Voir la source de Équation cubique

[[Fichier:KdV cubic polynomial 2.svg|thumb|right|Une équation cubique admet au plus trois solutions réelles.]]
En [[mathématiques]], une '''équation cubique''' ou '''équation du troisième degré''', est une [[équation polynomiale]] de [[Degré d'un polynôme|degré]] 3, de la forme {{math|''ax''{{3}} + ''bx''{{2}} + ''cx ''+ ''d ''{{=}} 0}} avec {{mvar|a}} non nul, où les [[coefficient]]s {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} et {{mvar|d}} sont en général supposés [[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]].

== Historique ==

=== Antiquité ===
Les équations cubiques étaient connues des anciens [[Mathématiques mésopotamiennes|Babyloniens]], [[Mathématiques de la Grèce antique|Grecs]], [[Mathématiques chinoises|Chinois]], [[Mathématiques indiennes|Indiens]] et [[Mathématiques dans l'Égypte antique|Égyptiens]]<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur=[[Jens Høyrup]]|année=1992|titre=The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis|titre ouvrage=Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday|éditeur=[[Birkhäuser Verlag|Birkhäuser]]|page=315-358|doi=10.1007/978-3-0348-8599-7_16|isbn=978-3-0348-8599-7}}.</ref>{{,}}<ref name="oxf">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Kangshen Shen|auteur2={{Lien|John Newsome Crossley|texte=John N. Crossley}}|auteur3=Anthony Wah-Cheung Lun|titre=The Nine Chapters on the Mathematical Art|sous-titre=Companion & Commentary|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1999|passage=177|isbn=978-0-19-853936-0|lire en ligne={{Google Livres|eiTJHRGTG6YC|page=177}}}}.</ref>{{,}}<ref name="wae">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden]]|titre=Geometry and Algebra of Ancient Civilizations|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1983|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|-pTzCAAAQBAJ|page=97}}|numéro chapitre=4}}.</ref>.

On a trouvé des [[Tablette d'argile|tablettes]] babyloniennes ({{-sp-|XX|au|XVI}}) avec, en écriture [[cunéiforme]], des tables de calcul de [[Cube (algèbre)|cubes]] et de [[Racine cubique|racines cubiques]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Roger Cooke|titre=The History of Mathematics|sous-titre=A Brief Course|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=2012|pages totales=648|passage=63|isbn=978-1-118-46029-0|lire en ligne={{Google Livres|CFDaj0WUvM8C|page autre=PT63}}}}.</ref>{{,}}<ref name="nen">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Karen Rea Nemet-Nejat|titre=Daily Life in Ancient Mesopotamia|éditeur=[[Greenwood Publishing Group|GPG]]|année=1998|pages totales=346|passage=306|isbn=978-0-313-29497-6|lire en ligne={{Google Livres|lbmXsaTGNKUC|page=306}}}}.</ref>. Les Babyloniens auraient pu utiliser ces tables pour résoudre des équations cubiques, mais on n'en a aucune preuve<ref name="co">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Roger Cooke|titre=Classical Algebra|sous-titre=Its Nature, Origins, and Uses|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=2008|pages totales=224|passage=64|isbn=978-0-470-27797-3|lire en ligne={{Google Livres|JG-skeT1eWAC|page=64}}}}.</ref>.

Le plus simple et le plus ancien des problèmes du {{3e|degré}}, le problème de la [[duplication du cube]], était considéré par les anciens Égyptiens comme insoluble<ref>Selon {{Article|lang=en|auteur=Lucye Guilbeau|année=1930|titre=The history of the solution of the cubic equation|revue=Mathematics News Letter|vol=5|numéro=4|p.=8-12|doi=10.2307/3027812|jstor=3027812}} : {{Citation étrangère|lang=en|the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution}}.</ref>. Au {{-s|V}}, [[Hippocrate de Chios|Hippocrate]] réduisit ce problème à celui de trouver deux proportions entre une longueur donnée et son double ({{math|1=''a''/''x'' = ''x''/''y'' = ''y''/(2''a'')}}), mais il ne pouvait pas les [[construction à la règle et au compas|construire à la règle et au compas]]<ref name="Guilbeau">{{Harvsp|Guilbeau|1930|p=8-9}}.</ref>, tâche dont on sait maintenant qu'elle est impossible.

On suppose qu'Hippocrate, [[Ménechme]] (vers [[-380|380]] à [[320 av. J.-C.]]) et [[Archimède]] ([[Syracuse]], [[-287|287]] à [[212 av. J.-C.]]) sont arrivés près de résoudre [[géométrie|géométriquement]] le problème de la duplication du cube par intersection de [[conique]]s<ref name="Guilbeau" /> : Ménechme, pour obtenir {{mvar|x}} tel que {{math|1=''x''{{3}} = ''a''{{2}}''b''}}, se ramène à l'intersection de {{math|1=''x''{{2}} = ''ay''}} ([[parabole]]) et de {{math|1=''xy = ab''}} ([[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]). Si des [[Histoire des mathématiques|historiens des mathématiques]] comme [[Reviel Netz]] mettent en doute le fait que les Grecs pensaient aux équations cubiques comme telles, et pas seulement à des problèmes qui peuvent y conduire, quelques autres, comme [[Thomas Heath]] (qui a traduit les œuvres d'Archimède) sont en désaccord, avançant qu'Archimède a non seulement résolu des équations cubiques par intersection de deux coniques, mais a même discuté des conditions pour que les solutions soient au nombre de 0, 1 ou 2<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=T. L. Heath|titre=The Works of Archimedes|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1897|lire en ligne={{Google Livres|KiVgDwAAQBAJ|page autre=PR123}}}}.</ref>. Archimède avait cherché à couper une [[sphère]] de [[Rayon (géométrie)|rayon]] {{mvar|r}} par un [[Plan (mathématiques)|plan]] de façon que le rapport des [[volume]]s des deux parties ait une valeur donnée {{mvar|k}}. Cela donne une équation du {{3e|degré}} : si {{mvar|h}} est la hauteur d'une des parties, alors {{math|1=''h''{{3}} + (4''kr''{{3}})/(''k ''+ 1) = 3''rh''{{2}}}}.

Au {{s-|III}}, le [[mathématicien]] grec [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]] trouve des solutions réelles ou rationnelles pour certaines équations cubiques à deux [[Variable (mathématiques)|variables]] ([[équations diophantiennes]])<ref name="wae" />{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Thomas L. Heath|titre=Diophantus of Alexandria|sous-titre=A Study in the History of Greek Algebra|éditeur=Martino Pub|année=2009|pages totales=396|passage=87-91|isbn=978-1-57898-754-2|lire en ligne=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala}}.</ref>.

=== Moyen Âge ===
Des méthodes de résolution d'équations cubiques apparaissent dans ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'', un texte mathématique chinois écrit autour du {{-s-|II}} et commenté par [[Liu Hui]] au {{s-|III}}<ref name="oxf" />. Au {{s-|VII}} (sous la [[dynastie Tang]]), l'astronome et mathématicien [[Wang Xiaotong]], dans son traité mathématique intitulé ''[[Jigu Suanjing]]'', pose systématiquement et résout numériquement 25 équations cubiques de la forme {{math|1=''x''{{3}} + ''px''{{2}} + ''qx'' = ''N''}}, dont vingt-trois avec {{Formule|''p'', ''q'' ≠ 0}}, et deux avec {{math|1=''q'' = 0}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Yoshio Mikami]]|titre=The Development of Mathematics in China and Japan|éditeur=Chelsea Publishing Company|année=1974|numéro d'édition=2|année première édition=1913|passage=53-56|isbn=978-0-8284-0149-4|numéro chapitre=8|titre chapitre=Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations}}.</ref>.

Au {{s|XI}}, le [[Littérature persane|poète]]-mathématicien [[Omar Khayyam]] (1048-1131), originaire de [[Histoire de l'Iran#La période seldjoukide et mongole|Perse]], fait des progrès significatifs dans la [[théorie des équations (mathématiques)|théorie des équations]] cubiques. Il découvre qu'une équation cubique peut avoir plus d'une solution et déclare qu'elle ne peut pas être résolue à la règle et au compas. Il trouve aussi une solution géométrique {{Infra|Solution d'Omar Khayyam}}<ref>{{Article|lang=en|titre=A paper of Omar Khayyam|revue=[[Scripta Mathematica|Scripta Math.]]|vol=26|année=1963|p.=323-337}}.</ref>{{,}}<ref>Selon {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam|point=non}} : {{Citation étrangère|lang=en|This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation {{math|1=x''{{3}} + 200''x'' = 20''x''{{2}} + 2000''}} and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle.}}.</ref>. Il est le premier, dans son traité ultérieur ''Démonstrations de problèmes d'[[algèbre]]'' (vers 1070), à classifier complètement les équations cubiques, par intersection de coniques, donnant le nombre des racines réelles et des solutions géométriques générales<ref>Selon O'Connor et Robertson, « Omar Khayyam » , {{op. cit.}} : {{Citation étrangère|lang=en|Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations}}.</ref>{{,}}<ref>Selon {{Harvsp|Guilbeau|1930|p=9}} : {{Citation étrangère|lang=en|Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics}}.</ref>.

Un siècle plus tard, le mathématicien indien [[Bhaskara II]] essaye de résoudre des équations cubiques, sans succès. Cependant, il donne un exemple d'une équation cubique : {{math|1=''x''{{3}} + 12''x'' = 6''x''{{2}} + 35}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Bibhutibhushan Datta|texte=Bibhutibhusan Datta}}|auteur2={{Lien|lang=de|Avadhesh Narayan Singh}}|titre={{Lien|History of Hindu Mathematics: A Source Book}}|volume=2|titre volume=Algebra|éditeur=|année=1938|passage=76|lire en ligne=https://archive.org/stream/in.gov.ignca.7758/7758#page/n93|titre chapitre=Equation of Higher Degree}}.</ref>.

Au {{s-|XII}} encore, un autre mathématicien persan, [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] (1135-1213), écrit le ''Al-Mu'ādalāt'' (''Traité sur les équations''), où il classe les équations cubiques suivant l'existence de racines strictement [[nombre positif|positives]], et non pas, comme Omar Khayyam, suivant le signe des coefficients. Son étude porte sur huit types d'équations cubiques avec des solutions positives, et cinq types d'équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives. Il inaugure à cet effet l'étude des [[fonction polynomiale|fonctions polynomiales]], introduisant leur [[dérivée]], recherchant leurs [[Extremum#Extrémums d'une fonction|extrema]], etc.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}.</ref>. Il comprend l'importance du [[#Discriminant|discriminant]] pour trouver des solutions algébriques à certains types d'équations cubiques<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[John Lennart Berggren|J. L. Berggren]]|année=1990|titre=Innovation and tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt|revue=[[Journal of the American Oriental Society|JAOS]]|vol=110|numéro=2|p.=304-309|jstor=604533}}.</ref>. Il utilise aussi ce qui sera connu plus tard comme la « [[méthode de Ruffini-Horner]] » pour approcher numériquement la solution d'une équation cubique. Il résout les problèmes liés à l'homogénéité de [[dimension]] : le nombre {{mvar|x}} s'identifie aussi bien à une [[longueur]] qu'à une [[Aire (géométrie)|aire]] [[rectangle|rectangulaire]] de côtés {{math|1}} et {{mvar|x}} ou encore à un [[volume]] {{math|(1, 1, ''x'')}}.

[[Leonardo Fibonacci]] a donné, dans son ouvrage ''Flos'' (1225), une [[valeur approchée]] extrêmement précise (à 10{{exp|–9}} près) de la solution positive de l'équation cubique {{math|1=''x''{{3}} + 2''x''{{2}} + 10''x'' = 20}} : en [[base 60]], il a donné le résultat 1, 22, 7, 42, 33, 4, 40, qui signifie : 1&nbsp;+&nbsp;22/60&nbsp;+&nbsp;7/60{{2}}&nbsp;+&nbsp;42/60{{3}}&nbsp;+&nbsp;33/60{{4}}&nbsp;+&nbsp;4/60{{5}}&nbsp;+&nbsp;40/60{{6}}<ref>{{MacTutor|id=Fibonacci|title=Leonardo Pisano Fibonacci}}.</ref>.

=== Renaissance ===

==== Scipione del Ferro ====
En 1494, [[Luca Pacioli]] écrit un important traité : ''{{lang|la|Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita}}''. Il y fait la somme des connaissances en mathématiques (plus particulièrement en algèbre) transmise par les [[Mathématiques arabes|Arabes]]. On trouve dans ce traité la résolution complète des équations des premier et deuxième degrés sans les solutions [[nombre négatif|négatives]]. Concernant les équations de degré trois, il reconnait que celles-ci semblent non résolubles par des méthodes algébriques, compte tenu des connaissances mathématiques atteintes{{sfn|Tartaglia|Hamon|Degryse|2010|p=12}}.

[[Scipione del Ferro]] est enseignant à l'[[université de Bologne]] de 1496 à 1526{{sfn|Serfati|1992|p=7}}. Il est possible qu'il y ait rencontré [[Luca Pacioli]] qui y enseignait entre 1501 à 1502<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Quadratic_etc_equations|title=History of quadratic, cubic and quartic equations}}.</ref>. La suite de l'histoire ne nous est connue que par les témoignages de son gendre, [[Annibal de la Nave]] (ou Hannival Nave), marié à sa fille, Filippa, et d'un de ses élèves [[Antonio Maria del Fiore]]{{sfn|Serfati|1992|p=8}}. Vers les années 1510-1515, del Ferro aurait découvert une méthode fournissant une solution, sous forme de [[Racine d'un nombre|radicaux]], de la racine réelle de l’équation du troisième degré sans terme quadratique (coefficient de {{math|''x''{{2}}}} [[zéro|nul]]). La découverte de cette formule est un immense pas en avant dans l’[[histoire des équations]]. Les travaux de del Ferro portent essentiellement sur la résolution des équations de la forme {{math|1=''x''{{3}} = ''px'' + ''q''}}, {{math|1=''x''{{3}} + ''px = q''}} ou {{math|1=''x''{{3}} + ''q = px''}}, où {{mvar|p}} et {{mvar|q}} sont des [[entier naturel|entiers naturels]] (on ne travaillait autrefois qu’avec des nombres positifs, les [[Nombre négatif|nombres négatifs]] paraissent encore étranges et d'un maniement délicat), formes aujourd’hui unifiées et généralisées par {{nobr|{{math|1=''x''{{3}} + ''px'' + ''q'' = 0}}}} où {{mvar|p}} et {{mvar|q}} sont des [[entier relatif|entiers relatifs]].

Il consigne ses travaux dans des notes personnelles et dans un cahier. En raison de sa réticence (courante à l’époque), il ne publie pas son œuvre, et ne veut communiquer ses travaux qu’à un groupe très réduit de personnes, quelques amis et élèves.

À sa mort en 1526, son gendre, Annibal de la Nave, également mathématicien, qui lui succède à l'université de Bologne<ref> Encyclopaedia Universalis, [https://www.universalis.fr/encyclopedie/scipione-del-ferro/ del Ferro Scipione]</ref>, aurait hérité de ses notes, et donc de toutes ses découvertes inscrites dans ce fameux cahier. Selon [[Morris Kline]], del Ferro aurait confié sa méthode à la fois à Fiore et à de la Nave<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=M. Kline|titre=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|lieu=New York|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1972|passage=263|isbn=|lire en ligne=https://archive.org/stream/MathematicalThoughtFromAncientToModernTimes/Mathematical_Thought_from_Ancient_to_Modern_Times#page/n281}}.</ref>.
Toutefois, ses notes ont depuis définitivement disparu, et il ne reste aucune trace directe de ses travaux.

==== Niccolò Fontana Tartaglia ====
[[Fichier:Niccolò_Tartaglia.jpg|vignette|Niccolò Fontana Tartaglia.]]
Le reste des évènements est raconté par Tartaglia et Cardan.
 
En 1530, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] reçoit deux problèmes d'équations cubiques de Zuanne da Coi{{sfn|Nordgaard|1938|p=331}}. Da Coi est connu pour proposer des problèmes dont lui-même ne connait pas la solution. Une des équations est de la forme {{math|1=''x''{{3}} + ''mx''{{2}} = ''n''}}  et Tartaglia lui répond qu'il est convaincu de connaitre une méthode générale de résolution pour ce type d'équation{{sfn|Nordgaard|1938|p=332}}. Il est aussitôt contesté par [[Antonio Maria del Fiore|Fiore]], ce qui les conduit à un célèbre concours, en 1535. Chaque participant doit proposer trente problèmes dont il connait la résolution à son rival, le gagnant doit offrir 30 banquets au perdant{{sfn|Serfati|1992|p=9}}.

Fiore propose des questions se réduisant à des équations de la forme {{math|1=''x''{{3}} + ''mx'' = ''n''}}, pour lesquelles il connait une méthode générale de résolution. Les questions de Tartaglia sont plus diverses et certaines d'entre elles conduisent à des équations de la forme {{math|1=''x''{{3}} + ''mx''{{2}} {{=}} ''n''}}{{sfn|Nordgaard|1938|p=333}}. Selon Tartaglia, il ne connaissait alors pas de méthode de résolution pour les équations de Fiore et ce n'est que 8 jours avant la date limite du concours qu'il aurait trouvé la méthode générale et aurait résolu en quelques heures les trente équations proposées par son concurrent alors que ce dernier n'aurait pas pu résoudre toutes les siennes{{sfn|Serfati|1992|p=9}}.
 
Beau joueur, il renonce à réclamer le prix des trente banquets. Il conserve secrète sa méthode de résolution, à l’instar de [[Scipione del Ferro]].

==== Jérôme Cardan ====
En tant que conférencier de mathématique à [[Milan]], [[Jérôme Cardan]] connaissait le problème de la résolution du {{3e|degré}}. Il était d'accord avec la ''Summa'' de Luca Pacioli qui déclarait que la résolution algébrique des équations du {{3e|degré}} était impossible. Il est donc très intrigué après le défi entre Fiore et Tartaglia. En 1539, il contacte Tartaglia et lui demande de lui confier sa méthode en lui promettant de garder le secret. Ce dernier refuse. Cardan lui propose de le présenter au Marquis d'Avalos, gouverneur de Milan, qui pourrait apporter à Tartaglia protection et soutien{{sfn|Serfati|1992|p=12}} . Tartaglia révise alors sa position, réalisant que l'appui du [[milan|gouvernement milanais]] pouvait être une aide non négligeable à son ascension sociale. Il accepte de se rendre à Milan et finit par céder aux arguments de Cardan. Il consent à lui révéler sa méthode de résolution des équations incomplètes, à condition que ce dernier jure de ne jamais la divulguer. Il la lui confie sous la forme cryptée d'un poème que Cardan met quelque temps à comprendre.

En 1542, Cardan et [[Ludovico Ferrari]] se rendent à [[Bologne]] et apprennent d'Annibal de la Nave que Scipione del Ferro avait résolu bien avant Tartaglia les équations du {{3e|degré}}. Pour le leur prouver, il leur aurait montré le cahier du feu Del Ferro{{sfn|Serfati|1992|p=15}} . Bien qu'il ait juré de ne jamais révéler la [[méthode de Cardan|méthode de Tartaglia]], Cardan pense que rien  ne l'empêche de publier celle de Del Ferro.

En 1545, Cardan publie ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Ars Magna]]'' (Le Grand Art). Il y expose la méthode de résolution de Tartaglia en lui en attribuant bien la paternité. Il complète son exposé par une justification de la méthode et l'étend  à l'ensemble de tous les autres cas. Il publie, à cette occasion, la méthode de résolution de l'équation du {{4e|degré}} mis au point par son élève [[Ludovico Ferrari]]. L'importance de l’œuvre de Cardan fait que la postérité ne retiendra que son nom et que  cette méthode de résolution va porter le nom de [[méthode de Cardan]].

Tartaglia est furieux quand il découvre que Cardan a transgressé sa promesse. Il publie, en 1546, un livre ''Quesiti et inventioni diverse'' (Quelques problèmes et inventions) dans lequel il révèle sa version de l'histoire et sans cacher le parjure de Cardan. Furieux, il y insulte violemment Cardan qui est défendu par Ferrari. S'ensuivent une série de défis et de réponses entre Ferrari et Tartaglia qui les conduisent à un débat public en 1548, dans une église à Milan devant quelques personnalités. Sur l'issue de ce débat, les récits diffèrent : d'après Cardan, Ferrari aurait fait une meilleure prestation que Tartaglia, tandis que Tartaglia accuse Ferrari d'avoir réuni un public acquis à sa cause qui  l'aurait empêché de développer ses idées{{sfn|Serfati|1992|p=15}}. Tartaglia déclare alors forfait et quitte Milan.

Il reste cependant un cas qui pose problème à Cardan : le cas où la résolution de l'équation du second degré auxiliaire conduit à un discriminant négatif. C'est ce qu'on appelle le cas irréductible. L'équation admet pourtant des solutions réelles. Dans les échanges entre Tartaglia et Cardan entre 1539 et 1542, Cardan évoque ce problème et reçoit de Tartaglia  une réponse élusive : il y aurait alors « d'autre façons » de résoudre l'équation{{sfn|Serfati|1992|p=14}}. Dans son ''Ars Magna'', Cardan présente bien un cas de résolution d'équation du second degré avec discriminant négatif  utilisant des quantités non réelles sorties de son imagination. Mais il n'exploite pas cette idée pour la résolution de l'équation du troisième degré<ref>Denis Daumas, ''[http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/Daumas_Cardan.pdf «Dimissis incruciationibus» ou la première apparition d'une racine carrée d'une quantité moindre que zéro], Irem de la Réunion</ref>. Il faut attendre Bombelli et la mise en place des [[nombre complexe|nombres complexes]] pour que ce sujet soit abordé.

==== Raphaël Bombelli ====
Après qu'en 1546, la controverse entre Cardan et Tartaglia devint publique avec la parution des ''Quesiti et inventioni diverse'' de Tartaglia, [[Raphaël Bombelli]], admirateur de Cardan, conçut le projet d'écrire un traité d'algèbre : ''Algebra''. Celui-ci, exposition systématique et logique des connaissances algébriques de l'époque, est rédigé entre 1557 et 1560, et reprend les travaux de Cardan de son vivant. Cette œuvre ne sera publiée que quelques mois avant la mort de son auteur.

En ce qui concerne les équations de degré supérieur à 2, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs, mais son habileté et sa maîtrise à utiliser formellement les [[Racine d'un nombre|racines de nombres]] négatifs le rendent capable d'établir que la formule de Scipione del Ferro est valable dans tous les cas. On peut dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient. L'équation du {{4e|degré}} est aussi traitée par la [[méthode de Ferrari]].

En étudiant les formules de Cardan, il est amené à introduire son fameux ''piu di meno''. Les [[nombre complexe|nombres imaginaires]] sont nés. Il remarqua que lorsque la formule de Cardan aboutissait à un [[#Discriminant|discriminant]] négatif, la méthode géométrique donnait une solution réelle positive. Il sera le premier à utiliser dans ses calculs, à titre transitoire, des [[Racine carrée|racines carrées]] imaginaires de nombres négatifs pour obtenir finalement la solution réelle tant recherchée. Il arriva à la conclusion que toute équation du {{3e|degré}} possédait au moins une solution réelle.

Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, ''piu di meno'' et ''meno di meno''. Bombelli considère les racines des équations comme des sommes algébriques de nombres positifs affectés d'un des quatre signes suivants : ''piu'', ''meno'', ''piu di meno'', ''meno di meno'', qui correspondent à peu près aux signes modernes {{math|+, –, +i, –i}}.

=== Successeurs ===
[[François Viète]] (1540-1603) a dérivé la solution trigonométrique pour des équations cubiques avec trois racines réelles, et [[René Descartes]] (1596-1650) a étendu le travail de Viète<ref name="Nickalls">Nickalls, R. W. D. (July 2006), [http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf "Viète, Descartes and the cubic equation"] (PDF), ''Mathematical Gazette'', '''90''': 203–208</ref>.

C'est [[Leonhard Euler]] (1707-1783)<ref>{{la}} L. Euler, ''« [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E030.pdf De formis radicum aequationum cujusque ordinis conjectatio] »'', dans ''Comment. [[Académie des sciences de Russie|Petropol.]]'' 1732-1733 (publié en 1738), {{pc|vi}}, p. 216-231 (E30), traduction en anglais disponible sur {{arxiv2|0806.1927}}.</ref> qui aura éclairci la détermination des trois racines d’une équation cubique<ref>{{en}} [[David Eugene Smith]], ''History of mathematics'', vol. 2, Dover, 1958 ({{1re}} éd. 1925) {{ISBN|978-0-48620430-7}}, [https://books.google.fr/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA464 p. 464]</ref>.

== Résolution ==
On considère une équation cubique, de la forme <math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 </math>, avec <math>a \neq 0</math>. En posant <math> x = y-\frac{b}{3a} </math>, on se [[#Expression_des_solutions|ramène]] à une équation de la forme <math> y^3 + py + q = 0 </math> (cette technique [[équation polynomiale#Élimination du terme sous-dominant|se généralise à tout degré]])<ref>Pour plus de détails,
{{Voir autre projet|Équation du troisième degré/Méthode de Cardan#Élimination du monôme de degré 2|« Élimination du monôme de degré 2 » dans la leçon « Équation du troisième degré »|projet=Wikiversité}}.</ref>.

=== Discriminant ===
Le [[discriminant]] est <math> \Delta = - 4p^3 - 27q^2 = \frac{18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2}{a^4} </math>.
L'équation a une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul<ref>Cette égalité est mentionnée dans l'introduction de {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Israel Gelfand]]|auteur2=[[Mikhail Kapranov]]|auteur3=[[Andrei Zelevinsky]]|titre=Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|collection=Modern Birkhäuser Classics|année=2008|année première édition=1994|passage=1|isbn=978-0-8176-4770-4|lire en ligne={{Google Livres|2zgxQVU1hFAC|page=1}}}} et démontrée par exemple dans la {{Note autre projet|Wikiversité|Équation_du_troisième_degré/Généralités_sur_les_équations_du_troisième_degré#Discriminant_d’un_polynôme_de_degré_3|section « Discriminant d'un polynôme de degré 3 » de la leçon « Équation du troisième degré »|début=|point=non}}, liée [[#Voir aussi|en bas de cette page]].</ref>.

Dans le cas d'une équation à coefficients réels, le nombre de racines réelles est déterminé par le signe du discriminant<ref>Pour une démonstration, voir par exemple la même section « Discriminant d'un polynôme de degré 3 » de la leçon « Équation du troisième degré » sur [[Wikiversité]]
.</ref> :
*si {{math|Δ > 0}}, alors l'équation admet trois racines réelles distinctes ;
*si {{math|Δ {{=}} 0}}, alors l'équation admet une [[Racine multiple|racine double ou triple]] et toutes ses racines sont réelles ;
*si {{math|Δ < 0}}, alors l'équation admet trois racines distinctes, dont une réelle et deux complexes conjuguées.

=== Méthodes algébriques classiques ===

==== Méthode de Cardan ====
La méthode de del Ferro et Tartaglia, publiée par Cardan {{supra|Jérôme Cardan (1501-1576)}}, est exposée dans :
{{Article détaillé|Méthode de Cardan}}

==== Substitution de Viète ====
La méthode de [[François Viète|Viète]] pour résoudre
:<math> y^3 + py + q = 0 </math>,
plus simple que celle de Cardan mais aboutissant aux mêmes formules, consiste (si {{math|''p'' ≠ 0}}) à poser
:<math>y = u - \frac{p}{3u}</math>.
On obtient alors une [[équation du second degré]] sur <math> z = {u}^3 </math> :
:<math> {u}^6 + q{u}^3 - \frac{p^3}{27}={z}^2 + qz - \frac{p^3}{27}=0</math>
de [[discriminant]] égal à <math>q^2+\frac {4p^3}{27}=-\frac\Delta{27}</math> ; c'est donc précisément lorsque cette équation n'a pas de racines réelles que l'équation originale en possède trois.

Pour plus de détails :
{{Voir autre projet|Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan|Exercice 4-5 de la leçon « Équation du troisième degré »|projet=Wikiversité}}

==== Méthode de Lagrange ====
La méthode de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] pour les équations cubiques aboutit aux mêmes formules que celle de Cardan, mais par des idées qui {{Citation|peuvent être considérées comme les prémices de la [[théorie de Galois]]}} et dans lesquelles {{Citation|[[Évariste Galois|Galois]] trouva d'ailleurs certainement son inspiration}} ; elles permirent à [[Équation quartique#Méthode de Lagrange|Lagrange de résoudre aussi les équations de degré 4]], et de {{Citation|pressent[ir] que [[Théorème d'Abel (algèbre)|les équations de degré supérieur ne sont pas résolubles en général]] et développe[r] même quelques arguments en faveur de cette hypothèse}}<ref>{{Lien web|url=http://images.math.cnrs.fr/Resolution-des-equations-de-degre.html|titre=Résolution des équations de degré 3 et 4|date=30/1/2014|auteur=Amine Marrakchi|site=[[Images des mathématiques]]}}.</ref>.

Les étapes pour résoudre {{math|''ax''{{3}} + ''bx''{{2}} + ''cx ''+ ''d ''{{=}} 0}} sont de :
*numéroter arbitrairement les solutions <math>x_0,x_1,x_2</math> ;
*poser <math>y_0=x_0+x_1+x_2,\quad y_1=x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2,\quad y_2=x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2</math> ;
*« remarquer » que <math>y_0,\;y_1y_2,\;y_1^3+y_2^3</math> sont des [[Polynôme symétrique|polynômes symétriques]] en <math>x_0,x_1,x_2</math> ;
*les exprimer en fonction de <math>a,\,b,\,c,\,d</math> ;
*calculer alors <math>\{y_1,y_2\}</math>, en résolvant l'équation du second degré dont <math>y_1^3,\,y_2^3</math> sont solutions ;
*en déduire les valeurs de <math>x_0=\frac{y_0+y_1+y_2}3</math> et de <math>\{x_1,x_2\}=\left\{\frac{y_0+\mathrm j^2y_1+\mathrm jy_2}3,\frac{y_0+\mathrm jy_1+\mathrm j^2y_2}3\right\}</math>.

Pour plus de détails :
{{Voir autre projet|Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan|Exercice 4-6 de la leçon « Équation du troisième degré »|projet=Wikiversité}}

==== Autres méthodes ====
* [[Méthode de Tschirnhaus]]
* [[Méthode de Bézout]]
*Certaines équations cubiques peuvent être résolues par la [[trigonométrie]]<ref>Pour voir le chapitre « Résolutions trigonométriques » de la leçon sur Wikiversité, suivre le lien [[#Voir aussi|en bas de cette page]].</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|auteur=J. Plante|titre=Cubic Equations from an Analytic Point of View
|périodique=Amer. Math. Monthly|numéro=9|volume=125|année=2018|pages=845-849|doi=10.1080/00029890.2018.1507207
}}.</ref>, circulaire<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William Press (scientifique)|W. H. Press]]|auteur2=[[Saul Teukolsky|S. A. Teukolsky]]|auteur3=W. T. Vetterling|auteur4=B. P. Flannery|titre=[[Numerical Recipes]]: The Art of Scientific Computing|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2007|numéro d'édition=3|pages totales=1235|passage=228|isbn=978-0-521-88068-8|lire en ligne={{Google Livres|1aAOdzK3FegC|page=228}}}}
</ref> ou [[Fonction hyperbolique|hyperbolique]].
Les coefficients ne sont pas nécessairement des nombres complexes. Une grande partie des méthodes de résolution est valable pour des coefficients dans n'importe quel [[Corps commutatif|corps]] de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle ou strictement supérieure à {{math|3}}. Les solutions de l'équation cubique n'appartiennent pas nécessairement au même domaine que celui des coefficients. Par exemple, certaines équations cubiques à coefficients [[Nombre rationnel|rationnels]] ont des racines complexes non rationnelles (voire non réelles).

=== Expression des solutions ===
Soit <math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 </math>, avec <math>a \neq 0</math>. On pose <math> x = y-\frac{b}{3a} </math> et, après division par <math> a </math>, on se ramène à <math> y^3 + py + q = 0 </math> avec <math> \begin{cases} p = \frac{3ac-b^2}{3a^2} \\ q = \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{cases} </math>.

{{boîte déroulante
| titre = Transformation de Tschirnhaus
| contenu =
On a  <math> a\left(y-\frac{b}{3a}\right)^3 + b\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2 + c\left(y-\frac{b}{3a}\right) + d = 0 </math>,

soit <math> a\left(y^3-\frac{b}{a}y^2+\frac{b^2}{3a^2}y-\frac{b^3}{27a^3}\right) + b\left(y^2-\frac{2b}{3a}y+\frac{b^2}{9a^2}\right) + c\left(y-\frac{b}{3a}\right) + d = 0 </math>,

soit <math> ay^3 + \left(\frac{ab^2-2ab^2+3a^2c}{3a^2}\right)y + \left(\frac{-ab^3+3ab^3-9a^2bc+27a^3d}{27a^3}\right) = 0 </math>,

soit <math> y^3 + \left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)y + \left(\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\right) = 0 </math>,

soit <math> y^3 + py + q = 0 </math>.
}}

On pose 
:<math>u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} </math>
:<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} </math>
où les symboles <math>\sqrt[n]{A}</math> doivent être compris comme une des racines nièmes complexes de A. Il existe donc 3 valeurs possibles complexes pour une racine cubique et deux valeurs possibles pour une racine. Il est nécessaire ''d'apparier'' <math> u</math> et <math> v</math> par la condition 
:<math>uv=-p/3</math>
Les solutions générales sont alors
: <math>x_1=-\frac{b}{3a} + u + v</math>
: <math>x_2=-\frac{b}{3a} + ju + j^2v</math>
: <math>x_3=-\frac{b}{3a} + j^2u + jv</math>
où <math>j=\mathrm e^{2\mathrm i\pi/3} = -\frac 12 + \mathrm i \frac{\sqrt 3}{2}</math>

Pour la forme des solutions dans le cas d'une équation cubique à coefficients réels, voir [[Méthode de Cardan#Formules de Cardan|Formules de Cardan]]

{{boîte déroulante
| titre = Expression finale des solutions
| contenu =
Finalement, les trois racines, qui peuvent dans certains cas être égales, sont :

<math> \begin{cases}
   x_1 = -\frac{b}{3a} - \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} - \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
 \\
x_2 = -\frac{b}{3a} - \mathrm{j}\sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} - \mathrm{j}^2\sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
 \\
x_3 = -\frac{b}{3a} - \mathrm{j}^2\sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} - \mathrm{j}\sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{cases} </math>
avec
<math> \begin{cases}
   p = \frac{3ac-b^2}{3a^2} 
\\ q = \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}  
\\ \mathrm{j} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}} \text{ avec } k\in\{0;1;2\} 
\end{cases} </math>

Soit :

{{Petit|
<math>
\begin{cases}
x_1 = -\frac{b}{3a} - \frac{1}{3a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\right]} - \frac{1}{3a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\right]}
\\
x_2 = -\frac{b}{3a} + \frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{6a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\right]} + \frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{6a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\right]}
\\
x_3 = -\frac{b}{3a} + \frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{6a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\right]} + \frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{6a}&\sqrt[3]{\frac12\left[2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4 \left(b^2-3ac\right)^3}\right]}
\end{cases}
</math>
}}
<math>
\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3 = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
   3ac-b^2 \neq 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{9ad-bc}{2b^2-6ac} \text{ et } x_3 = \frac{4abc-9a^2d-b^3}{ab^2-3a^2c}
\\ 3ac-b^2 =    0 \Rightarrow x_1 = x_2 = x_3 = -\frac{b}{3a}
\end{cases}
</math>
}}

=== Factorisation ===
Si l'équation cubique {{Formule|''ax''{{3}} + ''bx''{{2}} + ''cx'' + ''d'' {{=}} 0}} a des coefficients entiers et une racine rationnelle, elle peut être trouvée à l'aide du [[Racine évidente|test de racine rationnelle]]. Ce test peut également être utilisé pour une équation à coefficients rationnels : par multiplication par le plus petit [[dénominateur commun]] des coefficients, on obtient une équation à coefficients entiers qui a exactement les mêmes racines.

Trouver une racine permet de trouver les deux autres racines en factorisant puis en résolvant une [[équation quadratique]], ce qui permet d'écrire toutes les racines sans utiliser de racines cubiques : si {{mvar|r}} est une racine de l'équation cubique, alors nous pouvons mettre en facteur {{Formule|''x'' − ''r''}}, par exemple en utilisant une [[division polynomiale]], pour obtenir
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=\left (x-r\right )\left (ax^2+(b+ar)x+c+br+ar^2 \right )</math>.
Par conséquent, si nous connaissons une racine, nous pouvons trouver les deux autres en utilisant la formule quadratique pour trouver les racines de {{Formule|''ax''{{2}} + (''b'' + ''ar'')''x'' + ''c'' + ''br'' + ''ar''{{2}}}}, ce qui donne :
: <math> \frac{-b-ra \pm \sqrt{b^2-4ac-2abr-3a^2r^2}}{2a} </math>
pour les deux autres racines.

Cela est particulièrement utile si les coefficients et les trois racines sont réelles, cas où la solution algébrique générale [[Casus irreducibilis|exprime inutilement les racines réelles en termes d'entités complexes]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=Sara Confalonieri|titre=The ''casus irreducibilis'' in Cardano's ''Ars Magna'' and ''De Regula Aliza''|revue=[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]]|vol=69|numéro=3|année=2015|doi=10.1007/s00407-015-0149-9}}.</ref>.

=== Méthodes géométriques ===
==== Solution d'Omar Khayyam ====
[[Fichier:Omar_Kayyám_-_Geometric_solution_to_cubic_equation.svg|droite|vignette|Solution géométrique d'Omar Khayyam d'une équation cubique, pour le cas {{Formule|''m'' {{=}} 2}}, {{Formule|''n'' {{=}} 16}}, donnant la racine {{Formule|2}}. Le fait que la ligne verticale croise l'axe x au centre du cercle est spécifique à cet exemple.]]
Comme représenté ci-contre, pour résoudre l'équation du troisième degré {{Formule|''x''{{3}} + ''m''{{2}}''x'' {{=}} ''n''}} où {{Formule|''n'' > 0}}, [[Omar Khayyam]] a construit la parabole {{Formule|''y'' {{=}} ''x''{{2}}/''m''}}, le cercle de diamètre le [[Segment (mathématiques)|segment]] {{Formule|[0, ''n''/''m''{{2}}]}} sur l'axe des {{mvar|x}}, et la droite verticale passant par le point au-dessus de l'axe des {{mvar|x}} où le cercle et la parabole se croisent. La solution est donnée par la longueur du segment de droite horizontal qui joint l'origine à l'intersection de la droite verticale et de l'axe des {{mvar|x}}.

Une preuve simple et moderne de la méthode est la suivante : en multipliant l'équation par {{mvar|x}} et en regroupant les termes, nous obtenons
: <math>\frac{x^4}{m^2}= x\left(\frac n{m^2}-x\right)</math>.
Le membre de gauche est la valeur de {{mvar|y}}{{2}} sur la parabole. L'équation du cercle étant {{Formule|''y''{{2}} + ''x''(''x'' − ''n''/''m''{{2}}) {{=}} 0}}, le membre de droite est la valeur de {{Formule|''y''{{2}}}} sur le cercle.

==== Solution par trisection de l'angle ====
Une équation cubique à coefficients réels peut être résolue géométriquement [[Construction à la règle et au compas|en utilisant la règle, le compas]] et la [[trisection de l'angle]], si et seulement si l'équation admet trois solutions réelles<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Andrew M. Gleason]]|titre=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon |revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|année=1988|volume=95|numéro=3|p.=185-194|doi=10.1080/00029890.1988.11971989}}, Thm. 1.</ref>.

Algébriquement, on montre que l'équation initiale peut se mettre sous la forme réduite <math>4z^3-3z=w</math> par une transformation lineaire sur <math>x</math>. Cette forme réduite correspond terme à terme à l'identitié trigonométrique <math>4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)=\cos(3\theta)</math>. Connaissant <math>w</math>, on tire <math>3\theta</math> et les trois valeurs de <math>\theta</math> par périodicité.

== Applications ==
Les équations cubiques apparaissent dans divers contextes.

L'aire d'un [[heptagone régulier]] peut être exprimée en termes des racines d'une équation cubique. En outre, le rapport des rayons des cercles [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|inscrit]] et [[cercle circonscrit|circonscrit]] du [[triangle heptagonal]] est l'une des solutions d'une équation cubique.

Étant donné le cosinus (ou toute autre [[fonction trigonométrique]]) d'un angle quelconque, le cosinus d'un [[Trisection de l'angle|tiers de cet angle]] est l'une des racines d'une équation cubique.

Les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] d'une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] 3 × 3 sont les racines d'un polynôme cubique, qui est le [[polynôme caractéristique]] de la matrice.

En [[chimie analytique]], l'équation de Charlot, qui peut être utilisée pour trouver le [[pH]] des [[Solution tampon|solutions tampons]], peut être résolue en utilisant une équation cubique.

En [[génie chimique]] et [[thermodynamique]], les [[Équation d'état cubique|équations d'état cubiques]] sont utilisées pour modéliser le comportement des substances de [[Équation d'état|PVT]] (pression, volume, température).

Les [[Cinématique|équations cinématiques]] impliquant l'évolution des [[À-coup|taux d'accélération]] sont cubiques.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Cubic function|738007789|type=n}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Équation du troisième degré
  | wikiversity titre = Équation du troisième degré
}}
=== Articles connexes ===
* [[Équation quartique]]
* [[Équation quintique]]
* [[Fonction cubique]]
* [[Méthode de Newton]]
* [[Zéros complexes d'équations réelles]]

=== Liens externes ===
*{{MacTutor|class=HistTopics|id=Quadratic_etc_equations|title=History of quadratic, cubic and quartic equations}}
*{{Lien web|url=http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Eqa3d.htm|titre=Équations du troisième degré|auteur=Gérard Villemin|site=Nombres - Curiosités, théorie et usages}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://nm.mathforcollege.com/mws/gen/03nle/mws_gen_nle_bck_hiscubic.pdf|titre=Background of Quadratic Equations|site=mathforcollege.com}}

=== Bibliographie ===
*{{Article |auteur1= [[Michel Serfati]]|titre= Le secret et la règle|périodique= Séminaire de Philosophie et Mathématiques|numéro=6 |date=1992 |pages=1-39 |lire en ligne=http://www.numdam.org/item?id=SPHM_1992___6_A1_0 |consulté le=6 octobre 2018 }}
*{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Niccolo Tartaglia |auteur2=Gérard Hamon |auteur3=Lucette Degryse |titre=Questions et inventions diverses, livre IX |sous-titre=L'invention de la résolution des équations du troisième degré |lieu=Paris |éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] |collection=Histoire des sciences |année=2010 |pages totales=251 |isbn=978-2-7056-7034-4 |présentation en ligne=http://excerpts.numilog.com/books/9782705670344.pdf}}
*{{Article|langue=en|auteur1=Martin A. Nordgaard|titre=Sidelights on the Cardan-Tartaglia controversy|périodique=National Mathematics Magazine|volume=12|numéro=7|mois=avril|année=1938|pages=327-346|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/3028578}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=William S. Anglin|auteur2=[[Joachim Lambek]]|titre=The Heritage of Thales|éditeur=Springer|année=1995|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|mZfXHRgJpmQC|page=125}}|titre chapitre=24 et 25}}
*{{Article|lang=en|auteur=T. Dence|année=1997|titre=Cubics, chaos and Newton's method|revue=[[The Mathematical Gazette]]|vol=78|numéro=492|p.=347-348|doi=10.2307/3619617}}
*{{Article|lang=en|auteur=R. Dunnett|année=1994|titre=Newton-Raphson and the cubic|revue=The Mathematical Gazette|vol=78|numéro=483|p.=347-348|doi=10.2307/3620218}}
*{{Article|lang=en|auteur=Douglas W. Mitchell|année=2007|titre=Solving cubics by solving triangles|revue=The Mathematical Gazette|vol=91|numéro=522|p.=514-516}}
*{{Article|lang=en|auteur=Douglas W. Mitchell|année=2009|titre=Powers of φ as roots of cubics|revue=The Mathematical Gazette|vol=93|numéro=528|p.=481-482}}

{{Palette|Polynômes|Méthodes de résolution}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Équation polynomiale|Equation (3)]]