Voir la source de Équation du second degré

En [[mathématiques]], une '''équation du second degré''', ou '''équation quadratique''', est une [[équation]] [[équation polynomiale|polynomiale]] de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :
<center><math>ax^2 + bx + c = 0 </math></center>
Dans cette [[équation]], {{mvar|x}} est l'[[inconnue (mathématiques)|inconnue]] les lettres ''{{math|a}}'', ''{{math|b}}'' et ''{{math|c}}'' représentent les coefficients, avec {{math|''a''}} différent de 0. ''{{math|a}}'' est le coefficient [[Fonction quadratique|quadratique]], ''{{math|b}}'' est le coefficient [[Fonction linéaire (analyse)|linéaire]], et ''{{math|c}}'' est un terme constant où le polynome est défini sur  <math>\R</math>.

Dans l'[[ensemble de nombres|ensemble]] des nombres [[nombre réel|réels]], une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d'intersection de la [[parabole]] d'[[équation cartésienne|équation]] {{nobr|{{math|''y {{=}} ax''{{2}} + ''bx'' + ''c''}}}} avec l'axe des abscisses dans le [[plan (mathématiques)|plan]] muni d'un [[repère cartésien]]. La [[position relative|position]] de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le nombre de solutions réelles (0, 1 ou 2), est donnée par le [[signe (arithmétique)|signe]] du [[discriminant]]. Ce dernier permet également d'exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la [[fonction du second degré]] associée.

Sur le [[Corps commutatif|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]], une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou une [[racine double]]. Dans l'algèbre des [[quaternion]]s, une équation du second degré peut avoir une [[infini]]té de solutions.

== Historique ==
Les équations du second degré sont au centre de l'[[algèbre babylonienne]], dès avant le {{-s-|XVIII}}<ref>{{harvsp|Høyrup|2010|p=39}}.</ref>. La [[tablette d'argile]] [[BM 13901]] a été qualifiée de {{citation|véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux [[Système d'équations|systèmes d'équations]], et donnant les procédures résolutoires fondamentales}}<ref>{{harvsp|Caveing|1994|p=21}}.</ref>.

Au {{VIIIe siècle}}, le mathématicien indien {{lien|langue=en|trad=Sridhara|fr=Sridhar Acharya}} indique la manière de calculer les deux racines réelles.

Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par [[Al-Khwarizmi]] au {{IXe siècle}}, dans un ouvrage intitulé ''[[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison]]'' qui, via le mot « restauration » (en [[arabe]] : ''al-jabr'') a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} sont tous positifs :
# Les carrés égalent les racines : {{math|''ax''{{2}} {{=}} ''bx''}}
# Les carrés égalent les nombres : {{math|''ax''{{2}} {{=}} ''c''}}
# Les racines égalent les nombres : {{math|''bx'' {{=}} ''c''}}
# Les carrés et les racines égalent les nombres : {{math|''ax''{{2}} + ''bx'' {{=}} ''c''}}
# Les carrés et les nombres égalent les racines : {{math|''ax''{{2}} + ''c'' {{=}} ''bx''}}
# Les racines et les nombres égalent les carrés : {{math|''ax''{{2}} {{=}} ''bx'' + ''c''}}

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'[[algèbre géométrique]].

== Éléments clé ==
=== Introduction par l'exemple ===
On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante<ref>Cet exemple est présenté dans : ''[http://debart.pagesperso-orange.fr/histoire/nombre_d_or.html#equa2d Le nombre d'or] avec [[Geoplan]]'' par P. Debart de l'[[Académie d'Aix-Marseille]].</ref> :
<center><math>x^2 - x - 1 = 0</math>.</center>

Le membre de gauche est appelé '''trinôme du second degré'''<ref name=bibmath>V. & F. Bayart, ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./t/trinome.html Étude du trinôme du second degré]'', sur le site bibmath.net.</ref>. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de {{mvar|x}}. Chaque terme est appelé [[Monôme (mathématiques)|monôme]] et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est 2 ; pour cette raison, on parle de second degré. L'expression {{math|0''x''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1}} n'est pas un trinôme : {{math|''x''&nbsp;+&nbsp;1}}, est un binôme du premier degré<ref group="Note">L'équation qu'il définit n'est pas l'objet de cet article, mais de celui intitulé [[Équation du premier degré]].</ref>.

La méthode consiste [[Complétion du carré|à ''forcer'']] l'apparition d'une première [[identité remarquable]]. On écrit le [[polynôme]] de la manière suivante :
<center><math>x^2-x-1 = x^2 - 2\cdot \frac 12\cdot x + \frac 14 - \frac 14 - 1</math>.</center>

Les trois premiers termes sont ceux d'une ''somme remarquable''. L'application d'une identité remarquable permet d'écrire le polynôme de la manière suivante :
<center><math>x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \frac 54</math>.</center>

On peut alors appliquer à cette [[différence de carrés]] une deuxième identité remarquable :
<center><math>x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \left(\frac {\sqrt5}2\right)^2 = \left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)</math>.</center>

L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :
<center><math>\left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)=0. </math></center>

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul<ref group="Note">Voir l'article [[Équation produit-nul]].</ref>. Cette remarque permet de trouver les deux solutions {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}} :

<center>
{| class="wikitable"
|
<math>x_1 = \frac {1 + \sqrt 5}2,\quad x_2 = \frac {1 - \sqrt 5}2</math>.
|}</center>

La racine positive, {{math|''x''{{ind|1}}}}, est appelée [[nombre d'or]], et souvent notée <math>\varphi 
</math>. 

Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre : le paragraphe [[#Méthode géométrique|méthode géométrique]] montre comment s'y prendre.

=== Discriminant ===
{{Article détaillé|Discriminant}}
On considère l'équation suivante, où {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} désignent des nombres réels et {{mvar|a}} est différent de 0 :
<center><math>ax^2 + bx + c = 0. </math></center>

On dispose de la définition suivante<ref>On trouve cette définition dans le site : ''[http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=2 Discriminant]'' par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref> :
{{Théorème|nom=Définition du discriminant|énoncé=Le discriminant de l'équation est la valeur {{math|Δ}} définie par :
<center><math>\Delta = b^2 - 4ac. </math></center>

Celui-ci est parfois aussi appelé réalisant, et noté {{mvar|ρ}}<ref name="Uclouvain">Sur le site de l'[[Université catholique de Louvain (depuis 1968)|UCLouvain]]:[https://sites.uclouvain.be/sc-didactique/ete-mathphys/second/Second.htm]</ref>.}}

Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l'équation du second degré, dans le cas où l'on recherche des solutions réelles<ref>''[http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=97 Équation du second degré dans '''R''']'' par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref> :
{{Théorème|Résolution de l'équation|Si le '''discriminant''' est strictement positif, l'équation admet deux solutions {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}} données par les formules suivantes :
<center><math>x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}. </math></center>
Si le '''discriminant''' est nul, l'équation admet une [[racine d'un polynôme|racine]] double :
<center><math>ax^2 + bx + c =a\left(x + \frac b{2a}\right)^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}. </math></center>
Si le '''discriminant''' est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle, mais admet deux solutions complexes (voir ci-après ''[[#Résolution dans l'ensemble des nombres complexes|Résolution dans l'ensemble des nombres complexes]]'').
}}

=== Interprétation graphique ===
{{Article détaillé|Fonction du second degré}}
[[Fichier:Quadratic equation discriminant.png|vignette|Le signe du discriminant apporte une information sur le graphe de la fonction {{mvar|f}}.]]
Une manière d'étudier l'équation du paragraphe précédent est de considérer la fonction {{mvar|f}} de la variable réelle et à valeurs réelles définie par :
<center><math>f(x) = ax^2 + bx + c. </math></center>

L'équation peut encore s'écrire {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}. Les solutions de l'équation sont les [[abscisse]]s des points d'intersection du [[Graphe d'une fonction|graphe]] de la fonction {{mvar|f}} et de l'axe des {{mvar|x}}. Le graphe de la fonction {{mvar|f}} est appelé une [[parabole]], elle possède une ''forme'' analogue à celle des trois exemples présentés à droite. Si {{mvar|a}} est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, comme pour les exemples jaune et bleu, sinon les branches sont dirigées vers le bas, comme l'exemple rouge. L'intersection de la parabole avec l'axe des [[ordonnée]]s est le point <math>(0,c)</math>, en effet, l'intersection des deux axes ayant lieu lorsque <math>x = 0</math>, on a:
<center><math>f(0) = a0^2 + b0 + c = c</math></center>

Si le discriminant est strictement positif, comme pour l'exemple bleu, cela signifie que le graphe de {{mvar|f}} croise l'axe des abscisses en deux points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique [[extremum]] est sur l'axe des abscisses. Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des abscisses.

Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction {{mvar|f}} entre les solutions est l'opposé du signe des valeurs prises par {{mvar|f}} à l'extérieur du segment d'extrémités les solutions de l'équation<ref>Ce paragraphe est explicité dans le site : ''[http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=100 Signe d'une fonction trinôme du second degré]'' par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref>.

== Résolution dans l'ensemble des réels ==
=== Forme canonique ===
En vue de résoudre l'équation {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, où {{mvar|f}} est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l'écrire sous une forme plus adaptée. Comme la valeur {{mvar|a}} n'est pas nulle, il est déjà possible de la [[factorisation|factoriser]] :
<center><math>f(x)=ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac ba x + \frac ca\right). </math></center>

La méthode utilisée est la [[complétion du carré]] comme pour la résolution du premier exemple. Elle revient à « forcer » l'apparition d’une identité remarquable de la forme
{{retrait|<math> \left( A + B \right)^2 = A^2+2AB+B^2 \text{ avec } A = x \text{ et } B = \frac b{2a} </math>}}
en ajoutant et en retranchant {{math|''B''{{2}}}} :
<center><math>f(x) = a\left(x^2 + 2x\left(\frac b{2a} \right) + \left( \left(\frac {b}{2a} \right) ^2 - \left( \frac {b}{2a}\right) ^2 \right)_{\color{red}\nwarrow =0} + \frac ca\right) = a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a^2}\right). </math></center>

Cette forme est à l'origine d'une propriété et d'une définition<ref name="Polynômes du second degré">C. Rossignol, ''[http://www.ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf_second-degre.pdf Polynômes du second degré]'' sur le site de l'académie de Grenoble, 2008, {{p.|2}}.</ref> :

{{Théorème|Définition de la forme canonique|
L'équation du second degré peut s'écrire sous la forme suivante, dite canonique, {{math|Δ}} désignant le discriminant<ref name="Polynômes du second degré"/> :
<center><math>f(x)=ax^2 + bx + c =a(x -\alpha)^2 + \beta = 0 \quad\text{avec}\quad \alpha = \frac {-b}{2a}, et \; \beta = f(\alpha) = -\frac {\Delta}{4a} = c -\frac{b^2}{4a}. </math></center>
}}

À noter que {{mvar|β}} représente l'extremum (maximum ou minimum) de la fonction {{math|''f''(''x'')}}, et que cet extremum est atteint pour {{mvar|x {{=}} α}} :
* Si {{math|''a'' > 0}}, la fonction {{math|''f''(''x'')}} est décroissante puis croissante (fonction en U) et {{mvar|β}} est donc le minimum de la fonction ;
* Si {{math|''a'' < 0}}, la fonction {{math|''f''(''x'')}} est croissante puis décroissante (fonction en cloche) et {{mvar|β}} est donc le maximum de la fonction.

Dans les deux cas, les coordonnées de l'extremum sont donc <math>M\left(\frac {-b}{2a};c -\frac{b^2}{4a}\right)</math>

=== Exemples ===
Considérons l'équation suivante<ref name=Ros>Cet exemple s'inspire du site déjà cité : C. Rossignol, ''Polynômes du second degré'', {{p.|2}}.</ref> :
<center><math>f(x) = 0 \quad\text{avec}\quad f(x) = x^2 - 4x + 4. </math></center>

Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord, {{mvar|f}} est définie par une identité remarquable ; on en déduit :
<center><math>f(x) = (x-2)^2. </math></center>

Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici {{math|''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;1, {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;–4}} et {{math|''c''&nbsp;{{=}}&nbsp;4}}}}. On en déduit que le discriminant {{math|Δ}} est nul et que le coefficient {{mvar|α}} est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.

Considérons maintenant le nouvel exemple<ref name=Ros /> :
<center><math>g(x) = 0 \quad\text{avec}\quad g(x) = 2x^2 - 6x + 1. </math></center>

Si l'égalité définissant {{math|''g''(''x'')}} n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a {{math|''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;2}}, {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;–6}} et {{math|''c''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}. Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :
<center><math> \alpha = -\frac b{2a} = \frac 64 = \frac 32,\quad \beta = g(\alpha) = g\left(\frac 32\right) = 2 \frac 94 - 6\frac 32 + 1 = \frac 92 - \frac {18}2 + \frac 22 = -\frac 72. </math></center>

On en déduit la forme canonique :
<center><math> g(x) = 2 \left( x - \frac 32 \right) ^2 - \frac {7}2. </math></center>

Le graphe de la fonction {{math|''g''(''x'')}} est donc en forme de U et admet un minimum au point <math>M\left(\frac 32;-\frac 72\right)</math>

=== Résolution de l'équation {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} ===
La résolution de l'équation {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} utilise la forme canonique :

==== Discriminant strictement négatif ====
Si le discriminant est strictement négatif, la valeur {{math|''β''/''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;–Δ/(4''a''{{exp|2}})}} est strictement positive.

La fonction {{mvar|f}} s'exprime comme le produit de {{mvar|a}} (non nul) et de la somme d'un terme positif {{math|(''x''&nbsp;–&nbsp;α){{2}}}} et d'un terme strictement positif {{math|''β''/''a''}} (somme qui est donc strictement positive, donc non nulle) : {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''&nbsp;×&nbsp;[(''x''&nbsp;–&nbsp;α){{2}}&nbsp;+&nbsp;''β''/''a'']}}.

On en déduit que, quelle que soit la valeur de {{mvar|x}}, son image par {{mvar|f}} n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre l'absence de solution dans l'ensemble des réels (ℝ).

On peut tout de même trouver deux solutions en se plaçant dans l'ensemble ℂ des [[#Coefficients réels et discriminant strictement négatif|nombres complexes]].

==== Discriminant nul ====
Si le discriminant est nul, le terme {{mvar|β}} l'est aussi et {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''(''x''&nbsp;–&nbsp;''α''){{2}}}}. Cette expression est nulle si, et seulement si {{mvar|x}} est égal à {{mvar|α}}. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.

==== Discriminant strictement positif ====
Si le discriminant est strictement positif, en simplifiant par {{mvar|a}}, l'équation s'écrit encore, si {{mvar|δ}} désigne la [[racine carrée]] du discriminant :
<center><math>(x-\alpha)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta = \sqrt{b^2 - 4ac}</math>.</center>

En utilisant l'[[identité remarquable]] <math>A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)</math>, l'équation peut donc s'écrire :
<center><math>\left(x -\alpha + \frac {{\delta}}{2a}\right)\left(x -\alpha - \frac {{\delta}}{2a}\right)=0</math>.</center>

Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :
<center><math>x-\alpha + \frac {\delta}{2a}=0 \quad\text{ou}\quad x -\alpha - \frac {\delta}{2a}=0</math>.</center>

En remplaçant {{mvar|α}} par <math display=inline>-\frac b{2a}</math> et {{mvar|δ}} par <math>\sqrt\Delta</math>, on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions :
:<math>x_1= \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \quad \text{et} \quad x_2= \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}</math>.

== Propriétés ==
=== Forme réduite ===
Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :
<center><math>(x+2)^3-(x-1)^3 = 0. </math></center>

Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :
<center><math>(x+2)^3-(x-1)^3 =x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 - 3x^2 + 3x -1) = 9x^2 + 9x + 9. </math></center>

L'équation devient alors :
<center><math>9x^2 + 9x + 9 = 0. </math></center>

En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : {{math|''x''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}. Le discriminant étant égal à −3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom<ref name=Ros />.

{{Théorème|Définition de la forme réduite|La forme réduite d'une équation du second degré réelle, est la suivante, si {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} sont trois nombres réels tels que {{mvar|a}} soit différent de 0 :
<center><math>ax^2 + bx + c = 0. </math></center>}}

Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :
<center><math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0. </math></center>
Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}}.

=== Relations entre coefficients et racines ===
{{Article détaillé|Relations entre coefficients et racines}}

Si les solutions, encore appelées [[racine d'un polynôme|racines]], existent, qu'elles soient distinctes ou doubles<ref group="Note">Si une unique racine existe et vaut α on dit néanmoins qu'il existe deux racines {{math|''x''{{ind|1}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''{{ind|2}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''α''}}. On parle alors de racine double. Cette convention possède plusieurs intérêts, entre autres celui d'éviter un cas particulier, par exemple dans le contexte de ce paragraphe.</ref>, on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}} sont les deux racines :
<center><math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). </math></center>

Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :
<center><math>ax^2+bx +c= ax^2-a(x_1 + x_2)x+ax_1x_2. </math></center>

En identifiant les coefficients, on en déduit des relations entre les coefficients de l'équation et ses solutions :

{{Théorème|Relations entre coefficients et racines|
On dispose des deux relations suivantes :
<center><math>x_1 + x_2 = -\frac ba \quad \text{et}\quad x_1x_2 = \frac ca. </math></center>}}

De plus la somme <math>
S</math> et le produit <math>P</math> des racines sont solutions de l'équation : <math>x^2 -Sx+ P = 0 </math>. 

Cette propriété est très pratique pour résoudre les systèmes de type: <math>\begin{cases} \alpha + \beta = x  \\ \alpha \times \beta = y  \end{cases} </math> d'inconnues <math>(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2</math>.

Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.

=== Discriminant réduit ===
Parfois, les coefficients {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} sont des nombres entiers et {{mvar|b}} est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au [[numérateur]] et au dénominateur. Si on définit {{mvar|b{{'}}}} comme l'entier vérifiant l'égalité {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;2''b{{'}}''}}, on simplifie les calculs :
{{Théorème|Définition du discriminant réduit<ref name=bibmath/>|Le discriminant réduit est la valeur {{math|Δ''{{'}}''}} définie par :
<center><math>\Delta' = b'^2 -ac. </math></center>}}

Le discriminant est égal à quatre fois le discriminant réduit qui est donc de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}} s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :
<center><math>x_1 = \frac {-b' + \sqrt {\Delta'}}{a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \sqrt {\Delta'}}a. </math></center>

Le calcul présenté ici est exact, indépendamment du fait que {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} soient entiers. Si l'expression de {{mvar|b'}} est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.

Considérons l'équation suivante :
<center><math>\sqrt 5 x^2 - 6x + \sqrt 5 = 0. </math></center>

Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant : il est égal à 9&nbsp;-&nbsp;({{racine|5}}){{2}} donc à 4. On trouve, avec les formules précédentes :
<center><math>x_1 = \frac {3 + 2}{\sqrt 5} = \sqrt 5 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {3 - 2}{\sqrt 5} = \frac {\sqrt 5}5. </math></center>

== Autres méthodes de résolution ==
=== Racines évidentes ===
{{article détaillé|Racine évidente}}
Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme {{racine|5}} joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur « au hasard » et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée [[racine évidente]].

Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à {{math|''c''/''a''}} est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/{{racine|5}}.

La méthode de la racine évidente permet de résoudre simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant<ref>Il provient d'un exercice de terminale de P. Amposta : ''[http://lycee.mathematiques.free.fr/docs/mCP22g01.pdf Gammes]'', du site « mathématiques au lycée ».</ref> :
<center><math>x^3 - 5x - 2 = 0. </math></center>

Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de [[méthode de Cardan|Cardan]] possède l'avantage d'être sûre, mais demande une maîtrise des [[nombre complexe|nombres complexes]] et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, –2 est une racine. Cela signifie que le polynôme {{math|''x''&nbsp;+&nbsp;2}} divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par {{math|(''x''&nbsp;+&nbsp;2)}} est du troisième degré. Si {{math|''ax''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;''bx''&nbsp;+&nbsp;''c''}} est le deuxième facteur, on calcule le produit :
<center><math>(x + 2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (2a + b)x^2 + (2b+c)x + 2c = x^3 -5x - 2. </math></center>

On en déduit {{math|''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}, {{math|''c''&nbsp;{{=}}&nbsp;–1}} puis {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;–2}}. Il reste encore à résoudre l'équation :
<center><math>x^2 - 2x - 1 = 0. </math></center>

Pour une rédaction plus concise, on peut toujours ''prétendre'' que 1&nbsp;+&nbsp;{{racine|2}} est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1&nbsp;–&nbsp;{{racine|2}}.

=== Méthode géométrique ===
{{Article détaillé|Algèbre géométrique}}
[[Fichier:603px-Quadrat Gleichung Euklid.png|vignette|upright=0.9|Résolution de l'équation {{math|''x''{{2}}&nbsp;+&nbsp;10''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;39}} à l'aide d'un gnomon.]]
Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante<ref>Pour plus de détails, voir : {{DahanPeiffer}} {{p.|62}}.</ref>, pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :
<center><math>x^2 + 10x = 39.</math></center>
On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme {{math|''x''{{2}}}} désigne l'aire d'un carré de côté {{mvar|x}} et {{math|10''x''}} désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et {{mvar|x}}. On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole {{math|''x''{{2}}}} en son milieu.

Cette surface, que l'on appelle un [[gnomon (géométrie)|gnomon]] prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté {{mvar|x}}. Le carré de côté {{mvar|x}} et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :
<center><math>x^2 + 10x + 25 = 64.</math></center>

Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction, égal à {{math|5&nbsp;+&nbsp;{{mvar|x}}}}. En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :
<center><math>(x + 5)^2 = 64.</math></center>

On en déduit la solution {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;3}}. L'algèbre propose aussi une autre solution : –13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, {{mvar|x}} représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.

D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles [[Inconnue (mathématiques)|Inconnue]] et [[Nombre d'or]].

=== Par les relations entre coefficients et racines ===
{{section à sourcer|date=décembre 2019}}
Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note {{mvar|s}} la somme des solutions et {{mvar|p}} leur produit. En divisant l'équation par le facteur {{mvar|a}}, qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :
<center><math>x^2 - sx + p=0</math>.</center>

Soit {{mvar|m}} la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si {{mvar|h}} est la demi-distance entre les solutions et si {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}} désignent les deux racines, on obtient les égalités :
<center><math>x_1 = m + h \quad\text{et}\quad x_2 = m -h</math>.</center>

La somme des deux racines est égale à {{mvar|s}} et aussi à {{math|2''m''}}, ce qui donne la valeur de {{math|''m''&nbsp;{{=}}&nbsp;''s''/2}}. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que {{math|''m''{{2}}&nbsp;–&nbsp;''h''{{exp|2}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''p''}}. Une autre manière d'écrire cette égalité est {{math|''h''{{2}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''m''{{2}}&nbsp;–&nbsp;''p''}}. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient {{mvar|h}}, puis les valeurs des racines :
<center><math>x_1 = \frac {s + \sqrt{s^2 - 4p}}2 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {s - \sqrt{s^2 - 4p}}2</math>.</center>

En remplaçant {{mvar|s}} et {{mvar|p}} par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.

Les points {{math|(''x''{{ind|1}}, 0)}}, {{math|(''x''{{ind|2}}, 0)}}, {{math|(0 , 1/''a'')}}, {{math|(0, ''c'')}} et {{math|(–''b''/''a'', ''c'')}} sont cocycliques sur un cercle ([[Cercle de Carlyle|de Carlyle]]) ayant pour diamètre les points {{math|(0, 1/''a'')}} et {{math|(–''b''/''a'', ''c'')}}[[Fichier:Degre 2.JPG|vignette|Cercle passant par les trois points d'intersection avec les axes de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré {{mvar|f}} de discriminant positif (les intersections avec l'axe des {{mvar|x}} sont données par les racines).]]

== Résolution dans l'ensemble des nombres complexes ==
Lorsque le discriminant de l'équation du second degré est négatif, celle-ci ne possède pas de solution dans l'ensemble des réels, car il n'est pas possible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Mais dans un ensemble spécialement construit à cet effet<ref>Dominique Flament, ''Histoire des nombres complexes'' {{ISBN|2-271-06128-8}}.</ref>, l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]], il existe des nombres dont le carré est négatif. L'équation du second degré à coefficients réels y admet alors toujours des [[Zéros complexes d'équations réelles|solutions]]. Le résultat se généralise aux équations du second degré dont les coefficients sont complexes.

=== Coefficients réels et discriminant strictement négatif ===
==== Exemple ====
Considérons l'équation suivante :
<center><math>x^2 + x + 1 = 0</math>.</center>

Sous sa forme canonique, l'équation s'écrit :
<center><math>x^2 + 2\frac 12 x + \frac 14 + \frac 34 = \left(x+\frac 12\right)^2 + \left(\frac {\sqrt3}2\right)^2 =0</math>.</center>

La partie gauche de l'équation est la somme de deux carrés, dont l'un est strictement positif, il ne peut donc exister de solution dans les nombres réels. Une autre manière d'en prendre conscience est de calculer le discriminant, ici égal à –3.

Si {{math|i}} désigne l'[[unité imaginaire]], il est possible d'écrire 3/4 comme l'opposé d'un carré, cet usage lève l'impossibilité, l'équation s'écrit :
<center><math>\left(x+\frac 12\right)^2 - \left(\frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right)^2 =0</math>.</center>

Les [[identités remarquables]] s'appliquent tout autant dans '''C''', le corps des nombres complexes, que dans '''R''' celui des nombres réels, comme dans tout [[anneau commutatif]]. On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la [[différence de deux carrés]] est factorisable :
<center><math>\left(x + \frac 12 + \frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right)\left(x + \frac 12 - \frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right) = 0</math>,</center>

ce qui permet d'en déduire les deux solutions :
<center><math>x_1 = \frac {-1 + {\rm i}\sqrt 3}2\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-1 - {\rm i}\sqrt 3}2</math>.</center>

Les deux solutions sont [[complexe conjugué|conjuguées]]. Cette propriété n'est vraie que dans le cas d'une équation quadratique à coefficients réels.

==== Cas général ====
La méthode utilisée pour l'exemple s'applique de la même manière pour le cas général, si les coefficients sont réels et le discriminant strictement négatif. L'équation s'écrit sous sa forme canonique :
<center><math>a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {\rm{i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}\right)^2\right)=0. </math></center>

Les symboles {{math|{{!}}Δ{{!}}}} désignent la [[valeur absolue]] du discriminant. On obtient le résultat suivant :
{{Théorème|Coefficients réels et discriminant négatif|
Si le discriminant est strictement négatif, l'équation admet deux solutions conjuguées {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}}, qui s'écrivent :
<center><math>x_1 = \frac {-b +{\rm i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b -{\rm i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}. </math></center>
}}

=== Équation {{math|''z''{{2}} {{=}} ''α''}} ===
Résoudre l'équation {{math|''z''{{2}} {{=}} ''α''}} revient à déterminer les [[Racine carrée#Racines carrées de nombres complexes|racines carrées du nombre complexe]] α, soit des nombres complexes {{mvar|β}} tel que {{math|''β''{{2}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''α''}}. Clairement, si {{mvar|β}} est solution son opposé {{mvar|-β}} également.

On note {{math|''z''&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;i''y''}}, {{math|''α&nbsp;{{=}}&nbsp;a''&nbsp;+&nbsp;i''b{{'}}''}} et {{math|{{!}}''α''{{!}}}} désigne le [[Module d'un nombre complexe|module]] de {{mvar|α}}. L'équation s'écrit encore :
<center><math>z^2 = (x + {\rm i}y)^2 = (x^2 - y^2) +{\rm i}2xy = a+{\rm i}b\quad\text{et}\quad x^2 - y^2 = a,\; 2xy = b. </math></center>

Le carré du module de {{mvar|z}} est égal au module de {{mvar|α}}, on en déduit :
<center><math>x^2 - y^2 = a,\; x^2 + y^2 = |\alpha| =\sqrt {a^2 + b^2}\quad\text{donc}\quad x = \pm \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})},\quad y = \pm \sqrt {\frac 12(-a + \sqrt {a^2 + b^2})}. </math></center>

L'égalité {{math|2''xy&nbsp;{{=}}&nbsp;b''}} permet d'éliminer les valeurs autres que {{mvar|β}} et {{mvar|-β}}, où {{mvar|β}} est définie par, si {{mvar|ε}} désigne le signe de {{mvar|b}}.

<center><math>\beta = \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})} + \varepsilon {\rm i} \sqrt {\frac 12(-a+\sqrt {a^2 + b^2})}.</math></center>

Un rapide calcul montre que {{mvar|β}} vérifie {{math|''β''{{exp|2}}&nbsp;{{=}}&nbsp;''α''}}, et {{mvar|β}} et {{mvar|–β}} sont donc bien les seules racines carrées de {{mvar|α}}.

La détermination d'une racine carrée d'un nombre complexe est utile pour résoudre le cas général de l'équation du second degré à coefficients complexes traitée au paragraphe suivant.

=== Équation du second degré à coefficients complexes (cas général) ===
On suppose maintenant que {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} sont trois nombres complexes tels que {{mvar|a}} soit non nul. Il est toujours possible d'écrire l'équation de l'article sous la forme canonique, car les transformations utilisées sont tout aussi valables sur les nombres complexes. En simplifiant par {{mvar|a}}, l'équation est équivalente à :
<center><math>\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {\Delta}{4a^2} = 0\quad\text{avec}\quad \Delta = b^2 - 4ac. </math></center>

Soit δ une [[racine carrée]] du discriminant (le paragraphe précédent montre qu'il existe une telle valeur et comment la déterminer). L'équation se résout alors comme dans le cas réel, c'est-à-dire qu'elle s'écrit :
<center><math>\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta^2 = \Delta</math></center>

L'identité remarquable traitant de la différence de deux carrés permet encore d'écrire dans l'ensemble des nombres complexes :
<center><math>\left(x + \frac b{2a} + \frac {\delta}{2a}\right)\left(x + \frac b{2a} - \frac {\delta}{2a}\right) = 0. </math></center>

Ce qui permet d'énoncer le résultat :
{{théorème|Cas des coefficients complexes|Une équation du second degré à coefficients dans les nombres complexes admet deux solutions {{math|''z''{{ind|1}}}} et {{math|''z''{{ind|2}}}}. Si le discriminant est nul, les deux solutions sont confondues. Dans le cas général, les solutions s'écrivent :
<center><math>z_1 = \frac {-b + \delta}{2a},\;z_2 = \frac {-b - \delta}{2a}\quad\text{avec}\quad \delta^2 = \Delta = b^2 -4ac. </math></center>}}

'''Remarque''' : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.

== Généralisation à d'autres corps ==
Les formules ci-dessus (et leur démonstration) restent valables si {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} appartiennent à un [[corps commutatif]] {{mvar|K}} de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2, en prenant au besoin {{mvar|δ}} (racine carrée de {{math|Δ}}) dans une [[extension quadratique]] de {{mvar|K}} (comme on l'a fait pour <math>K=\R</math> dans le cas {{math|Δ < 0}}).
;Exemples
:Dans {{math|''K''}} = '''F'''{{ind|3}} = [[Anneau ℤ/nℤ|ℤ/3ℤ]] (qui est un [[Corps fini#Caractéristique trois|corps fini de caractéristique 3]]), soient :
:*{{math|''a&nbsp;{{=}}&nbsp;b&nbsp;{{=}}&nbsp;c''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}. Alors, <math>\Delta=-3=0</math> donc l'équation {{math|''x''{{2}}&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} a une solution double dans '''F'''{{ind|3}} : <math>x=\frac{-1\pm0}2=1</math> ;
:*{{math|''a&nbsp;{{=}}&nbsp;c''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}} et {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}. Alors, <math>\Delta=-4=-1</math> n'a pas de racine carrée dans {{math|''K''}}, mais il en a une, {{mvar|δ}}, dans le [[Corps fini#Exemple : les corps à p2 éléments|corps fini '''F'''{{ind|9}} à 9 éléments]]. L'équation {{math|''x''{{2}}&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} n'a donc pas de solution dans '''F'''{{ind|3}} mais ses deux solutions dans '''F'''{{ind|9}} sont <math>\frac{0\pm\delta}2=\mp\delta</math>.

== Calcul numérique ==
Une mise en informatique « naïve » de la méthode de résolution peut mener à des résultats de précision médiocre dans certains cas.

Dans un ordinateur, la précision des nombres est limitée par le mode de représentation. Si l'on utilise la [[virgule flottante|double précision]] selon la norme [[IEEE 754]], la valeur absolue des nombres est limitée à environ [10{{exp|–307}} ; 10{{exp|308}}].

=== Erreur d'arrondi ===
Lorsque {{math|Δ > 0}}, le calcul de <math> \dfrac{-b + \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2a}</math> où {{math|sgn(''b'')}} est le signe de {{mvar|b}}, conduit à calculer la différence des deux nombres {{racine|Δ}} et {{math|{{!}}''b''{{!}}}}. Si ce calcul est fait numériquement, cela entraîne une [[Erreur d'arrondi|perte de précision]], surtout lorsque {{racine|Δ}} est très proche de {{math|{{!}}''b''{{!}}}}, c'est-à-dire quand {{math|4''ac''}} est petit par rapport à {{math|''b''{{2}}}}. On parle alors d'algorithme de calcul numériquement instable.

Michaël Baudin<ref name="scilab">{{lire en ligne | langue = en | url=http://www.scilab.org/content/download/249/1710/file/scilabisnotnaive.pdf | texte = Scilab is not naive}}, Consortium Scilab.</ref> propose l'exemple suivant :
: <math>\varepsilon x^2 + (1/\varepsilon) x - \varepsilon. </math>
Lorsque {{mvar|ε}} (positif) tend vers 0, on est bien dans le cas où {{math|Δ {{=}} 1/''ε''{{2}} + 4''ε''{{2}} ≈ 1/''ε''{{2}} {{=}} ''b''{{2}}}}. Le comportement asymptotique des racines est
:<math>x_1 \simeq 1/\varepsilon^2,\ x_2 \simeq \varepsilon^2</math>
mais l'erreur de troncature donne des erreurs importantes par rapport à ces valeurs attendues.

Press et coll<ref>{{chapitre
| titre chapitre = 5. Quadratic and Cubic Equations
| sous-titre chapitre = 5.6
| langue = en
| prénom1 = W.H. | nom1 = Press
| prénom2 = Saul A. | nom2 = Teukolsky
| prénom3 = William T. | nom3 = Vetterling
| prénom4 = Brian P. | nom4 = Flannery
| année = 1992
| titre ouvrage = Numerical Recipes in C
| édition = 2
| éditeur = Cambridge University Press
}}.</ref>. recommande le calcul de la valeur intermédiaire
: <math>q = - \frac{b + \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2}</math>
ce qui permet d'obtenir les racines
: <math>x_1 = \frac{q}{a} \text{ ; } x_2 = \frac{c}q. </math>
Remarquons que comme le coefficient {{mvar|b}} est réputé grand (tout du moins devant {{mvar|ac}}), on peut encore gagner en précision en utilisant le [[#Discriminant réduit|discriminant réduit]] :{{refnec}}
: <math>b' = b/2 \text{ ; } \Delta' = b'^2 - ac \text{ ; } q' = - (b' + \sgn(b')\sqrt{\Delta'})</math>
: <math>x_1 = \frac{q'}{a} \text{ ; } x_2 = \frac{c}{q'}. </math>

Une manière équivalente<ref>Michel Pignat et Jean Vignès, ''Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur''.</ref> consiste à calculer d'abord la racine ayant un signe effectif « + »
: <math> x_1=\dfrac{-b - \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2a}</math>,
proche de {{math|-''b''/''a''}}, et d'utiliser la propriété sur le produit des racines pour déterminer l'autre racine à l'aide de l'égalité
: <math> x_2=\frac c{ax_1}. </math>

Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n'est amplifiée par une des étapes du calcul.

=== Dépassement ===
Lorsque {{math|{{!}}''b''{{!}}}} prend des valeurs importantes, le calcul de {{math|''b''{{2}}}}, pour le discriminant, risque de créer une [[Dépassement d'entier|erreur de dépassement]] (si {{math|''b''{{2}} < 10{{exp|308}}}}). On peut prendre par exemple<ref name="scilab" />
: <math>x^2 + (1/\varepsilon) x + 1. </math>
Lorsque {{mvar|ε}} (positif) tend vers 0, le comportement asymptotique des racines est
:<math>x_1 \simeq -1/\varepsilon,\ x_2 \simeq -\varepsilon.</math>
Mais alors que la valeur finale de {{math|''x''{{ind|1}}}} est représentable ({{math|–10{{exp|308}} < –1/''ε''}}), le calcul du discriminant provoque une erreur de dépassement.

Là encore, on a intérêt à utiliser le discriminant réduit : {{math|''b{{'}}{{2}} {{=}} ''b''{{2}}/4}}, ce qui réduit d'un facteur quatre le risque de dépassement.

On peut ensuite factoriser de manière intelligente le calcul du discriminant. Si {{math|{{!}}''b{{'}}''{{!}}}} est grand devant {{math|{{!}}''a''{{!}}}} ou bien devant {{math|{{!}}''c''{{!}}}} (et non nul), on peut écrire :
: <math>\Delta' = b'^2 \left( 1 - \frac{ac}{b'^2} \right) = b'^2 \left( 1 - \frac{a}{b'} \frac{c}{b'} \right) . </math>
On définit alors
: <math>e = 1 - \frac{a}{b'}\frac{c}{b'}</math>
qui diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque soit {{math|{{!}}''a''/''b{{'}}''{{!}} < 1}}, soit {{math|{{!}}''c''/''b{{'}}''{{!}} < 1}} ; puis
: <math>\sqrt{\Delta'} = \pm |b'| \sqrt{|e|}</math>
et l'on n'élève donc pas {{mvar|b{{'}}}} au carré.

Si au contraire {{math|{{!}}''c''{{!}} > {{!}}''b{{'}}'' {{!}}}} (non nul), on peut alors écrire
: <math>\Delta' = c \left ( b' \cdot \frac{b'}{c} - a \right ). </math>
On définit alors
: <math>e = b' \cdot \frac{b'}{c} - a</math>
dont le calcul diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque {{math|{{!}}''b{{'}}''/''c''{{!}} < 1}}, et
: <math>\sqrt{\Delta'} = \pm \sqrt{| c |} \sqrt{|e|}. </math>

=== Sensibilité aux petites variations ===
Si l'on calcule les dérivées partielles des racines par rapport aux coefficients de l'équation (en supposant {{math|''a'' ≠ 0}} et {{math|Δ ≥ 0}}) :
: <math>\left \{ \begin{align}
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial a} =\ & \frac{c}{a \sqrt{\Delta}} + \frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a^2} \\
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial b} =\ & \frac{-1 \pm b/\sqrt{\Delta}}{2a} \\
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial c} =\ & \pm \frac{1}{\sqrt{\Delta}}
\end{align} \right .</math>
on voit que si {{mvar|a}} ou {{math|Δ}} sont proches de 0, alors les dérivées partielles sont très grandes, ce qui signifie qu'une petite variation sur les coefficients entraîne une grande variation de la valeur des racines. Dans de telles conditions, une petite erreur de troncature peut entraîner une grande erreur sur le résultat.

Si le discriminant est nul, on retrouve le même problème lorsque {{mvar|a}} est proche de zéro :
: <math>\left \{ \begin{align}
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial a} =\ & \frac{b}{2a^2} \\
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial b} =\ & \frac{-1}{2a} \\
\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial c} =\ & 0.
\end{align} \right . </math>

Dans les deux cas, on a un problème dit « [[Conditionnement (analyse numérique)|mal conditionné]] ».

=== Algorithme itératif ===
Une manière d'éviter les problèmes sus-cités consiste à utiliser un algorithme itératif, par exemple l'{{lien | fr = algorithme de Jenkins-Traub |langue = en | trad = Jenkins–Traub algorithm}} qui permet d'obtenir les racines d'un polynôme {{mvar|P}} quelconque.

Si l'on connaît la première racine {{math|''x''{{ind|1}}}}, alors {{mvar|P}} peut s'écrire
:<math>P(x) = (x - x_1)H</math>
où {{mvar|H}} est un polynôme de degré inférieur de 1 à {{mvar|P}} — dans le cas présent, on a {{math|''H''(''x'') {{=}} ''a''(''x – x''{{ind|2}})}}, voir la section ''[[#Forme réduite|Forme réduite]]''. L'algorithme recherche cette première racine en utilisant une suite de polynômes {{math|(''H{{ind|i}}'')}} approchant {{mvar|H}}. Cette suit est construite de manière récursive :
: <math>\left \{ \begin{align}
H_0(x) =\ & P'(0) \\
(x - s_i) \cdot H_{i + 1}(x) \equiv\ & H_i(x) \mod(P(x))
\end{align} \right .</math>
où {{math|(''s{{ind|i}}'')}} est une suite de nombres.

La première étape consiste à calculer les cinq premiers termes, {{math|''H''{{ind|0}}}} à {{math|''H''{{ind|4}}}}, avec une suite nulle (''s''{{ind|0}} = … = ''s''{{ind|4}} = 0). Cela donne un ordre de grandeur de la racine la plus petite et permet éventuellement de normaliser les coefficients de l'équation si cette valeur est trop grande ou trop petite. On évite ainsi les problèmes de dépassement ou de soupassement.

La deuxième étape consiste à calculer les neuf premiers termes en prenant une suite uniforme. Il s'agit d'une valeur complexe dont l'argument est pris au hasard ({{mvar|φ}} = <code>rand</code>), et dont l'affixe R est la solution de l'équation
:<math>R^2 + |b|R = c</math>
que l'on peut trouver de manière simple (par exemple avec la [[méthode de Newton-Raphson]]), la fonction de gauche étant monotone et convexe. On prend donc
:<math>s = R \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math>
et si la méthode ne converge pas, on choisit un autre argument.

La troisième étape consiste à calculer les termes de rang supérieurs à 10 en utilisant la raison :
: <math>s_{i + 1} = s_i + \frac{P(s_i)}{\overline{H}_i(s_i)}</math>
où {{surligner|''H''}} est le coefficient {{mvar|H}} normalisé, c'est-à-dire que ses coefficients sont divisés par le coefficient du degré le plus élevé.

Cet algorithme présente des similitudes avec Newton-Raphson, les polynômes {{mvar|H{{ind|i}}}} jouant le rôle des dérivées.

Cet algorithme peut être adapté si le coefficients de l'équation sont réels ; il est alors plus rapide et plus stable.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe="Note"}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|v=Équations et fonctions du second degré/Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré
| wikiversity titre = Équations du second degré
}}

[https://www.comment-calculer.net/resolution-equation-second-degre.php Résolution équations second degré en ligne.]

{{Autres projets
|v=Équations et fonctions du troisième degré/Équations et fonctions du troisième degré/Équations du setroisièmecond degré
| wikiversity titre = Équations du troisième degré
}}

[https://www.comment-calculer.net/resolution-equation-troisieme-degre.php Résolution équations troisième degré en ligne.]
=== Article connexe ===
[[Forme quadratique]]

=== Bibliographie ===
* J. Merker, ''Du trinôme du second degré à la théorie de Galois'', Presses universitaires de Franche-Comté (2007) {{ISBN|2848672056}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Maurice|nom1=Caveing|titre=Essai sur le savoir mathématique|sous-titre=dans la Mésopotamie et l'Egypte anciennes|lieu=Villeneuve d'Ascq|éditeur=Presses Univ. Septentrion|année=1994|pages totales=417|isbn=2-85939-415-X}}
* {{AlgèbreBabylone}}

{{Palette|Polynômes|Méthodes de résolution}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Équation polynomiale|Equation (2)]]