Voir la source de Équations de Bloch

{{Voir homonymes|Bloch}}

En physique et chimie, dans la [[Résonance magnétique nucléaire|résonance magnétique nucléaire (RMN)]], l'[[Imagerie par résonance magnétique|imagerie par résonance magnétique (IRM)]] et la [[Résonance paramagnétique électronique|résonance paramagnétique électronique (RPE)]], les '''équations de Bloch''' sont un ensemble d’équations macroscopiques de calcul de l'[[Magnétisation|aimantation nucléaire]] '''M''' = (''M<sub>x</sub>'', ''M<sub>y</sub>'', ''M<sub>z</sub>'') en fonction du temps lorsque les [[temps de relaxation]] ''T''<sub>1</sub> et ''T''<sub>2</sub> sont présents. Les équations de Bloch sont parfois appelées [[Équation du mouvement|équations du mouvement]] de l'aimantation nucléaire. Ces équations ont été introduites par [[Félix Bloch]] en 1946 et sont analogues aux équations de Maxwell-Bloch qui décrivent l'effet d'un [[champ électromagnétique]] sur un système à deux niveaux et les relaxations qu'on y peut observer.

Ces équations ne sont pas ''microscopiques'' : elles ne décrivent pas l'équation de mouvement de [[Moment magnétique|moments magnétiques]] individuels. Ceux-ci sont gouvernés et décrits par les lois de [[mécanique quantique]]. Les équations de Bloch sont ''macroscopiques'' : elles décrivent les équations de mouvement de l'aimantation nucléaire macroscopique qui peut être obtenue en additionnant tous les moments magnétiques nucléaires de l'échantillon.

== Équations de Bloch dans un référentiel fixe ==
Soit  '''''M'''(t) = (M<sub>x</sub>(t), M<sub>y</sub>(t), M<sub>z</sub>(t))'', l'aimantation nucléaire. Les équations de Bloch s'écrivent alors :

:<math>\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _x - \frac {M_x(t)} {T_2}</math>
:<math>\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _y - \frac {M_y(t)} {T_2}</math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _z - \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}</math><ref>[[Felix Bloch|F. Bloch]], ''[https://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.70.460 Nuclear Induction]'', ''Physical Review'', 70, 4604–73, 1946</ref>

où γ est le [[rapport gyromagnétique]] et '''''B'''(t) = (B<sub>x</sub>(t), B<sub>y</sub>(t), B<sub>0</sub> + ΔB<sub>z</sub>(t))'' est le [[champ magnétique]] imposé aux [[Noyau atomique|noyaux atomiques]]. La composante z du champ magnétique '''B''' est constituée de deux termes :
* le premier, B<sub>0</sub>, correspondant à un champ constant dans le temps ;
* le second, ''ΔB<sub>z</sub>(t)'', peut être dépendant du temps. Il est présent dans l'[[imagerie par résonance magnétique]] et aide au décodage spatial du signal de RMN.

'''''M'''(t)×'''B'''(t)'' est le [[produit vectoriel]] de ces deux vecteurs. M<sub>0</sub> est l'état d'équilibre de l'aimantation nucléaire, il est orienté dans la direction z.

=== Contenu physique ===
Lorsque ''T<sub>1</sub>'' et ''T<sub>2</sub>'' tendent vers l'infini, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de relaxation, les équations se réduisent à :
[[Fichier:Precession Larmor.svg|vignette|331x331px|Sans relaxation, le système est équivalent à la précession de Larmor de l'aimantation autour du champ magnétique.]]

:<math>\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _x</math>
:<math>\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _y</math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  ) _z</math>

ou en notation vectorielle :

:<math>\frac {d \mathbf {M}(t)} {d t} = \gamma  \mathbf {M} (t) \times \mathbf {B} (t)  </math>

C'est l'équation de la [[précession de Larmor]] de l'aimantation nucléaire ''M'' dans un champ magnétique externe ''B''. 

Les équations de Bloch sont alors les équations de Larmor auxquelles on a ajouté les termes de relaxation suivants : 

:<math>\left ( -\frac {M_x} {T_2},  -\frac {M_y} {T_2}, -\frac {M_z - M_0} {T_1} \right ) </math>

La relaxation transversale est décrite par le temps caractéristique ''T<sub>2</sub>'' et de même la relaxation longitudinale par le temps ''T<sub>1</sub>''.  

Ces termes traduisent des interactions avec le milieu extérieur, la relaxation longitudinale (''T<sub>1</sub>'') ou [[relaxation spin-réseau]] est le résultat d'échanges entre les spins et le milieu environnant pour transférer l'excès d'énergie apporté par le champ magnétique et donc revenir à l'équilibre thermodynamique<ref>{{Article|langue=fr|auteur=Jacques Pescia|titre=La  Relaxation des spins électroniques avec le réseau (Théorie élémentaire et méthodes de mesure du temps T1)|périodique=Journal de Physique|date=novembre-décembre 1966|lire en ligne=https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206474|pages=782-800}}</ref>. La relaxation transversale (''T<sub>2</sub>'') ou encore [[relaxation spin-spin]] correspond au déphasage graduel de tous les spins de la matière provenant d'inhomogénéités locales du champ magnétique. Ces inhomogénéités impliquent de légères différences de fréquence de Larmor. En effet, en l'absence de relaxation, les moments sont en précession cohérente autour du champ magnétique et il existe alors une aimantation transversale. Comme l'aimantation est la somme de tous les moments magnétiques, leur progressive décohérence entraîne une valeur moyenne de la composante transversale qui tend à s'annuler<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Principe de la RMN : Phénomènes de relaxation|url=http://jflemen.iutlan.univ-rennes1.fr/CHIMIE/RMN/rrmn112.htm|consulté le=25 avril 2018}}</ref>.

=== Formes alternatives des équations de Bloch ===
Le développement du produit vectoriel dans les équations de Bloch mène à :

:<math>\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma \left ( M_y (t) B_z (t) - M_z (t) B_y (t) \right ) - \frac {M_x(t)} {T_2}</math>
:<math>\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma \left ( M_z (t) B_x (t) - M_x (t) B_z (t) \right ) - \frac {M_y(t)} {T_2}</math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma \left ( M_x (t) B_y (t) - M_y (t) B_x (t) \right ) - \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}</math>

Nous verrons plus loin que cette formule se simplifie en posant :

:<math>M_{xy} = M_x + iM_y </math> <!--- do not delete "\,": It improved display of the formula in certain browsers.--->
:<math>B_{xy} = B_x + iB_y </math>

où ''i'' est l'unité imaginaire. 

On obtient :

:<math>\frac {d M_{xy}(t)} {d t} = -i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}(t)} {T_2} </math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = i \frac{\gamma}{2} \left ( M_{xy} (t) \overline{B_{xy} (t)} - 
\overline {M_{xy}(t)}  B_{xy} (t) \right )
- \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}</math>

Tel que :

:<math>\overline {M_{xy}} = M_x - i M_y </math>.
:<math>\overline{B_{xy}} = B_x - i B_y</math>

Ces quantités sont les [[Nombre complexe|nombres complexes]] conjugués de ''M<sub>xy</sub>'' et de ''B<sub>xy</sub>'' . Les parties réelle et imaginaire de ''M<sub>xy</sub>'' correspondent à ''M<sub>x</sub>'' et ''M<sub>y</sub>'' respectivement. ''M<sub>xy</sub>'' est parfois appelée ''aimantation nucléaire transversale''.

=== Forme matricielle des équations de Bloch ===
Les équations de Bloch peuvent être remaniées en utilisant une définition équivalente du produit vectoriel pour s'écrire en notation matricielle :
:<math>
\frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} M_x\\ M_y\\ M_z \end{array} \right) 
=
\left( \begin{array}{ccc}
-\frac{1}{T_2}& \gamma B_z & -\gamma B_y \\
-\gamma B_z & -\frac{1}{T_2}& \gamma B_x \\
\gamma B_y & -\gamma B_x & -\frac{1}{T_1}
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} M_x\\ M_y\\ M_z \end{array} \right) 
+
\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \frac{M_0}{T_1} \end{array} \right)
</math>

== Équations de Bloch dans le référentiel tournant ==
Dans un référentiel tournant, il est plus facile de comprendre le comportement de l'aimantation nucléaire '''M'''. 

=== Solution des équations de Bloch avec ''T<sub>1</sub>'', ''T<sub>2</sub>'' → ∞ ===
Supposons que :
* à t = 0, l'aimantation nucléaire transversale ''M<sub>xy</sub>''(0) subit un champ magnétique constant '''B'''(''t'') = (0, 0, ''B''<sub>0</sub>) ;
* ''B''<sub>0</sub> est positif ;
* il n'y a aucune relaxation longitudinale ou transversale puisque ''T<sub>1</sub>'' et ''T<sub>2</sub>'' tendent vers l'infini.

Les équations de Bloch deviennent alors :

:<math>\frac{d M_{xy}(t)} {d t} = -i \gamma  M_{xy} (t) B_{0}</math>,
:<math>\frac{d M_z(t)} {d t} = 0 </math>.

Ce sont deux [[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]] non couplées. Leurs solutions sont :

:<math>M_{xy}(t) = M_{xy} (0) e^{-i \gamma B_{0} t}</math>,
:<math>M_z(t) = M_0 = \text{const} \,</math>. <!-- do not delete "\,", it improved display of the formula on certain browsers. --->

Ainsi l'aimantation transversale, ''M''<sub>xy</sub> tourne autour de l'axe '''z''' avec la [[fréquence angulaire]] ω<sub>0</sub> = γ''B''<sub>0</sub> dans le sens des aiguilles d'une montre (c'est la raison du signe négatif dans l'exposant). L'aimantation longitudinale ''M<sub>z</sub>'' reste constante dans le temps. C'est aussi pourquoi l'aimantation transversale apparaît à un observateur dans le ''référentiel terrestre'' (vu par un ''observateur stationnaire'').

''M''<sub>xy</sub>(''t'') peut se décomposer en les quantités observables ''M''<sub>x</sub>(''t'') et ''M<sub>y</sub>(t)'' : 

:<math>M_{xy}(t) = M_{xy} (0) e^{-i \gamma B_{z0} t} = M_{xy} (0) \left [ \cos (\omega _0 t) - i \sin (\omega_0 t) \right ]</math>

On a  :

:<math>M_{x}(t) = \text {Re} \left (M_{xy} (t) \right ) = M_{xy} (0) \cos (\omega _0 t)</math>,
:<math>M_{y}(t) = \text {Im} \left (M_{xy} (t) \right ) = -M_{xy} (0) \sin (\omega _0 t)</math>,

où Re(''z'') et Im(''z'') sont des fonctions qui donnent respectivement la partie réelle et imaginaire du nombre complexe z. Dans ce calcul il a été supposé que ''M''<sub>xy</sub>(0) est un [[nombre réel]].

=== Transformation en référentiel tournant ===
C'est la conclusion de la partie précédente : dans un champ magnétique constant ''B''<sub>0</sub> le long de l'axe ''z'', l'aimantation transversale ''M''<sub>xy</sub> tourne autour de cet axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire ω<sub>0</sub>. Si l'observateur tournait autour du même axe dans le même sens et avec la fréquence angulaire Ω, ''M''<sub>xy</sub> lui apparaîtrait tournant avec la fréquence angulaire ω<sub>0</sub> - Ω. Plus particulièrement, si l'observateur tournait autour du même axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire ω<sub>0</sub>, l'aimantation transversale ''M''<sub>xy</sub> lui semblerait stationnaire.

Cela peut être exprimé mathématiquement de la manière suivante :
* (x, y, z) est le [[Coordonnées cartésiennes|système de coordonnées cartésiennes]] terrestre posé comme référentiel ;
* (x′, y′, z′) = (x′, y′, z) est un système de coordonnées cartésiennes qui tourne autour de l'axe z du [[référentiel terrestre]] avec la fréquence angulaire Ω. On l'appelle le ''référentiel tournant''. Les variables physiques dans ce référentiel sont dénotées par une apostrophe.

À l’évidence :

:<math>M_z' (t) = M_z(t)\,</math>.<!--- do not delete "\,": it improves display of the formula in certain browsers. --->

Pour ''M''<sub>xy</sub>′(''t'') la transformation s'écrit :

:<math>M_{xy}'(t) = M_{xy}(t)e^{+i \Omega t} \,</math>.<!--- do not delete "\,": it improves display of the formula in certain browsers. --->

=== Équation du mouvement de l'aimantation dans le référentiel tournant ===
L'équation du mouvement de ''M''<sub>xy</sub>′(''t'') dans un champ '''''B'''(t) = (B<sub>x</sub>(t), B<sub>y</sub>(t), B<sub>0</sub> + ΔB<sub>z</sub>(t))'' est :

:<math>\begin{align}
\frac {d M'_{xy}(t) } {d t} &=  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'(t)} {T_2} \\
\end{align}</math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = i \frac{\gamma}{2} \left ( M'_{xy} (t) \overline{B'_{xy} (t)} - 
\overline {M'_{xy}(t)} B'_{xy} (t) \right )
- \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}</math>
{{Démonstration|déroulante=oui|contenu=

On obtient l'équation d'évolution en dérivant simplement par rapport au temps la quantité M'<sub>xy</sub> :
:<math>\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} = \frac {d \left ( M_{xy}(t) e^{+i \Omega t} \right )} {d t} =
\frac {d M_{xy}(t) } {d t}e^{+i \Omega t} + i \Omega M_{xy}(t)e^{+i \Omega t} =
\frac {d M_{xy}(t) } {d t}e^{+i \Omega t} + i \Omega M_{xy}'(t)
</math>

En injectant l'équation de Bloch   :

:<math>\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & =  \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}(t)} {T_2} \right ]e^{+i \Omega t} + i \Omega M_{xy}'(t) \\

& = \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) e^{+i \Omega t} B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) e^{+i \Omega t}\right ) -
\frac {M_{xy}(t) e^{+i \Omega t} } {T_2} \right ] + i \Omega M_{xy}'(t) \\

& = -i \gamma \left ( M_{xy}' (t) B_z' (t) - M_z' (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}'(t) -
\frac {M_{xy}'(t)} {T_2} \\

\end{align}
</math>

L'hypothèse de la partie précédente était que : ''B''<sub>z</sub>′(''t'') = ''B''<sub>z</sub>(''t'') = ''B''<sub>0</sub> + Δ''B''<sub>z</sub>(''t''). On peut donc continuer en écrivant :

:<math>\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & =  -i \gamma \left ( M_{xy}'(t) (B_0 + \Delta B_z(t)) - M_z (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}'(t) -
\frac {M_{xy}'(t)} {T_2} \\

& =  -i \gamma  B_0 M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t)+ i \Omega M_{xy}'(t) -
\frac {M_{xy}'(t)} {T_2} \\

& =  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'(t)} {T_2} \\

\end{align}</math>
Il en va de même pour l'équation de M<sub>z</sub>.}}

Explication des termes à droite de cette équation  :
* ''i''(Ω - ω<sub>0</sub>) ''M''<sub>xy</sub>′(''t'') suit le terme de Larmor dans le référentiel tournant avec la fréquence angulaire Ω. Il s'annule notamment quand Ω = ω<sub>0</sub> ;
* le terme ''-i''γ Δ''B''<sub>z</sub>(''t'') ''M''<sub>xy</sub>''′''(''t'') décrit l'effet de l'inhomogénéité du champ magnétique sur l'aimantation nucléaire transversale. C'est aussi le terme qui correspond aux utilisations de la RMN lors d'une IRM : il est produit par les bobines de gradient de champ magnétique ;
* ''i''γ Δ''B''<sub>xy</sub>′(''t'') ''M''<sub>z</sub>(''t'') décrit l'effet du champ [[radiofréquence]] sur l'aimantation nucléaire (le facteur Δ''B''<sub>xy</sub>′(''t'') plus particulièrement) ;
* –''M''<sub>xy</sub>′(''t'') / ''T''<sub>2</sub> décrit la perte en cohérence de l'aimantation transversale.

=== Équations indépendantes du temps dans le référentiel tournant ===
Si le champ externe a la forme :

:<math>B_x(t) = B_1 \cos \omega t </math> 
:<math>B_y(t) = -B_1 \sin \omega t </math>
:<math>B_z(t) = B_0 </math>,

On peut alors définir :

:<math>\epsilon=\gamma B_1</math> et <math>\Delta=\omega-\omega_0</math>,

Les équations s'écrivent alors simplement en notation matricielle :

:<math>
\frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} M'_x\\ M'_y\\ M'_z \end{array} \right) 
=
\left( \begin{array}{ccc}
-\frac{1}{T_2}& \Delta & 0\\
-\Delta & -\frac{1}{T_2}& \epsilon\\
0 & -\epsilon & -\frac{1}{T_1}
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} M'_x\\ M'_y\\ M'_z \end{array} \right) 
+
\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \frac{M_0}{T_1} \end{array} \right)
</math>
{{démonstration|déroulante=oui|
:<math>\begin{align}
B_{xy}'(t)&=B_1(\cos \omega t - i \sin \omega t)e^{i \Omega t} = B_1 e^{i (\Omega-\omega) t}\\

\frac{dM'_z }{dt}&=i \frac{\gamma}{2} B_1( M_{xy}' e^{i (\omega-\Omega) t} 
- \overline {M_{xy}'} e^{-i (\omega-\Omega) t})
- \frac {M_z - M_0} {T_1}\\
&=-\gamma B_1 M'_y e^{-i (\omega-\Omega) t}
- \frac {M_z - M_0} {T_1}\\

\frac{dM'_{xy}}{dt} &=i (\Omega-\omega_0) M'_{xy} 
+ i \gamma B_1 e^{-i (\omega-\Omega) t} M_z
- \frac{M'_{xy}} {T_2}\\
\end{align}</math>
Comme <math>M'_x = \text {Re}(M'_{xy})</math> et <math>M'_y = \text {Im}(M'_{xy})</math>
on peut séparer l'équation du mouvement de M'<sub>xy</sub> en deux équations, une pour la partie réelle
une pour la partie imaginaire que l'on identifie de part et d'autre de l'égalité. Cela donne :

:<math>\begin{align}
\frac{dM'_{x}}{dt} &=(\Omega-\omega_0) M'_{y} 
+ \gamma B_1 \sin((\omega-\Omega) t) M_z
- \frac{M'_{x}} {T_2}\\

\frac{dM'_{y}}{dt} &=-(\Omega-\omega_0) M'_{x} 
+ \gamma B_1 \cos((\omega-\Omega) t) M_z
- \frac{M'_{y}} {T_2}\\
\end{align}</math>
Avec la condition <math>\Omega = \omega</math>, on retrouve bien la formulation annoncée telle 
qu'il n'y a plus de dépendance explicite par rapport au temps.
}}

== Solutions simples des équations de Bloch ==

=== Relaxation de l'aimantation nucléaire transversale ''M<sub>xy</sub>'' ===
En supposant que :
* l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : ''B<sub>z</sub>′(t) = B<sub>z</sub>(t) = B<sub>0</sub>''. Ainsi ''ω<sub>0</sub> = γB<sub>0</sub> et ΔB<sub>z</sub>(t) ='' 0'''' ;
* il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a ''B<sub>xy</sub>''' = 0 ;
* la rotation du référentiel tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω<sub>0</sub>.

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire transversale, M<sub>xy</sub>'(t) est réduite à :

:<math>\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} =  - \frac {M_{xy}'(t)} {T_2}
</math>

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

:<math> M_{xy}'(t) = M_{xy}'(0) e^{-t / T_2}</math>.

où ''M<sub>xy</sub>'''(0) est l'aimantation nucléaire transversale dans le référentiel tournant à l'instant ''t = 0''. Elle constitue la condition initiale de l'équation différentielle<ref name=":0">{{Lien web|langue=en|titre=Bloch equations|url=http://mri-q.com/bloch-equations.html|site=Questions and Answers in MRI|consulté le=2018-05-01}}</ref>.
[[Fichier:Relaxation Aimantation transversale.svg|centré|vignette|425x425px|Graphe de la relaxation de l'aimantation transversale Mxy.]]
Il est à noter que lorsque la rotation du référentiel tournant est ''exactement'' à la fréquence de Larmor ω<sub>0</sub>, le vecteur aimantation nucléaire transversale ''M<sub>xy</sub>(t)'' est stationnaire.

=== Relaxation de l'aimantation nucléaire longitudinale ''M<sub>z</sub>'' ===
En admettant que :
* l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : ''B<sub>z</sub>′(t) = B<sub>z</sub>(t) = B<sub>0</sub>.'' Ainsi ''ω<sub>0</sub> = γB<sub>0</sub> et ΔB<sub>z</sub>(t) ='' 0'''' ;
* il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a ''B<sub>xy</sub>' = 0'' ;
* la rotation du système tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω<sub>0</sub>.

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire longitudinale ''M<sub>z</sub>''(t) se simplifie en :

:<math>\frac {d M_{z}(t)} {d t} =  - \frac {M_{z}(t)-M_0} {T_1}
</math>

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

:<math>M_z(t) = M_0 - [M_0 - M_z(0)]e^{-t/T_1}</math>

où ''M<sub>z</sub>''(0) est l'aimantation nucléaire longitudinale dans le cadre tournant au temps ''t ='' 0. C'est la condition initiale pour l'équation différentielle<ref name=":0" />.
[[Fichier:Relaxation Aimantation Longitudinale.svg|centré|vignette|410x410px|Graphe de la relaxation de l'aimantation longitudinale Mz.]]

=== Pulses à 90° et 180° en champ radiofréquence ===
Communément, on utilise en RMN des pulses à 90° et 180° en champ radiofréquences. L'effet de ces pulses sur l'aimantation sont présentés sur l'image suivante<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Cours de Résonance Magnétique Nucléaire ENS Lyon|url=http://www.ens-lyon.fr/CHIMIE/plateformes/plateforme-de-rmn/documents/cours-rmn-l3/at_download/file|site=ens-lyon.fr|date=1 août 2014|consulté le=30 avril 2018}}</ref> :
[[Fichier:Pulses Radiofréquences 90° et 180°.jpg|centré|vignette|430x430px|Pulses radiofréquences 90° et 180°.]]
On modifie les hypothèses précédentes en ajoutant un champ radiofréquence <em>B<sub>1</sub></em> tel que :
* à t = 0, un pulse en radiofréquence d'amplitude constante et de fréquence ω<sub>0</sub> est appliqué. On a ''B'<sub>xy</sub>(t) = B'<sub>xy</sub>'' constant et τ la durée de ce pulse ;
* ''T<sub>1</sub>'' et ''T<sub>2</sub>'' → ∞. En pratique, cela signifie que τ est petit devant ''T<sub>1</sub>'' et ''T<sub>2</sub>''.

Alors pour 0 ≤ t ≤ τ :

:<math>\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} = i \gamma  B_{xy}' M_z (t)
\end{align}
</math>
:<math>\frac {d M_z(t)} {d t} = i \frac{\gamma}{2} \left ( M'_{xy} (t) \overline{B'_{xy}} - 
\overline {M'_{xy}} (t) B'_{xy} \right )
</math>
:Avec le temps, l'aimantation tend a revenir à  un état d'équilibre. Les différentes composantes se comportent de la manière suivante :
[[Fichier:Relaxation Aimantation Nucléaire (bold).svg|centré|vignette|448x448px|Le retour à l'équilibre de l'aimantation en fonction des différentes composantes selon X,Y et Z.]]
[[Fichier:Aimantation Mx, My et Mz.jpg|centré|vignette|384x384px|Retour à l'équilibre des différentes composantes de l'aimantation à la suite d'un pulse radiofréquence en fonction du temps.]]

== Voir aussi ==
L'''[[IRM de diffusion]]'' utilise une généralisation des équations de Bloch : les [[équations de Bloch-Torrey]], qui incluent des termes ajoutés en raison du transfert de l'aimantation par diffusion<ref>
{{article
| doi=10.1103/PhysRev.104.563
| nom=Torrey | prénom=H C
| titre=Bloch Equations with Diffusion Terms
| année=1956
| journal=Physical Review
| volume=104
| numéro=3
| pages=563–565
| bibcode=1956PhRv..104..563T}}</ref>.

=== Bibliographie ===
'''Ouvrages '''
* [[Charles Kittel]], ''Introduction à la Physique d'État solide'', {{chap.|13}}, John Wiley & Sons, {{8e}}{{éd.}}, 2004 {{ISBN|978-0-471-41526-8}}.
* Claude Le Sech et Christian Ngô, ''Physique Nucléaire : Des quarks aux applications'', Dunod, Paris, 2010 {{ISBN|978-2-10-055331-0}}.
* Jean-Philippe Grivet, ''Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieur'', {{chap.|13}}, ''Résolution des équations de Bloch'', [[EDP Sciences]], {{coll.|Grenoble Sciences}}, {{2e}}{{éd.}}, {{date-|avril 2013}} {{ISBN|9782759808298}}.

=== Liens externes ===
* [http://www.drcmr.dk/BlochSimulator Simulation de Bloch animée] <small>du Centre Danois de Recherche en Résonance Magnétique</small>

== Références ==
<references />


{{Portail|physique|nucléaire}}

[[Catégorie:Physique du solide]]
[[Catégorie:Physique nucléaire]]