Voir la source de Équation de Dirac

[[Fichier:Paul Dirac, 1933, head and shoulders portrait, bw.jpg|vignette|[[Paul Dirac]]]]
L''''équation de Dirac''' est une [[équation]] formulée par [[Paul Dirac]] en [[1928]] dans le cadre de sa [[mécanique quantique relativiste]] de l'[[électron]].
Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la [[relativité restreinte]] à des modèles [[mécanique quantique|quantiques]], avec une écriture [[linéarité|linéaire]] entre la [[masse]] et l'[[moment linéaire|impulsion]].

== Explication ==
Cette équation décrit le comportement de [[particule élémentaire|particules élémentaires]] de [[spin]]s demi-entiers, comme les électrons.
Dirac cherchait à transformer l'[[équation de Schrödinger]] afin de la rendre invariante par l'action du [[groupe de Lorentz]], en d'autre termes à la rendre compatible avec les principes de la [[relativité restreinte]].

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin introduite peu de temps avant et permit de prédire l'existence des [[antiparticule]]s. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule de charge et autres nombres quantiques opposés à ceux de l'électron<ref name=Augustin>{{Chapitre
| titre chapitre = Électron
| prénom1 = Jean-Eudes |nom1= Augustin |lien auteur1=Jean-Eudes Augustin
| titre ouvrage = [[Encyclopædia Universalis]]
| éditeur = Encyclopædia Universalis
| volume = 8 
| titre volume = Égypte - Étrusques
| année   = 2008
| lieu    = Paris
| passage = 118
}}.</ref>. En 1932, [[Carl David Anderson]], alors qu'il étudiait le [[rayonnement cosmique]] (sans lien avec les travaux de Dirac), observe, avec une [[chambre à brouillard]], une particule de charge opposée à celle de l'électron et de masse bien inférieure à celle du [[proton]] (seule particule chargée positivement connue à l'époque). Cette particule s'avéra par la suite être celle conjecturée par Dirac, le [[positon]]<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Etienne Klein]] |titre=Il était sept fois la révolution |passage=p. 114-115 |éditeur=Flammarion |date=2016 |isbn=978-2-0813-7559-8}}.</ref>.

Il est par ailleurs notable que l'opérateur de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques), a en [[mathématiques]] un usage indispensable dans le [[théorème de l'indice]] démontré en 1963.

== Formulation mathématique ==
La véritable équation :

{| align="center" border="1"
|<math> \mathrm{i} \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) = \left(mc^2\alpha_0 -\mathrm{i}\hbar c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j}\, \right) \psi (\mathbf{x},t) </math>
|}

où ''m'' est la [[masse]] de la particule, ''c'' la [[vitesse de la lumière]], <math>\hbar</math> la [[constante de Planck]] réduite, '''x''' et ''t'' les coordonnées dans l'[[espace (notion)|espace]] et dans le [[temps]], et ''ψ''('''x''', ''t'') une [[fonction d'onde]] à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un [[spineur]] à quatre composants, plutôt que par un simple [[champ scalaire]], du fait des exigences de la [[relativité restreinte]].) Enfin <math>\alpha_j, \ j=0,1,2,3</math> sont des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] de dimension {{nobr|4 × 4}} agissant sur le spineur <math>\psi\,</math> et appelées [[matrices de Dirac]]. En fonction des [[matrices de Pauli]] <math>\vec\sigma</math>, on peut écrire les matrices de Dirac, dans la [[représentation de Dirac]] (d'autres sont possibles, comme la [[représentation de Weyl]] ou la [[représentation de Majorana]]), sous la forme :

<center>
<math>
\begin{matrix}
\alpha_0=\left(\begin{matrix}I&0\\0&-I\end{matrix}\right) &,& \vec\alpha=\left(\begin{matrix}0&\vec\sigma\\\vec\sigma&0 \end{matrix}\right)
\end{matrix}
</math>
</center>

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'[[Opérateur (physique)|opérateur]] [[quantité de mouvement]] <math>\vec p\equiv -\mathrm{i}\hbar\vec\nabla\,</math> et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée :

<center>
<math> \mathrm{i} \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{p},t) = \left(mc^2\alpha_0 + c \vec\alpha \cdot \vec p\, \right) \psi (\mathbf{p},t) </math>
</center>

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant <math>\gamma^0=\gamma_0=\alpha_0</math> et <math>\gamma^i=-\gamma_i=\alpha_0\alpha_i</math> ([[Métrique (mathématiques)|métrique]] ({{nobr|+ – – –}})), auquel cas on a (en adoptant les conventions <math>c=1</math> et <math>\hbar=1</math>) une notation encore plus compacte :

<center>
<math>\left(\not\!p-m\right)\psi(\mathbf{p},t)=0</math>
</center>

où l'on a adopté la [[Matrice de Dirac#Le slash de Feynman|notation de Feynman]] <math>\not\!a=\gamma_\mu a^\mu</math>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=1}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Mécanique quantique relativiste]]
* [[Paradoxe de Klein]]
* [[Zitterbewegung]]
* [[Équation de Klein-Gordon]]
* [[Théorie quantique des champs]]
* [[Matrice de Dirac]]
* [[Équation de Rarita-Schwinger]]

=== Bibliographie ===
==== Ouvrages de référence ====
* {{Messiah}}
* James Bjorken et Sidney Drell, ''{{Langue|en|Relativistic Quantum Mechanics}}'', {{Langue|en|McGraw-Hill}} (1964) {{ISBN|0-07-005493-2}}.
* Lewis H. Ryder, ''{{Langue|en|Quantum Field Theory}}'', {{Langue|en|Cambridge University Press}} (1985) {{ISBN|0-521-33859-X}}.
* Claude Itzykson et Jean-Bernard Zuber, ''{{Langue|en|Quantum Field Theory}}'', McGraw Hill (1985) {{ISBN|9780486445687}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|R.|Richard}} | nom1=Taillet | prénom2={{abréviation discrète|L.|Loïc}} | nom2=Villain | prénom3={{abréviation discrète|P.|Pascal}} | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck {{abréviation discrète|Sup.|Supérieur}}]], hors {{coll.}} | mois={{date-|janvier|compact=oui}} | année=2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-956 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn1=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf= | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=7 janvier 2020 | partie={{s.v.}}Dirac (équation de) | passage=222, {{col.|1-2}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

==== Bibliothèque virtuelle ====
* Alain Comtet, ''Équation de Dirac'' (2004) {{lire en ligne|lien=http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092970/fr/}} {{pdf}}.
* J.-Y. Ollitrault, ''Mécanique quantique relativiste'', DEA Champs, particules, matière et Magistère interuniversitaire de physique {{2e|année}} (1998-1999) {{lire en ligne|lien=http://www-spht.cea.fr/articles/T98/129/}} {{pdf}}.

=== Lien externe ===
* {{en}} [http://scienceworld.wolfram.com/physics/DiracEquation.html Entrée dans l'encyclopédie Wolfram sur l'équation de Dirac].

{{Palette|Mécanique quantique}}
{{Portail|physique|sciences quantiques}}

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