ref group="Note">Le mot ''analogue'' signifie ici en termes techniques : exprimable sous forme de radicaux. Pour plus de détails, voir l'article « [[théorème d'Abel (algèbre)|Théorème d'Abel]] ».</ref> à celles qui s'appliquent aux petits degrés, capable d'exprimer les racines. Ce résultat, œuvre de [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]]<ref>Niels Henrik Abel, ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'' 1824.</ref>, est complété par [[Évariste Galois]] qui indique une condition nécessaire et suffisante pour déterminer dans quels cas les racines d'une équation polynomiale possèdent une expression de cette nature<ref>Évariste Galois, « Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques », ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées|Journal de Liouville]]'', 1846.</ref>. Sa démonstration fait appel à la [[théorie de Galois]].

Les deux théorèmes précédents closent la ''théorie des équations''. Cette expression fut encore en vigueur en mathématiques pendant tout le {{s-|XIX}}<ref>On le trouve par exemple encore à la fin du {{s-|XIX}} : [[Charles-Ange Laisant]], « [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1887__15_/BSMF_1887__15__42_0/BSMF_1887__15__42_0.pdf Démonstration nouvelle du théorème fondamental de la théorie des équations] », ''Bulletin de la S.M.F.'', vol. 1, 1887.</ref>. Elle reste d'actualité en histoire des sciences<ref>On la trouve dans l'article de Christian Gilain, « Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral », ''[[Archive for History of Exact Sciences]]'', vol. 42, {{n°}} 2, {{p.|91-136}}.</ref>. Elle est encore utilisée en mathématiques<ref>Elle est utilisée dans l'article « [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761558588/%25C3%25A9quations_th%25C3%25A9orie_des.html&title=%C3%A9quations%2C%20th%C3%A9orie%20des équations, théorie des] » d'''Encarta''.</ref>, mais elle est devenue rare et un peu désuète.

=== Système d'équations linéaires ===
{{Article détaillé|Système d'équations linéaires}}
[[Fichier:九章算術.gif|vignette|''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'' est un livre anonyme en chinois proposant une méthode de résolution de l'équation linéaire.]]
Une autre famille d'équations est traitée par l'algèbre : celle des équations linéaires. Ce sont les équations de la forme <math>(1)\quad  a(x)+b=0</math>, où <math>a</math> est une [[application linéaire]] d'un [[espace vectoriel]] <math>E</math> dans un espace vectoriel <math>F</math>, <math>b</math> un [[vecteur]] de <math>F</math> et <math>x</math> une variable qui décrit l'ensemble <math>E</math>. Si les espaces <math>E</math> et <math>F</math> sont de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension finie]], notés <math>n</math> pour <math>E</math> et <math>m</math> pour <math>F</math>, le choix d'une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de <math>E</math> et de <math>F</math>, permet d'exprimer <math>a</math> sous la forme d'une [[matrice (mathématiques)|matrice]] <math>(a_{j,k})</math>, <math>x</math> sous la forme d'un [[vecteur colonne]] à <math>n</math> coordonnées <math>(x_k)</math> et <math>b</math> d'un vecteur colonne à <math>m</math> coordonnées <math>(b_j)</math>.

<center><math>(2)\quad \left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n = b_m . \end{matrix}\right.</math></center>

D'une équation <math>(1)</math> on passe à un système <math>(2)</math>, de <math>m</math> équations à <math>n</math> inconnues. Cette technique, consistant à passer d'une équation vectorielle à un système de plusieurs équations réelles de plusieurs variables réelles, ne se limite pas au cas linéaire.

Sous la forme <math>(2)</math>, plusieurs [[Algorithme|algorithmes]] permettent de trouver une racine. Si <math>n</math> est égal à <math>m</math> et si le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de la matrice de <math>a</math> est non nul, il est possible d'utiliser la [[règle de Cramer]]. Ce n'est pas l'algorithme le plus efficace : la [[Élimination de Gauss-Jordan#Résolution d'un système d'équations linéaires|méthode du pivot de Gauss]] est plus simple et plus rapide<ref>V. F. Bayart, ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./g/gausspivot.html Méthode du pivot de Gauss]'', sur bibmath.net, précise : {{Citation|Ces formules ne sont cependant jamais utilisées en pratique car elles conduisent à des calculs beaucoup plus longs que la méthode du pivot de Gauss}}.</ref>. Elle revient à isoler les <math>n</math> variables à l'aide d'une suite de substitutions. Cette méthode est ancienne ; on en trouve un équivalent dans le chapitre 8 du livre chinois de mathématiques intitulé ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'' et datant d'avant notre ère<ref>{{ChemlaShuchun}}.</ref>. Au {{s-|XIII}}, [[Qin Jiushao]] va plus loin et trouve comment résoudre un système linéaire avec des [[Congruence sur les entiers|congruences]] comme coefficients, pour résoudre une question liée à un {{Citation|programme de répartition de grains}}<ref>A. Gazagnes, « Un problème de restes et sa résolution par Qin Jiushao au {{s-|XIII}} », dans ''Bulletin de l'[[APMEP]]'', {{n°|444}}, 2003, {{p.|51-62}}.</ref>.

=== Équation linéaire et géométrie ===
{{Article détaillé|Équation linéaire}}
[[Fichier:Gradient-conjugué-(1).jpg|gauche|upright=0.9|vignette|La géométrie permet de trouver des algorithmes de résolution de l'équation linéaire, plus rapides que la [[Élimination de Gauss-Jordan|méthode du pivot de Gauss]]. La figure illustre le graphe en dimension 3, de la fonction ''f''.]]
[[Fichier:Gradient-conjugué.svg|vignette|Cette figure illustre les courbes de niveaux en bleu de la fonction <math>f</math>. Les segments rouges et verts correspondent au trajet suivi par la suite approximante, qui converge en deux étapes en dimension <math>2</math>.]]

L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'[[Image (mathématiques)|image]] d'une application linéaire <math>a</math>, c'est-à-dire l'ensemble des [[vecteur]]s qui admettent un [[Antécédent (mathématiques)|antécédent]] par <math>f</math> forme un [[sous-espace vectoriel]], comme l'est un plan dans un espace de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] trois. Le [[noyau (algèbre)|noyau]] de <math>a</math>, c'est-à-dire les vecteurs de l'ensemble de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que l'ensemble des solutions forme un [[espace affine]] de direction le noyau de <math>a</math>.

Le point de vue géométrique permet d'élaborer des algorithmes de résolution qui tiennent compte des spécificités de <math>a</math>. Dans certains cas particuliers, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la méthode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas où <math>E</math> est un [[espace euclidien]] égal à <math>F</math> et <math>a</math> est tel que l'application qui à <math>x</math> et <math>y</math> associe <math>\langle -ax,y\rangle </math> soit un [[produit scalaire]]. Ici les crochets désignent le produit scalaire initial de l'espace <math>E</math><ref group="Note">La méthode est encore efficace si son opposé, c'est-à-dire 〈''ax'',''y''〉, est un produit scalaire.</ref>. Ceci implique que la matrice de <math>a</math> est de [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] non nul et [[matrice symétrique|symétrique]], si la base de <math>E</math> est choisie [[Base orthonormée|orthonormée]].

Une méthode consiste à ne pas chercher à résoudre l'équation <math>ax+b=0</math> mais à répondre à une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient à trouver le point optimal<ref group="Note">Le terme « optimal » signifie ici soit un maximum, soit un minimum.</ref> de l'expression qui à <math>x</math> associe <math>f(x)</math>, défini par :
<center><math>\forall x \in E \quad f(x) =\frac 12 \langle ax,x\rangle +\langle b,x\rangle . </math></center>

Son point optimal est la solution de l'équation linéaire. Pour comprendre la méthode de résolution, le plus simple est de représenter le cas où <math>F</math> est de dimension <math>2</math>. Le graphe de <math>f</math> a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustré sur la figure de gauche. Une méthode consiste à partir d'un point quelconque <math>x_0</math> et à suivre la ligne de plus grande pente, illustrée en rouge sur les figures et qui correspond à une parabole à gauche et à un segment à droite. Le sommet de cette parabole est noté <math>x_1</math>. À partir du point <math>x_1</math>, on suit à nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom d'[[algorithme du gradient]].

Si, au lieu de suivre exactement le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire <math>\langle -ax,y\rangle </math>, la méthode converge vers la solution en un maximum de <math>n</math> étapes, si <math>n</math> désigne la dimension de <math>E</math>. Elle porte le nom de [[méthode du gradient conjugué]]<ref>N. Soualem, ''[http://www.math-linux.com/spip.php?article5 La méthode du gradient conjugué]'', 2005, sur le site math-linux.</ref>.

== Géométrie ==
=== Géométrie analytique ===
{{Article détaillé|Géométrie analytique}}
[[Fichier:coniques cone.png|vignette|gauche|Une [[conique]] est toujours l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution.]]

En [[géométrie euclidienne]], il est possible d'associer à chaque point de l'espace un jeu de coordonnées, par exemple à l'aide d'un [[Base orthonormée|repère orthonormé]]. Cette méthode permet de caractériser des [[Figure (géométrie)|figures géométriques]] à l'aide d'équations. Un [[plan (mathématiques)|plan]] dans un espace de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] <math>3</math> s'exprime comme l'ensemble des solutions d'une équation du type <math>ax+by+cz+d=0</math>, où <math>a, b, c</math> et <math>d</math> sont des nombres réels, <math>x, y, z</math> les inconnues qui correspondent aux coordonnées d'un point du plan dans le repère orthonormal. Les valeurs <math>a, b</math> et <math>c</math> sont les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan défini par l'équation. Une [[droite (mathématiques)|droite]] s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-à-dire comme les solutions d'une équation linéaire à valeurs dans <math>\mathbb R^2</math> ou comme les solutions d'un système de deux équations linéaires à valeurs dans <math>\mathbb R
</math>, si <math>\mathbb R
</math> désigne l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]].

[[Fichier:Theoreme de Thales.svg|vignette|L'équation cartésienne offre une méthode simple de démonstration du [[théorème de Thalès (cercle)|théorème de Thalès relatif au cercle]].]]

Une [[conique]] est l'intersection d'un [[Cône (géométrie)|cône]] d'équation <math>x^2+y^2=z^2</math> et d'un plan. Autrement dit, dans l'espace, toute conique est définie comme les points dont les coordonnées sont solutions d'une équation du plan dans <math>\mathbb R^2</math> et de l'équation précédente. Ce formalisme permet de déterminer les positions et les propriétés des [[Foyer (mathématiques)|foyers]] de la conique.

Avec cette approche, on obtient des équations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe précédent. Un exemple est donné par un [[Angle inscrit dans un demi-cercle|théorème de Thalès]] indiquant qu'un triangle est [[triangle rectangle|rectangle]] s'il possède un côté égal à un diamètre d'un cercle et un sommet opposé élément du cercle. Ce théorème est illustré sur la figure de droite. Si le repère est bien choisi, il est orthogonal et l'équation du cercle s'écrit : <math>x^2+y^2=1</math>, les points <math>A</math> et <math>C</math> de la figure de droite ont pour coordonnées respectives <math>(-1,0)</math> et <math>(1,0)</math>. Dire que <math>AB</math> est perpendiculaire à <math>CB</math> revient à dire que les vecteurs associés sont orthogonaux. L'équation du cercle permet de conclure la démonstration, en effet :
<center><math>\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB} =\langle(x-1,y),(x+1,y)\rangle = (x+1)(x-1) + y^2 = x^2 + y^2 - 1 = 0 \quad\text{car}\quad x^2 + y^2 = 1</math><ref group="Note">Les détails des calculs sont accessibles en vidéo pour un exemple analogue sur le site : ''[http://ma-tvideo.france3.fr/video/iLyROoaftCka.html Équation du cercle]'' par vidéomaths.</ref>.</center>

L'usage d'une équation permet de faire appel à un nouveau pan des mathématiques pour résoudre des questions de géométrie. Le repère cartésien transforme un problème de géométrie en un problème d'[[analyse (mathématiques)|analyse]], une fois les figures étudiées traduites en équations ; d'où le nom de géométrie analytique<ref>On trouve une définition générale de la géométrie analytique dans : ''[http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieanalytique01.php Géométrie analytique]'', sur le site science.ch.</ref>. Ce point de vue, mis en évidence par [[René Descartes|Descartes]], enrichit et modifie la géométrie telle que la concevaient les [[Mathématiques de la Grèce antique|mathématiciens de la Grèce antique]]<ref group="Note">Les informations contenues dans ce paragraphe sont disponibles sur le site : ''[http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/brochures/FMPH/FMPH1-ch06.pdf La naissance de la géométrie analytique : la Géométrie de Descartes (1637)]'', IREM de Rennes.</ref>.

Actuellement, la géométrie analytique désigne une branche des mathématiques où la recherche est active. Si elle utilise toujours l'équation pour caractériser une figure, elle utilise aussi des outils sophistiqués issus de l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] ou de l'[[algèbre linéaire]].

=== Équation cartésienne et paramétrique ===
{{Article détaillé|Équation cartésienne|Équation paramétrique}}

Il existe au moins deux méthodes pour décrire une figure géométrique à l'aide d'équations. La première consiste à la décrire par une équation de la forme <math>f(x)=0</math>, où <math>f</math> est une fonction de l'[[espace euclidien]] <math>E</math> de dimension <math>n</math> dans <math>\mathbb R ^d</math> où <math>d</math> est un entier plus petit que <math>n</math>. Si <math>f</math> est une fonction suffisamment régulière, <math>n-d</math> est la ''dimension'' de la figure géométrique. Si elle est égale à <math>1</math>, la figure est une courbe, pour <math>2</math>, on parle de surface, etc<ref>La théorie du degré est traitée {{p.|262}} à 296 de manière plus poussée dans {{Harvsp|Berger|Gostiaux}}.</ref>. Une telle équation peut aussi s'écrire comme [[système d'équations|système]] de ''d'' équations à valeurs dans les réels exactement comme pour le cas de l'équation linéaire. Ce type d'équation est appelé ''cartésien'' si <math>x</math> est exprimé à l'aide de ses coordonnées dans un repère cartésien<ref>Le site suivant définit et montre des exemples d'équations cartésiennes : N. Drakos et R. Moore, ''[http://www.geothalg.ulg.ac.be/cours1C/node125.html Équation cartésienne]'' du site geothalg.</ref>. Les équations décrites dans le paragraphe précédent sont toutes cartésiennes, comme celle du cercle d'équation <math>x^2+y^2=1</math>.

Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique à l'aide d'une fonction <math>f</math> de <math>\mathbb R ^d</math> dans <math>E</math> de la manière suivante, un point <math>m</math> de <math>E</math> est élément de la figure lorsqu'il existe un point <math>x</math> de l'ensemble de définition de la fonction <math>f</math> tel que <math>f(x)</math> est égal à <math>m</math>. Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de <math>f</math> (il suffit que sa [[différentielle]] soit injective), la figure est de dimension <math>d</math>. On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique<ref>Ce vocabulaire ainsi qu'un exemple illustré sont présents dans la vidéo ''[http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://videos.france5.fr/video/iLyROoaft5oS.html&title=%C3%89quation%20param%C3%A9trique%20de%20droite%20spatiale Équation paramétrique de droite spatiale]'' par S. Maniez, sur le site videomath. On trouve aussi ce vocabulaire dans des documents plus académiques où l'on trouve {{Citation|Elles possèdent
l'avantage d'avoir une équation paramétrique}} : L. Garnier et S. Foufou, ''[http://le2i.cnrs.fr/IMG/publications/705_07_GTMG03_Para2impliSupercyclide.pdf Détermination des équations implicites d'une supercyclide]'', LE2I CNRS UFR Sciences, [[Université de Bourgogne]].</ref>, cette définition de l'équation est relativement éloignée de celle trouvée en algèbre.
{{Exemple|Le [[cercle trigonométrique]] du [[plan euclidien]] admet pour équation paramétrique, de paramètre θ.
:<math>\left\{\begin{matrix}x & = & \cos\theta \\ y& =&\sin\theta\end{matrix}\right.</math>}}

Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une [[variété (géométrie)|variété]], au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement signifie que si <math>m</math> est un élément de la figure, il existe une fonction <math>f</math> et un [[voisinage (mathématiques)|voisinage]] <math>V</math> d'un point de l'ensemble de départ de <math>f</math> tel que l'image de <math>f</math> soit incluse dans la figure et tel que l'image de <math>V</math> par <math>f</math> soit un voisinage de <math>m</math> dans la figure<ref>Une analyse locale de la représentation des sous-variétés de '''R'''<sup>''n''</sup> est traitée dans {{Harvsp|Berger|Gostiaux}} {{p.|56}} et 101. Le cas des courbes plus générales que des sous-variétés de dimension 1 est traité localement {{p.|300-333}} et de manière globale {{p.|334-372}}.</ref>. Localement, il est aussi possible de définir la figure à l'aide d'une équation cartésienne.

== Arithmétique ==
=== Équation diophantienne ===
{{Article détaillé|Équation diophantienne}}
[[Fichier:Hilbert.jpg|vignette|Après plusieurs siècles d'efforts de la communauté mathématique, c'est [[David Hilbert]] qui finit par résoudre l'équation diophantienne de degré <math>2</math>.]]
Historiquement, les premières équations formalisées sont de nature arithmétique et datent du {{s-|III}}<ref>Voir à ce sujet : [http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf La première inconnue] par l'IREM de Poitiers, {{p.|27}}.</ref>. Si l'on recherche comme solution d'une équation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre [[entier relatif|entier]] et si l'équation est à coefficients entiers, on parle d'''équation diophantienne''<ref>Ce terme est fréquent, on le trouve par exemple à : [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]] et [[Pierre Dugac]], ''Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900'', Hermann (édition de 1996) {{ISBN|2705660240}}, {{p.|227}} dans l'édition de 1986.</ref>. Les méthodes décrites précédemment sont généralement insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithmétique, ou au moins de l'[[arithmétique élémentaire]] sont indispensables. Un exemple relativement simple<ref>{{Lien web|auteur=D. Richard|url=http://www.isima.fr/~madelain/teaching/download/algo-euclide.pdf|titre=Algorithme d'Euclide et équations diophantiennes|éditeur=[[Université Clermont-Ferrand-I|Université de Clermont1]]}}.</ref> est celui linéaire à deux inconnues [[Équation diophantienne ax + by = c|''ax''&nbsp;+&nbsp;''by''&nbsp;=&nbsp;''c'']].

Si le [[Degré (mathématiques)|degré]] de l'équation augmente, la question devient beaucoup plus complexe. Même une équation de degré <math>2</math> n'est en général pas simple (voir par exemple le [[théorème des deux carrés de Fermat]] ou l'[[équation de Pell-Fermat]]). À condition d'ajouter d'autres méthodes, comme celle de [[méthode de descente infinie|descente infinie]] et de nouveaux résultats comme le [[petit théorème de Fermat]], il est possible de résoudre quelques cas particuliers. Le cas général de l'équation de degré <math>2</math> demande l'usage d'outils plus sophistiqués, comme ceux de la [[théorie algébrique des nombres]]. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les [[corps fini]]s et les [[entier algébrique|entiers algébriques]], qui s'étudient, comme pour l'équation algébrique, à l'aide de la théorie de Galois. Si l'équation algébrique de degré <math>2</math> est essentiellement résolue par [[Al-Khwârizmî|Al-Khwârizmi]], un [[Mathématiques arabes|mathématicien arabe]] du {{s-|VIII}}, il faut attendre la fin du {{s-|XIX}} pour que [[David Hilbert]] vienne à bout de son équivalent diophantien<ref group="Note">Pas moins d'un livre de 350 pages est nécessaire pour traiter tous les cas : {{Harvsp|Cox|1989}}.</ref>. L'étude de l'équation diophantienne est souvent suffisamment complexe pour se limiter à établir l'existence de solutions et, s'il en existe, à déterminer leur nombre.

Un vaste domaine d'application des équations diophantiennes est l'[[informatique]]. Les outils issus de leurs études permettent de concevoir des [[code correcteur|codes correcteurs]] et sont à la base d'algorithmes en [[cryptologie]]. Il existe des équations diophantiennes qui s'écrivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les résoudre, elles sont à la base de codes secrets. Par exemple, l'équation <math>n=xy</math>, où <math>n</math> est un entier naturel fixé et où <math>x</math> et <math>y</math> sont les inconnues, n'est pas résoluble en pratique, si <math>n</math> est le produit de deux [[nombre premier|nombres premiers]] suffisamment grands. Cette équation est à la base du [[chiffrement RSA]]<ref>{{en}} R. Rivest, A. Shamir et L. Adleman, « [http://theory.lcs.mit.edu/~rivest/rsapaper.pdf A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems] », ''Communications of the ACM'', vol. 21, {{n°}} 2, 1978, {{p.|120-126}}.</ref>.

=== Nombre algébrique et transcendant ===
{{Article détaillé|Nombre algébrique|Nombre transcendant}}
[[Fichier:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|vignette|[[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] montre qu'aucune équation polynomiale à coefficients entiers n'admet [[pi|{{math|π}}]] comme racine.]]
Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une équation donnée, on peut considérer le problème inverse : de quelles équations un nombre donné est-il solution ? Un nombre est dit [[nombre rationnel|rationnel]] s'il est solution d'une équation du premier degré à coefficients entiers. Il est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. S'il n'est pas algébrique, il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donné, l'objectif est de trouver les éventuelles équations polynomiales dont ce nombre est racine (voir « [[Polynôme minimal (théorie des corps)]] »).

Par exemple pour [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]], la question se pose de savoir s'il est possible de construire une équation du premier degré ayant cette valeur pour racine. Elle se résout simplement : si une telle équation existe, on en déduit l'expression <math>2a^2=b^2</math>, où <math>a</math> et <math>b</math> sont des nombres entiers. L'analyse de la [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]] montre que le terme de droite contient le facteur <math>2</math> un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque démontre que <math>\sqrt 2</math> n'est pas un nombre rationnel<ref group="Note">Pour plus de détails, voir l'article « [[Racine carrée de deux]] ».</ref>. En revanche, il est par définition algébrique, car solution de l'équation <math>X^2-2=0</math>.

La même question pour le [[Pi|nombre {{math|π}}]] est plus délicate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune équation du premier degré à coefficients dans les nombres entiers, on utilise des [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] (une démonstration est proposée dans l'article « [[Fraction continue et approximation diophantienne]] »). Les techniques sont plus sophistiquées que celles utilisées pour démontrer l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math>. Alors que ce premier résultat est déjà connu à l'époque d'[[Euclide]]<ref>Cette question est traitée dans : B. Rittaud, ''Le fabuleux destin de {{racine|2}}'', [[Le Pommier]], 2006 {{ISBN|2746502755}}. On trouve aussi une référence plus académique : {{en}} [[Tom M. Apostol]], « Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof », ''[[The American Mathematical Monthly]]'', vol. 107, {{n°}} 9, novembre 2000, {{p.|841–842}}.</ref>, il faut attendre le {{s-|XVIII}} pour établir celle de <math>\pi </math><ref>La première preuve, comportant encore des lacunes au sens de la rigueur demandée pour les preuves actuelles, se trouve dans la référence : [[Johann Heinrich Lambert]], « Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques », ''Mémoires de l'[[Académie des sciences de Berlin]]'', vol. 17, 1761, {{p.|265-322}}.</ref>.

Si montrer que <math>\pi </math> n'est pas solution d'une équation du premier degré à coefficients dans les entiers n'est déjà pas si simple, il est encore plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Il faut encore plus d'un siècle d'efforts pour établir cette transcendance<ref>Cette transcendance est montrée pour la première fois dans {{de}} [[Karl Weierstrass]], « Zu Hrn. Lindemanns Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' », ''Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin'', vol. 2, 1885, {{p.|1067-1086}}.</ref>. Elle clôt une vieille question, à savoir s'il est possible de [[construction à la règle et au compas|construire à la règle et au compas]] un carré de même aire qu'un cercle, cette question porte le nom de [[quadrature du cercle]]. Elle est impossible car toute construction de cette nature définit une surface d'aire égale à un nombre algébrique.

=== Géométrie algébrique ===
{{Article détaillé|Géométrie algébrique}}
<center><gallery widths="100px" heights="100px" perrow="6" caption="Genre de quelques surfaces orientables">
Fichier:Sphere-wireframe.png|<center>Genre <math>0</math>.</center>
Fichier:Torus.png|<center>Genre <math>1</math>.</center>
Fichier:Double torus illustration.png|<center>Genre <math>2</math>.</center>
Fichier:Triple torus illustration.png|<center>Genre <math>3</math>.</center>
</gallery></center>

Résoudre une équation diophantienne polynomiale n'est pas toujours possible avec les seuls outils de la théorie algébrique des nombres. Avec ce type de méthode, [[Ernst Kummer]] parvient à résoudre, au milieu du {{s-|XIX}}, presque tous les cas inférieurs à <math>100</math> de la célèbre équation dénommée [[dernier théorème de Fermat]]<ref>Pour les détails de l'histoire de cette équation sous une forme vulgarisée, voir : [[Simon Singh]], ''Le Dernier Théorème de Fermat'', Hachette Littérature, 1999 {{ISBN|978-2-01278921-0}} ; une version plus académique est : {{en}} [[Harold Edwards|H. M. Edwards]], « The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes », ''Arch. History Exact Sci.'', vol. 14, 1975.</ref>, mais le cas général reste hors de portée.

La géométrie, et plus précisément la géométrie algébrique, a été nécessaire pour conclure. L'équation du dernier théorème de Fermat s'écrit de la manière suivante : <math>x^n+y^n=z^n</math>. Quitte à étudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par <math>z^n </math> et écrire l'équation <math>q^n+r^n=1</math>. Si <math>q</math> et <math>r</math> sont choisis dans l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]], noté ici <math>\Complex</math>, géométriquement, cette équation correspond à une figure de <math>\Complex^2</math>, ou encore à une surface réelle dans un espace de dimension <math>4</math>. Vue dans l'[[espace projectif]] de <math>\Complex^2</math>, on obtient une surface réelle, plongée dans un [[Compacité (mathématiques)|espace compact]] dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de connaître les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du théorème de Fermat.

La [[topologie]] offre des éléments de réponse pour cette équation. Une surface de cette nature possède un [[genre (mathématiques)|genre]]. Topologiquement, elle est [[homéomorphisme|équivalente]] à une sphère (genre <math>0</math>), à un [[tore]] (genre <math>1</math>) ou à une figure comportant <math>n</math> trous (genre <math>n</math>). Dans le cas d'une [[variété algébrique]], définie par une équation du type <math>P(X, Y) = 0</math>, où <math>P</math> est un polynôme à coefficients rationnels, le genre de la variété est une indication sur le nombre de solutions. Ce résultat, qui porte le nom de [[théorème de Faltings]], est de la même famille d'outils que ceux utilisés pour la démonstration du théorème de Fermat<ref group="Note">« Même famille » ne signifie pas que Wiles utilise le théorème de Faltings, pour sa démonstration. Pour comprendre les travaux de Faltings, on peut se reporter à : D. Ara, ''[ftp://quatramaran.ens.fr/pub/ara/math/mordell-lang.pdf Conjecture de Mordell-Lang relative], d'après [[Ehud Hrushovski|Hrushovski]]'', École Normale Supérieure. Pour comprendre la preuve originale de Wiles voir {{en}} A. Wiles, « [http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf Modular elliptic curves and Fermat's last theorem] », ''[[Annals of Mathematics]]'', vol. 141, {{n°}} 3, 1995, {{p.|443-551}}.</ref>.

== Analyse ==
=== Zéro d'une fonction ===
{{Article détaillé|Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction}}
{{triple image|center|Dichotomie.svg|180|Point fixe.svg|180|Methode Newton.svg|180|La [[méthode de dichotomie|dichotomie]]|Le [[théorème du point fixe]]|La [[méthode de Newton]].}}
En [[analyse (mathématiques)|analyse]] plus encore, il sera bien souvent vain d'espérer traiter une équation par des techniques élémentaires de substitution ou transformation, en espérant isoler la variable. Et même quand cela s'avère possible, comme pour certaines équations algébriques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur numérique, l'approche décrite dans ce paragraphe est souvent moins coûteuse<ref group="Note">Newton a développé initialement sa méthode pour les équations algébriques indépendamment de leurs caractères résolubles : [[Isaac Newton|I. Newton]] ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas'' écrit en 1669 et publié en 1711 par William Jones.</ref>. On peut toujours ramener l'équation à une forme <math>f(x)=0</math>. Considérons par exemple l'équation suivante, l'inconnue étant un réel strictement positif :
<center><math>\sin(x) = \ln \left( \frac 1{\sqrt x} \right) .</math></center>

Elle se réécrit <math>f(x)=0</math> si l'on pose <math>f(x)=\sin x + \dfrac{\ln x}{2 }</math>. Un ''zéro'' est une solution de l'équation dans ce cas particulier. Il serait vain de chercher à exprimer un ''zéro'' par une formule composant des fonctions élémentaires ([[fraction rationnelle|fractions rationnelles]], [[fonction exponentielle|fonctions exponentielles]], [[logarithme|logarithmiques]] ou [[Fonction trigonométrique|trigonométriques]]...). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de zéros, des intervalles les contenant, ainsi que des approximations de ces zéros<ref>Ce site montre comment chercher le nombre de zéros, les intervalles les contenant, ainsi que des méthodes d'approximations dans un premier temps pour des polynômes, puis pour des fonctions quelconques : J. P. Calvi ''[http://www.math.univ-toulouse.fr/~calvi/ens_fichiers/agreg/ANANUMAGREG.pdf Thèmes d'analyse numérique]'', Laboratoire de mathématiques [[Émile Picard]], [[Université Toulouse III|Université Paul-Sabatier]].</ref>.

Dans l'exemple, l'étude de la fonction <math>f</math> montre facilement qu'il y a exactement trois zéros, un dans l'intervalle <math>]0,1]</math>, un dans <math>[3,4]</math> et le dernier dans <math>[5,6]</math>. La continuité de <math>f</math> permet de construire une première suite <math>(x_n)</math> convergeant vers le zéro de l'intervalle <math>]0,1]</math>. Au [[voisinage (mathématiques)|voisinage]] de <math>0</math>, la fonction est strictement négative, au point <math>1</math>, elle est strictement positive, le [[théorème des valeurs intermédiaires]] garantit l'existence d'un zéro dans cet intervalle, car <math>f</math> est [[Continuité (mathématiques)|continue]]. On pose <math>x_0=0</math>, au point <math>\dfrac 1 2</math>, la fonction <math>f</math> est strictement positive, on en déduit l'existence d'un zéro dans l'intervalle <math>\left[0,\dfrac 1 2\right]</math> et on pose <math>x_1=0</math>. Au point <math>\dfrac 1 4</math>, elle est strictement négative, on en déduit l'existence d'un zéro dans <math>\left[\dfrac 1 4,\dfrac 2 4 \right]</math> et on pose <math>x_2=\dfrac 1 4</math> et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi précise que souhaitée. Cette méthode porte le nom de [[méthode de dichotomie|dichotomie]] et est la première illustrée dans la figure du paragraphe.

Seule la continuité de <math>f</math> a été utilisée dans l'algorithme précédent, un [[Application contractante|théorème du point fixe]] est à la base d'une méthode plus efficace. On construit une fonction <math>g</math> (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-à-dire un point <math>x</math> tel que <math>g(x)=x</math>) la solution recherchée. On choisit <math>g</math> de telle manière que la [[dérivée]] au point fixe soit la plus petite possible. Une solution simple est de définir <math>g(x)=x+\lambda f(x)</math>. Dans l'exemple, on peut choisir <math>\lambda </math> égal à <math>-\dfrac 1 2</math>. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir <math>x_0</math> égal à <math>1</math>. On définit <math>x_n=g(x_{n-1})</math>. Si la dérivée de <math>g</math> est proche de <math>0</math>, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme précédent. Dans l'exemple choisi, la solution est égale à <math>0,43247\ldots </math>. La quatrième itération de la première méthode donne pour valeur <math>0,375</math> alors que celle issue du point fixe donne <math>0,4322</math><ref>Ce site définit et présente la méthode du point fixe ; il étudie aussi sa vitesse de convergence : ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./p/pointfixe.html Point fixe, et théorèmes du point fixe]'' par V. et F. Bayart, sur bibmath.net.</ref>...

La [[dérivée|dérivabilité]] de <math>f</math> partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence encore meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point <math>x_0</math>, égal à <math>1</math> dans l'exemple, à trouver la solution <math>x_1</math> de l'équation linéaire tangente de la fonction <math>f</math> au point <math>x_0</math>. Puis on construit <math>x_2</math> comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction <math>f</math> au point <math>x_1</math>. Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de <math>x_4</math> est égale à <math>0,43246</math> soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de [[méthode de Newton|Newton]]<ref>Ce site présente la méthode de Newton et analyse sa vitesse de convergence : [[Antoine Chambert-Loir]], ''[http://www.math.u-psud.fr/~chambert/enseignement/2005-06/agreg/newton.pdf Autour de la méthode de Newton]'', [[Université de Rennes I]].</ref>.

=== Équation vectorielle ===
{{Article détaillé|Système d'équations}}
[[Fichier:gradient ascent (contour).png|gauche|vignette|L'algorithme du gradient s'applique à toute équation d'un espace vectoriel de dimension finie et à valeurs dans l'ensemble des nombres réels. Il est illustré ici à l'aide d'une représentation en courbes de niveaux]]

Si l'équation prend la forme <math>f(x) = 0</math> où <math>f</math> est une fonction d'un espace vectoriel <math>E</math> à valeurs dans un espace vectoriel <math>F</math> dont le vecteur nul est noté <math>0</math>, les idées de l'algèbre linéaire peuvent encore s'appliquer partiellement. Il est possible de choisir une base de <math>E</math> et de <math>F</math> et d'exprimer <math>f</math> à l'aide de <math>m</math> fonctions <math>f_j</math> réelles de <math>n</math> variables <math>x_k</math>, où <math>m</math> est la dimension de <math>F</math> et <math>n</math> celle de <math>E</math>, on obtient ce que l'on appelle un système d'équations, de la forme suivante :
<center><math>\quad \left\{\begin{matrix} f_1(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ \vdots \\ f_m(x_1,\cdots x_n) = 0\end{matrix}\right.</math></center>

[[Fichier:gradient ascent (surface).png|vignette|Cette représentation correspond à la même équation que celle représentée à gauche, mais cette fois-ci en dimension 3.]]
Les mêmes limitations que celles décrites au paragraphe précédent s'appliquent. Il est tout à fait possible que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'équation linéaire, ne soit pas possible, par exemple si les <math>f_i</math> contiennent des expressions trop complexes. Certaines des idées, exprimées dans le cas où <math>f</math> est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles, peuvent s'adapter à la géométrie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour la nouvelle configuration. En revanche, le théorème du point fixe se généralise, ainsi que la définition d'une dérivée.

La dérivée, ou plutôt la [[différentielle]] de <math>f</math> peut être utilisée de plusieurs manières. La première est une simple adaptation de la méthode de Newton, à partir d'un point <math>x_0</math>, on résout l'équation linéaire tangente en ce point, c'est-à-dire <math>Df_{x_0} h+f(x_0)=0</math>. La valeur <math>x_1</math> est égale à <math>x_0+h</math> et l'on réitère le processus pour obtenir une suite. Si <math>E</math> est égal à <math>F</math> et pour permettre une convergence plus rapide, on résout souvent une équation linéaire analogue, mais dont l'application linéaire associée définit un produit scalaire. Cette astuce permet une accélération du temps de traitement de la résolution des équations linéaires intermédiaires, la méthode associée porte le nom de [[méthode de Quasi-Newton|quasi-Newton]]<ref>Ce site présente la méthode de Newton et de quasi-Newton et explique pourquoi la méthode de quasi-Newton est plus rapide : R. Tapiero, ''[http://lapcs.univ-lyon1.fr/~tapiero/m2ef/4mn.pdf Méthodes newtoniennes]'', [[Université de Lyon I]].</ref>.

Une autre méthode consiste à transformer l'ensemble d'arrivée en <math>\mathbb R^+</math>, par exemple en équipant <math>F</math> d'un [[produit scalaire]] et en recherchant les ''zéros'' de la fonction <math>g</math> à valeurs réelles, qui à <math>x</math> associe le carré de la [[norme (mathématiques)|norme]] de <math>f(x)</math> ou encore le produit scalaire de <math>f(x)</math> avec <math>x</math>, si <math>E</math> est égal à <math>F</math>. Les deux équations <math>f(x)=0</math> et <math>f(x)^2=0</math> possèdent les mêmes solutions. Le problème revient à trouver un extremum de la nouvelle fonction <math>g</math>. On part d'un point <math>x_0</math> dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donnée par le gradient et on s'arrête au point <math>x_1</math>, le minimum de la fonction <math>g</math> dans la direction du gradient. Puis on réitère le calcul<ref group="Note">Toutes ces méthodes sont présentées et analysées dans {{Harvsp|Brezinski|Redivo-Zaglia|2006}}.</ref>.

=== Analyse fonctionnelle ===
{{Article détaillé|Analyse fonctionnelle (mathématiques)}}
[[Fichier:CFD Shuttle.jpg|vignette|L'[[Aérodynamique|aérodynamisme]] d'un objet volant est régi par une équation qui s'étudie à l'aide de l'analyse fonctionnelle. Des outils puissants tels que l'[[espace de Hilbert]] sont nécessaires pour établir quelques théorèmes généraux.]]
Si l'espace vectoriel <math>E</math> est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres idées doivent être utilisées pour venir à bout de l'équation. Cette configuration se produit si l'inconnue <math>x</math> désigne une fonction. Une fois encore, il est vain de rechercher des méthodes systématiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions élémentaires, les cas où une telle expression existe tiennent plus de l'exception que de la règle.

Une méthode générale<ref>Cette approche est commune à {{Harvsp|Aubin|1987}} et {{Harvsp|Brezis}}.</ref> consiste associer à un espace de fonctions <math>H_p</math>, comme celui des fonctions continues définies sur un intervalle <math>[a,b]</math>, une géométrie. Pour ce faire, on peut définir sur l'espace une [[Espace euclidien|distance euclidienne]], c'est-à-dire définie par un [[produit scalaire]] comme celui qui, à deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> de ''<math>H_p</math>'' associe :
<center><math>\langle f,g\rangle = \int_a^b f(\mu)g(\mu) \mathrm d\mu . </math></center>

À l'aide de cette distance, on construit une suite <math>(x_n)</math> de fonctions qui vérifie la [[suite de Cauchy|propriété de Cauchy]], c'est-à-dire que si les indices <math>n</math> et <math>m</math> sont suffisamment grands <math>x_n</math> et <math>x_m</math> sont arbitrairement proches. Un exemple est donnée par l'[[équation intégrale]], dite de Fredholm<ref>On trouve le nom de cette équation ainsi qu'une étude dans {{Harvsp|Brezis|p=99}}.</ref> :
<center><math>(1)\quad F(x) = g \quad\text{avec}\quad F : x \rightarrow F_x(t) = \int_a^b K(t,\mu)\,x(\mu)\mathrm d \mu . </math></center>

La suite <math>(x_n)</math> est construite de telle manière que la distance entre les fonctions <math>F_{x_n}(t)</math> et <math>g(t)</math> tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement dans ''<math>H_p</math>'', ce qui revient à dire que cet espace n'est pas [[espace complet|complet]]. Il est alors ''plongé'' dans un espace <math>H</math> qui le contient et qui lui, est complet<ref>Le complété de l'espace ''H<sub>p</sub>'' est construit dans {{Harvsp|Aubin|1987|loc=vol. 1, chap. 6, p. 142-168}}.</ref>. Un élément de ''<math>H</math>'' n'est plus une fonction, il peut être vu comme un élément du [[espace dual|dual]] de ''<math>H_p</math>''<ref>C'est ainsi que procède {{Harvsp|Aubin|1987|loc=chap. 5, p. 117-137}}.</ref>. Dans ''<math>H</math>'', la suite <math>(x_n)</math> converge vers une limite <math>s</math>. Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation <math>(1)</math> car la distance entre <math>F(s)</math> et <math>g</math> est nulle. Mais <math>s</math> n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de <math>H_p</math>, on parle de ''solution faible''. On montre enfin que cet être abstrait s'identifie à un élément de ''<math>H_p</math>'', c'est-à-dire une à fonction qui vérifie l'équation <math>(1)</math>, appelée ''solution forte''<ref>Cette distinction est décrite de manière un plus générale, dans le contexte des [[espace de Sobolev|espaces de Sobolev]] dans {{Harvsp|Brezis|p=119}}.</ref>{{,}}<ref group="Note">On trouve une courte introduction à l'analyse fonctionnelle dans la référence de cette note. Elle commence par l'étude des espaces de Hilbert (chap. 8, {{p.|147}}) et termine par celle de l'opérateur de Fredholm (chap. 9, {{p.|203}}) : [[Serge Lang]], ''Analyse réelle'', InterEditions, Paris, 1977 {{ISBN|2729600590}}.</ref>

== Systèmes dynamiques ==
=== Introduction ===
{{Article détaillé|Système dynamique}}
[[Fichier:Trajectoire-d'une-comète.jpg|vignette|Une fois connues la vitesse et la position d'une comète en un instant ''t'', la résolution d'une [[équation différentielle]] permet de déterminer sa trajectoire exacte.]]

La [[physique]] est à l'origine d'équations fonctionnelles particulières : les [[système dynamique|systèmes dynamiques]]. Un exemple historiquement célèbre, est issu de la [[loi universelle de la gravitation]]. Si l'on néglige l'attraction due aux autres planètes, l'[[accélération]] de la Terre est dirigée vers le soleil et son intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une équation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la [[Terre]], donne sa trajectoire, c'est-à-dire sa position en fonction du temps. Historiquement, la capacité à prévoir la position exacte des comètes au {{s-|XVIII}} fut une confirmation de la théorie de Newton<ref group="Note">Initialement, {{Citation|Le directeur de l’[[Observatoire de Paris]], [[Giovanni Domenico Cassini|Jean-Dominique Cassini]], semble ignorer les théories de Newton et de Halley.}} 50 ans plus tard, son fils Jacques se rallie à la conception newtonienne et héliocentrique du système solaire. Il écrit : {{Citation|...nous n’avons pas cru devoir nous écarter du sentiment le plus communément reçu des Astronomes, que ce sont des Planètes qui font leurs révolutions autour du Soleil, à l’égard duquel elles [les comètes] décrivent des Orbes fort excentriques.}} F. Michel, ''[http://www.francismichel.com/files/Com_tes.pdf Les comètes observées en France au début du {{s-|XVIII}}]''.</ref>.

Un système qui évolue et dont une équation permet de connaître exactement son état au cours du temps, à la condition de connaître son état initial, est qualifié de ''dynamique''. On peut les classer en trois grandes catégories. La formulation la plus simple est dite discrète<ref group="Note">Ce n'est que la formulation qui est plus simple. On attribue à [[George David Birkhoff|Birkhoff]] l'affirmation suivante : {{Citation|Le continu, c’est plus simple que le discret}} : {{ancre|Perrin}} [[Daniel Perrin]], ''[http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf La suite logistique et le chaos]'', [[Université Paris-Sud]] 11 Orsay, {{p.|8}}.</ref>, l'état du système est décrit à différentes étapes, notées par les entiers <math>0,1,2,\ldots, k, \ldots </math> et la solution est une [[suite (mathématiques)|suite]] <math>(u_k)</math>. Ce type de système est utilisé pour simuler un comportement continu, en ''discrétisant'' le temps à l'aide d'intervalles suffisamment petits pour que l'imprécision engendrées par cette méthode reste dans des limites acceptables. Connaître la trajectoire exacte d'une comète suppose la prise en compte de l'attraction de tous les corps célestes du système solaire. Résoudre l'équation dans ce cas devient difficile, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravité est ''presque constante'', la trajectoire de la comète est ''presque'' parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule aisément, une fois connue la position des différents corps célestes massifs comme les planètes ou le soleil. Ensuite, il suffit de recalculer, à chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire réelle. Si <math>(p_k,v_k)</math> désigne le couple position et vitesse de la comète à la seconde <math>k</math>, il existe deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> régissant l'équation :
<center><math>p_n = f(p_{n-1},v_{n-1}) \quad\text{et}\quad v_n = g(p_{n-1},v_{n-1}) . </math></center>

On obtient des [[suite (mathématiques)|suites]] [[définition par récurrence|définies par récurrence]], caractéristique d'un système dynamique discret<ref>Cette description est largement simplifiée par rapport aux méthodes réellement utilisées, même si l'usage de suites définies par récurrence est exact : {{en}} M. Fouchard {{et al.}}, « Methods to study the dynamics of the Oort cloud comets II : modelling the galactic tide », ''Lecture Notes in Physics'', vol. 729, {{p.|271-293}}.</ref>.

Il est aussi possible de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la comète avec sa vitesse instantanée (que l'on appelle dérivée en mathématiques) et son accélération (ou dérivée seconde). Résoudre l'équation permet de trouver la trajectoire de notre planète<ref group="Note">Si l'on souhaite ne pas négliger l'influence des planètes, l'équation différentielle devient complexe : P. Iglesias, « [http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num3/IglesiasJME3/IglesiasJME3.html Les origines du calcul symplectique chez Lagrange] », ''Le journal de maths des élèves de l'[[École normale supérieure de Lyon]]''.</ref>. L'équation prend une forme de la nature suivante, appelée [[équation différentielle]] :
<center><math>f\left(t,p(t),\frac {\mathrm dp}{\mathrm dt}(t), \frac {\mathrm d^2p}{\mathrm dt^2}(t)\right)= 0 .</math></center>

Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une [[onde sur une corde vibrante|corde vibrante]]. On parle d'[[équation aux dérivées partielles]]<ref>Pour l'étude du comportement asymptotique d'un système dynamique régi par une équation aux dérivées partielles particulières, voir : Chao-Jiang Xu « [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIF/AIF_1987__37_2/AIF_1987__37_2_105_0/AIF_1987__37_2_105_0.pdf Régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires associées à un système de champs de vecteurs] », ''[[Annales de l'Institut Fourier]]'', vol. 37, {{n°}} 2, 1987, {{p.|105-113}}.</ref>.

=== Équation différentielle ===
{{Article détaillé|Équation différentielle}}
[[Fichier:Line-Integral.gif|vignette|Tracé d'une solution d'une équation différentielle (bleu) de la forme <math>x'=\varphi(x)</math>, la fonction <math>\varphi</math> est illustrée en vert.]]
La lettre <math>x</math> désigne ici une fonction de la variable réelle et <math>f</math> une fonction de <math>n+1</math> variables réelles. Soit <math>F</math> la fonction qui à <math>x</math> associe la fonction <math>t\mapsto f(t,x(t),x'(t),x^{(2)}(t),\ldots,x^{(n)}(t)) </math>, où <math>x^{(k)}</math> la dérivée <math>k^{\text{ième}}</math> de la fonction <math>x</math>. On considère l'équation <math>F(x)=0</math>. Une telle équation est appelée équation différentielle.

Les solutions sont, en général, étudiées sous la {{Citation|forme de Cauchy}}, c'est-à-dire associées à des valeurs <math>t_0,\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{n-1}</math> telles qu'une solution vérifie :
<center><math>f(t,x,x',\cdots, x^{(n)})=0 \quad\text{avec}\quad x(t_0)=\xi_0,\;x'(t_0) = \xi_1,\cdots, x^{(n-1)}(t_0)=\xi_{n-1} </math></center>

La situation est un peu analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles<ref>C'est le titre choisi pour le livre de [[Israel Gelfand|I. M. Guelfand]] et [[Georgiy Shilov|G. E. Chilov]], ''Les Distributions. Tome 3 : Théorie des équations différentielles'', Dunod, 1965.</ref>. Un premier résultat global est le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]], qui garantit que si <math>f</math> est une [[Application lipschitzienne|fonction lipschitzienne]], il existe une unique solution au [[Système dynamique#Problème de Cauchy|problème de Cauchy]]. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée<ref>Pour une approche élémentaire, voir : V. & F. Bayart, ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/equadiff.html Introduction aux équations différentielles]'' sur bibmath.net. Pour une vision plus complète, on peut se référer au gros livre (> 600 pages) : {{en}} Hector O. Fattorini et Adalbert Kerber, ''The Cauchy Problem'', [[Cambridge University Press]], 1984 {{ISBN| 978-0-52109686-7}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=iW6gsMikhVoC}}.</ref>. Dans certains cas particuliers, il est possible d'expliciter directement une solution, comme pour l'[[équation différentielle d'ordre un à variables séparées]] ou l'[[équation différentielle linéaire]], mais pas toujours.

L'exemple de droite illustre une solution d'une équation de la forme <math>x'=\varphi(x)</math>, où la solution recherchée est une fonction définissant une courbe du plan. Sa variable est réelle et elle est à valeurs dans <math>\mathbb R^2</math>. La fonction <math>\varphi</math> est une fonction continue de <math>\mathbb R^2</math> dans lui-même. À chaque point du plan, elle associe un vecteur ; on dit qu'elle définit un [[Champ de vecteurs|champ vectoriel]]. Une solution <math>s</math> possède la propriété d'avoir, pour chaque point <math>p</math> de son image, une tangente à sa courbe de direction <math>\varphi(p)</math>. La vitesse scalaire à l'instant ''t''<ref group="Note">La vitesse scalaire correspond à la norme de la dérivée de φ, ou encore, pour une automobile, au scalaire précisé par l'[[indicateur de vitesse]].</ref> est égale à la norme de l'image par <math>\varphi</math> du point <math>s(t)</math>.

=== Équation aux dérivées partielles ===
{{Article détaillé|Équation aux dérivées partielles}}
[[Fichier:Boelge stor.jpg|gauche|vignette|L'équation régissant la surface de la mer est une équation aux dérivées partielles.]]
La physique propose divers exemples où la solution recherchée ne dépend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas relativement simple est celui d'une [[onde sur une corde vibrante]]. La fonction décrivant sa position dépend de deux paramètres, le temps et une coordonnée pour décrire un point de la corde. Trois variables sont nécessaires pour décrire une vague, deux décrivent la position d'un point de la surface et la troisième le temps. En [[physique quantique]], la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|relation fondamentale de la dynamique]] se traduit par une [[équation d'onde]] qui nécessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe fondamental est appelée [[équation de Schrödinger]].

L'équation équivalente à celle du paragraphe précédent, pour une fonction <math>x</math> de plusieurs variables, porte le nom d'équation aux dérivées partielles. L'équivalent du problème de Cauchy s'exprime de manière plus complexe. la condition initiale est remplacée par les ''[[condition aux limites|conditions aux limites]]''. Dans certains cas on recherche comme solution une fonction définie sur <math>\Omega  x [a,b] </math> où <math>\Omega </math> est un ouvert que l'on suppose borné, [[Connexité (mathématiques)|connexe]] et dont la frontière <math>\partial \Omega </math> est régulière<ref group="Note">Ces hypothèses de régularité du domaine ne sont pas générales ; on étudie parfois des domaines dont la frontière est une [[fractale]]. Un article célèbre à ce sujet est {{en}} M. Kac, « Can you hear the fractal dimension of a drum? », ''[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]'', vol. 73, 1966, {{p.|1-23}}.</ref>, <math>[a,b]</math> est un intervalle qui représente le temps. Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond à la valeur ou la limite de la fonction sur <math>\partial \Omega \times ]a,b[</math>. La fonction modélisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante à la limite de la membrane, cette contrainte est appelée la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur <math>\Omega x\{a\}</math> sont appelées la condition initiale ou donnée de Cauchy<ref>Ces expressions sont explicitées dans {{Harvsp|Brezis|p=204}}.</ref>.

En [[météorologie]], la [[prévision numérique du temps]] consiste à modéliser les mouvements de l'[[atmosphère terrestre]] par les [[équations de Navier-Stokes]]<ref>On lit {{Citation|Les écoulements turbulents, et les mouvements de l’atmosphère sont particulièrement turbulents, peuvent être modélisés par les équations de Navier-Stokes}} dans le site : Sur une idée de Philippe Courtier (Météo-France) et Claude Basdevant (ENS-École Polytechnique-Paris) ''[http://smf.emath.fr/files/meteo.pdf Une météo turbulente]'' sur le site de la SMF.</ref>. Une difficulté pratique est de déterminer précisément la donnée de Cauchy : il faudrait mesurer la [[température]], la [[pression]], le taux d'humidité etc en tout point de l'atmosphère. Cette difficulté, ajoutée au fait qu'on ne sait pas résoudre ces équations de manière analytique{{Note|groupe="Note"|texte=On ignore même si elles possèdent des solutions acceptables (ne présentant pas de [[singularité (mathématiques)|singularités]]) ; c'est le sujet de l'un des [[Solutions des équations de Navier-Stokes|problèmes du prix du millénaire]].}} font que les méthodes de résolution utilisées sont numériques : on ne peut calculer que des valeurs approchées<ref>Voir référence précédente.</ref>.

Certaines équations aux dérivées partielles ne sont pas aussi complexes. [[Joseph Fourier|Fourier]], un mathématicien du début du {{s-|XIX}} avait trouvé comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples<ref>L'article original est : [[Joseph Fourier|J. Fourier]], « [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707.f8 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides] », ''Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France'', années 1821 et 1822, t. V, {{p.|153}} à 246, 1826.</ref>. La spécificité de cette équation, comme celle décrivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'être linéaire, c'est-à-dire que l'on peut la mettre sous la forme <math>a(x)+b=0</math>, où <math>a</math> est un [[opérateur linéaire]] construit à l'aide de dérivées partielles et <math>b</math> une fonction particulière. Le cas linéaire est traité par une théorie {{Citation|relativement bien constituée}}<ref>Cette citation provient de {{Chapitre|id=Universalis DP|url=http://www.universalis.fr/encyclopedie/E953331/DERIVEES_PARTIELLES_EQUATIONS_AUX_Theorie_lineaire.htm|titre=Dérivées partielles - Théorie linéaire (équations aux)|titre ouvrage=Encyclopædia Universalis}}.</ref>. L'outil principal est un espace fonctionnel particulier, dit [[espace de Sobolev|de Sobolev]].

D'autres équations restent difficiles d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer difficile<ref group="Note">Une étude de la dynamique des vagues est proposée dans {{en}} D. J. Acheson, ''Elementary Fluid Dynamics'', [[Oxford University Press]], 1990 {{ISBN|0198596790}}, {{p.|56-110}}.</ref>. On est loin de disposer d'une théorie générale<ref>{{Harvsp|Universalis DP|texte=''Universalis'', Dérivées partielles, ''op. cit.''}} précise : {{Citation|En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales}}.</ref>, les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les systèmes dynamiques.

=== Condition initiale ===
[[Fichier:Julia set (highres 01).jpg|vignette|gauche|La frontière d'un [[ensemble de Julia]] est le plus souvent un [[fractale|fractal]].]]
Une des questions qui se pose sur les systèmes dynamiques est la nature de la solution en fonction de sa valeur initiale. Si une petite modification de cette valeur change de manière importante le comportement de la solution, même si le système est ''déterministe'', son évolution semblera ''aléatoire''. Si "déterministe" signifie que toute évolution du système dépend uniquement de sa valeur initiale, sa connaissance parfaite permet de prévoir parfaitement son futur, ce qui est toujours le cas d'un système dynamique idéalisé. En physique, il est impossible de connaître parfaitement l'état initial du système. On le connaît, par exemple avec une précision de <math>5</math> décimales, si la sixième décimale finit par modifier l'évolution du système de manière significative, le futur de l'évolution n'est pas connu (il est même indéterminable), mais dépend d'une information ''inaccessible'' parce qu'idéalisée. Le futur apparaît alors comme incertain, même si les lois modélisant l'évolution sont "déterministes". On voit donc ici les limites de la modélisation. Ce phénomène se produit en météorologie, cette science est modélisée par un système dynamique qui, pour permettre une prévision sur le long terme, demande une connaissance précise de l'état initial. Comme cette connaissance est d'une précision limitée, il existe un ''horizon'' (ou plutôt des horizons plus ou moins divergents) dans la prévision<ref>Ce site précise {{Citation|La plus importante limitation d'un modèle est sa résolution spatiale}}. Cette résolution spatiale correspond à la précision de la connaissance de l'état initial {{Lien archive|auteur=J. Poitevin et A. Beuraud|horodatage archive=20100706022446|url=http://www.cnrm.meteo.fr/curieux/previnum/previnum.htm#2|titre=Modélisation & Prévision numérique, § Les limites de la prévision numérique|site=Météo France (CNRM)}}.</ref>. Si l'équation modélisant la météorologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions dépendent continûment de valeurs aux bornes du domaine de la solution (l'équivalent de la condition initiale pour une équation aux dérivées partielles), cette question est associée à l'un des [[Problèmes du prix du millénaire|sept prix de un million de dollars]] offerts par l'[[Institut de mathématiques Clay]] au premier qui apportera la réponse<ref>''[http://www.claymath.org/millennium/ Millennium Problems]'' par le site officiel du ''{{Lang|en|Clay Mathematics Institute}}''.</ref>.

Une méthode pour apporter des éléments de réponse, est d'étudier les cas les plus simples possibles. On cherche à comprendre ce phénomène sur une suite récurrente définie par l'équation : <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> où <math>f</math> est un polynôme du second degré, réel ou complexe. Un cas très étudié est celui où <math>f(x)=x^2+c</math>. La condition initiale est ici la valeur de <math>x_0</math>, un nombre complexe. <math>J_c</math> est l'ensemble des conditions initiales telles que la suite est bornée, il est appelé [[ensemble de Julia]], dont un exemple est illustré sur la figure de gauche. Toute condition initiale <math>p</math> hors de la [[frontière (topologie)|frontière]] de ''<math>J_c</math>'' possède un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensité symbolise la vitesse de convergence<ref>On trouve l'explication de cette figure dans {{harvsp|Dubois|Chaline|2006}}.</ref>.

Une première question qui se pose est le ''poids'' de la zone frontière. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition initiale, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations ''classiques'', une frontière d'une figure géométrique de dimension <math>2</math> est d'aire nulle, même si la figure possède une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa frontière, un cercle de même rayon, est d'aire nulle. En revanche, le cercle, considéré comme une courbe, possède une [[longueur d'un arc|longueur]] finie. Pour la frontière de l'ensemble de Julia, cette méthode s'avère parfois inopérante, on peut trouver une longueur infinie, si la frontière est considérée comme une courbe<ref>C'est le cas si ''c'' est un réel non nul de l'intervalle ]–2, 2[ : ''[http://www.infres.enst.fr/~vercken/julia/mandel.html Ensemble de Julia]'' par C. Vercken, de l'[[Télécom ParisTech|École nationale supérieure des télécom Paris]].</ref>. Pour évaluer le ''poids'' de cette longueur, on utilise une remarque géométrique. Soit <math>S</math> une surface d'aire <math>s</math>, l'[[homothétie]] de rapport <math>2</math> appliquée à <math>S</math>, définit une nouvelle surface d'aire <math>2^2s</math>. Si <math>V</math> est une figure géométrique de dimension <math>3</math> et de volume <math>v</math>, l'homothétie de rapport <math>2</math> définit une figure de volume <math>2^3v</math>. L'exposant que l'on applique au rapport de l'homothétie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine manière permet une évaluation du ''poids'' de la figure, on parle de [[dimension de Hausdorff]] ou de ''dimension fractale''<ref>Ce site étudie la suite récurrente du paragraphe et définit la dimension fractale. Elle est indiquée comme équivalente à la dimension de Hausdorff-Besicovitch dans les cas simples : ''[https://web.archive.org/web/20100414013023/http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/dimension.html Dimension fractale]'' par J. P. Louvet, de l'[[université de Bordeaux I]].</ref>. Cette technique peut être appliquée à la frontière de l'ensemble de Julia, sa dimension est ''génériquement'' différente de un<ref>Depuis 1991, on sait que cette frontière est ''génériquement'' (c'est-à-dire qu'il existe de rares exceptions) de dimension de Hausdorff égale à 2 : {{en}} {{Lien|Mitsuhiro Shishikura}}, ''The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets'', ''Annals of Mathematics'' (2), vol. 147, {{n°}} 2, 1998, {{p.|225-267}}, {{arxiv2|math/9201282}}.</ref> : la frontière est dite [[fractale]]<ref>Ces informations sont disponibles au paragraphe ''Les nombres complexes et les fractales'' dans ''[https://web.archive.org/web/20100414011114/http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl1.html Quelques informations sur les fractales]'' par J. P. Louvet, de l'université de Bordeaux I.</ref>.

=== Chaos ===
{{Article détaillé|Théorie du chaos}}
[[Fichier:LogisticMap BifurcationDiagram.png|vignette|Une suite récurrente, même définie de manière simple, permet de voir l'apparition d'un phénomène chaotique.]]
La sensibilité à la condition initiale n'est pas l'unique question à résoudre pour élaborer une théorie générale des systèmes dynamiques. On souhaite aussi connaître le comportement limite du système, encore appelé comportement ''asymptotique'', c'est-à-dire ce qu'il se passe une fois que l'on a ''attendu que le système se stabilise''. S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois catégories, soit le système s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers encore autre chose qui, selon certaines définitions, est appelée ''chaos''<ref>Il existe plusieurs définitions différentes. Celle choisie ici est celle que l'on trouve dans {{en}} R. L. Devaney, ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems'', Westview Press, {{2e}} éd., 2003 {{ISBN|0813340853}}, {{p.|48-52}}.</ref>.

Une fois encore, il est utile de considérer le système dynamique le plus simple possible, pour comprendre au moins qualitativement les mécanismes en jeu. Comme précédemment, on utilise une suite récurrente définie par un polynôme du second degré <math>P_r</math>, cette fois-ci réel à valeurs réelles. La [[suite logistique]] est définie par récurrence : <math>x_{r,n+1}=r x_{r,n}(1-x_{r,n})</math>. L'un des charmes de cette suite est que son comportement est relativement indépendant de la condition initiale si elle est choisie entre <math>0</math> et <math>1</math><ref group="Note">Une étude simple est proposée dans [[#Perrin|Perrin, ''op. cit.'']]</ref>.

[[Fichier:Airplane vortex edit.jpg|vignette|gauche|Les [[turbulence]]s générées par les masses d'air autour d'une aile d'avion en mouvement sont chaotiques.]]
L'objectif est d'augmenter la valeur de ''r'', initialement nulle et d'étudier ce comportement asymptotique. Si une fonction <math>f</math> possède un point fixe <math>p_f</math>, de dérivée strictement comprise entre <math>-1</math> et <math>1</math>, en valeur absolue, et si la suite définie par <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> prend une valeur ''proche'' de ce point fixe, elle converge vers <math>p_f</math>. Ce point est dit ''[[attracteur]]'' et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est appelée bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours <math>]0,1[</math>, à un ensemble négligeable près, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble être ''attirée'', comme par un aimant vers cet attracteur. Si <math>r</math> est compris entre <math>0</math> et <math>3</math>, l'attracteur est un point et la suite converge. À partir de la valeur <math>3</math>, le polynôme <math>P_r</math> ne possède plus de point fixe, mais le polynôme composé avec lui-même, en possède un, si <math>r</math> est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de <math>P_r^2</math>. La valeur <math>3</math> de <math>r</math> est appelée une ''bifurcation''. L'attracteur devient un ensemble à deux éléments, illustré sur la figure de droite. Au point <math>1+\sqrt 6</math>, une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur possède alors <math>4</math> points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus en fonction de <math>r</math> par des doublements, jusqu'à atteindre une valeur infinie pour <math>r</math> égale à <math>\mu </math>, qui se situe aux alentours de <math>3,57</math><ref>Voir par exemple [[#Perrin|Perrin, ''op. cit.'']], {{p.|16-25}}.</ref>.

Il devient nécessaire de préciser ce qu'on entend par « attracteur » : ce sera l'intersection des ensembles <math>A_n</math> où ''<math>A_n</math>'' est l'[[adhérence (mathématiques)|adhérence]] des points <math>x_k</math> pour <math>k</math> supérieur à <math>n</math>. Dans le cas de la suite logistique et à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est indépendant de la condition initiale. On peut voir l'attracteur <math>A_r</math> comme un ensemble qui ''attire'' les éléments de la suite, laquelle, à partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de <math>A</math>. Entre <math>\mu </math> et <math>4</math>, un triple comportement est possible. Pour un ensemble <math>H</math> (pour hyperbolique<ref name="La suite logistique et le chaos">[[#Perrin|Perrin, ''op. cit.'']], {{p.|43}}.</ref>) de valeurs du paramètre <math>r</math> qui est un ouvert dense de <math> [\mu , 4]</math>, l'attracteur est un ensemble fini<ref>Ce résultat est beaucoup plus récent : {{en}} [[Mikhail Lyubich]], « Dynamics of quadratic polynomials I, II », ''[[Acta Mathematica|Acta Math.]]'', vol. 178, {{n°}} 2, 1997, {{p.|185-297}}.</ref> (comportement cyclique). Pour un autre ensemble <math>C</math> (pour chaotique<ref name="La suite logistique et le chaos"/>) de valeurs du paramètre, qui est lui fermé, [[Espace totalement discontinu|totalement discontinu]] et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales <math>x_0</math> (dépendant de <math>r</math>) l'attracteur est un intervalle d'intérieur non vide et le comportement est chaotique<ref>Ce résultat est l'œuvre de {{en}} M. V. Jakobson, « Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps », ''Commun. Math. Phys.'', vol. 81, 1981, {{p.|39-88}}.</ref>, c'est-à-dire qu'il évolue sans ordre apparent, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant évoluer au gré du hasard, même si cette évolution est en fait déterministe. Le dernier comportement se produit sur l'ensemble <math>A</math>, complémentaire de l'union de <math>C</math> et de <math>H</math> dans <math> [\mu , 4]</math>. L'ensemble <math>A</math> n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des [[ensemble de Cantor|ensembles de Cantor]]<ref group="Note">Pour comprendre le comportement un peu étrange de la suite dans ce cas particulier, on peut se reporter au gros livre de plus de 600 pages, traitant des questions de cette nature : {{en}} {{Lien|lang=de|Welington de Melo}} et Sebastian van Strien, ''One-Dimensional Dynamics'', Springer, 1996 {{ISBN|978-3-54056412-6}}.</ref>. Depuis [[2002]], on sait que <math>A</math> est de mesure nulle<ref>{{en}} M. Lyubich, « Almost every real quadratic map is either regular or stochastic », ''Ann. Math.'' (2), vol. 156, {{n°}} 1, 2002, {{p.|1-78}}.</ref>.

Ce comportement s'applique aussi aux équations différentielles ou aux dérivées partielles. [[Edward Lorenz]] a trouvé une équation différentielle relativement simple, ayant un attracteur fractal, généralement qualifié d'[[attracteur étrange|étrange]], il est représenté sur la deuxième illustration de cet article<ref>V. Isoz, ''[http://www.sciences.ch/htmlfr/ingenierie/geniemeteo01.php Équation de Lorenz]'', Sciences.ch (Génie marin et météo).</ref>. Certaines équations différentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le [[théorème de Poincaré-Bendixson]] montre une famille d'équations n'ayant pas de comportement chaotique<ref>R. Kollár, ''[http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.math.lsa.umich.edu/~kollar/math404/poincare.pdf&title=The%20Poincar%C3%A9-Bendixon%20theorem The Poincaré-Bendixon theorem]'', [[University of Michigan]].</ref>. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les équations aux dérivées partielles, on les trouve dans les modélisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de [[turbulence]]s. En [[2009]], l'état des mathématiques est loin d'être capable de présenter une condition nécessaire et suffisante générale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique apparaît, même dans le cas des systèmes discrets.

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| wikiversity = Équation polynomiale
| wikiversity titre = Équation polynomiale
}}
{{catégorie principale}}
=== Articles connexes ===
* [[Mise en équation]]
* [[Équation normale]]
* [[Équation polynomiale]]
* [[Équation transcendante]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|lien auteur=Jean-Pierre Aubin|prénom=Jean-Pierre|nom=Aubin|titre=Analyse fonctionnelle appliquée|éditeur=[[PUF]]|année=1987|isbn=978-2-13039264-4}} {{Commentaire biblio|Ce livre aborde l'analyse fonctionnelle sous un aspect didactique. Le choix, que l'auteur commente ainsi {{Citation|... pour garder la longueur de l'exposé dans les limites raisonnables, nous avons choisi de nous placer dans le seul cadre des espaces de Hilbert.}} est essentiellement repris dans l'article pour la rédaction du paragraphe sur l'analyse fonctionnelle.}}
* {{BergerGostiaux1}} {{Commentaire biblio|Cette référence traite de la géométrie, de manière plus complète et moins accessible que {{Harvsp|Trignan|2004}}. L'objet central de l'étude est la [[variété différentielle]] ; on traite aussi des courbes avec une étude globale et des résultats comme le [[théorème de Jordan]]. Ce livre complète les informations des paragraphes sur la géométrie : il traite des théories plus sophistiquées comme les variétés ou la théorie du degré.}}
* {{Ouvrage|prénom=Claude|nom1=Brezinski|prénom2=Michela|nom2=Redivo-Zaglia|titre=Méthodes numériques itératives : Algèbre linéaire et non linéaire|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] Marketing|année=2006|isbn=978-2-72982887-5}} {{Commentaire biblio|Ce livre traite à la fois de l'aspect théorique et pratique des méthodes de résolution d'équations. L'algèbre linéaire n'est pas en reste, mais on trouve aussi comment aborder des problèmes un peu différents, en particulier issus de la géométrie fractale. Cette référence couvre très largement l'intégralité des informations présentées pour la résolution par approximation des équations réelles ou vectorielles dans le cas de la dimension finie.}}
* {{Brezis}} {{Commentaire biblio|Cette introduction à l'analyse fonctionnelle est souvent citée comme référence à la fois accessible et riche. Elle choisit une présentation plus générale et moins didactique, en commençant directement par les propriétés d'un [[espace de Banach]]. L'exemple du paragraphe sur l'analyse fonctionnelle, ainsi que le vocabulaire, provient de cette référence.}}
* {{Ouvrage|lang=en|prénom=David A.|nom1=Cox|titre=Primes of the Form x{{2}} + ny{{2}}|éditeur=Wiley-Interscience|année=1989|isbn=978-0-47119079-0|url=https://books.google.fr/books?id=tlTZC-k-l2EC}} {{Commentaire biblio|Cette référence est très spécialisée. Ce livre de plus de 300 pages traite exclusivement de la résolution des équations diophantiennes du deuxième degré. Avec {{Harvsp|Samuel}}, il est très largement à l'origine du paragraphe « Équation diophantienne ».}}
* {{Douady1}} {{Commentaire biblio|Un livre qui permet d'aller plus loin pour comprendre le traitement d'une équation algébrique. On y trouve l'exemple illustré par la figure ainsi qu'une formulation du [[théorème de d'Alembert-Gauss]]. Son niveau, jugé trop élevé pour l'article, n'est pas à l'origine des idées exprimées dans le paragraphe associé, même s'il a été consulté pour des points de détail.}}
* {{Ouvrage|prénom=Jacques|nom1=Dubois|prénom2=Jean|nom2=Chaline|titre=Le monde des fractales|éditeur=Ellipse|année=2006|isbn=978-2-72982782-3}} {{Commentaire biblio|À la différence des autres ouvrages de référence, celui-là n'est pas universitaire. Son auteur Jacques Dubois, Professeur émérite à l'Institut de Physique du Globe de Paris, a choisi ici une approche didactique sur la sensibilité aux conditions aux limites, reprise par l'article. Cette approche est abordée dans son livre sous l'axe des ensembles de Julia et l'étude de leurs dimensions, à l'image du paragraphe sur la condition initiale.}}
* {{en}} Y. V. Egorov et {{Lien|langue=en|trad=Mikhail Shubin (mathematician)|fr=Mikhail Shubin|texte=M. A. Shubin}}, ''Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations'', Springer-Verlag, {{2e}} éd., 1998 {{ISBN|978-3-54063825-4}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=b19-2-aZVREC}} {{Commentaire biblio|Un livre technique sur les équations aux dérivées partielles, traitant surtout du cas linéaire. Pour être compris, il suppose un bon niveau en mathématiques. L'expression des résultats fait usage de concepts trop sophistiqués pour qu'ils soient véritablement présentés dans l'article.}}
* Niels Ferguson et Bruce Schneier, ''Sécurité de l'information et des systèmes : Cryptographie : En pratique'', Vuibert, 2004 {{ISBN|978-2-71174820-4}} {{Commentaire biblio|Cette référence décrit divers systèmes de cryptographie dont ''RSA''. Elle n'a pas été consultée pour la rédaction de l'article.}}
* [[Tatiana Roque]], Sara Franceschelli et [[Michel Paty]], ''Chaos et systèmes dynamiques'', Hermann, 2007 {{ISBN|978-2-70566687-3}} {{Commentaire biblio|Ce livre définit et étudie les systèmes dynamiques, particulièrement sous la forme d'équations différentielles, même si les équations aux différences finies ou aux dérivées partielles ne sont pas absentes. Les exemples choisis dans l'article comme la météorologie ou l'évolution du système solaire sont traités dans ce livre, qui pousse l'étude à un niveau beaucoup plus élevé que celui de l'article.}}
* {{HardyWright}} {{Commentaire biblio|Cette référence est généraliste. Elle couvre non seulement les informations données sur les équations diophantiennes, même si elle n'a pas été consultée dans cette optique, mais développe aussi des méthodes d'[[approximation diophantienne]] permettant de savoir si un nombre est un rationnel, un entier algébrique ou un nombre transcendant. Ce livre contient les informations du paragraphe sur les nombres algébriques et transcendants.}}
* [[John H. Hubbard]] et Beverly H. West, ''Équations différentielles et systèmes dynamiques'', Vuibert, 1999 {{ISBN|978-2-84225015-7}} {{Commentaire biblio|Une référence très accessible sur l'étude des systèmes dynamiques. L'approche qualitative, ainsi que les simulations sur ordinateurs sont fréquentes, car il est rare de pouvoir exprimer une solution sous une forme explicite. Il couvre l'intégralité des informations du paragraphe sur les équations différentielles. On y trouve la définition d'équation différentielle ainsi que le théorème de Cauchy avec sa démonstration, et l'étude de la {{Citation|forme de Cauchy}}. À l'image de cette référence, l'article étudie surtout les équations différentielles sous l'angle des systèmes dynamiques.}}
* {{Ouvrage|prénom=David C.|nom1=Lay|titre=Algèbre linéaire|éditeur=De Boeck|année=2004|isbn=978-2-80414408-1|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Blv5rHQima8C}} {{Commentaire biblio|Une référence qui traite des équations linéaires, à la fois sous forme de système et de géométrie vectorielle. Il couvre l'intégralité des informations de nature mathématique données dans les deux paragraphes sur l'équation linéaire.}}
* Jean Merker, ''Du trinôme du second degré à la théorie de Galois'', Presses universitaires de Franche-Comté, 2007 {{ISBN|978-2-84867205-2}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=sdlpIBlaiz0C}} {{Commentaire biblio|En supposant un acquis nul, mais une bonne capacité de compréhension, l'auteur parcourt l'essentiel de la ''théorie des équations'', au sens historique du terme. Ce livre couvre le paragraphe « Théorie des équations ».}}
* [[Alfio Quarteroni]], Riccardo Sacco et Fausto Saleri, ''Méthodes Numériques Algorithmes, analyse et applications'', Springer {{ISBN|978-8-84700495-5}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=LcYHRwS8yQwC}} {{Commentaire biblio|Ce livre aborde des techniques d'analyse numérique qui dépassent le cadre strict de l'équation linéaire. Il vise un public d'étudiants de deuxième et troisième cycle universitaire. Ce livre approfondit les résultats de {{Harvsp|Lay|2004}}, mais cet approfondissement n'est pas retranscrit dans l'article.}}
* {{en}} R. Clark Robinson, ''An Introduction to Dynamical Systems'', Prentice Hall, 2004 {{ISBN|978-0-13143140-9}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=7VvhilAs3JIC}} {{Commentaire biblio|Ce gros livre de plus de 600 pages traite des systèmes dynamiques non linéaires, sous forme d'équations différentielles et d'équations aux différences finies. Seule, la deuxième partie, traitant des différences finies, a été consultée. L'exemple de la [[suite logistique]], abordé dans le paragraphe ''Chaos'', est précisément décrit.}}
* {{Samuel1}} {{Commentaire biblio|Comme son nom l'indique, cette référence offre un accès à la théorie algébrique des nombres. Elle présente les outils de base pour la résolution de quelques équations diophantiennes à l'aide d'outils comme les [[entier algébrique|entiers algébriques]]. Il est, avec {{Harvsp|Cox|1989}}, à l'origine de la rédaction du paragraphe « Équation diophantienne ».}}
* {{en}} [[Jean-Pierre Serre]], ''Lectures on the Mordell-Weil Theorem'', Friedrick Vieweg & Son, 1997 {{ISBN|978-3-52828968-3}} {{Commentaire biblio|Ce petit livre (218 pages) montre comment la géométrie algébrique permet de résoudre des équations diophantiennes, il est d'un niveau nettement supérieur aux précédents et couvre le paragraphe sur l'usage de la géométrie algébrique en théorie des nombres, même si le paragraphe est rédigé pour être accessible à un vaste public, alors que cette référence ne l'est pas.}}
* {{Ouvrage|prénom=Jean|nom1=Trignan|titre=Constructions géométriques & courbes remarquables|éditeur=Vuibert|année=2004|isbn=978-2-71177124-0}} {{Commentaire biblio|Ce livre traite de la géométrie et fait largement usage des techniques issues de la [[géométrie analytique]]. On y trouve l'étude des courbes paramétrées, une étude des coniques ou encore la résolution de l'équation algébrique par l'intersection d'un cercle et d'une parabole. Cette référence, plutôt didactique, couvre les aspects élémentaires des deux paragraphes sur la géométrie.}}

=== Notes ===
{{Références|groupe="Note"}}

=== Références ===
{{Références}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* [http://encyclopedia-of-equation.webnode.jp/ Encyclopedia of Equation]: Online encyclopedia of equations.

{{Portail|mathématiques}}
{{Article de qualité|oldid=39728572|date=16 avril 2009|tri=Equation (mathématiques)}}

[[Catégorie:Équation|*]]
[[Catégorie:Vocabulaire de l'algèbre|Equation]]