Voir la source de Équations de Navier-Stokes

{{Voir homonymes|Stokes}}
[[Fichier:Etudes turbulences - Léonard de Vinci.jpg|vignette|Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine.]]
En [[mécanique des fluides]], les '''équations de Navier-Stokes''' sont des [[Équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] non linéaires qui décrivent le mouvement des [[Fluide newtonien|fluides newtoniens]] (donc des [[gaz]] et de la majeure partie des [[liquide]]s<ref group="alpha">Les équations de Navier-Stokes adoptent l’[[approximation des milieux continus]], approximation qui est acceptable pour la plupart des [[Fluide (matière)|fluides]], à l'exception des gaz extrêmement raréfiés.</ref>). La résolution de ces équations modélisant un [[Fluide (matière)|fluide]] comme un milieu continu à une seule [[Phase (thermodynamique)|phase]] est difficile, et l'existence mathématique de [[solutions des équations de Navier-Stokes]] n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'[[Atmosphère de la Terre|atmosphère]] pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et les ingénieurs, ou encore celui des avions, des trains ou des voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, ainsi que l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.

Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du {{s-|XIX}} : le [[mathématicien]] et ingénieur des Ponts [[Henri Navier]], qui le premier a introduit la notion de [[viscosité]] dans les [[équations d'Euler]] en 1822<ref>{{article |auteur=[[Henri Navier|Claude Louis Marie Henri Navier]] |titre=Mémoire sur les lois du mouvement des fluides|nature article=lu à l'[[Académie des sciences (France)|Académie royale des sciences]] le {{date-|18 mars 1822}}|périodique=Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France |lieu=Paris |volume= 6 |pages=389-440 |année=1827 |wikisource=Mémoire sur les lois du mouvement des fluides }}.</ref>, et le physicien [[George Gabriel Stokes]], qui a donné sa forme définitive à l'équation de [[conservation de la quantité de mouvement]] en 1845<ref>{{en}} [[George Gabriel Stokes]], ''[[Cambridge Philosophical Society|{{lang|en|Transactions of Cambridge Philosophical Society}}]]'', {{vol.|8}}, 1845, {{p.|287–305}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur1=[[Isabelle Gallagher]] |titre=Autour des équations de Navier-Stokes |url=http://images.math.cnrs.fr/Autour-des-equations-de-Navier.html?lang=fr |site=[[Images des mathématiques|images.math.cnrs.fr]] |date=28 janvier 2010 |consulté le=2017-01-25}}.</ref>. Entre-temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : [[Augustin Louis Cauchy]]<ref>{{article |auteur=[[Augustin Louis Cauchy]] |titre=Sur l’équilibre et le mouvement des liquides et des fluides élastiques |périodique=Mémoire de l'[[Académie des sciences (France)|Académie royale des sciences]] |année=1829 |tome=11 |pages=413-418 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90207s/f156 }}, sur [[Gallica]].</ref>, [[Siméon Denis Poisson]] en 1829<ref>[[Siméon Denis Poisson]], « Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides », lu à l'[[Académie des sciences (France)|Académie royale des sciences]] le {{date-|12 octobre 1829}} avant publication au {{20e|cahier}} du ''[[Journal de l'École polytechnique]]'', [[Imprimerie royale]], 1830, {{t.|13}}, {{p.|394-412}}.</ref> et [[Adhémar Barré de Saint-Venant]] en 1843.

Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’[[équation de Boltzmann]], décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la [[théorie cinétique des gaz]]. Ainsi, la [[méthode de Chapman-Enskog]], due à [[Sydney Chapman (1888-1970)|Sydney Chapman]] et [[David Enskog]] en 1916 et 1917, permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs [[Espèce chimique|espèces]] et de calculer l'expression des flux de masse ([[équations de Stefan-Maxwell]] incluant l'[[effet Soret]]), de [[quantité de mouvement]] (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'[[énergie]] en montrant l'existence de l'[[effet Dufour]]. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des [[Force intermoléculaire|potentiels d'interaction moléculaires]].

La [[Solutions des équations de Navier-Stokes|résolution mathématiquement rigoureuse des équations de Navier-Stokes]] constitue l'un des [[problèmes du prix du millénaire]].

Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la [[Diffusion de la matière|diffusion]] et aux [[Réaction chimique|réactions chimiques]] n'y sont pas abordés<ref>{{lien web |langue=en |auteur=V. Giovangigli<!-- Vincent Giovangigli (Wikidata : Q33177153) --> |titre=Multicomponent Flow |url=http://scholarpedia.org/article/Multicomponent_Flow#Transport_coefficients |site=[[Scholarpedia]] |passage={{Citation étrangère|langue=en|Transport coefficients}}}}.</ref>.

== Lois de conservation ==

=== Notations et relations utilisées ===
On utilise les notations conformes à la norme [[ISO/CEI 80000-2]]<ref>ISO/CEI 80000-2:2009 [https://www.iso.org/obp/ui/fr/#iso:std:iso:80000:-2:ed-1:v1:fr ''Grandeurs et unités — Partie 2: signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences de la nature et dans la technique''].</ref>

* Les caractères en gras [[Linéale|sans serif]] comme <math>\mathsf{T}</math> désignent des tenseurs.
* <math>\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\vec{u_x} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{u_y} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{u_z}</math> est l'opérateur [[nabla]] exprimé dans un [[Coordonnées cartésiennes|système de coordonnées cartésiennes]].
* <math>\vec{\nabla} \phi = \frac{\partial\phi}{\partial x} \vec{u_x} + \frac{\partial\phi}{\partial y} \vec{u_y} + \frac{\partial\phi}{\partial z} \vec{u_z} </math> est l'opérateur [[gradient]] exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
* <math>\vec{\nabla}\cdot\vec{A}
={{\partial A_x} \over \partial x}
+{{\partial A_y}\over \partial y}
+{{\partial A_z} \over \partial z}</math> est l'opérateur [[divergence (analyse vectorielle)|divergence]] exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
*<math>\vec{\nabla} \times \vec{A} = \bigg(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\bigg)\vec{u_x} + \bigg(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\bigg)\vec{u_y}+\bigg(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\bigg)\vec{u_z}</math> désigne l'opérateur [[rotationnel]] exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Il est parfois noté <math>\vec{\nabla} \wedge \vec{A}</math>.
* <math>\nabla^2 \phi = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \phi) = \Delta\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} </math> est l'opérateur [[Opérateur laplacien|laplacien]] exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
* <math>\Delta \vec{A}</math> est le [[Opérateur laplacien vectoriel|laplacien vectoriel]], soit le vecteur dont chaque composante est le laplacien de la même composante de <math>\vec{A}</math>.
:Note : <math>\Delta \vec{A}</math> diffère de <math>\vec{\nabla}^2 \vec{A} = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A})</math>. Toutefois, <math>\nabla^2 \vec{A} = \Delta \vec{A}</math> ne prête plus à confusion.
 
* Le [[produit dyadique]] de deux vecteurs s'écrit
: <math>\mathsf{T}=\vec{A}\vec{B} = \vec{A}\times\vec{B}^T</math>
:où {{math|×}} est le [[produit matriciel]].
* Le [[Contraction tensorielle|produit doublement contracté]] {{math|''':'''}}  est l'opérateur défini par :
:<math>\alpha=\mathsf{T}_1: \mathsf{T}_2 = \textrm{Tr}(\mathsf{T}_1\cdot \mathsf{T}_2^T)</math>
:où {{math|Tr}} représente l'opérateur [[Trace (algèbre)|trace]].


Quelques [[identités vectorielles]] utiles pour cet article (les deux dernières généralisent la notion de divergence aux tenseurs de rang deux) :
:<math>
\begin{array}{rcl}
\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\, \phi)  & = &  0             \\ [0.2em]
\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A})  & = &  0             \\ [0.2em]
(\vec{\nabla} \times \vec{A}) \times \vec{A}  & = &  (\vec{A} \cdot \vec{\nabla})\, \vec{A} - \vec{\nabla} A \, \vec{A}           \\ [0.2em]
\vec{\nabla} A \, \vec{A}  & = &  \frac{1}{2}\, \vec{\nabla}\, (\vec{A} \cdot \vec{A})     \\ [0.2em]
\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \phi) & = & \vec{\nabla}^2 \phi            \\ [0.2em]
\vec{\nabla}\times (\vec{\nabla}\times \vec{A})  & = &  \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{A})-\Delta\vec{A}            \\ [0.2em]
\vec{\nabla}\cdot (\alpha\,\mathsf{T}\,) & = & \vec{\nabla}\alpha \cdot \mathsf{T}\,+(\vec{\nabla}\cdot \mathsf{T}\,)\,\alpha           \\ [0.2em]
\vec{\nabla}\cdot (\vec{A}\vec{B})  & = & (\vec{B} \cdot \vec{\nabla})\,\vec{A}+\vec{A}\,(\vec{\nabla}\cdot \vec{B})  \\ [0.2em]
\end{array}
</math>

=== Loi de conservation ===
{{article détaillé|Équation de conservation}}
On peut définir une [[loi de conservation]] pour une [[Extensivité et intensivité (physique)|variable extensive]] <math>\Phi</math> de densité {{mvar|ϕ}} entraînée à la vitesse <math>\vec V</math> et comportant un terme de production volumique {{mvar|S}} par :
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\phi \vec{V}) = S </math>.

=== Formulation eulérienne ===

La formulation la plus utilisée fait appel à un [[référentiel (physique)|référentiel]] fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux [[Description eulérienne|variables eulériennes]].

On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique {{mvar|ρ}}, à la [[quantité de mouvement]] <math>\rho\,\vec{V}</math> et à l'énergie totale {{mvar|ρ E}}<ref>{{Ouvrage|nom1=[[Pierre-Louis Lions]]|titre=Mathematical topics in fluid mechanics, Vol. 1|sous-titre=incompressible models|éditeur=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|année=1996|pages totales=252|isbn=978-0-19-851487-9|oclc=34517004|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/34517004}}.</ref>.
* [[Équation de continuité]] (équation de bilan de la masse)
*: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla\cdot (\rho \vec{V}) = 0</math>
* [[Équation de bilan de la quantité de mouvement]]
*: <math>
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial ( \rho \vec{V} )}{\partial t} + \vec{\nabla}  \cdot \left(\rho \vec{V} \vec{V} \right) & =  & \vec{\nabla} \cdot \mathsf{P}+ \rho \vec{g}   \\   [0.5em]
 & = & - \vec{\nabla} p + \vec{\nabla} \cdot \mathsf{\Sigma}+ \rho \vec{g}
\end{array}
</math>
* [[Équation de la chaleur|Équation de bilan de l'énergie]]
*: <math>\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho E \vec{V}) 
= \vec{\nabla} \cdot \left( \mathsf{P} \cdot \vec{V} \right) 
+ \rho \vec{g} \cdot \vec{V} -\vec{\nabla} \cdot \vec{q} 
- \vec{\nabla} \cdot \vec{q}_R</math>

Dans ces équations :
* {{mvar|t}} représente le temps (unité SI : s) ;
* {{mvar|ρ}} désigne la [[masse volumique]] du fluide (unité SI : {{Unité||kg||m|-3}}) ;
* <math>\vec{V}</math> désigne la vitesse eulérienne d'une [[particule fluide]] (unité SI : {{Unité||m||s|-1}}) ;
* <math>\mathsf{P}</math> désigne le [[tenseur des contraintes]] (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :
:: <math>\mathsf{P}=\mathsf{\Sigma}-p\mathsf{I}</math> ;
* <math>\mathsf{\Sigma}</math> désigne le [[tenseur des contraintes]] visqueuses (unité SI : {{unité||Pa}}) ;
* <math>\mathsf{I}</math> désigne le [[tenseur]] unité ;
* {{mvar|p}} désigne la [[pression]] thermodynamique (unité SI : Pa) ;
* <math>\vec{g}</math> désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : {{Unité||m||s|-2}}) ;
* {{mvar|E}} désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : {{Unité||J||kg|-1}}) ; elle s'exprime en fonction de l'[[énergie interne]] par unité de masse {{mvar|e}} par :
::<math>E =  e+\frac{||\vec{V}||^2}{2}</math> ;
* <math>\vec{q}</math> désigne le [[flux de chaleur]] dû à la [[conduction thermique]] (unité SI : {{Unité||J||m|-2|s|-1}}) ;
* <math>\vec{q}_R</math> désigne le flux de chaleur dû au [[rayonnement]] (unité SI : {{Unité||J||m|-2|s|-1}}).
Afin de clore le système il est nécessaire de décrire {{mvar|p}}, {{math|Σ}}, et <math>\vec{q}</math> à partir d'hypothèses sur le fluide considéré. <math>\vec{q}_R</math> est quant à lui l'objet d'un calcul de [[transfert radiatif]] éventuellement couplé à la résolution des équations de Navier-Stokes.

=== Quelques variations autour du système d'équations ===

* On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :
:<math>\frac{\partial \left( \rho \vec{V} \right)}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{V} \vec{V} \right)=\rho \left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V}\right]</math>.

{{démonstration|contenu=
:<math>
\begin{array}{rcll}
\frac{\partial \left( \rho \vec{V} \right)}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{V} \vec{V} \right) & = & \vec{V}\,\frac{\partial \rho }{\partial t} +\rho \,\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} +\vec{V}(\vec{V}\cdot \vec{\nabla}\rho )+\rho (\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V}+ \rho \vec{V}\,(\vec{\nabla}\cdot \vec{V}) & \text{Développement}                   \\ [0.5em]
 & = & \rho \left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V}\right] +\vec{V}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{V}\cdot \vec{\nabla}\rho+\rho \vec{\nabla}\cdot \vec{V}\right] & \text{Regroupement des termes}   \\  [0.5em]
 & = & \rho \left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V}\right] +\vec{V}\cancelto{0}{\left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot (\rho \vec{V})\right]} &  \text{Simplification}
\end{array}
</math>
}}
L'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième [[lois du mouvement de Newton|loi de Newton]], en remarquant que le terme <math>\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V} = \frac{D \vec{V}}{Dt}</math> décrit l’accélération des particules du fluide.
* Il est possible d'exprimer la [[conservation de l'énergie]] sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :
: <math>\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot [(\rho E+p) \vec{V}] = \vec{\nabla} \cdot \left( \mathsf{\Sigma} \cdot \vec{V} \right) + \rho \vec{g} \cdot \vec{V} -\vec{\nabla} \cdot \vec{q} - \vec{\nabla} \cdot \vec{q}_R</math>.
:Le terme {{math|''ρ E'' + ''p''}} peut être remplacé par <math>\rho \left(h+\frac{\|\vec{V}\|^2}{2}\right)</math> où {{math|''h'' {{=}} ''e'' + {{sfrac|''p''|''ρ''}}}} est l'[[enthalpie]] massique.
* En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :
:<math>\rho\left[\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\|\vec{V}\|^2}{2}\right)+\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\left(\frac{\|\vec{V}\|^2}{2}\right)\right]=(\vec{\nabla} \cdot \mathsf{P})\cdot\vec{V}+ \rho \vec{g}\cdot \vec{V}</math>.
* En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité
::<math>\vec \nabla \cdot (\mathsf{P}\cdot \vec{V})-(\vec \nabla \cdot \mathsf{P})\cdot\vec{V}=\vec{P}:\vec \nabla \vec{V}</math>,
:on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse :
::<math>\rho \left( \dfrac{\partial e}{\partial t}+\vec{V} \cdot \vec{\nabla} e \right) =\mathsf{P}:\vec{\nabla} \vec{V}-\vec{\nabla} \cdot \vec{q}-\vec{\nabla} \cdot\vec{q}_R</math>.

=== Conservation de l'entropie ===
L'entropie massique &thinsp;<math>S</math>&thinsp; est utilisée en lieu et place de l'énergie pour l'obtention des [[équations de l'acoustique]]<ref name="Pierce">{{ouvrage|langue=en|auteur=A. D. Pierce|titre=Acoustics: an Introduction to Its Principles and Applications|éditeur=[[Acoustical Society of America]] Press/[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=1989|isbn=}}</ref>. On obtient simplement une équation de conservation à partir de la relation thermodynamique :
:<math>\mathrm{d}e=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}(\rho^{-1})</math>

En tenant compte de l'équation de continuité &thinsp;<math>\frac{D\rho}{Dt}=0</math>&thinsp; cette expression conduit à :
:<math>\frac{De}{Dt}=T\frac{DS}{Dt}</math>

Soit, en comparant avec l'équation de conservation de l'énergie interne ci-dessus :
:<math>\rho T \frac{DS}{Dt}=\mathsf{P}:\vec{\nabla} \vec{V}-\vec{\nabla} \cdot \vec{q}-\vec{\nabla} \cdot\vec{q}_R</math>

=== Formulation lagrangienne ===

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'[[explosion]] ou en [[astrophysique]]. On fait alors appel aux [[Description lagrangienne|variables lagrangiennes]] définies dans le repère noté {{mvar|ξ}}. L'accélération de la particule fluide est donnée par la [[Description lagrangienne#Dérivée particulaire|dérivée particulaire]] :
:<math>\frac{\mathrm{D}\mathbf{\phi}}{\mathrm{D}t}\, :=\left. \frac{\partial \mathbf{\phi}}{\partial t} \right|_{\xi} = \left. \frac{\partial \mathbf{\phi}}{\partial t} \right|_{x} + \vec{V} \cdot \vec{\nabla} \mathbf{\phi} </math>.
Le dernier terme de cette équation est le terme d'[[advection]] de la quantité {{mvar|ϕ}}. Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement, la dérivée particulaire vaut :
:<math>
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\mathrm{D}(\rho\vec{V})}{\mathrm{D}t}= \left.\dfrac{\partial(\rho\vec{V})}{\partial t}\right|_\xi & =  & \left.\dfrac{\partial(\rho\vec{V})}{\partial t}\right|_x + 
\left(\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\right)(\rho\vec{V})   \\   [0.8em]
& = &  \left.\dfrac{\partial(\rho\vec{V})}{\partial t}\right|_x + \vec{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{V}\vec{V} \right) - \rho\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \right) \vec{V}
\end{array}
</math>.

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par <math>\frac{\partial \vec{x}}{\partial t}=\vec{V}</math> s'écrivent :
* Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
*: <math>\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +  \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = 0</math>
* Équation de bilan de la quantité de mouvement
*: <math>\rho\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t} = - \vec{\nabla} p + \vec{\nabla} \cdot \mathsf{\Sigma}+ \rho \vec{g}</math>
* Équation de bilan de l'énergie
*: <math>\rho\frac{\mathrm{D} E}{\mathrm{D}t} = -\vec{\nabla} \cdot \left( p\vec{V} \right) + \vec{\nabla} \cdot \left( \mathsf{\Sigma} \cdot \vec{V} \right) + \rho \vec{g} \cdot \vec{V} -\vec{\nabla} \cdot \vec{q} - \vec{\nabla} \cdot \vec{q}_R</math>

=== Expressions dans des systèmes de coordonnées ===
En utilisant l'[[Analyse vectorielle#Expressions des opérateurs en différentes coordonnées|expression des opérateurs]] dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.

{{Boîte déroulante|alignT=left|titre=Expressions des équations en compressible dans divers systèmes de coordonnées|contenu=

==== Expression en coordonnées cartésiennes ====

::<math>
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} ( \rho V_i ) & = & 0   \\  [0.5em]
\frac{\partial \left( \rho V_j \right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\rho V_i V_j \right) & = &  -\frac{\partial p}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_i} + \rho f_j   \\  [0.5em]
\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \left(\rho e + p\right) V_i \right] & = & \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \sigma_{ij} V_j \right) +  \sum_{i=1}^3 \rho f_i V_i - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial x_i} + r
\end{array}
</math>

==== Expression en coordonnées cylindriques ====
<math>
</math>

==== Expression en coordonnées sphériques ====
<math>
</math>
}}

=== Repère en translation et rotation ===
Il est parfois utile de décrire la dynamique des fluides dans un repère non galiléen, par exemple en physique de l'atmosphère ou pour décrire le mouvement d'un fluide dans un réservoir mobile, par exemple dans un [[Lanceur (astronautique)|lanceur]].

On considère un repère orthonormé se déplaçant à la vitesse <math>\textstyle \vec{U}(t)</math> par rapport au repère fixe et ayant une vitesse de rotation <math>\textstyle \vec{\Omega}(t)</math> dans celui-ci. 

Pour un point situé en <math>\textstyle \vec{r}</math> dans le repère mobile, la [[Moment de force (mécanique)#Translation du pivot : formule de Varignon|formule de Varignon]] s'écrit :
::<math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial t}+ \vec{\Omega}\wedge \vec{r}</math>
Par dérivation, on obtient l'accélération apparente dans le repère mobile :
::<math>\vec{\Gamma}=\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} =  2\vec{\Omega}\wedge\vec{V} +\vec{\Omega} \wedge\left(\vec{\Omega} \wedge \vec{r}\right) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2} +\frac{\mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d} t}\wedge \vec{r}</math>

Le premier terme dans le crochet est l'[[accélération de Coriolis]] et le deuxième est le terme [[Force centripète|centripète]]. Le troisième correspond au déplacement du repère mobile :
::<math>\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2}=\frac{\partial \vec{U}}{\partial t}</math>

Il existe donc un terme <math>\textstyle \rho \vec{\Gamma}</math> à ajouter au premier membre de l'équation de la quantité de mouvement. Ce terme est d'ordre cinétique : il ne correspond pas à une force réelle et n'influence donc pas l'équation de conservation de l'énergie.

== Fluide newtonien, hypothèse de Stokes ==

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le [[tenseur des contraintes]] visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du [[fluide newtonien]]).
::<math>\mathsf{\Sigma} = \mu \left[\, \vec{\nabla} \vec{V} + ( \vec{\nabla}\vec{V}\,)^T \right] + \mu' ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \,) \; \mathsf{I}</math>
* {{mvar|μ}} désigne la [[viscosité dynamique]] du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = {{Unité||Pa||s}} = {{Unité||N||m|-2|s|}}.)
* {{mvar|μ'}} désigne la [[seconde viscosité]] (ou viscosité volumique, en anglais ''{{lang|en|volume viscosity}}'') du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = {{Unité||Pa||s}} = {{Unité||N||m|-2|s|}}).
Ces coefficients dépendent en général de la masse volumique et de la température thermodynamique, comme au paragraphe suivant.

Avec l'expression du tenseur des contraintes visqueuses, l'équation de quantité de mouvement prend la forme :
::<math>\rho \left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \left( \vec{V} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{V} \right] = -\vec{\nabla} p + \vec{\nabla} \cdot \left\{\mu \left[\vec{\nabla}\vec{V} + (\vec{\nabla}\vec{V}\,)^T \right] + \mu' (\vec{\nabla}\cdot  \vec{V})\,\mathsf{I}\,\right\}+ \rho \,\vec{g}</math>.

En supposant que les variations spatiales de <math>\mu</math> et <math>\mu'</math> sont négligeables, on obtient
::<math>\vec{\nabla} \cdot \mathsf{\Sigma} = \mu \, \nabla^2 \vec{V} + (\mu+\mu') \, \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{V})</math>,

dont on déduit
::<math>\rho \left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \left( \vec{V} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{V} \right] = -\vec{\nabla} p + \mu \, \nabla^2 \vec{V} + (\mu+\mu') \, \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{V})+ \rho \,\vec{g}</math>

On utilise généralement l'[[hypothèse de Stokes]] pour relier la viscosité dynamique à la seconde viscosité :
::<math>\mu' + \frac{2}{3} \mu = 0</math>.

L'hypothèse de Stokes est vraie pour les [[Gaz monoatomique|gaz monoatomiques]]. Elle constitue une bonne approximation pour des fluides simples comme l'eau et l'air<ref name="Hirschfelder">{{Ouvrage|langue=en |nom1=[[Joseph Oakland Hirschfelder]] |nom2=[[Charles Francis Curtiss]] |nom3=[[Robert Byron Bird]] |titre=Molecular Theory of Gases and Liquids |éditeur={{lang|en|[[John Wiley and Sons]]}} |année=1966 |isbn=978-0-471-40065-3}}.</ref>.

''{{lang|la|A contrario}}'', de nombreux [[Fluide complexe|fluides complexes]], tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas l'hypothèse du fluide newtonien. On recourt alors à d'autres [[Loi de comportement|lois de comportement]] visqueux, dites non newtoniennes (par exemple la loi du [[fluide de Bingham]]). La science qui étudie les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides est la [[rhéologie]].

== Propriétés thermodynamiques ==

Le système décrit ci-dessus est incomplet puisqu'il comporte {{nobr|3 équations}} (dont une vectorielle) pour {{nobr|5 inconnues}} (dont deux vectorielles) : <math>\rho,\,\vec{V},\,e,\,p,\,\vec{q}</math> (si l'on néglige le flux de chaleur dû au rayonnement, <math>\vec{q}_R</math>). On ajoute pour fermer le système des [[Équation d'état|équations d'état]] de la forme 
:<math> p=p(\rho,T),\quad e=e(\rho,T),</math>
où {{mvar|T}} représente la [[température thermodynamique]] ; par exemple la loi des [[Gaz parfait|gaz parfaits]] :
::<math>p = \rho \frac{R}{M} T</math>
où {{mvar|R}} désigne la [[constante des gaz parfaits]] et {{mvar|M}} la [[masse molaire]] du fluide.

Le système est alors fermé si l'on suppose vérifiée la [[loi de Fourier]] :
::<math>\vec{q} = - \lambda \,\vec{\nabla} T</math>
où {{mvar|λ}} désigne la [[conductivité thermique]].

== Propriétés de transport ==
[[File:Air mu lambda.png|vignette|Viscosité et conductivité de l'air à pression normale<ref name="Duffa">{{Ouvrage|langue=en |prénom1=Georges |nom1=Duffa |titre=Ablative Thermal Protection Systems Modeling |lieu=Reston, VA |éditeur=[[American Institute of Aeronautics and Astronautics|{{lang|en|AIAA Educational Series}}]] |année=2013 |pages totales=431 |isbn=978-1-62410-171-7 <!-- eISBN: 978-1-62410-172-4 -->}}.</ref>.]]
[[File:Eau mu lambda.png|vignette|Viscosité et conductivité de l'eau jusqu'au [[Point critique (thermodynamique)|point critique]]<ref name="Touloukian1" />{{,}}<ref name="Touloukian2" />.]]

=== Gaz ===
Les propriétés de transport, viscosité et conductivité, résultent d'une distribution hors d'équilibre thermodynamique dans le milieu (ne satisfaisant pas la [[statistique de Maxwell-Boltzmann]]). On sait les exprimer en utilisant la [[méthode de Chapman-Enskog]]<ref name="Hirschfelder" />.

La viscosité s'exprime sous la forme suivante :
::<math>\mu=\alpha \frac{\sqrt{MT}}{f(T)}</math>
où {{math|''f'' (''T'')}} est une fonction lentement variable avec {{mvar|T}}, découlant du potentiel d'interaction moléculaire. La viscosité d'un gaz varie donc approximativement comme {{racine|''T''}}. Elle est indépendante de la pression.

La conductivité est étroitement liée à la viscosité :
::{|
|-
| rowspan="2" style="width:15em;"| <math>
    \frac{\lambda}{\mu}=
    \left\{
    \begin{array}{lcr}
     \frac{5}{2}C_\mathcal{V}                   \\   [0.5em]
     C_\mathcal{V}+\frac{15-6\chi}{4}R  
    \end{array}
    \right.
</math> ||   pour un [[gaz monoatomique]]
|-
|  pour un gaz polyatomique
|}
où <math>C_\mathcal{V}=\left.\frac{\partial e}{\partial T}\right|_\mathcal{V}</math> est la [[capacité thermique massique]] à volume constant.

Dans cette expression {{math|''χ'' {{=}} 1}} correspond à la [[corrélation d'Eucken]]. La valeur exacte est plus proche de 1,3 en moyenne. Des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires permettent de préciser cette valeur, dépendante du gaz considéré et faiblement de la température.

Un [[mélange de gaz parfaits]] peut être traité comme un gaz unique en utilisant une approximation analytique (par exemple la [[loi de Sutherland]]) ou numérique du résultat du calcul des propriétés de ce mélange, qu'il s'agisse de la [[Viscosité#Viscosité des gaz|viscosité]] ou de la conductivité<ref name="Duffa" />.

=== Liquides ===
La connaissance théorique pour les liquides est beaucoup moins avancée que pour les gaz et les prédictions dans ce domaine qualitatives : la viscosité diminue avec la température<ref name="Hirschfelder" />{{,}}<ref name="Touloukian1">{{Ouvrage|langue=en |auteur1=[[Yeram Sarkis Touloukian]] |auteur2=S.C. Saxena |auteur3=P. Hestermans |titre=Viscosity |lieu=New York |éditeur=[[Springer Science+Business Media|IFI/Plenum]] |collection={{lang|en|Thermophysical properties of matter}} |numéro dans collection=11 |année=1975 |pages totales=643 |isbn=978-0-306-67031-2 |isbn2=978-0-306-67020-6 |oclc=2296975 |lire en ligne=http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a129114.pdf}}.</ref>. La connaissance des valeurs repose sur les mesures.

La variation de la conductivité avec la température ne présente pas de tendance marquée<ref name="Touloukian2">{{en}} [[Yeram Sarkis Touloukian]], P. E. Liley, S. C. Saxena, ''{{lang|en|Thermal Conductivity. Nonmetallic Liquids and Gases}}'', Rapport {{lang|en|TPRC Data Series}}, {{Vol.|3}}, {{lang|en|Information for Industry, Inc.}} (IFI)/[[Springer Science+Business Media|{{lang|en|Plenum Press}}]], 1970 (SBN 306-67023-2) [http://oai.dtic.mil/oai/oai?verb=getRecord&metadataPrefix=html&identifier=ADA951937].</ref>{{,}}<ref name="Touloukian3">{{en}} [[Yeram Sarkis Touloukian]], R. W. Powell, C. Y. Ho, M. C. Nicolaou, ''{{lang|en|Thermal Diffusivity}}'', Rapport {{lang|en|TPRC Data Series}}, {{Vol.|10}}, {{lang|en|Information for Industry, Inc.}} (IFI)/[[Springer Science+Business Media|{{lang|en|Plenum Press}}]], 1973  [http://oai.dtic.mil/oai/oai?verb=getRecord&metadataPrefix=html&identifier=ADA129113].</ref>.

== Restrictions à des cas plus simples ==
=== Fluides incompressibles homogènes à viscosité constante ===
L'écoulement d'un fluide est dit '''incompressible''' et '''homogène''' lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique. Cette hypothèse est vérifiée pour l'eau liquide à température fixe et les métaux en fusion. Elle est aussi vérifiée pour les gaz lorsque le [[nombre de Mach]] <math>\mathcal{M}a</math> est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque <math>\mathcal{M}a < 0{,}3</math>. De plus ce type de problème se rencontre dans des situations où la variation de température dans le milieu est faible et où l'on peut donc considérer la viscosité constante. Ceci est particulièrement vrai dans des liquides comme l'eau (voir courbe ci-dessus). De ce fait l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

* Équation d'incompressibilité (se confondant avec l'équation de bilan de la masse pour un fluide homogène) :
::<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{V}= 0</math>.

* Équation de bilan de la quantité de mouvement :
<!-- cf Discussion # Fluides incompressibles - Équation de bilan de la quantité de mouvement -->
::<math>\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \, \vec{V} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \nu \, \nabla^2 \vec{V}+ \vec{g}</math>
:où {{math|''ν'' {{=}} {{sfrac|''μ''|''ρ''}}}} désigne la [[viscosité cinématique]] du fluide (unité SI : {{unité||m|2|s|-1}}).
:Le membre de gauche reflète l’accélération des particules du fluide.

Cette forme plus simple des équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible permet d'obtenir des solutions analytiques dans quelques cas :
* dans un tube cylindrique avec une différence de pression entre l'entrée et la sortie ([[écoulement de Poiseuille]]) ;
* dans un [[milieu semi-infini]] limité par un plan se déplaçant parallèlement à lui-même ([[problème de Rayleigh]]) ;
* entre deux plans dont l'un est en mouvement permanent par rapport à l'autre ([[écoulement de Couette]]) ;
* le [[jet de Landau-Squire]], un exemple d'[[Similitude (mécanique des fluides)#Auto-similarité|écoulement auto-similaire]] ;
* les écoulements potentiels en point d'arrêt comme l'[[écoulement de Hiemenz]] ;
* le [[tourbillon de Taylor-Green]] utilisé pour les [[Test de performance|benchmarks]] de méthodes de résolution numérique ;
* le [[tourbillon de Lamb-Oseen]] ;
* le [[tourbillon de Kerr–Dold]] ;
* le [[tourbillon de Burgers]].
Il existe quelques autres exemples de solutions analytiques<ref>{{ouvrage|langue=en |auteur=Ronald L. Panton |année=2013 |titre=Incompressible Flow |éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |url=https://moys.gov.iq/upload/common/Ronald_L._Panton_-_Incompressible_Flow-Wiley_(2013)_.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{lien|lang=en|trad=Philip Drazin}} et {{lien|lang=en|trad=Norman Riley (professor)|fr=Norman Riley (professeur)|texte=Norman Riley}}, ''{{lang|en|The Navier-Stokes Equations. A Classification of Flows and Exact Solutions.}}'', {{lang|en|[[London Mathematical Society]]}}. {{lang|en|Lecture Notes {{nobr|Series 334}}}}, {{lang|en|[[Cambridge University Press]]}}, 2006 {{ISBN|0-521-68162-6}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|auteur={{lien|lang=es|trad=Alfred Rosenblatt}} |titre=Solutions exactes des équations du mouvement des liquides visqueux |périodique=Mémorial des sciences mathématiques |année=1935 |url=http://archive.numdam.org/article/MSM_1935__72__1_0.pdf}}.</ref>{{,}}<ref name="Schlichting" />.

En utilisant l'[[Analyse vectorielle#Expressions des opérateurs en différentes coordonnées|expression des opérateurs]] dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions.

{{Boîte déroulante|alignT=left|titre=Expressions des équations pour un fluide incompressible dans divers systèmes de coordonnées|contenu=

==== Expression en coordonnées cartésiennes ====

::<math>
\begin{array}{rcl}
{\partial V_x \over \partial x} + {\partial V_y \over \partial y} + {\partial V_z \over \partial z} & = & 0   \\  [0.5em]
\frac{\partial V_x}{\partial t} + V_x \frac{\partial V_x}{\partial x} + V_y \frac{\partial V_x}{\partial y}+ V_z \frac{\partial V_x}{\partial z} & = &  -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 V_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial z^2}\right) + f_x   \\  [0.5em]
\frac{\partial V_y}{\partial t} + V_x \frac{\partial V_y}{\partial x} + V_y \frac{\partial V_y}{\partial y}+ V_z \frac{\partial V_y}{\partial z} & = & -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 V_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z^2}\right) + f_y  \\  [0.5em]
\frac{\partial V_z}{\partial t} + V_x \frac{\partial V_z}{\partial x} + V_y \frac{\partial V_z}{\partial y}+ V_z \frac{\partial V_z}{\partial z} & = & -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \nu \left(\frac{\partial^2 V_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial z^2}\right) + f_z
\end{array}
</math>

==== Expression en coordonnées cylindriques ====

::<math>
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r V_r\right) +
\frac{1}{r}\frac{\partial V_\phi}{\partial \phi} +
\frac{\partial V_z}{\partial z} & = & 0   \\  [0.5em]
\frac{\partial V_r}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_r}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r} \frac{\partial V_r}{\partial \phi} + V_z \frac{\partial V_r}{\partial z} - \frac{V_{\phi}^2}{r} & = & -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} +
\nu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V_r}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V_r}{\partial z^2}-\frac{V_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial V_\phi}{\partial \phi} \right] + f_r   \\  [0.5em]
\frac{\partial V_{\phi}}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_{\phi}}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r} \frac{\partial V_{\phi}}{\partial \phi} + V_z \frac{\partial V_{\phi}}{\partial z} + \frac{V_r V_{\phi}}{r} & = &
-\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \phi} +
\nu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V_{\phi}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V_{\phi}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial V_r}{\partial \phi} - \frac{V_{\phi}}{r^2}\right] +  f_{\phi}  \\  [0.5em]
\frac{\partial V_z}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_z}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r} \frac{\partial V_z}{\partial \phi} + V_z \frac{\partial V_z}{\partial z} & = &
-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} + \nu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V_z}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial z^2}\right] + f_z
\end{array}
</math>

==== Expression en coordonnées sphériques ====

::<math>
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 V_r\right) +
\frac{1}{r \sin \theta }\frac{\partial V_\phi}{\partial \phi} +
\frac{1}{r \sin \theta }\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \,V_\theta\right) & = & 0  \\  [0.5em]
\frac{\partial V_r}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_r}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r \sin \theta } \frac{\partial V_r}{\partial \phi} + \frac{V_{\theta}}{r} \frac{\partial V_r}{\partial \theta} - \frac{V_{\phi}^2 + V_{\theta}^2}{r} & = & - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} + f_r + 
\nu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V_r}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 V_r}{\partial \phi^2}   \right. \\  [0.5em]
 & & \left. +
\frac{1}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta  \frac{\partial V_r}{\partial \theta}\right)-
\frac{2}{r^2} \left( V_r + \frac{\partial V_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{V_{\theta}} {\tan \theta } \right)-\frac{2}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial V_{\phi}}{\partial \phi}
\right]  \\  [0.5em]
\frac{\partial V_{\theta}}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_{\theta}}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r \sin \theta } \frac{\partial V_{\theta}}{\partial \phi} + \frac{V_{\theta}}{r} \frac{\partial V_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{V_r V_{\theta} - V_{\phi}^2 \cot \theta }{r} & = & -\frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + f_{\theta} +  
\nu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V_{\theta}}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta } \frac{\partial^2 V_{\theta}}{\partial \phi^2}   \right.   \\  [0.5em]
 & & \left. +
\frac{1}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta  \frac{\partial V_{\theta}}{\partial \theta}\right)+
\frac{2}{r^2} \frac{\partial V_r}{\partial \theta} -
\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta }\left( V_{\theta} + 2 \cos \theta \,\frac{\partial V_{\phi}}{\partial \phi} \right) 
\right]  \\  [0.5em]
\frac{\partial V_{\phi}}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_{\phi}}{\partial r} + \frac{V_{\phi}}{r \sin \theta } \frac{\partial V_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{V_{\theta}}{r} \frac{\partial V_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{Vu_r V_{\phi} + V_{\phi} V_{\theta} \cot \theta }{r} & = & -\frac{1}{\rho r \sin \theta } \frac{\partial p}{\partial \phi} + f_{\phi} + 
\nu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V_{\phi}}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta } \frac{\partial^2 V_{\phi}}{\partial \phi^2} \right.  \\  [0.5em]
& & \left. +
\frac{1}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta  \frac{\partial V_{\phi}}{\partial \theta}\right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta } \left( 2 \sin \theta  \frac{\partial V_r}{\partial \phi} + 2 \cos \theta \,\frac{\partial V_{\theta}}{\partial \phi} - V_{\phi} \right)\right]
\end{array}
</math>
}}

Sous certaines hypothèses, on peut simplifier ces équations :
* en négligeant le terme inertiel <math>\vec{\nabla} \cdot \left(\vec{V} \vec{V} \right)</math> du cas général (qui est égal à <math>(\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \, \vec{V}</math> dans le cas incompressible), ce qui conduit à l'[[Écoulement de Stokes|équation de Stokes]],
* en utilisant une approximation de ce terme, ce qui conduit aux [[équations de Stokes-Oseen]].

D’autre part, une expression de la pression peut être obtenue en prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement et en tenant compte de la relation d'incompressibilité :
::<math>\vec{\nabla}^2p=-\rho\,\vec{\nabla} \cdot [\vec{\nabla} \cdot (\vec{V}\vec{V})]+\rho \,\vec{\nabla} \cdot \vec{g}</math>.

=== Écoulements irrotationnels ===
On définit le vecteur [[Tourbillon (dynamique des fluides)|tourbillon]] (ou la [[Tourbillon (physique)|vorticité]]) par :
::<math>\vec{\Omega}=\vec{\nabla}\times\vec{V}</math>
où <math>\vec\nabla\times\vec{V}</math> désigne le rotationnel de la vitesse.

On peut établir une [[équation de conservation]] pour cette quantité qui est l'[[Équation de Helmholtz (mécanique des fluides)|équation de Helmholtz]].

En partant de l'équation de quantité de mouvement du chapitre précédent avec l’hypothèse de Stokes, les identités vectorielles
::<math>
\begin{array}{rcl}
(\vec{V}\cdot \vec{\nabla})\vec{V}  & =  & (\vec{\nabla}\times \vec{V})\times \vec{V}+ \vec{\nabla} V \,\vec{V}   \\   [0.5em]
\vec{\nabla}\times (\vec{\nabla}\times \vec{V})  & = &  \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{V})-\nabla^2\vec{V}
\end{array}
</math>
permettent d’obtenir la forme suivante :
<!-- cf Discussion # Écoulements irrotationnels : une erreur -->
::<math>\rho \left(\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\Omega}\times \vec{V}+\vec{\nabla} V\,\vec{V}\right)=-\vec{\nabla}p+\rho\,\vec{g} + \mu\left(\frac{4}{3}\, \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{V}) - \vec{\nabla}\times \vec{\Omega}\right)</math>.

Supposons que le vecteur tourbillon est nul. Dans ce cas<ref group="alpha" name="Beltrami">Le terme {{math|Ω × '''V'''}} peut également être nul si {{math|Ω}} et {{math|'''V'''}} sont parallèles. Cette condition décrit les écoulements de [[Eugenio Beltrami|Beltrami]].</ref> :
::<math>\rho \left(\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\vec{\nabla} V \,\vec{V}\right)=-\vec{\nabla}p+\rho\,\vec{g}+\frac{4}{3}\, \mu\, \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{V})</math>.

Dans ce cas toujours, puisque la vitesse <math>\vec{V}</math> est un [[champ irrotationnel]], on peut déduire qu'elle dérive d'un potentiel que l'on note {{mvar|ψ}} :
::<math>\vec{V}=\vec{\nabla}\psi</math>.
En particulier dans le cas incompressible, si on reporte cette expression dans l'équation d'incompressibilité, le potentiel obéit à l'[[équation de Laplace]] :
::<math>\nabla^2\psi=0</math>.
Si, de plus, le fluide est homogène et que la force <math>\vec{g}</math> dérive d'un potentiel, par exemple la [[Champ gravitationnel|gravité]], alors la propriété d'irrotationalité est automatiquement propagée en temps grâce à l'équation vérifiée par la vitesse.
 
Ces [[Écoulement potentiel|écoulements potentiels]] concernent les écoulements à faibles vitesses et peu visqueux : une voile de bateau ou une aile de planeur par exemple.

== Analyse dimensionnelle ==
=== Équations adimensionnelles ===
Les équations de Navier-Stokes font intervenir {{nobr|9 quantités}} <math>\rho,\,\vec{V},\,p,\,e,\,T,\,\mu,\,\vec{g},\,\vec{q}_R</math>, et {{nobr|4 dimensions}} : temps, espace, masse, température. Le [[théorème de Vaschy-Buckingham]] montre donc l'existence de {{nobr|5 variables}} adimensionnelles permettant l'analyse du système. Ces variables sont par exemple les nombres de [[nombre de Mach|Mach]], [[nombre de Reynolds|Reynolds]], [[nombre de Prandtl|Prandtl]], [[nombre de Froude|Froude]] et [[nombre de Goulard|Goulard]]. Il existe d'autres variables comme les nombres de [[nombre de Knudsen|Knudsen]], de [[nombre de Strouhal|Strouhal]], de [[nombre de Péclet|Péclet]] ou [[Grandeur sans dimension|beaucoup d'autres]], mais celles-ci ne sont pas indépendantes. Les nombres de Mach, Reynolds et Knudsen par exemple [[Nombre de Knudsen#Relation avec d'autres nombres adimensionnels|sont liés entre eux]], de même que [[Nombre de Péclet|les nombres de Péclet, Prandtl et Reynolds]]. Pour écrire ces nombres il faut définir des quantités de référence qui sont caractéristiques du problème étudié.
Définissons les variables suivantes servant de références :
* une longueur {{math|''L''{{exp|*}}}}, par exemple la taille du domaine ouvert dans un problème de [[milieu poreux]] ou de [[microfluidique]] ou le [[rayon de courbure]] de paroi en aérodynamique,
* une vitesse {{math|''V''{{exp|*}}}}, une masse volumique {{math|''ρ''{{exp|*}}}} et une température {{math|''T''{{exp|*}}}}, par exemple les valeurs en amont ([[condition aux limites]]), d'où on déduit une pression <math>p^*=\rho^*\frac{R}{M}T^*</math>,
* une seconde vitesse {{math|''a''{{exp|*}}}} pour la [[propagation des ondes]] sonores, par exemple <math>a^*=\sqrt{\gamma^* \frac{R}{M}T^*}</math> pour un gaz parfait,
* une énergie interne {{math|''e''{{exp|*}}}}, par exemple <math>e^*=\frac{p^*}{(\gamma^*-1)\rho^*}=\frac{{a^*}^2}{\gamma^*(\gamma^*-1)}</math> pour un gaz parfait,
* une viscosité {{math|''μ''{{exp|*}}}} et une conductivité {{math|''λ''{{exp|*}}}} éventuellement liée à {{math|''μ''{{exp|*}}}} (voir propriétés de transport),
* une accélération {{math|''g''{{exp|*}}}},
* un flux radiatif {{math|''q{{ind|R}}''{{exp|*}}}}.
On peut alors définir pour ce problème les variables réduites suivantes :
{|
|-
|style="width:5em;"| - espace  || <math>\vec{\tilde{x}}=\frac{\vec{x}}{L^*}</math>||style="width:5em;"|  || ||style="width:8em;"| - temps  || <math>\tilde{t}=\frac{V^*}{L^*}\,t</math>||style="width:5em;"| ||style="width:8em;" | - masse volumique || <math>\tilde{\rho}=\frac{\rho}{\rho^*}</math>||style="width:5em;"| ||style="width:8em;" | - pression || <math>\tilde{p}=\frac{p}{\rho^*{a^*}^2}</math>
|-
|style="width:5em;"| - viscosité  || <math>\tilde{\mu}=\frac{\mu}{\mu^*}</math>||style="width:5em;"|  || ||style="width:8em;"| - énergie interne  || <math>\tilde{e}=\frac{e}{e^*}</math>|| ||style="width:10em;" |  - flux radiatif || <math>\vec{\tilde{q}}_R=\frac{\vec{q}_R}{q_R^*}</math>||style="width:5em;"| ||style="width:8em;" | - conductivité || <math>\tilde{\lambda}=\frac{\lambda}{\lambda^*}</math>
|-
|style="width:5em;"| - vitesse  || <math>\vec{\tilde{V}}=\frac{\vec{V}}{V^*}</math>
|}
et les variables adimensionnelles :
{|
|-
|style="width:15em;"| - le nombre de Mach || <math>\mathcal{M}a=\frac{V^*}{a^*}</math>
|-
| - le nombre de Reynolds || <math>\mathcal{R}e=\frac{\rho^* V^*L^*}{\mu^*}</math>
|-
| - le nombre de Prandtl || <math>\mathcal{P}r=\frac{\mu^* C_P^*}{\lambda^*}</math>
|-
| - le nombre de Froude || <math>\mathcal{F}r=\frac{{V^*}^2}{g^*L^*}</math>
|-
| - le nombre de Goulard || <math>\mathcal{G}=\frac{2q_R^*}{\rho^*{V^*}^3}</math>
|-
|}
Le système d'équations en valeurs réduites s'écrit comme suit.
* Conservation de la masse :
::<math>\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial \tilde{t}}+\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\cdot (\tilde{\rho}\,\vec{\tilde{V}})=0</math>
:où <math>\vec{\nabla}_{\tilde{x}}= L^* \vec{\nabla}</math> est l'opérateur nabla adimensionné utilisé dans le système de coordonnées transformé.
* Conservation de la quantité de mouvement :
::<math>\frac{\partial }{\partial \tilde{t}}(\tilde{\rho} \vec{\tilde{V}})+\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\cdot (\tilde{\rho}\,\vec{\tilde{V}}\vec{\tilde{V}})=-\frac{1}{\gamma^*\mathcal{M}a^2}\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\,\tilde{p}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\cdot \tilde{\mathsf{\Sigma}}+\frac{1}{\mathcal{F}r}\,\tilde{\rho}\,\vec{\tilde{g}}</math>
::<math>\tilde{\mathsf{\Sigma}}=\tilde{\mu}\left[\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\vec{\tilde{V}}+(\vec{\nabla}_{\tilde{x}} \vec{\tilde{V}})^T-\frac{2}{3}(\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\cdot\vec{\tilde{V}})\,\mathsf{I}\right]</math>.
* Conservation de l'énergie :
::<math>\frac{\partial (\tilde{\rho}\tilde{E})}{\partial \tilde{t}}+\nabla_{\tilde{x}}\cdot \left[\left(\tilde{\rho}\tilde{E}+\tilde{p}\right)\vec{\tilde{V}}\right]=\frac{\mathcal{M}a^2}{\mathcal{R}e}\nabla_{\tilde{x}}\cdot (\tilde{\Sigma}\cdot \vec{\tilde{V}})\,+\,\frac{\mathcal{M}a^2}{\mathcal{F}r}\,\tilde{\rho}\,\vec{\tilde{g}}\cdot \vec{\tilde{V}}\,-\,\frac{1}{(\gamma^*-1)\mathcal{R}e\,\mathcal{P}r}\nabla_{\tilde{x}}\cdot (\tilde{\lambda}\,\tilde{\nabla}_{\tilde{x}}\,\tilde{T})\,+\,\frac{1}{2}\mathcal{G}\mathcal{M}a^2\nabla_{\tilde{x}}\cdot \vec{\tilde{q}}_R</math>
:avec
::<math>\tilde{E}=\frac{e^*}{{a^*}^2}\,\tilde{e}+\mathcal{M}a^2\frac{\tilde{V}^2}{2}</math>.
:Dans le cas d'un gaz parfait :
::<math>\frac{e^*}{{a^*}^2}=\frac{1}{\gamma^*(\gamma^*-1)}</math>.
Cette approche est utilisable pour l'analyse des équations et la réalisation d'expériences jugées réalistes parce que respectant le critère d'analogie en termes de nombres adimensionnels. On peut aller au-delà en utilisant une technique de la [[physique mathématique]] nommée [[Développement asymptotique|analyse asymptotique]], formalisée par [[David Hilbert]]. Dans cette méthode on développe la solution en série d'un « petit paramètre » et on analyse les approximations aux divers ordres du développement. Un exemple en est le développement en nombre de Mach montré ci-dessous. Un autre exemple très connu est le développement en nombre de Reynolds utilisé pour la [[couche limite]].

=== Écoulements à faible nombre de Mach ===
Cette approche est utilisée dans les problèmes de [[combustion]] dans lesquels les vitesses sont faibles.

Les quantités manipulées sont supposées régulières. Le développement asymptotique commence par le choix du « petit paramètre » avec lequel chacune des variables est développée. Ici ce paramètre est <math>\varepsilon=\gamma^* \mathcal{M}a^2</math><ref group="alpha" name="Ma">On peut également effectuer un développement en <math>\mathcal{M}a</math> qui permet de prendre en compte les ondes acoustiques.</ref>{{,}}<ref>{{en}} B. Müller, <!-- lien brisé ? « 502 Bad Gateway » -->[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=D141DC177E83550773490D3F676724D8?doi=10.1.1.22.2639&rep=rep1&type=pdf ''{{lang|en|Low Mach Number Asymptotics of the Navier-Stokes Equations and Numerical Implications}}''], [[Institut von Karman de dynamique des fluides|{{lang|en|Von Karman Institute for Fluid Dynamics}}]], {{lang|en|Lecture Series 1999-03}}, {{date-|Mars 1999}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en |auteur1=Radyadour Kh. Zeytounian<!-- Wikidata : Q112394899 --> |titre=Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena |éditeur=[[Wolters Kluwer|{{lang|en|Kluwer Academic Publishers}}]] |année=2002 |pages totales=550 |isbn=0-306-48386-6 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=jMcFCAAAQBAJ&printsec=frontcover}}.</ref> :
::<math>\tilde{\alpha}=\tilde{\alpha}_0+\epsilon \,\tilde{\alpha}_1+\epsilon^2 \,\tilde{\alpha}_2+...</math>
où {{mvar|α}} représente chacune des valeurs <math>\rho,\,\vec{V},\,T,\,p</math>. On regroupe les termes correspondants au même ordre du développement. Ceux-ci sont égaux puisque les équations sont vraies pour toute valeur de {{mvar|ε}}.

{{Boîte déroulante|alignT=left|titre=Développements|contenu=
Par la suite on suppose valide l'hypothèse du gaz parfait.
* à l'ordre -1
: Un seul terme en {{math|''ε'' {{-1}}}} apparaît, et cela dans l'équation de quantité de mouvement :
::<math>\vec{\nabla}_\tilde{x}\,\tilde{p}^{(0)}=0\qquad \Rightarrow \qquad \tilde{p}^{(0)}=f(\tilde{t})</math>
* à l'ordre 0
: Équation de continuité
::<math>\frac{\partial \tilde{\rho}^{(0)}}{\partial \tilde{t}}+\vec{\nabla}_\tilde{x}\cdot (\tilde{\rho}^{(0)}\,\tilde{\vec{V}}^{(0)})=0</math>
: Équation de quantité de mouvement :
::<math>\frac{\partial}{\partial \tilde{t}}(\tilde{\rho}^{(0)} \tilde{\vec{V}}^{(0)})+\vec{\nabla}_\tilde{x}\cdot (\tilde{\rho}^{(0)} \tilde{\vec{V}}^{(0)}\tilde{\vec{V}}^{(0)})=-\vec{\nabla}_\tilde{x}\,\tilde{p}^{(1)}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\vec{\nabla}_\tilde{x}\cdot \tilde{\mathsf{\Sigma}}^{(0)}+\frac{1}{\mathcal{F}r}\,\tilde{\rho}^{(0)}\,\tilde{\vec{g}}^{(0)}</math>
:avec
::<math>\tilde{\mathsf{\Sigma}}^{(0)}=\mu\left[\vec{\nabla}_\tilde{x}\tilde{\vec{V}}^{(0)}+(\vec{\nabla}_\tilde{x} \tilde{\vec{V}}^{(0)})^T-\frac{2}{3}(\vec{\nabla}_\tilde{x} \tilde{\vec{V}}^{(0)})\,\mathsf{I}\right]</math>
:Pour la conservation de l'énergie, compte tenu de
::<math>\tilde{\rho}^{(0)}\tilde{E}^{(0)}=\frac{1}{\gamma^*(\gamma^*-1)}\tilde{\rho}^{(0)}\tilde{e}^{(0)}=\frac{\tilde{p}^{(0)}}{\gamma^*(\gamma^*-1)^2}</math>
:on obtient :
::<math>\frac{\mathrm{d}\tilde{p}^{(0)}}{\mathrm{d} \tilde{t}}+\left[\gamma^*(\gamma^*-1)^2\right]\tilde{p}^{(0)}\vec{\nabla}_\tilde{x}\cdot \tilde{\vec{V}}^{(0)}=-\,\frac{\gamma^*(\gamma^*-1)}{\mathcal{R}e\,\mathcal{P}r}\vec{\nabla}_\tilde{x}\cdot (\lambda\,\vec{\nabla}_\tilde{x}\,\tilde{T}^{(0)})</math>
}}
Si l'on s'arrête à l'{{nobr|ordre 0}}, après retour aux quantités dimensionnées on obtient les équations suivantes :
:<math>
\begin{array}{rcl}
p & = & f(t)     \\ [0.3em]
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{V}) & = & 0      \\ [0.3em]
\frac{\partial \left( \rho \vec{V} \right)}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{V} \vec{V} \right)  & = &  -\vec{\nabla} p_1 + \vec{\nabla}\cdot \mathsf{\Sigma} + \rho \vec{g} \\ [0.4em]
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d} t}+p\vec{\nabla}\cdot \vec{V} & = & -\vec{\nabla}\cdot (\lambda\,\vec{\nabla} T)
\end{array}
</math>

L'équation d'état est écrite en utilisant l'{{nobr|ordre 0}} de la pression, l'{{nobr|ordre 1}} (« [[pression dynamique]] ») étant une quantité en <math>O(\mathcal{M}a^2)</math> donc négligeable. Ceci a pour effet de supprimer le couplage entre masse volumique et ondes de pression.

On remarque que l'on a un système de {{nobr|4 équations}} (dont une vectorielle) avec l'équation d'état pour {{nobr|5 inconnues}} (dont une vectorielle) : <math>\rho,\,\vec{V},\,T,\,p,</math> et {{math|''p''{{ind|1}}}}. On ferme le système avec une équation concernant la pression (qui est constante en espace).
* Dans un système ouvert la condition aux limites impose la pression {{math|''p'' {{=}} ''p''{{ind|0}}}} (par exemple la pression atmosphérique pour un feu à l'air libre).
* Dans un système fermé, la masse totale reste constante au cours du temps. En intégrant sur le volume <math>\mathcal{V}</math> du système, cela donne :
::<math>\int_\mathcal{V}^{} \rho(x,t) \, d\Omega=\int_\mathcal{V} \rho(x,t=0) \, d\mathcal{V}</math>.
Lorsque l'équation d'état du gaz parfait est utilisable, l'expression précédente devient :
::<math>p(t)=p(t=0) \dfrac{\int_\mathcal{V} \tfrac{1}{T(x,t=0)} \, d\mathcal{V}}{\int_\mathcal{V} \tfrac{1}{T(x,t)} \, d\mathcal{V}}</math>.

'''Remarques'''
* À l'ordre 0, <math>\vec{g}</math> n'intervient pas dans le bilan d'énergie.
* À cet ordre le rayonnement n'apparaît pas non plus, alors qu'il peut être un élément important du problème (en combustion par exemple). Ceci est dû au choix du nombre adimensionnel de Goulard, adapté aux écoulements à grande vitesse où l'énergie cinétique est grande devant l'énergie interne. Ici c'est le contraire et le bon nombre adimensionnel est <math>\mathcal{G}'=\frac{q_R^*}{\rho^*V^*e^*}</math> qui est l'inverse du [[nombre de Boltzmann]]<ref>{{ouvrage|lang=en |auteur1=[[Stanford Penner|Stanford S. Penner]] |auteur2=Daniel B. Olfe<!-- s’agit-il de Wikidata : Q102392708 ou d’un homonyme ? --> |titre=Radiation and reentry |éditeur={{lang|en|[[Academic Press]]}} |année=1968}}.</ref>. Le développement utilisant cette quantité conduit au terme <math>\frac{\mathcal{G}'}{\gamma^*(\gamma^*-1)}\vec{\nabla}_{\tilde{x}}\cdot \vec{\tilde{q}}_R</math> dans l'équation de l'énergie et donc permet au rayonnement d'apparaître à l'{{nobr|ordre 0}}.

== Couche limite ==

Les effets des propriétés de transport, en particulier la [[viscosité]], sont généralement limités à une mince couche au voisinage de la paroi. Il a été très tôt recherché une méthode permettant de séparer l'espace entre cette région, appelée « [[couche limite]] », et l'extérieur de celle-ci, régi par les [[équations d'Euler]]. Cette démarche, initialement introduite par [[Ludwig Prandtl]]<ref name="Anderson">{{lien web |langue=en |site={{lang|en|[[Physics Today]]}} |auteur=[[John D. Anderson|John D. Anderson {{Jr.}}]] |titre=Ludwig Prandtl's Boundary Layer |année=2005 |url=https://jontalle.web.engr.illinois.edu/uploads/493/PDFs/PrandtlBoundLayer.05.pdf |format=pdf }}.</ref> dans un cadre bidimensionnel plan a par la suite été étendue à diverses situations.

Bien que la démarche ait perdu son intérêt pratique avec les progrès en [[mécanique des fluides numérique]] (son calcul ne pose pas de difficulté numérique pour le calcul de l'écoulement dans son ensemble), elle reste un outil incontournable pour l'analyse physique<ref name=Schlichting>{{ouvrage |langue=en |auteur=[[Hermann Schlichting]] |titre=Boundary Layer Theory |éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw Hill]] |année=2017 |isbn=3662570955 |url=http://ae.sharif.edu/~viscousflow/Schlichting%20-%20Boundary%20Layer%20Theory.pdf |format=pdf}}.</ref>.

Dans ce qui suit, on se limite au problème d'un écoulement [[Écoulement incompressible|incompressible]] [[Écoulement stationnaire|stationnaire]] sur plaque [[plan]]e (donc un écoulement plan) en négligeant les [[Forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]] et le [[rayonnement]]. On reprend les équations adimensionnées ci-dessus avec <math>\,\textstyle \tilde{p}=\frac{p}{\rho^*{V^*}^2}\,</math>, les quantités de référence étant prises dans le milieu amont. On note <math>\textstyle  \vec{\tilde{x}}=\begin{pmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \end{pmatrix} \,,\quad \vec{\tilde{V}}=\begin{pmatrix} \tilde{u} \\ \tilde{v} \end{pmatrix}</math>. 
Les [[Équation de conservation|équations de conservation]] s'écrivent (on fait disparaître les tildes pour alléger les notations) :
:<math>\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
:<math>u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)</math>
:<math>u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right)</math>

Les [[Condition aux limites|conditions aux limites]] sont :
::<math>\lim\limits_{y\to\infty}{u}=1\,,\quad \lim\limits_{y\to\infty}{v}=0\,,\quad \lim\limits_{y\to\infty}{p}=1\,,\quad v(y=0)=0</math>

=== Développements ===
La couche limite est obtenue en utilisant le [[nombre de Reynolds]] comme [[facteur d'échelle]] du problème. Pour cela, on utilise l'[[Développement asymptotique|analyse asymptotique]] simultanément pour la couche limite (milieu interne) et le milieu eulérien (milieu externe). Cette méthode est appelée '''méthode des développements asymptotiques raccordés'''. Historiquement elle est la première utilisée pour résoudre mathématiquement ce problème. D'[[Perturbation singulière|autres méthodes]] sont utilisables<ref name="Cousteix">{{Ouvrage |auteur1=Jean Cousteix<!-- Wikidata : Q112474407 --> |auteur2=Jacques Mauss<!-- Wikidata : Q102165681 --> |titre=Analyse asymptotique et couche limite |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |année=2006 |isbn=3-540-31002-9}}.</ref>.

On introduit un « petit paramètre » <math>\textstyle \epsilon=\mathcal{R}e^{-1/2}</math> pour le milieu interne, pour lequel on utilise des lettres minuscules (l'expression choisie pour ce paramètre est justifiée dans la démonstration) et l'on pose <math>\textstyle \bar{y}=\frac{y}{\epsilon}</math>. La fonction de jauge pour les développements du milieu externe (lettres majuscules) est <math>\textstyle \xi</math>. Elle sera choisie plus loin. Les développements s'écrivent :
{|
|-
! Milieu interne !! Milieu externe
|-
| <math>u=u_1(x,\bar{y})+\epsilon u_2(x,\bar{y})+...\quad \quad \quad</math> || <math>\quad \quad u=U_1(x,y)+\xi U_2(x,y)+...</math>
|-
| <math>v=\epsilon\left(v_1(x,\bar{y})+\epsilon v_2(x,\bar{y})+...\right)</math> || <math>\quad \quad v=V_1(x,y)+\xi V_2(x,y)+...</math>
|-
| <math>p=p_1(x,\bar{y})+\epsilon p_2(x,\bar{y})+...</math> || <math>\quad \quad p=P_1(x,y)+\xi P_2(x,y)+...</math>
|}

L'équation de continuité s'applique à chaque niveau d'approximation et sera donc omise.

{{Boîte déroulante/début|titre=Développements}}
En utilisant les développements on obtient :
* dans la région externe
::<math>\textstyle \frac{\partial U_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial U_2}{\partial x}+\frac{\partial V_1}{\partial y}+\xi \frac{\partial V_2}{\partial y}=0</math>
::<math>\textstyle (U_1+\xi U_2)\left(\frac{\partial U_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial U_2}{\partial x}\right)+(V_1+\xi V_2)\left(\frac{\partial U_1}{\partial y}+\xi \frac{\partial U_2}{\partial y}\right)=-\frac{\partial P_1}{\partial x}-\xi \frac{\partial P_2}{\partial x}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 U_1}{\partial x^2}+\xi \frac{\partial^2 U_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U_1}{\partial y^2}+\xi \frac{\partial^2 U_2}{\partial y^2}\right)</math>
::<math>\textstyle (U_1+\xi U_2)\left(\frac{\partial V_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial V_2}{\partial x}\right)+(V_1+\xi V_2)\left(\frac{\partial V_1}{\partial y}+\xi \frac{\partial V_2}{\partial y}\right)=-\frac{\partial P_1}{\partial y}-\xi \frac{\partial P_2}{\partial y}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2}+\xi \frac{\partial^2 V_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V_1}{\partial y^2}+\xi \frac{\partial^2 V_2}{\partial y^2}\right)</math>

* dans la région interne
::<math>\textstyle \frac{\partial u_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial u_2}{\partial x}+\frac{\partial \bar{v}_1}{\partial \bar{y}}+\xi \frac{\partial \bar{v}_2}{\partial \bar{y}}=0</math>
::<math>\textstyle (u_1+\xi u_2)\left(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial u_2}{\partial x}\right)+(\bar{v}_1+\xi \bar{v}_2)\left(\frac{\partial u_1}{\partial \bar{y}}+\xi\frac{\partial u_2}{\partial \bar{y}}\right)=-\frac{\partial p_1}{\partial x}-\xi \frac{\partial p_2}{\partial x}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\xi \frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{1}{\epsilon^2}\frac{\partial^2 u_1}{\partial \bar{y}^2}+\frac{\xi}{\epsilon^2} \frac{\partial^2 u_2}{\partial \bar{y}^2}\right)</math>
::<math>\textstyle (u_1+\xi u_2)\left(\frac{\partial \bar{v}_1}{\partial x}+\xi \frac{\partial \bar{v}_2}{\partial x}\right)+\epsilon(\bar{v}_1+\xi \bar{v}_2)\left(\frac{\partial \bar{v}_1}{\partial \bar{y}}+\xi\frac{\partial \bar{v}_2}{\partial \bar{y}}\right)=-\frac{1}{\epsilon}\frac{\partial p_1}{\partial \bar{y}}-\frac{\xi}{\epsilon}\frac{\partial p_2}{\partial \bar{y}}+\frac{\epsilon}{\mathcal{R}e}\left(\frac{\partial^2 \bar{v}_1}{\partial x^2}+\xi \frac{\partial^2 \bar{v}_2}{\partial x^2}+\frac{1}{\epsilon^2}\frac{\partial^2 \bar{v}_1}{\partial \bar{y}^2}+\frac{\xi}{\epsilon^2} \frac{\partial^2 \bar{v}_2}{\partial x^2}\right)</math>

Le terme visqueux lié au [[Contrainte de cisaillement|cisaillement]] est <math>\textstyle \frac{\xi}{\mathcal{R}e\,\epsilon^2}\frac{\partial^2 u_2}{\partial \bar{y}^2}</math>, que l'on souhaite d'ordre 1, d'où le choix du petit paramètre <math>\textstyle \epsilon=\mathcal{R}e^{-1/2}</math>
{{Boîte déroulante/fin}}

Le regroupement des termes donne :
{|
|-
! Ordre !! Milieu interne  !! Milieu externe
|-
| 1 || <math>u_1\frac{\partial u_1}{\partial x}+\bar{v}_1\frac{\partial u_1}{\partial \bar{y}}=-\frac{\partial p_1}{\partial x}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial \bar{y}^2}</math> || <math>U_1\frac{\partial U_1}{\partial x}+V_1\frac{\partial U_1}{\partial y}=-\frac{\partial P_1}{\partial x}</math>
|-
|   || <math>\frac{\partial p_1}{\partial \bar{y}}=0</math> || <math>U_1\frac{\partial V_1}{\partial x}+V_1\frac{\partial V_1}{\partial y}=-\frac{\partial P_1}{\partial y}</math>
|-
| 2 || <math>u_2\frac{\partial u_1}{\partial x}+u_1\frac{\partial u_2}{\partial x}+\bar{v}_2\frac{\partial u_1}{\partial \bar{y}}+\bar{v}_1\frac{\partial u_2}{\partial \bar{y}}=-\frac{\partial p_2}{\partial x}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial \bar{y}^2}\quad</math> || <math>U_2\frac{\partial U_1}{\partial x}+U_1\frac{\partial U_2}{\partial x}+V_2\frac{\partial U_1}{\partial y}+V_1\frac{\partial U_2}{\partial y}=-\frac{\partial P_2}{\partial x}</math>
|-
|  || <math>\frac{\partial p_2}{\partial \bar{y}}=0</math> || <math>U_2\frac{\partial V_1}{\partial x}+U_1\frac{\partial V_2}{\partial x}+V_2\frac{\partial V_1}{\partial y}+V_1\frac{\partial V_2}{\partial y}=-\frac{\partial P_2}{\partial y}</math>
|}

Dans le milieu externe, on retrouve les équations d'Euler à l'ordre 1.

On peut écrire les équations internes en variables physiques adimensionnées en posant <math>\textstyle \,v_i(x,y)=\epsilon \bar{v}_i(x,\bar{y})\,</math> :
{|
! Ordre 1 !! Ordre 2
|-
| <math>u_1\frac{\partial u_1}{\partial x}+v_1\frac{\partial u_1}{\partial y}=-\frac{\partial p_1}{\partial x}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2}\quad\quad\quad</math> || <math>u_2\frac{\partial u_1}{\partial x}+u_1\frac{\partial u_2}{\partial x}+v_2\frac{\partial u_1}{\partial y}+v_1\frac{\partial u_2}{\partial y}=-\frac{\partial p_2}{\partial x}+\frac{1}{\mathcal{R}e}\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2}</math>
|-
| <math>\frac{\partial p_1}{\partial y}=0</math> || <math>\frac{\partial p_2}{\partial y}=0</math>
|}

En y ajoutant l'équation de continuité, l'{{nobr|ordre 1}} constitue les '''équations de Prandtl''' telles que Prandtl les a obtenues par [[analyse d'échelle]]<ref name="Anderson" />{{,}}<ref name="Cousteix" />.

À l'ordre 2, le [[gradient de pression]] est non nul pour une paroi courbe.

=== Conditions aux limites : les raccordements ===
Le raccordement se fait en choisissant la fonction de jauge <math>\textstyle \xi=\epsilon</math>, valeur issue de la comparaison des valeurs de u et v dans les deux milieux.
{{Boîte déroulante/début|titre=Raccordements}}
Le développement en [[série de Taylor]] pour u dans le milieu externe s'écrit :
::<math>u=U_1(x,0)+\epsilon \bar{y}\frac{\partial U_1}{\partial y}(x,0)+\xi U_2(x,0)+\xi\epsilon\bar{y}\frac{\partial U_2}{\partial y}(x,0)+...</math>
Cette expression doit être comparée terme à terme avec la limite pour <math>\textstyle \bar{y}\to\infty</math> du développement interne :
::<math>u=\lim\limits_{\bar{y}\to 0}{\left[u_1(x,\bar{y})+\epsilon u_2(x,\bar{y})\right]}=U_1(x,0)+\epsilon\left(U_2(x,0)+\bar{y}\frac{\partial U_1}{\partial y}(x,0)\right)</math>
Pour v dans le milieu externe :
::<math>v=\epsilon \bar{y}\frac{\partial V_1}{\partial y}(x,0)+\xi V_2(x,0)+\xi\epsilon\bar{y}\frac{\partial V_2}{\partial y}(x,0)+...</math>
Et dans le milieu interne :
::<math>v=\lim\limits_{\bar{y}\to \infty}{\left[\epsilon\bar{v}_1(x,\bar{y})+\epsilon^2 \bar{v}_2(x,\bar{y})\right]}=V_1(x,0)+\epsilon\left[V_2(x,0)+\bar{y}\frac{\partial V_1}{\partial y}(x,0)\right]</math>
L'identification impose <math>\textstyle \xi=\epsilon</math>. Les termes en <math>\textstyle \xi\epsilon=\epsilon^2</math>, non raccordés, sont donc ignorés.
{{Boîte déroulante/fin}}

On obtient ainsi les conditions aux limites :
{|
! Ordre 1 !! Ordre 2
|-
| <math>\qquad\lim\limits_{\bar{y}\to\infty}{u_1(x,\bar{y})}=U_1(x,0)\qquad</math> || <math>\qquad\lim\limits_{\bar{y}\to\infty}{u_2(x,\bar{y})}=U_2(x,0)+\bar{y}\frac{\partial U_1}{\partial y}
(x,0)</math>
|-
| <math>\qquad\lim\limits_{\bar{y}\to\infty}{p_1(x,\bar{y})}=P_1(x,0)</math> || <math>\qquad\lim\limits_{\bar{y}\to\infty}{p_2(x,\bar{y})}=P_2(x,0)+\bar{y}\frac{\partial P_1}{\partial y}
(x,0)</math>
|-
| <math>\qquad V_1(x,0)=0</math> || <math>\qquad V_2(x,0)=\lim\limits_{\bar{y}\to\infty}{\left[\bar{v}_1(x,\bar{y})-\bar{y}\frac{\partial V_1}{\partial y}(x,0)\right]}</math>
|}

Au premier ordre, il y a un découplage entre les deux milieux : tout se passe comme si l'épaisseur de couche limite était nulle. Par contre, l'épaisseur de couche limite apparaît au second ordre avec la condition sur <math>\textstyle V_2(x,0)</math>.

=== Généralisations ===
De nombreux développements de la notion de couche limite ont été effectués<ref name="Schlichting" /> :
* pour les écoulements compressibles<ref>{{ouvrage|auteur=Jean-Philippe Brazier |titre=Étude asymptotique des équations de couche limite en formulation déficitaire |éditeur=Thèse de l'[[Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace|ENSAE]] |année=1990 |url=https://depozit.isae.fr/theses/1990/1990_Brazier_Jean-Philippe.pdf}}.</ref> ;
* pour les écoulements instationnaires ;
* pour les écoulements tridimensionnels<ref>{{ouvrage|langue=en |auteur1=Ernst Heinrich Hirschel<!-- Wikidata : Q112387599 --> |auteur2=Jean Cousteix<!-- Wikidata : Q112474407 --> |auteur3=Wilhelm Kordulla<!-- s’agit-il de Wikidata : Q102270359 ou d’un homonyme ?  --> |titre=Three-Dimensional Attached Viscous Flow |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |année=2014 |isbn=978-3-642-41377-3}}.</ref> : au premier ordre on peut calculer cette couche pour chaque [[ligne de courant]] préalablement définie à partir de l'écoulement eulérien. La surface courbe normale au corps ainsi définie comporte une vitesse dans le plan très supérieure à la vitesse transverse. Si on néglige cette dernière le problème tridimensionnel se réduit à une série de problèmes bidimensionnels ;
* le concept a été généralisé à la '''triple couche''' (l'espace est divisé en trois régions superposées) permettant d'analyser le phénomène de décollement, ce qui est interdit par construction de la couche limite<ref name="Cousteix" />.

== Singularités ==

Il convient de préciser la notion de singularité : un [[Onde de choc|choc]] est une [[Singularité (mathématiques)|singularité]] au sens mathématique des équations d'Euler mais la solution correspondante des équations de Navier-Stokes est continue. Ce problème d'apparition d'une singularité lié à une restriction des équations est un problème assez général. On peut citer par exemple la [[singularité de Prandtl-Glauert]] qui est liée à l'approximation incompressible.

Le problème général de l'apparition en temps fini dans les équations de Navier-Stokes de singularités [[Solutions des équations de Navier-Stokes|est un problème ouvert]].

=== Choc ===
[[File:Interaction choc.png|vignette|Réflexion sur lui-même d'un choc oblique conique avec création d'un '''pied de Mach''' et d'une ligne de glissement.]]
En écoulement supersonique et dans le cadre des équations d'Euler le choc est une discontinuité non transitoire de toutes les quantités dans l'écoulement. [[Onde de choc#Description du choc|Son épaisseur]] est de quelques libres parcours moyens : sa description détaillée relève de l'[[équation de Boltzmann]] et non des équations de Navier-Stokes. Ses caractéristiques sont décrites par les [[relations de Rankine-Hugoniot]] qui donnent le rapport des valeurs avant et après le choc. L'existence d'une telle discontinuité est liée à la nature [[Équation aux dérivées partielles hyperbolique|hyperbolique]] des équations d'Euler.

Le choc est un train continu d'[[équations d'Euler#Propriétés du système d'équations d'Euler|ondes de Riemann]] à la différence de l'onde simple que constitue le [[Son (physique)|son]]. Toutefois un choc peut dégénérer en une [[Bang supersonique#Écoulement autour de l'objet et cône de Mach|onde de Mach]] qui est une onde sonore, donc une discontinuité transitoire.

=== Ligne de glissement ===
La ligne de glissement, encore appelée discontinuité de contact, désigne l'interface entre deux écoulements parallèles de vitesses différentes mais de même pression. Cette discontinuité [[Relations de Rankine-Hugoniot#Équations d'Euler|respecte les relations de Rankine-Hugoniot]]. Elle est généralement le résultat d'interactions de chocs.

=== Ligne ou point d'arrêt ===
La [[Point d'arrêt (mécanique des fluides)|ligne ou le point d'arrêt]] désigne une ligne ou un point où la vitesse de l'écoulement s'annule lorsque l'écoulement rencontre un corps convexe. Ceci résulte de l'existence d'un ou plusieurs plans de symétrie de l'objet parallèles à l'écoulement à l'infini amont, ce qui entraîne l'échappement du fluide dans diverses directions parallèles à la tangente locale au corps ([[brisure spontanée de symétrie]]). La vitesse en ce point est nulle du fait de la symétrie et de l'équation de continuité. Le module de la vitesse à partir du point (ou de la ligne) d'arrêt est le même dans les directions symétriques.

''{{lang|la|A contrario}}'' le centre d'une implosion, à symétrie sphérique, comporte un point où les vitesses s'annulent sans provoquer une singularité, la variable position étant continument dérivable.

=== Autres problèmes ===
Outre le problème précédent il existe d'autres instabilités créées par les conditions aux limites, par exemple la partition d'une [[Goutte (physique)#Forme d'une goutte|goutte]] dans laquelle on montre l'[[Similitude (mécanique des fluides)#Auto-similarité|auto-similitude]] de la forme<ref>{{ouvrage|langue=en |auteur1=[[Andrea Bertozzi|Andrea L. Bertozzi]] |auteur2= Michael P. Brenner<!-- s’agit-il de Wikidata : Q102204609 ou de {{lien|lang=en|trad=Michael P. Brenner}} ? --> |auteur3=Todd F. Dupont<!-- s’agit-il de Wikidata : Q102117067 ? --> |auteur4=[[Leo Kadanoff|Leo P. Kadanoff]] |titre=Singularities and Similarities in Interface Flows |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |series={{lang|en|Trends and Perspectives in Applied Mathematics}} |page=155–208 |isbn=978-1-4612-6924-3 |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0859-4_6}}.</ref>.

== Instabilités et transition vers la turbulence ==
[[Fichier:False color image of the far field of a submerged turbulent jet.jpg|vignette|Image en fausse couleur d'un jet turbulent immergé. Visible par la fluorescence induite par laser]]

=== Instabilités ===
Beaucoup d'écoulements homogènes présentent des instabilités. Certaines d'entre elles vont conduire à une organisation spatio-temporelle stable, périodique comme les [[Allée de tourbillons de Karman|tourbillons de Karman]] ou ceux de [[Tourbillons de Görtler|Görtler]], ou stationnaire comme l'[[instabilité de Rayleigh-Bénard]]. D'autres, de nature inertielle, conduiront à la création de tourbillons ([[instabilité de Kelvin-Helmholtz]]), éventuellement suivis d'écoulements instationnaires ([[instabilité de Taylor-Couette]]).

Des instabilités secondaires pourront se créer, entraînant le milieu vers la [[turbulence]], comme dans le cas de l'[[instabilité de Richtmyer-Meshkov]] où se crée une instabilité secondaire de type Kelvin-Helmholtz<ref>{{article|langue=en |auteur=O. A. Azarova |titre=Generation of Richtmyer–Meshkov and secondary instabilities during the interaction of an energy release with a cylinder shock layer |périodique={{lang|en|Aerospace Science and Technology}}<!-- Wikidata : Q15749126 --> |volume=42 |année=2015 |pages=376-383}}.</ref>. Les instabilités peuvent être compétitives comme dans le cas des tourbillons de Görtler et des [[Ondes de Tollmien-Schlichting|onde de Tollmien-Schlichting]]. Les mécanismes de [[transition laminaire-turbulent]] ont été particulièrement étudiés dans le cas de la [[couche limite]] et montrent la diversité des mécanismes en jeu. Leur étude est très liée à l'[[théorie des systèmes dynamiques#L'unicité des systèmes dynamiques|étude des systèmes dynamiques]]<ref>{{ouvrage|langue=en |auteur={{lien|lang=de|trad=Paul Manneville}} |titre=Instabilités, Chaos and Turbulence : An Introduction to Nonlinear Dynamics and Complex Systems |éditeur={{lang|en|[[Imperial College Press]]}} |année=2004 |isbn=1-86094-483-3 |url=http://www3.fi.mdp.edu.ar/fc3/SisDin2009/books/Maneville/instabilities-chaos-and-turbulence-an-introduction-to-nonlinear-dynamics-and-complex-systems.9781860944918.36622.pdf}}.</ref>.

=== Turbulence ===

Le stade final de l'écoulement peut être celui d'un système pleinement turbulent, tel que défini par la [[cascade turbulente]], comportant des échelles très différentes, de l'[[Dimension de Kolmogorov|échelle de Kolmogorov]] à l'[[Lois de paroi#La loi logarithmique de von Kármán|échelle intégrale]], ce qui rend la description numérique très coûteuse. Elle est effectuée dans des cas académiques dans le but de comprendre les phénomènes qui seront ensuite décrits à plus grande échelle qui utilisent des [[Modélisation de la turbulence|modèles]] décrivant la part du phénomène non accessible au [[calcul numérique]].

== Conditions aux limites ==
=== Conditions entrantes et sortantes ===
Il n'y a pas, sauf exception, de conditions entrantes ou sortantes spécifiques au système de Navier-Stokes. En effet les effets visqueux sont généralement confinés en des endroits spécifiques connus à l'avance. Le domaine de calcul inclut donc ces régions et on est ainsi ramené au problème des conditions entrantes et sortantes pour les [[Équation d'Euler|équations d'Euler]]. On peut ajouter que donner des conditions dans une région où les effets visqueux sont importants constitue une tâche des plus ardues.

=== Conditions pariétales ===
Il n'est pas possible ''{{lang|la|stricto sensu}}'' d'écrire des telles conditions aux limites. En effet, comme le montre la [[méthode de Chapman-Enskog]] dans le cas des gaz, le système de Navier-Stokes suppose au niveau microscopique une faible perturbation de la [[Statistique de Maxwell-Boltzmann|distribution de Maxwell-Boltzmann]]. Cette hypothèse est invalide au voisinage d'une paroi, laquelle perturbe fortement la distribution des vitesses et des énergies internes des molécules. La résolution de la région perturbée ou [[couche de Knudsen]] montre l'existence de sauts de vitesse et de température qui sont d'autant plus faibles que la pression augmente. Si celle-ci est suffisante on peut négliger des discontinuités et les conditions pariétales se réduisent alors aux conditions généralement données sans justification<ref group="alpha" name="CL">Ces conditions peuvent être plus complexes lorsqu'il existe une interaction physico-chimique gaz-paroi. On écrit alors des équations de conservation des flux.</ref> :
* <math>\vec{V}=0</math> à la paroi (condition d'adhérence),
* {{math|''T'' {{=}} ''T{{ind|p}}''}} à la paroi, où {{mvar|T{{ind|p}}}} est la température de paroi, donnée.
Dans le cas d'un échange pariétal (injection, succion) les conditions aux limites s'écrivent en utilisant la conservation des flux de masse, quantité de mouvement et énergie au travers de la surface. Dans le cas particulier de flux nuls on trouve les conditions : 
* <math>\vec{V}\cdot \vec{n}=0</math> à la paroi, où <math>\vec{n}</math> est le [[vecteur unitaire]] normal à la surface ;
* {{math|''T'' {{=}} ''T{{ind|0}}''}}, où {{mvar|T{{ind|0}}}} est la température d'interface.
La composante tangentielle de la vitesse est spécifique au problème traité.

Les problèmes de paroi rugueuse dans un écoulement turbulent peuvent être traités en utilisant une [[Lois de paroi|loi de paroi]] utilisant une [[rugosité]] « grain de sable » apparente permettant d'exploiter la [[Lois de paroi#La loi logarithmique de von Kármán|loi classique de von Kármán]]. Des méthodes plus élaborées de [[décomposition de domaine]] traitent numériquement ce problème en [[écoulement laminaire]], plus difficilement en écoulement turbulent.

== Domaines d'utilisation ==
<gallery widths="200" style="text-align:center">
File:X-43A (Hyper - X) Mach 7 computational fluid dynamic (CFD).jpg|<center>Calcul d'aérodynamique supersonique en variables eulériennes.</center>
File:Jet astrophysique.png|<center>Calcul d'un jet astrophysique en variables lagrangiennes.</center>
File:Structural Fire Resistance (5940520141).jpg|<center>Simulation d'un feu de kérosène dans un bâtiment.</center>
File:Celeris Wave Model.gif|<center>Vagues côtières.</center>
File:Tracking a Superstorm (8971445552).jpg|<center>Simulation d'un ouragan.</center>
File:Human Heart Flow - healthy and pathological.jpg|<center>Écoulement ventriculaire.</center>
</gallery>
Les domaines d'utilisation sont exceptionnellement larges<ref>{{ouvrage|langue=en |auteur=R. Yountsi Ed.<!-- ne faudrait-il pas déplacer « Ed. » vers un paramètre tel que « responsabilité= » à moins que cela fasse effectivement partie du nom ? --> |titre=Navier-Stokes Equations: Properties, Description and Applications |éditeur=[[Nova Publishers|{{lang|en|Nova Science Publishers}}]] |année=2012 |isbn=978-1-61324-590-3}}.</ref> :
* aérodynamique externe : avion, planeur, missile, lanceur, [[sonde spatiale]], automobile, [[vol des insectes]], bâtiments et ponts ;
* aérodynamique interne : moteurs d'avion, turbines à gaz, moteurs-fusées, climatisation ;
* hydrodynamique : bateau, sous-marin, propulsion marine ;
* hydraulique : canalisations, canaux ouverts, vagues, rivières, circulation sanguine ;
* metéodynamique : météorologie, [[climatologie]] ;
* astrophysique : formation des étoiles, des systèmes stellaires, des galaxies, de l'univers, des [[Jet (astrophysique)|jets stellaires]] ;
* armement : explosions ;
* sécurité : feux de nappes, [[Feu de forêt|feux de forêt]] et feux confinés ;

== Popularisation ==
Les équations de Navier-Stokes pour un [[fluide incompressible]] font partie des [[problèmes du prix du millénaire]] de l'[[institut de mathématiques Clay]]. La [[Solutions des équations de Navier-Stokes|résolution de ces équations]], le cas échéant, sera récompensée d'un prix d'un million de dollars<ref>{{article|auteur=Rachel Crowell |titre=Vingt et un ans après, les problèmes mathématiques « du millénaire » restent mystérieux |périodique=[[Pour la Science]] |url=https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/vingt-et-un-ans-apres-les-problemes-mathematiques-du-millenaire-restent-mysterieux-22009.php |date=8/6/2021 |consulté le=16/8/2022}}.</ref>.

Les équations de Navier-Stokes sont le principal sujet du film [[Mary (film, 2017)|Mary]] de [[Marc Webb]], sorti en 2017.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=fr |auteur1=[[Sébastien Candel]] |titre=Mécanique des fluides |sous-titre=cours |lieu=Paris |éditeur=[[Dunod]] |année=2001 |pages totales=451 |isbn=2-10-005372-8}}.
* {{Ouvrage|langue=fr |prénom1=James |nom1=Luneau |prénom2=Allan |nom2=Bonnet |titre=Aérodynamique théories de la dynamique des fluides |lieu=Toulouse |éditeur=[[Éditions Cépaduès]] |collection=Sup'Aero |année=1989 |pages totales=544 |isbn=978-2-85428-218-4 |isbn2=2854282183}}.
* {{Ouvrage|langue=fr |prénom1=Étienne |nom1=Guyon |lien auteur1=Étienne Guyon |auteur2=Jean-Pierre Hulin<!-- Wikidata : Q124366200 --> |auteur3=Luc Petit<!-- Wikidata : Q112504847 --> |préface={{lien|lang=en|trad=John Hinch (mathematician)|fr=John Hinch (mathématicien)|texte=John Hinch}} |titre=Hydrodynamique physique |lieu=Les Ulis/Paris |éditeur=[[EDP Sciences]]/[[CNRS Éditions]] |collection=Savoirs actuels |année=2012 |numéro d'édition=3 |pages totales=689 |isbn=978-2-7598-0561-7 |isbn2=2759805611}}.
* {{Ouvrage|langue=en |auteur1=[[Lev Davidovitch Landau]] |auteur2=[[Evgueni Lifchits|Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz]] |titre={{nobr|Volume 6}} of Course of Theoretical Physics |sous-titre=Fluid Mechanics |éditeur={{lang|en|[[Pergamon Press]]}} |année=1987 |isbn=}}.
*  {{en}} Brian J. Cantwell<!-- Wikidata : Q96184912 -->, ''{{lang|en|Fundamentals of Compressible Flows}}'', Cours de l'[[Université Stanford|université de Stanford]] [http://web.stanford.edu/~cantwell/AA200_Course_Material/AA200_Course_Notes/]
* {{Article|langue=en | auteur1=[[Sandra Cerrai]] | auteur2=Nikolas Paskal | titre=Large deviations principle for the invariant measures of the 2D stochastic Navier–Stokes equations with vanishing noise correlation | date=14 octobre 2021 | périodique={{lang|en|Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations}}<!-- Wikidata : Q96320732 --> | volume=10 | éditeur=[[Springer Science+Business Media]] | pages=1651–1681 | doi=10.1007/s40072-021-00219-5}}.

=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=20| 
* [[Dynamique des fluides]]
* [[Aérodynamique]]
* [[Mécanique des fluides numérique]]
* [[Équation de Navier]]
* [[Équations de Barré de Saint-Venant|Équations de Saint-Venant]]
* [[Équation de Burgers]]
* [[Équation d'Hugoniot]]
* [[Approximation de Boussinesq]]
* [[Équation de Taylor-Goldstein]]
* [[Relations de Rankine-Hugoniot]]
* [[Écoulement de Stokes]]
* [[Équations de Stokes-Oseen]]
* [[Détente de Prandtl-Meyer]]
* [[Équation de Orr-Sommerfeld]]
* [[Théorème de Crocco]]
* [[Approximation de lubrification]]
* [[Effet Coandă]]
* [[Ondes de Tollmien-Schlichting]]
* [[Tourbillons de Görtler]]
* [[Projecteur de Leray]]
* [[Équations fondamentales de la mécanique des milieux continus]]}}

{{Palette|Mécanique des fluides|Problèmes du prix du millénaire}}

{{Portail|physique|analyse}}

[[Catégorie:Problèmes du prix du millénaire]]
[[Catégorie:Équations de Navier-Stokes|*]]