Voir la source de Équation de la chaleur


[[Image:Heat eqn.gif|frame|Ici, l'équation de la chaleur en [[deux dimensions]] permet de voir que l'interaction entre deux zones de températures initiales différentes (la zone haute en rouge est plus chaude que la zone basse en jaune) va faire que la zone chaude va se refroidir graduellement, tandis que la zone froide va se réchauffer, jusqu'à ce que la plaque atteigne une température uniforme.]]

En [[mathématiques]] et en [[physique]], l''''équation de la chaleur''' est une [[équation aux dérivées partielles]] [[Équation aux dérivées partielles parabolique|parabolique]] utilisée pour décrire le [[phénomène physique]] de [[conduction thermique]], introduite initialement en [[1807 en science|1807]] par [[Joseph Fourier]].

== Histoire ==
[[Joseph Fourier]] expérimente d'abord sur la propagation de la chaleur, puis [[Modélisation|modélise]] en 1807 l'évolution de la [[température]] par des [[Série trigonométrique|séries trigonométriques]], appelées depuis [[Série de Fourier|séries de Fourier]] et [[Transformation de Fourier|transformées de Fourier]]<ref>''Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides'', connu à travers [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707/f220.image.r=Oeuvres+de+Fourier.langFR un abrégé] paru en 1808 sous la signature de [[Siméon Denis Poisson]] dans le ''Nouveau Bulletin des sciences par la [[Société philomathique de Paris]]'', t. I, p. 112-116, {{n°|6}}, sur [[Gallica]].</ref>, permettant une grande amélioration à la [[modèle mathématique|modélisation mathématique]] des [[phénomène physique|phénomènes physiques]], en particulier pour les fondements de la [[thermodynamique]]. Cette étude a aussi entraîné des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématique, sur plus d'un siècle.
 
Une variante de cette équation est très présente en physique sous le nom générique d'[[équation de diffusion]]. On la retrouve dans la [[Diffusion de la matière|diffusion de masse]] dans un milieu binaire ou de [[charge électrique]] dans un conducteur, le [[Transfert radiatif#Équation de transfert|transfert radiatif]]{{etc.}} Elle est également liée à l'[[Équation de Burgers#Équation avec viscosité|équation de Burgers]] et à l'[[équation de Schrödinger]]<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Jean Zinn-Justin]] |titre=Intégrale de chemin en mécanique quantique |sous-titre=introduction |éditeur=[[EDP Sciences]] |année=2003 |pages totales=296 |isbn=978-2-86883-660-1 |lire en ligne={{Google Livres|A9OzNYXLRj4C|page=15}}}}.</ref>.

== Obtention de l'équation ==
{{article détaillé|Équation de conservation}}
On peut définir une loi de conservation pour une [[Extensivité et intensivité (physique)|variable extensive]] <math>\phi</math> entraînée à la vitesse <math>\vec{v}</math> et comportant un terme de production volumique <math>S</math> par :
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec\nabla\cdot(\phi\,\vec{v})=S</math>
où <math>\vec\nabla</math> désigne l'opérateur [[gradient]]. On prendra ici <math>\phi</math> égal à l'[[enthalpie]] [[grandeur volumique|volumique]] {{mvar|h}} ({{Unité|J/m3}}):
:<math>\phi=h=h_{\mathrm f0}+\int_{T_0}^T \rho\,C_P \,\mathrm{d}T</math>
où :
:<math>\rho</math> désigne la [[masse volumique]] ({{Unité|kg/m3}}),
:<math>C_P</math> la [[Capacité thermique massique|chaleur spécifique]] à pression constante ({{Unité|J/kg/K}}),
:<math>h_{\mathrm f0}</math> la [[Enthalpie standard de formation|chaleur de formation]] à la température {{math|''T''{{ind|0}}}}, arbitraire (on prend généralement {{unité|293 K}}),
:<math>\vec{v}=\frac{1}{h}\vec{j}</math> la vitesse de diffusion de l'énergie dans le milieu ({{Unité|m/s}}),
:<math>\vec{j}</math> le flux de diffusion ({{Unité|W/m2}}), à exprimer.

L'équation de la chaleur s'exprimera donc sous la forme suivante :
:<math>\frac{\partial h}{\partial t}+\vec\nabla \cdot \vec{j}=S</math>
ou
:<math>\rho\,C_P\frac{\partial T}{\partial t} + \vec\nabla \cdot \vec{j} = S</math>

La [[Conductivité thermique|diffusion de l'énergie]] se fait par un mécanisme [[Mouvement brownien|brownien]] de [[phonons]] et de porteurs de charge électrique (électrons ou trous), donc à une échelle caractéristique très petite devant celles du problème macroscopique. Il est donc décrit par une équation de type diffusion, la loi de Fourier :
:<math>\vec{j}=-\lambda\,\vec\nabla T</math>
où <math>\lambda</math> est la [[conductivité thermique]] (en {{Unité||W||m|-1|K|-1}}), une quantité scalaire qui dépend de la [[composition chimique|composition]] et de l'[[état de la matière|état physique]] du milieu à travers lequel diffuse la chaleur, et en général aussi de la température. Elle peut également être un [[tenseur]] dans le cas de milieux anisotropes comme le [[graphite]].

Si le milieu est homogène et que sa conductivité dépend très peu de la température<ref group=alpha>Si le milieu est homogène sa conductivité est une simple fonction de la température, <math>\lambda(T)</math>. Alors elle ne dépend de l'espace que via les variations spatiales de la température : <math>\frac{\partial\lambda}{\partial x}=\frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}\,\frac{\partial T}{\partial x}</math>. Si <math>\lambda</math> dépend très peu de <math>T</math> (<math>\frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}\approx0</math>), alors elle dépend aussi très peu de l'espace.</ref>, on peut écrire l'équation de la chaleur sous la forme :
:<math>\frac{\partial T}{\partial t}-\alpha\,\nabla^2 T=\frac{S}{\rho\,C_P}</math>
où <math>\alpha=\frac\lambda{\rho\ c_P}</math> est la [[diffusivité thermique]] et <math>\nabla^2</math> le [[opérateur laplacien|laplacien]].

Pour fermer le système, il faut en général spécifier sur le domaine <math>\Omega</math> de résolution, borné par <math>\partial \Omega</math>, de [[vecteur unitaire|normale]] sortante <math>\vec{n}</math> :
* une [[condition initiale]] : <math>\forall \, \vec{x} \, \in \, \Omega \, , \quad T (\vec{x},0) \ = \ T_{\mathrm{init}}(\vec{x})
</math> ;
* une [[condition aux limites]] sur le bord du domaine <math>\vec{x} \, \in \, \partial \Omega</math>, par exemple : 
** une [[Condition aux limites de Dirichlet|condition de Dirichlet]] : <math>\ T (\vec{x},t) \ = \ T_{\text{bord}} (\vec{x},t)</math>,
** une [[Condition aux limites de Neumann|condition de Neumann]] : <math>\ \frac{\partial T (\vec{x},t)}{\partial n} \ = \ \vec{n}(\vec{x}) \cdot \vec\nabla T(\vec{x},t) \ = \ f(\vec{x},t)</math>, <math>f</math> donné.

== Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier ==
L'une des premières méthodes de résolution de l'équation de la chaleur fut proposée par [[Joseph Fourier]] lui-même {{Harv|Fourier|1822}}.

On considère le cas simplifié de l'équation en une dimension, qui peut modéliser le comportement de la chaleur dans une tige. L'équation s'écrit alors :
:<math>\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}</math>
où :
:<math>T=T(x,t)</math> pour <math>x</math> dans un intervalle <math>[0,L]</math>, où <math>L</math> est la longueur de la tige et <math>t</math> le temps (<math>t\ge0</math>) ;
:{{mvar|α}} désigne la [[diffusivité thermique]].

On se donne une condition initiale :
:<math>T(x,0) = f(x) \quad \forall x \in [0,L]</math>
et des conditions aux limites, ici de type Dirichlet homogènes :
:<math>T(0,t) = 0 = T(L,t) \quad \forall t > 0 </math>.

L'objectif est de trouver une solution non triviale de l'équation, ce qui exclut la solution nulle. On utilise alors la méthode de [[séparation des variables]] en supposant que la solution s'écrit comme le produit de deux fonctions indépendantes :
:<math>T(x,t) = X(x) Y(t).</math>

Comme ''T'' est solution de l'équation aux dérivées partielles, on a : 
:<math>\frac{Y'(t)}{\alpha Y(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.</math>

Deux fonctions égales et ne dépendant pas de la même variable sont nécessairement constantes, égales à une valeur notée ici −λ, soit :
:<math>Y'(t) = - \lambda \alpha Y(t)</math>
:<math>X''(x) = - \lambda X(x).</math>

On vérifie que les conditions aux limites interdisent le cas λ ≤ 0 pour avoir des solutions non nulles :
*Supposons λ < 0. Il existe alors des constantes réelles ''B'' et ''C'' telles que{{Retrait|<math>X(x) = B \mathrm{e}^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C \mathrm{e}^{-\sqrt{-\lambda} \, x}</math>.}}Or les conditions aux limites imposent ''X''(0) = 0 = ''X''(''L''), soit ''B'' = 0 = ''C'', et donc ''T'' est nulle.
*Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles ''B'', ''C'' telles que ''X''(''x'') = ''Bx'' + ''C''. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent ''X'' nulle, et donc ''T'' nulle.

Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles ''A'', ''B'', ''C'' telles que
:<math>Y(t) = A \mathrm{e}^{-\lambda \alpha t}</math>
:<math>X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).</math>

Les conditions aux limites imposent maintenant ''C'' = 0 et qu'il existe un entier positif ''n'' tel que
:<math>\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.</math>

On obtient ainsi une forme de la solution. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute [[combinaison linéaire]] de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par 
:<math>T(x,t) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}L\right) \mathrm{e}^{-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}.</math>

La valeur de la condition initiale donne :
:<math>f(x) = T(x,0) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}L\right).</math>

On reconnait un développement en [[série de Fourier]], ce qui donne la valeur des coefficients :
:<math>D_n = \frac2L\int_0^L f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right ) \, \mathrm dx.</math>

=== Généralisation ===
Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de [[Théorie de Sturm-Liouville|théorème de Sturm-Liouville]] et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.

Dans le cas vu précédemment, cela revient à déterminer les solutions propres de l'opérateur <math>\nabla^2 u = \partial_{xx}^2 u</math> sur l'espace des fonctions deux fois continûment dérivables et nulles aux bords de [0,''L'']. Les vecteurs propres de cet opérateur sont alors de la forme :
:<math> e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),\ \forall n\geqslant 1,</math>
de valeurs propres associées
:<math>\nabla^2 e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n</math>.

Ainsi, on peut montrer que la base des (''e''<sub>''n''</sub>) est [[Orthogonalité|orthonormale]] pour un [[produit scalaire]], et que toute fonction vérifiant ''f''(0) = ''f''(''L'') = 0 peut se décomposer de façon unique sur cette base, qui est un sous-espace dense de ''L''<sup>2</sup>((0, ''L'')). En continuant le calcul, on retrouve la forme attendue de la solution.

== Solution fondamentale ==
{{Voir|Noyau de la chaleur}}
On cherche à résoudre l'équation de la chaleur sur <math>\R^d \times ]0,\infty[</math> :
:<math>\frac{\partial u }{\partial t} = \frac{1}{2}\nabla^2 u</math> 
où l'on note <math>\nabla^2 u = \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 u }{\partial x_i^2}</math>, avec la condition initiale <math>u(\cdot , 0) = f</math>. On introduit donc l'équation fondamentale :
:<math>\begin{cases} {\displaystyle {\frac {\partial K_0}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\nabla^2 K_0}  \\ K_0(\cdot , 0) = \delta_0 \end{cases}</math>

où <math>\delta_0</math> désigne la [[Fonction de Dirac|masse de Dirac]] en 0. La solution associée à ce problème (ou [[noyau de la chaleur]]) s'obtient<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Robert Dautray|titre=Méthodes probabilistes pour les équations de la physique|éditeur=[[Eyrolles]]|année=1989|isbn=978-2-212-05676-1}}.</ref>  par exemple en considérant la densité d'un [[mouvement brownien]] :
:<math>K_0(\vec{x},t) = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \exp \left( - \frac{\|\vec{x}\| ^2}{2t}\right)</math>,

où <math>\vec{x} \in \mathbb{R}^d</math> est le vecteur de coordonnées spatiales. La solution du problème général s'obtient alors par convolution :
:<math>u(\vec{x},t) = \left\{ K_0(\cdot, t) * f \right\}(\vec{x}) = \int_{\R^d} K_0(\vec{x} - \vec{y}, t)\,f(\vec{y})\,\mathrm{d} \vec{y} = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}}  \int_{\R^d} \exp \left( - \frac{{\|\vec{x} - \vec{y}\|}^2}{2t}\right) \, f(\vec{y}) \, \mathrm{d} \vec{y}</math>,

puisqu'alors <math>u</math> vérifie l'équation et la condition initiale grâce aux propriétés du [[produit de convolution]].

== Problèmes inverses ==
La solution de l'équation de la chaleur vérifie le [[Principe du maximum (équations aux dérivées partielles)|principe du maximum]] suivant :
::<math>\forall (x,t) \in \Omega \times [0,T],\, \min(0, \inf_\Omega T_0) \leqslant T \leqslant \max (0, \sup_\Omega T_0).</math>
Au cours du temps, la solution ne prendra jamais des valeurs inférieures au minimum de la donnée initiale, ni supérieures au maximum de celle-ci.

L'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles [[Théorie de la stabilité|stable]] parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison de ce principe du maximum. Comme toute équation de diffusion l'équation de la chaleur a un effet fortement régularisant sur la solution : même si la donnée initiale présente des discontinuités, la solution sera régulière en tout point de l'espace une fois le phénomène de diffusion commencé.

Il n'en va pas de même pour les [[Problème inverse|problèmes inverses]] tels que :
* équation de la chaleur rétrograde, soit le problème donné où on remplace la condition initiale par une condition finale du type <math>\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,t_f) \ = \ T_f(x) </math> ;
* la détermination des conditions aux limites à partir de la connaissance de la température en divers points au cours du temps.
Ces problèmes sont [[Problème bien posé|mal posés]] et ne peuvent être résolus qu'en imposant une contrainte de [[Régularisation Tychonoff|régularisation]] de la solution.

== Généralisations ==
L'équation de la chaleur se généralise naturellement :
* dans <math>\mathbb R^n</math> pour {{mvar|n}} quelconque ;
* sur une [[variété riemannienne]] de dimension quelconque en introduisant l'[[opérateur de Laplace-Beltrami]], qui généralise le [[opérateur laplacien|laplacien]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Fourier1822}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Jean Dhombres]]|auteur2=Jean-Bernard Robert|titre=Joseph Fourier (1768-1830)|sous-titre=créateur de la physique-mathématique|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Belin|Belin]]|collection=Un savant, une époque,|année=1998|pages totales=767|isbn=978-2-7011-1213-8|oclc=537928024}}
* {{Brezis}}

=== Articles connexes ===
* [[Géométrie spectrale]]
* [[Thermodynamique hors équilibre]]

=== Liens externes ===
* http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/conducti/11intro/11intro.htm
* http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/cours4_eqchal_loc.pdf
* https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~edumas/GisclonJME4.pdf
* ''[http://bibnum.education.fr/sciencesdelaterre/climatologie/la-th%C3%A9orie-de-la-chaleur-de-fourier-appliqu%C3%A9e-%C3%A0-la-temp%C3%A9rature-de-la- La théorie de la chaleur de Fourier appliquée à la température de la Terre]'', analyse d'un texte de 1827 de Fourier, sur le site ''[[BibNum]]''.
* ''[http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/analyse/theorie-analytique-de-la-chaleur Théorie analytique de la chaleur]'' (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site ''BibNum''.

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