Voir la source de Équation de diffusion

L{{'}}'''équation de diffusion''' est une [[équation aux dérivées partielles]]. En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. neutrons, ''etc.'') ou de quasi-particules comme les [[phonon]]s dans un milieu causé par le mouvement aléatoire de chaque particule lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes devant leurs homologues microscopiques. Dans le cas contraire le problème est décrit par l'[[équation de Boltzmann]]. En mathématiques, l'une ou l'autre de ces descriptions s'applique à tout sujet relevant du [[processus de Markov]] comme dans d'autres champs, telles que les sciences matérielles, la science de l’information, de la vie, sociales, etc. On parle alors plutôt de processus brownien.

== Énoncé ==

{{énoncé|L'équation de diffusion se formule : 
<center><math> \mathrm{div} \left[ D_{\phi} \ \overrightarrow{\mathrm{grad}} \phi \right] = \frac {\partial \phi}{\partial t}</math></center>}}
avec :
*<math>\phi</math> la grandeur qui se diffuse, par exemple la concentration particulaire ;
*<math>D_{\phi}</math> le [[coefficient de diffusion]] collectif associé à <math>\phi</math>.

Si le coefficient de diffusion <math>D_{\phi}</math> est une fonction de <math>\phi</math>, alors l'équation de diffusion n'est pas linéaire.

Plus généralement, quand <math>D_{\phi}</math> est une [[matrice définie positive]] symétrique, l’équation décrit une diffusion [[anisotropie|anisotrope]] :
{{énoncé|Pour <math>D_{\phi}</math> une matrice, l'équation de diffusion devient : 

<center><math>\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[{D}_{\phi, ij}\frac{\partial \phi}{\partial x_j}\right] = \frac{\partial\phi}{\partial t} </math>
</center>}}

Dans le cas où <math>D_{\phi}</math> est constant, l'équation se réduit à l'[[équation de la chaleur]] :

{{énoncé| Si <math>D_{\phi}</math> est constant :
<center><math> D_{\phi} \Delta \phi = \frac{\partial\phi}{\partial t} </math></center>}}
avec :
*<math>\Delta</math> l'opérateur [[laplacien]].

Plus généralement lorsqu'il existe plusieurs types de particules dans le milieu et plusieurs sources pour la diffusion le système est décrit par un système linéaire comme dans le cas des [[équations de Stefan-Maxwell]].

== Histoire et développement ==

{{article détaillé|Diffusion de la matière}}

De nombreux phénomènes physiques, dans des domaines scientifiques différents, se décrivent mathématiquement par les équations de diffusion, qui traduisent l'évolution d'un processus de Markov en relation avec la [[loi normale]]<ref>{{article|lang=en|auteur=[[Andreï Markov (mathématicien)|A. A. Markov]]|titre=The theory of algorithms|périodique=American mathematical society translations series|volume=2|numéro=15|pages=1-14|année=1960}}</ref>. En physique, le déplacement de particules diffusées correspond au [[mouvement brownien]] satisfaisant la loi parabolique<ref name="R. Brown, 1827">{{article|langue=en|auteur=[[Robert Brown (botaniste)|Robertus Brown]]|titre=A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants ; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies|périodique=Floræ Novæ Hollandæ|année=1827}}</ref>. Leur utilisation peut cependant être étendu à des domaines plus éloignés. Ainsi, les équations de diffusion sont utilisés en [[science des matériaux]], pour la relation d'équilibre local entre défauts dans les cristaux de [[silicone]], ou en biologie, pour l'équilibre prédateur-proie.

L'[[équation de la chaleur]] proposée par Fourier en 1822 a été pensée pour décrire l'évolution de la température dans un matériau<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Joseph Fourier]]|titre=Théorie analytique de la chaleur|éditeur=Didot Paris|année=1822}}</ref>. En 1827, le mouvement brownien a été mis en évidence, où l'auto-diffusion de l'eau est mise en évidence par le déplacement de grains de pollen<ref name="R. Brown, 1827"/>. Néanmoins, le mouvement brownien n'est pas reconnu comme un problème de diffusion avant les théories d'Einstein en 1905<ref>{{article| langue=de| nom=[[Albert Einstein]]| titre =  Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen| périodique = [[Annalen der Physik]]| volume=322| numéro=8| année=1905| pages=549–560| issn =0003-3804 | url texte =http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf |doi   =10.1002/andp.19053220806 }}</ref>. Bien qu'il s'agisse d'un problème de diffusion, Fick applique l'équation de la chaleur au phénomène de diffusion dès 1855<ref>{{article|lang=de|auteur=[[Adolf Fick|A. Fick]]|titre=Ueber Diffusion|périodique=[[Annalen der Physik]]|volume=170 (4. Reihe 94)|pages=59-86|année=1855}}</ref>.

Le [[théorème de flux-divergence]]  montre que l'équation de diffusion est valide quelle que soit l'état du matériau (solide, liquide ou gazeux) comme une loi de conservation, s'il n'y a ni source ni perte dans le système<ref name="CF Gauss, 1840">{{article|lang=de|auteur=[[Carl Friedrich Gauss]]|titre=Allgemeine lehsatze in beziehung auf die im verkehrten verhaltnisse des quadrats der entfernung wirkenden anziehung-und abstossungs- krafte|périodique=Werke| numéro=4|volume=1|année=1840|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-49319-5_6}}</ref>. Il montre aussi que l'équivalence entre la première et la deuxième loi de Fick est mathématiquement incomplète sans un flux de diffusion constant lié à un mouvement brownien localement en espace. Ce flux est indispensable pour la compréhension du mécanisme d'auto-diffusion<ref name="Mathematical Physics in Diffusion Problems 2015">{{article|lang=en|auteur=Takahisa Okino|titre=Mathematical Physics in Diffusion Problems|périodique=Journal of Modern Physics|numéro=6|pages=2109-2144|année=2015}}</ref>. Ce mécanisme n'a pas été étudié en lui-même, mais indirectement par la diffusion d'impuretés dans un milieu pur par la théorie du mouvement brownien d'Einstein et l'[[équation de Langevin]]<ref>{{article|auteur=[[Paul Langevin]]|titre= Sur la théorie du mouvement brownien|périodique= [[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|Comptes-rendus de l'Académie des Sciences]]|volume=146|année=1908|pages= 530-532|url= https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3100t/f530 Lire en ligne sur Gallica}}</ref>.

La diffusivité de l'équation dépend généralement de la concentration des particules. Dans ce cas, l'équation de diffusion devient non linéaire et sa résolution est impossible, même dans le cas à une dimension spatiale. En accord avec la loi parabolique, Boltzmann transforme l'équation de diffusion, qui change d'une équation aux dérives partielles non linéaire à une équation différentielle ordinaire non-linéaire en 1894<ref>{{article|lang=de|auteur=[[Ludwig Boltzmann|L. Boltzmann]]|titre=Zur integration der diffusionscoefficienten|périodique=[[Annalen der Physik]]|numéro=53|pages=959-964|année=1894}}</ref>.
Depuis, toutefois, la transformation de Boltzmann n'a pas été résolue mathématiquement avant la fin du {{s-|XX}}, même si Matano l'utilise empiriquement pour les problèmes d'interdiffusion dans la métallurgie<ref>{{article|lang=en|auteur=C. Matano|titre=On the relation between diffusion-coefficients and concentrations of solid metals|périodique=Japanese Journal of Physics|numéro=8|pages=109-113|année=1933}}</ref>.

Ici, la méthode de résolution analytique de l’équation de diffusion, dont le calcul est plus efficace par rapport aux méthodes analytiques existantes telles que les transformations intégrales de Fourier ou de Laplace ou la [[séparation des variables]], a été établi dans le cas parabolique<ref>{{article|lang=en|auteur=Takahisa Okino|titre=New mathematical solution for analyzing interdiffusion problems|périodique= Materials Transactions|numéro=52|pages=2220-2227|année=2011}}</ref>.

== Dérivation ==

L'équation de diffusion peut être simplement déduite de l'[[équation de conservation]], qui dit qu'un changement de densité dans toute partie du système est dû aux échanges avec l'extérieur du système. Dans les faits, aucun matériau n'est créé ou détruit :

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0\,,\qquad \mathbf{j}=\phi\mathbf{v}</math>

avec '''j''' le flux du matériau diffusant et '''v''' la vitesse des particules. L'équation de diffusion apparait quand on la combine avec la [[Lois de Fick|première loi de Fick]], qui fait l'hypothèse que le flux du matériau diffusant dans toute partie du système est proportionnelle au gradient local de densité :

:<math>\mathbf{j}=-D(\phi,\mathbf{r})\,\nabla\phi(\mathbf{r},t).</math>

En général le problème est décrit par l'[[équation de Boltzmann]] dont l'équation de diffusion constitue une approximation lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes par rapport à leurs homologues microscopiques. Ceci est vrai pour la diffusion de masse, mais également pour la [[conduction thermique]], le [[transfert radiatif]] ou tout autre processus de transfert d'énergie.

Le transfert diffusif peut également être obtenu à partir d'un processus de [[marche aléatoire]] comme le [[mouvement brownien]].

==Discrétisation==
{{article détaillé|Noyau gaussien discret}}

L'équation de diffusion est continue en espace et en temps. On peut donc discrétiser en espace, en temps ou les deux, ce qui arrive en application. La discrétisation en temps seule ne fait pas apparaitre de nouveaux phénomènes ; dans la discrétisation en espace seule, la [[fonction de Green]] du système devient le [[noyau gaussien discret]]. La discrétisation en espace et en temps fait apparaitre une [[marche aléatoire]].

=== Discrétisation en traitement de l'image ===
La [[règle du produit]] est utilisée pour le cas de la diffusion avec un tenseur anisotropique, dans les schémas de discrétisation, afin d'éviter que l'utilisation de formules du premier ordre ne crée des artefacts. Une réécriture couramment utilisée en [[traitement de l'image]] est :

:<math> \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla\cdot \left[D(\phi,\mathbf{r})\right] \nabla \phi(\mathbf{r},t) + {\rm tr} \left[ D(\phi,\mathbf{r})\left(\nabla\nabla^T \phi(\mathbf{r},t)\right)\right] </math>

avec {{math|tr}} désignant la [[Trace (algèbre)|trace]] du tenseur du {{2e}} ordre, et l'exposant {{mvar|T}} pour la [[Matrice transposée|transposée]], dans laquelle, en traitement de l’image, {{math|''D''(''ϕ'', '''r''')}} sont des matrices symétriques construites à partir des [[vecteur propre|vecteurs propres]] des tenseurs de structure de l'image. Les dérivées spatiales peuvent être approchées par des différences finies du {{2e}} ordre. L'algorithme de diffusion obtenu peut être vu comme une convolution de l’image avec un noyau mobile (ou stencil) de taille 3 × 3 en 2D et 3 × 3 × 3 en 3D.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Diffusion equation|840213990}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Horatio Scott Carslaw|auteur2=John Conrad Jaeger|titre=Conduction of Heat in Solids|lieu=Oxford|éditeur=[[Clarendon Press]]|année=1959}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=John Crank|titre=The Mathematics of Diffusion|lieu=Oxford|éditeur=[[Clarendon Press]]|année=1956}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jon Mathews|auteur2=Robert L. Walker|titre=Mathematical methods of physics|lieu=New York|éditeur=W. A. Benjamin|année=1970|numéro d'édition=2|pages totales=501|isbn=0-8053-7002-1}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=R. K. Michael Thambynayagam|titre=The Diffusion Handbook|sous-titre=Applied Solutions for Engineers|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|année=2011|pages totales=2048|isbn=978-0-07-175184-1|isbn2=0-07-175184-X}}

=== Articles connexes ===
* [[Diffusivité]]
* [[Équation de la chaleur]]
* [[Équation de Fokker-Planck]]
* [[Lois de Fick]]

=== Liens externes ===
{{Autorité}}

{{Portail|physique}}

{{DEFAULTSORT:Equation de diffusion}}
[[Catégorie:Diffusion]]
[[Catégorie:Équation aux dérivées partielles|Diffusion]]