Voir la source de 0,999…

<!-- AVERTISSEMENT : Le contenu de cet article est solidement étayé. Si vous avez un argument contre l'un des éléments listés dans le texte, commencez par le discuter sur la page de discussion. Quand le traducteur aura fini de traduire l'article, il s'efforcera de traduire dans la page de discussion des FAQ de la page similaire anglaise. Cependant, il faut comprendre que les preuves les plus anciennes, et les plus naïves, reposent plus sur l'intuition et ne sont donc pas aussi rigoureuses que les récentes, qui reposent sur tout l'arsenal de la démonstration mathématique mis au point au cours des XIX et XXèmes siècles. Merci.-->
[[File:999 Perspective 2.svg|thumb|upright=2|alt=Le nombre 0,999… écrit en dégrossissant jusqu'à ne plus distinguer les 9.|Un développement décimal du [[1 (nombre)|nombre {{math|1}}]].]]
En [[mathématiques]], le '''[[développement décimal périodique]]''' qui s'écrit {{math|0,999…}}, que l'on dénote encore par <math>0{,}\bar{9}</math> ou <math>0{,}\dot{9}</math> ou <math>0{,}(9)</math>, représente un [[nombre réel]] dont on peut montrer que c'est le [[1 (nombre)|nombre {{math|1}}]]. En d'autres termes, les deux notations {{math|0,999…}} et {{math|1}} sont deux notations différentes pour le même nombre. Les [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstrations]] mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de [[Logique mathématique|rigueur mathématique]], et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé.

Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au [[système décimal]], c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les [[Base (arithmétique)|bases]] [[entier relatif|entières]], et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire {{math|1}} dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au [[1 (nombre)|nombre {{math|1}}]] : tout [[nombre décimal]] non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une [[infini]]té de 9, comme {{math|1=18,32 = 18,31999…}}. L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du [[Développement décimal périodique|développement décimal de certaines fractions]], ou, en [[Système trinaire|base 3]], pour caractériser l'[[#Applications|ensemble de Cantor]]. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines [[Puissance du continu#La puissance du continu est la cardinalité de l'ensemble des parties de ℕ|démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable]]. Plus généralement, tout système de représentation numérique [[Système de numération#Systèmes de notation|positionnelle]] pour les [[Nombre réel|nombres réels]] contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples.

L'égalité {{math|1=0,999… = 1}} est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en [[enseignement des mathématiques]] ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité. Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un [[développement décimal]] unique, qu'il doit y avoir des nombres [[Histoire du calcul infinitésimal|infinitésimaux]] non nuls, ou bien que le développement {{math|0,999…}} finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels, mais il existe d'autres systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines.

== Démonstrations algébriques ==
Il existe plusieurs [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstrations]] [[Mathématiques élémentaires|élémentaires]] de l'[[Égalité (mathématiques)|égalité]] {{math|1=0,999… = 1}}.

=== Fractions et divisions posées ===
L'une des raisons de la nécessité des développements décimaux infinis est la [[Système décimal|représentation décimale]] des [[Nombre rationnel|fractions]]. [[Poser une division]] d'[[Entier naturel|entiers]] telle que {{math|1/9}} donne un développement décimal {{math|0,111…}} dans lequel [[Développement décimal périodique|les décimales se répètent sans fin]]. Cette égalité donne une démonstration rapide de {{math|1=0,999… = 1}} :
{{Retrait|<math>\begin{align}\frac19&=0{,}111\ldots\\
9\times\frac19&=9\times 0{,}111\ldots\\
1&=0{,}999\ldots\end{align}</math>}}

Sous une autre forme<ref name=Byers/>, on peut multiplier les deux membres de l'égalité {{math|1={{sfrac|1|3}} = 0,333…}} par {{math|3}}, pour obtenir d'une part {{math|1=3 × {{sfrac|1|3}} = 1}} et d'autre part {{math|1=3 × 0,333… = 0,999…}}. Ces deux nombres sont donc bien égaux.

=== Manipulation des décimales ===
Quand un nombre en notation décimale est multiplié par {{math|10}}, les chiffres ne changent pas, mais le séparateur des unités est décalé d'un cran vers la droite. Ainsi, {{math|1=10 × 0,999… = 9,999…}}. La suite demande un tout petit peu d'algèbre<ref name=Byers/>{{,}}<ref name="richman99">{{Harvsp|Richman|1999}}.</ref>{{,}}<ref name=Peressini/> :
:<math>
\begin{align}
    x &= 0{,}999\ldots \\
10x &= 9{,}999\ldots & \text{en multipliant par }10\\
   9x &= 9 & \text{en retranchant la première équation de la seconde}\\
    x &= 1 & \text{en divisant par }9\\
0{,}999\ldots&=1& \text{par définition de }x.
\end{align}
</math>

=== Discussion ===

{{Citation|Alors que [[#Manipulation des décimales|cette preuve]] établit que {{math|1=0,999… = 1}}, elle ne semble rien offrir [[Explication|expliquant]] [[wikt:pourquoi|pourquoi]] cette égalité est vraie. [… Cependant,] en [[arithmétique élémentaire]], ce genre de démonstration peut aider à expliquer pourquoi {{math|0,33… ≠ 0,4}}, tandis que {{math|0,99…}} est égal à {{math|1,0}}. Ou encore, en [[algèbre élémentaire]], [… à expliquer] une méthode générale pour trouver la [[Fraction (mathématiques)|fraction]] correspondant à un [[développement décimal périodique]]<ref name=Peressini>{{Harvsp|Peressini|Peressini|2007|p=186}}.</ref>}}. Mais ces démonstrations ne mettent pas en lumière les relations fondamentales entre les développements décimaux et les nombres qu'ils représentent, relations qui sont sous-jacentes au sens même à donner à l'égalité entre deux développements décimaux.

William Byers pense qu'un élève qui admet que {{math|1=0,999… = 1}} à cause des démonstrations précédentes, mais qui n'a pas résolu l'ambiguïté de la notation {{math|0,999…}} — qui, selon lui, désigne à la fois un processus de [[#Séries et suites infinies|sommation]] et un objet mathématique — ne peut pas ''[[Compréhension|comprendre]]'' vraiment l'égalité<ref name=Byers>{{Harvsp|Byers|2007|p=39-41}}.</ref>.

Une fois qu'un [[Développement décimal|système de représentation]] est défini, il peut être utilisé pour justifier les règles d'arithmétique décimale utilisées dans les démonstrations précédentes. De plus, on peut démontrer directement que les expressions {{math|0,999…}} et {{math|1,000…}} représentent toutes deux le même nombre réel, car cela fait partie de la définition {{infra|Démonstrations à partir de la construction des nombres réels}}.

== Démonstrations analytiques ==
{{Voir|Développement décimal}}
Puisque l'examen de {{math|0,999…}} n'intervient aucunement dans la formalisation des mathématiques, on peut le différer jusqu'à ce que soient établis les théorèmes standards de l'[[analyse réelle]].

Il faut avant tout donner un sens à l'écriture des nombres réels, en notation décimale, sous la forme d'un éventuel [[Signe plus ou moins|signe –]], d'une suite ''finie'' de chiffres formant l'[[entier naturel]] {{math|''b''{{ind|0}}}} [[partie entière]] de la [[valeur absolue]], d'un [[séparateur décimal]], et d'une suite ''éventuellement infinie'' {{math|(''b{{ind|i}}''){{ind|''i'' ≥ 1}}}} de chiffres qui peuvent prendre les valeurs de 0 à 9, formant la [[partie fractionnaire]] de cette même valeur absolue. Dans cette [[notation positionnelle]], il est essentiel que, contrairement à la partie entière {{math|''b''{{ind|0}}}}, la partie fractionnaire ne soit pas limitée à un nombre fini de chiffres.

Pour discuter de {{math|0,999…}}, on n'utilise pas l'éventualité d'un signe –, donc on se borne à un développement décimal de la forme {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}}.

=== Séries et suites infinies ===

{{Article détaillé|Écriture décimale positionnelle}}

La présentation peut-être la plus courante des développements décimaux est de les définir comme des [[Série (mathématiques)#Séries numériques|séries infinies]]. En général :
:<math>b_0{,}b_1b_2b_3b_4\ldots=b_0+\frac{b_1}{10} +\frac{b_2}{10^2} + \frac{b_3}{10^3} + \frac{b_4}{10^4}+\ldots </math>

Pour {{math|0,999…}}, on peut appliquer le [[Série géométrique#Convergence|théorème de convergence des séries géométriques]] : si {{math|{{!}}''r''{{!}} < 1}}, alors :
:<math>a+ar +ar^2 + ar^3 + \ldots = \frac a{1-r}.</math>

Comme {{math|0,999…}} est une somme de ce genre, avec {{math|1=''r'' = {{sfrac|1|10}}}}, le théorème résout rapidement la question :

:<math>0{,}999\ldots=0+\frac9{10}+\frac9{10^2}+\frac9{10^3}+\frac9{10^4}+\ldots=\frac9{10}+\frac9{10}\times\frac1{10}+\frac9{10}\times\left(\frac1{10}\right)^2+\frac9{10}\times\left(\frac1{10}\right)^3+\ldots=\frac{\frac9{10}}{1-\frac1{10}}=1.</math>

[[Fichier:base4 333.svg|vignette|upright=1.5|[[Limite (mathématiques élémentaires)|Limites]] : l'intervalle unité, avec la suite des fractions (en [[base 4]]) : {{math|0,3, 0,33, 0,333, …}} convergeant vers {{math|1}}.]]

Cette démonstration (en fait celle de {{math|1=9,999… = 10}}) apparaît dès 1770 dans les ''Éléments d'algèbre'' de [[Leonhard Euler]]<ref>{{ouvrage
|langue=en
|auteur=Leonhard Euler
|titre=Elements of Algebra
|langue originale=fr
|numéro d'édition=3
| traducteur = John Hewlett et Francis Horner
|éditeur=Orme Longman
|année=1822 
|année première édition=1770
|isbn=0387960147
|lire en ligne={{Google Livres|X8yv0sj4_1YC|page=170}}<!--consulté le=23/4/16-->|page=170}}.</ref>, mais la sommation d'une [[série géométrique]] est elle-même un résultat plus ancien. Une démonstration typique du {{s-|XVIII|e}} utilisait une manipulation terme à terme analogue à la manipulation des décimales donnée [[#Manipulation des décimales|plus haut]] ; [[John Bonnycastle|Bonnycastle]], en [[1811 en science|1811]], utilise ce genre d'argument pour justifier que {{math|1=0,999… = 1}}<ref>{{Harvsp|Grattan-Guinness|1970|p=69}} ; {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=John Bonnycastle
|titre=An Introduction to Algebra
|année=1811
|page=177
|lire en ligne={{Google Livres|NEcJAAAAIAAJ|page=177}}
}}.</ref>.

Une réaction du {{s-|XIX|e}} contre ce genre de méthodes cavalières de sommation a abouti à la définition encore dominante aujourd'hui :
*la somme d'une [[Série (mathématiques)|série]] est la [[Limite d'une suite|limite]] de la [[Suite (mathématiques)|suite]] de ses [[somme partielle|sommes partielles]] ;
*une suite {{math|(''x''{{ind|0}}, ''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, …)}} admet une limite {{math|''x''}} si la distance {{math|{{!}}''x – x{{ind|n}}''{{!}}}} devient arbitrairement petite quand {{math|''n''}} s'accroît.
Avec ces définitions, la [[Série géométrique#Convergence|démonstration du théorème ci-dessus]] consiste à calculer la distance entre la limite escomptée, {{math|1=''x'' = {{sfrac|''a''|1 – ''r''}}}}, et les [[Série géométrique#Terme général|sommes partielles de la série géométrique]], {{math|1=''x{{ind|n}}'' = ''a + ar + … + ar{{exp|n}}''}}. On trouve que cette distance est une [[Suite géométrique#Convergence|suite géométrique de raison {{math|''r''}}, donc de limite nulle]] (puisque {{math|{{!}}''r''{{!}} < 1}})<ref group=note>Les diverses démonstrations de cette dernière étape utilisent inévitablement l'une des [[Construction des nombres réels#Équivalence des deux constructions|caractérisations axiomatiques du corps des nombres réels]].</ref>.

Dans le cas particulier de {{math|1=0,999… = 1}}, cette démonstration s'écrit simplement :
:<math>1-0{,}\underbrace{99\ldots 99}_n=0{,}\underbrace{00\ldots 01}_n=\frac1{10^n}\quad{\rm et}\quad\lim_{n\to\infty}\frac1{10^n}=0.</math>

Avant cette formalisation, elle était ébauchée en termes plus imagés, mais moins précis. Par exemple, en [[1846 en science|1846]], Davies explique {{citation|{{math|.999 +}}, continué à l'infini {{math|1== 1}}, parce que l'addition de chaque nouveau {{math|9}} rapproche la valeur de {{math|1}}<ref>{{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=Charles Davies
|titre=The University Arithmetic : Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications
|éditeur=A. S. Barnes
|année=1846
|page=175
|lire en ligne={{Google Livres|lqUJAAAAIAAJ|page=175}}
}}.</ref>.}} ; Smith et Harrington, en [[1895 en science|1895]], écrivent : {{citation|quand on prend un grand nombre de 9, la différence entre {{math|1}} et {{math|0,999…}} devient petite de façon inconcevable<ref>{{Harvsp|Smith|Harrington|1895|p=115}}.</ref>.}} {{Refnec|date=avril 2016|De telles approches [[Heuristique (mathématiques)|heuristiques]] sont souvent interprétées par les étudiants comme impliquant que {{math|0,999…}} est lui-même strictement inférieur à {{math|1}}.}}

=== Segments emboîtés et bornes supérieures ===
[[Fichier:999 Intervals C.svg|vignette|Segments emboîtés : en [[Système trinaire|base 3]], {{math|1=1 = 1,000… = 0,222…}}]]

La représentation ci-dessus par des séries est un moyen simple de définir le nombre réel associé à un développement décimal. Pour s'assurer que cette notation n'abuse pas du signe « = », on a utilisé les propriétés des limites. Mais d'autres constructions utilisent celles de l'ordre.

L'une d'elles s'appuie sur le [[théorème des segments emboîtés]] (voir [[Nombre réel#cons3|troisième construction]]), qui dit que pour une suite de segments emboîtés dont les longueurs deviennent arbitrairement petites, l'[[intersection (mathématiques)|intersection]] de ces intervalles contient exactement un point. Le nombre {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}} est donc défini comme l'unique réel appartenant à tous les segments {{math|[''b''{{ind|0}}, ''b''{{ind|0}} + 1], [''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}, ''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}} + 0,1]}}{{etc.}} Ainsi, {{math|0,999…}} est l'unique réel qui se trouve dans tous les segments {{math|[0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], [0,999, 1]}}{{etc.}} c'est-à-dire le réel {{math|1}}<ref>{{Harvsp|Bartle|Sherbert|1982|p=60-62}} ; {{Harvsp|Pedrick|1994|p=29}} ; {{Harvsp|Sohrab|2003|p=46}} ; {{Harvsp|Stewart|Tall|1977|p=34}}.</ref>.

Le processus inverse est de déterminer, pour un nombre réel donné, tous les développements décimaux auxquels il correspond. Si l'on sait qu'un nombre réel {{math|''x''}} est dans le [[Intervalle compact|segment]] {{math|[0, 10]}} (c'est-à-dire que {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 10}}), on peut diviser cet intervalle en 10 parties égales, qui ne se recouvrent qu'à leurs extrémités : {{math|[0, 1], [1, 2], [2, 3], … , [9, 10]}}. Le nombre {{math|''x''}} doit appartenir à l'un de ces intervalles ; s'il appartient à {{math|[2, 3]}}, on note le chiffre {{math|2}}, et l'on subdivise l'intervalle en dix : {{math|[2,0, 2,1], [2,1, 2,2], [2,2, 2,3], … , [2,9, 3]}}. On note alors le séparateur décimal et le chiffre correspondant à l'intervalle où se trouve {{math|''x''}} ; en continuant ce processus, on obtient une suite infinie de segments emboîtés, que l'on repère par une suite infinie de chiffres {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}} et l'on écrit {{math|1=''x = b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}}. Dans ce formalisme, les identités {{math|1=0,999… = 1}} et {{math|1=1,000… = 1}} reflètent respectivement que {{math|1}} est à la fois dans le segment {{math|[0, 1]}} et {{math|[1, 2]}}, si bien que l'on peut choisir l'un ou l'autre de ces intervalles au début de la recherche des décimales. La suite découle de ce choix initial.

Le théorème des segments emboîtés est d'habitude basé sur un caractère plus fondamental des nombres réels : l'existence du plus petit [[Majorant ou minorant|majorant]], appelé [[borne supérieure]] (ou {{lang|en|supremum}}). Pour exploiter directement ce genre d'objet, on peut définir {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}} comme la borne supérieure de l'ensemble des approximants {{math|''b''{{ind|0}}}}, {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}}}, {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}}}, {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}}}{{etc.}}<ref>{{Harvsp|Apostol|1974|p=9, 11-12}} ; {{Harvsp|Rosenlicht|1985|p=27}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Richard Beals|titre=Analysis|sous-titre=An Introduction|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2004|pages totales=261|page=22|isbn=978-0-521-60047-7|lire en ligne={{Google Livres|cXAqJUYqXx0C|page=22}}}}.</ref>. On peut montrer ensuite que cette définition (ou celle par les segments emboîtés) est cohérente avec la procédure de subdivision, ce qui implique à nouveau que {{math|1=0,999… = 1}}. [[Tom Apostol]] conclut : {{Citation|Le fait qu'un nombre réel puisse avoir deux représentations décimales différentes est simplement un reflet de ce que deux ensembles différents de nombres réels peuvent avoir la même borne supérieure<ref>{{Harvsp|Apostol|1974|p=12}}.</ref>.}}.

== Démonstrations à partir de la construction des nombres réels ==
{{Article détaillé|Construction des nombres réels}}

Certaines approches définissent explicitement les [[nombre réel|nombres réels]] comme étant des [[Construction des nombres réels|structures]] basées sur les [[nombre rationnel|nombres rationnels]], en utilisant la [[Théorie des ensembles|théorie axiomatique des ensembles]]. Les [[Entier naturel|nombres naturels]] : 0, 1, 2, etc. commencent par 0 et continuent en croissant, si bien que chaque nombre a un successeur. On peut étendre les nombres naturels par les entiers négatifs, pour obtenir tous les [[Entier relatif|entiers]], puis à leurs rapports, ce qui donne les [[Nombre rationnel|nombres rationnels]]. Ces systèmes de nombres sont accompagnés par l'arithmétique des quatre opérations de base, l'addition, la [[soustraction]], la multiplication et la division. De façon plus subtile, ils incluent la notion d'[[Relation d'ordre|ordre]], si bien qu'un nombre peut être comparé à un autre, et trouvé supérieur, inférieur ou égal à ce dernier.

Le passage des rationnels aux réels est une extension majeure. Il existe au moins deux manières courantes d'aboutir à ce résultat, toutes deux publiées en [[1872 en science|1872]] : les [[Coupure de Dedekind|coupures de Dedekind]] et les [[Suite de Cauchy|suites de Cauchy]]. Les démonstrations de {{math|1=0,999… = 1}} qui utilisent directement ces constructions ne se trouvent pas dans les manuels d'[[analyse réelle]], où la tendance dans les dernières décennies a été d'utiliser l'analyse axiomatique. Même si une construction est proposée, elle est généralement utilisée à démontrer les axiomes des nombres réels, qui à leur tour permettent les démonstrations données ci-dessus. Cependant, certains auteurs expriment l'idée qu'il serait logiquement préférable de commencer par une construction, et que les démonstrations qui en découlent seront plus autonomes<ref group="note">La synthèse historique est revendiquée par {{Harvsp|Griffiths|Hilton|1970|p=xiv}}, puis par {{Harvsp|Pugh|2002|p=10}} ; en fait les deux préfèrent les coupures de Dedekind aux axiomes. Pour l'utilisation des coupures dans les manuels, voir {{Harvsp|Pugh|2002|p=10}} ou {{Harvsp|Rudin|1976|p=17}}. Pour les points de vue sur la logique, voir {{Harvsp|Pugh|2002|p=10}}, {{Harvsp|Rudin|1976|p=ix}} ou {{Harvsp|Munkres|2000|p=30}}.</ref>.

=== Les coupures de Dedekind ===
{{Article détaillé|Coupure de Dedekind}}
La définition des nombres réels comme [[Coupure de Dedekind|coupures de Dedekind]] a été publiée pour la première fois par [[Richard Dedekind]] en [[1872 en science|1872]]<ref name="MacTutor2">{{MacTutor|class=HistTopics|id=Real_numbers_2|title=The real numbers: Stevin to Hilbert}}.</ref>. Dans la reformulation désormais classique (cf. article détaillé), une coupure est une [[Inclusion (mathématiques)#Inclusion au sens strict|partie propre]] non vide de l'ensemble des rationnels<ref group="note">{{Harvsp|Richman|1999}} remarque qu'on peut remplacer les rationnels par n'importe quel [[sous-anneau]] [[Partie dense]], en particulier l'anneau des [[Nombre décimal|nombres décimaux]].</ref>, [[Section commençante|stable par minorant]] et ne possédant pas de [[plus grand élément]]<ref group="note">{{Harvsp|Richman|1999}} explique : {{citation|Pourquoi fait-on cela ? Précisément pour éliminer la possibilité de l'existence de nombres distincts <math>0,\dot{9}</math> et {{math|1}} […] Nous voyons donc que dans la définition traditionnelle des nombres réels, l'équation <math>0{,}\dot{9}=1</math> est incorporée dès le début.}}.</ref>. Un réel est alors représenté par l'[[ensemble infini]] de tous les rationnels qui lui sont strictement inférieurs. Tout développement décimal positif définit facilement une coupure de Dedekind : l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à une certaine troncature du développement. Par exemple, la coupure correspondant au développement infini {{math|0,999…}} est l'ensemble des rationnels inférieurs à {{math|0}}, ou à {{math|0,9}}, ou à {{math|0,99}}{{etc.}}, et celle correspondant au développement fini {{math|1}} est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à {{math|1}}. Ces deux ensembles sont égaux donc les deux développements décimaux {{math|0,999…}} et {{math|1}} représentent le même réel, par définition.

=== Suites de Cauchy ===
{{Article détaillé|Suite de Cauchy}}
Une autre démarche pour construire les nombres réels utilise moins directement la notion d'ordre des rationnels. C'est la définition à partir des suites de Cauchy de rationnels, publiée pour la première fois en 1872, indépendamment, par [[Eduard Heine]] et [[Georg Cantor]]<ref name="MacTutor2" />.

On commence par définir la « distance » entre deux rationnels {{math|''x''}} et {{math|''y''}} comme la valeur absolue {{math|{{!}}''x − y''{{!}}}}, c'est-à-dire le plus grand des deux rationnels {{math|''x – y''}} et {{math|''y – x''}} (cette distance est donc un rationnel positif).

Dans ce cadre, les réels sont définis comme les suites de rationnels {{math|(''x''{{ind|0}}, ''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, …)}} qui sont « [[suite de Cauchy|de Cauchy]] pour cette distance », c'est-à-dire telles que pour tout ''rationnel'' {{math|δ > 0}}, il existe un entier {{math|''N''}} tel que {{math|{{!}}''x{{ind|m}} − x{{ind|n}}''{{!}} ≤ δ}} pour tout {{math|''m''}} et {{math|''n''}} supérieurs à {{math|''N''}}. En d'autres termes, la distance entre deux termes devient plus petite que n'importe quel rationnel positif à partir d'un certain rang<ref>{{Harvsp|Griffiths|Hilton|1970|p=386|loc=§24.2, « Sequences »}}.</ref>.

On définit de même, dans ce contexte, la notion de suite de rationnels [[limite d'une suite|convergeant vers {{math|0}}]], en n'utilisant que des {{math|δ > 0}} ''rationnels''. Puis, si {{math|(''x{{ind|n}}'')}} et {{math|(''y{{ind|n}}'')}} sont deux suites de Cauchy, on dit qu'elles sont égales en tant que nombres réels si leur différence {{math|(''x{{ind|n}} – y{{ind|n}}'')}} converge vers {{math|0}}. Les [[troncature]]s du développement décimal {{math|''b''{{ind|0}},''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}} forment une suite de nombres décimaux (donc rationnels) qui est de Cauchy. Elle est prise comme la valeur du nombre<ref>{{Harvsp|Griffiths|Hilton|1970|p=388, 393}}.</ref>. Dans ce formalisme, l'égalité {{math|1=0,999… = 1}} vient donc simplement<ref>{{Harvsp|Griffiths|Hilton|1970|p=395}}.</ref>, comme dans l'[[#Séries et suites infinies|approche précédente par les séries]], du fait que la suite des rationnels
:<math>\left(1 - 0, 1 - {9 \over 10}, 1 - {99 \over 100}, \dots\right)
= \left(1, {1 \over 10}, {1 \over 100}, \dots \right),</math>
c'est-à-dire la suite des puissances de {{sfrac|1|10}}, converge vers {{math|0}} (au sens ''a priori'' plus faible défini ici : pour tout ''rationnel'' {{math|δ > 0}}, on a {{math|{{sfrac|1|10{{exp|''n''}}}} ≤ δ}} pour tout entier {{math|''n''}} assez grand).

== Généralisations ==
Le résultat {{math|1=0,999… = 1}} se généralise facilement dans deux directions. Premièrement, tout nombre non nul qui a un développement décimal fini (suivi d'une infinité de zéros), a un autre développement qui se termine par une infinité de {{math|9}}. Par exemple, {{math|1=0,25 (= 0,25000…)}} est égal à {{math|1=0,24999…}}, exactement comme {{math|1=1 (= 1,000…)}} est égal à {{math|1=0,999…}}. Ces nombres sont les [[Nombre décimal|nombres décimaux]]. Ils forment, comme on vient de le voir, une [[partie dense]] de l'ensemble des réels.

Deuxièmement, le même phénomène se produit dans toutes les [[Base (arithmétique)|bases]]. Par exemple en [[système binaire|base deux]], {{math|1=0,111… = 1}}, et en base trois, {{math|1=0,222… = 1}}. Les manuels d'analyse réelle ont tendance à sauter le système décimal et à commencer par présenter l'une de ces généralisations, ou les deux<ref>{{Harvsp|Protter|Morrey|1991|p=503}} ; {{Harvsp|Bartle|Sherbert|1982|p=61}}.</ref>.

Le nombre {{math|1}} possède aussi plusieurs [[Système de numération#Exemples de systèmes de numération|représentations dans des bases non entières]]. Par exemple, dans le système de numération en [[base d'or]] (celui qui admet le [[nombre d'or]] {{math|φ}} comme base) les deux représentations standard de l'unité sont {{math|1,000…}} et {{math|0,101010…}}, et {{math|1}} possède en outre une [[Ensemble dénombrable|infinité dénombrable]] de représentations non standard, c'est-à-dire contenant des {{math|1}} adjacents ; pour tout {{math|''q''}} strictement compris entre {{math|1}} et {{math|φ}}, la situation est encore pire : l'ensemble des développements de {{math|1}} en base {{math|''q''}} a la [[puissance du continu]] (donc est [[Ensemble infini non dénombrable|infini non dénombrable]]) ; à l'opposé, dans l'intervalle {{math|]φ, 2[}}, les bases {{math|''q''}} dans lesquelles {{math|1}} n'a qu'un développement autre que le développement trivial {{math|1,000…}} (comme dans les bases entières) forment un [[ensemble comaigre]] (qui a donc la puissance du continu)<ref>{{Article|lang=en|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|Acta Math. Hungar.]]|année=1991|vol=58|numéro=3|p.=333-342|titre=On the uniqueness of the expansions {{math|1=1 = ∑''q{{exp|–n{{ind|i}}}}''}}|auteur=[[Paul Erdős]]|auteur2=Miklos Horváth|auteur3=István Joó|doi=10.1007/BF01903963}}.</ref>. En [[1998 en science|1998]], Komornik et Loreti ont déterminé la plus petite de ces bases, la constante de Komornik-Loreti {{math|1=''q'' = 1,787231650…}}. Dans cette base, {{math|1=1 = 0,110100110010110…}} ; les décimales sont données par la [[suite de Prouhet-Thue-Morse]], qui ne se répète pas<ref>{{Harvsp|Komornik|Loreti|1998|p=636}}.</ref>.

Une généralisation bien plus profonde concerne les [[système de numération|systèmes de numération]] positionnels les plus généraux. Ils admettent aussi des représentations multiples, et dans un certain sens, avec de pires difficultés. Par exemple<ref>{{Harvsp|Petkovšek|1990|p=409-410}}.</ref> :
*dans le [[Système trinaire#Notation ternaire équilibrée|système ternaire équilibré]], {{math|1=1/2 = 0,111… = 1,{{souligner|111}}…}} ;
*dans le [[Système de numération#Exemples de systèmes de numération|système factoriel]] (utilisant les bases [[Factorielle|2!]], 3!, 4!, … pour les positions après la virgule), {{math|1=1 = 1,0000… = 0,1234…}}<ref group=note>En effet, <math>\sum_{k\ge1}\frac k{(k+1)!}</math> est égal à la [[série télescopique]] <math>\sum_{k\ge1}\left(\frac1{k!}-\frac1{(k+1)!}\right)=\frac1{1!}.</math></ref>.

Marko Petkovšek<ref group=note>Mathématicien [[Slovénie|slovène]] né en 1955, élève de [[Dana Scott]], co-auteur de [[Herbert Wilf]] et [[Doron Zeilberger]], et professeur à l'[[université de Ljubljana]].</ref> a proposé une définition générale de système positionnel et a montré que si un tel système représente tous les réels, l'ensemble des réels ayant plusieurs représentations est dense. Il appelle sa démonstration « un exercice instructif en [[Espace topologique|topologie générale élémentaire]] » ; elle consiste à munir l'ensemble des suites de symboles dans un tel système d'une topologie adéquate, et à utiliser que [[Topologie de la droite réelle|l'espace des réels]] est [[théorème de Baire|de Baire]]<ref>{{Harvsp|Petkovšek|1990}}.</ref>.

{{Démonstration/début|titre={{Section TI|date=avril 2016}}}}
Autre explication de l'impossibilité d'une représentation unique, dans {{Lesquels|date=avril 2016|certains}} systèmes positionnels.

Le fait que ces divers systèmes de numération souffrent tous de représentations multiples pour certains nombres réels peut être attribué à une différence fondamentale entre l'ensemble ordonné des nombres réels et les collections de suites infinies, [[Relation d'ordre#Exemples et contre-exemples|ordonnées lexicographiquement]].

En effet, les difficultés sont dues aux deux propriétés suivantes :
#si un [[intervalle réel]] est [[Partition d'un ensemble|partitionné]] en deux parties L et R telles que tout élément de L est (strictement) inférieur à tout élément de R, alors : soit L a un [[plus grand élément]], soit R a un plus petit élément, mais pas les deux à la fois ;
#la collection de toutes les [[Suite (mathématiques)|suites]] de symboles choisis dans n'importe quel « alphabet », ordonnées lexicographiquement, peut être partitionnée en deux parties L et R, telles que tout élément de L est plus petit que tout élément de R, et ce, de manière que L possède un plus grand élément et R un plus petit élément. En effet, il suffit de prendre deux débuts finis de suite, ℓ et ''r'', identiques à part leurs derniers symboles, qui se suivent, puis de prendre pour L toutes les suites dont le début est inférieur ou égal à ℓ et pour R toutes les suites dont le début est supérieur ou égal à ''r''. Alors L a un élément maximum : la suite commençant par ℓ et continuant avec toujours le symbole le plus grand possible, et R a un élément minimum : la suite commençant par ''r'' et continuant avec le symbole le plus petit possible à toutes les positions.

La première propriété découle de deux propriétés de base des réels : L a une borne supérieure ℓ et R une borne inférieure ''r'' ≥ ℓ, et ''r'' ne peut pas être strictement supérieur à ℓ, sinon, comme les réels forment un [[ordre dense]], il y aurait entre les deux des réels n'appartenant ni à L, ni à R. Ce réel ''r'' = ℓ appartient, par définition d'une partition, soit à L, soit à R, mais pas aux deux.

Le deuxième point généralise la situation obtenue avec {{math|0,999…}} et {{math|1,000…}}. Nous n'avons fait nulle part l'hypothèse que l'alphabet est le même pour chaque position de symbole dans une suite, ni que la partition porte sur la collection complète des suites possibles. {{Précision nécessaire|date=avril 2016|Les contraintes de réalisation du deuxième point existent}}<!--

Passage confus, non traduit :

the only important points are that at each position a [[finite set]] of symbols (which may even depend on the previous symbols) can be chosen from (this is needed to ensure maximal and minimal choices), and that making a valid choice for any position should result in a valid infinite string (so one should not allow '9' in each position while forbidding an infinite succession of '9's).

--> mais sont plus faibles. Lorsqu'elles sont réalisées, l'argument ci-dessus montre qu'il ne peut pas y avoir d'[[isomorphisme d'ordres]] entre la collection de suites de symboles et un intervalle réel.
{{Démonstration/fin}}

== Applications ==
*Le [[théorème de Midy]] est un résultat d'[[arithmétique élémentaire]] sur l'apparition des 9 dans les [[Développement décimal périodique|développements décimaux périodiques de fractions]] dont les dénominateurs sont certains [[Nombre premier|nombres premiers]]. Par exemple : {{nobr|1={{sfrac|1|7}} = {{math|1=0,<span style="color:red">1</span><span style="color:green">4</span><span style="color:blue">2</span><span style="color:red">8</span><span style="color:green">5</span><span style="color:blue">7</span><span style="color:gray">142857</span><span style="color:lightgray">142857</span>…}} et {{math|1=<span style="color:red">1 + 8</span> = <span style="color:green">4 + 5</span> = <span style="color:blue">2 + 7</span> = 9}}.}} [[Étienne Midy]] a démontré son théorème en 1836 et beaucoup de mathématiciens l'ont ensuite redécouvert et prolongé. L'une des démonstrations<ref group=note>Voir le [[Théorème de Midy#Cas p non premier|§ « Cas ''p'' non premier »]] de l'article sur le théorème de Midy.</ref> s'appuie sur la généralisation suivante de l'égalité {{math|1=0,999… = 1}} : à partir d'un développement décimal {{math|0,''a''{{ind|1}}''a''{{ind|2}}''a''{{ind|3}}…}} d'un réel {{math|''x''}} compris entre {{math|0}} et {{math|1}}, on obtient un développement {{math|0,''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}''b''{{ind|3}}…}} de {{math|1 – ''x''}} en prenant comme chiffres les [[Complément (arithmétique)|compléments à 9]] de ceux de {{math|''x''}} : {{math|1=''b{{ind|i}}'' = 9 – ''a{{ind|i}}''}}.
*En analyse réelle, l'analogue en base trois, {{math|1=0,222… = 1}}, apparaît dans le fait que l'[[ensemble de Cantor]] est [[Fermé (topologie)|fermé]] : un point dans l'[[intervalle unité]] {{math|[0, 1]}} fait partie de l'ensemble de Cantor s'il peut s'écrire en base {{math|3}} en n'utilisant que les chiffres {{math|0}} et {{math|2}}. On obtient donc l'ensemble de Cantor en enlevant de {{math|[0, 1]}} son tiers central : l'intervalle de {{math|1=0,1 = {{sfrac|1|3}}}} à {{math|1=0,1222… = {{sfrac|2|3}}}} (mais en conservant ces extrémités puisqu'elles ont une autre représentation, qui ne contient pas de {{math|1}} : par exemple, {{math|1={{sfrac|1|3}} = 0,0222…}}) puis de même, en ôtant des deux segments latéraux leur tiers central (intervalle ouvert), etc.
*L'analogue en base deux, {{math|1=0,111… = 1}}, apparaît lorsqu'on adapte un autre des travaux de Cantor — son [[Argument de la diagonale de Cantor|argument de la diagonale]] de 1891 — pour [[Puissance du continu#La puissance du continu est la cardinalité de l'ensemble des parties de ℕ|démontrer que l'intervalle réel unité n'est pas dénombrable]] : si l'on raisonne en base {{nobr|1=''n'' = 2}}, la prise en compte du double développement des [[fraction dyadique|fractions dyadiques]] nécessite des précautions. Mais ce problème disparaît dès qu'on choisit ''n'' > 2.

== Scepticisme des étudiants ==

Les [[étudiant]]s en mathématiques rejettent souvent l'égalité de {{math|0,999…}} et {{math|1}}, pour des raisons allant de leur apparence différente à des doutes profonds concernant le concept de [[Limite de suite|limite]] et aux désaccords sur la nature des [[Infiniment petit|infinitésimaux]]. Il y a beaucoup de facteurs qui contribuent en commun à cette confusion :
* Les étudiants sont souvent « mentalement attachés à la notion qu'un nombre peut être représenté d'une seule manière par un développement décimal ». La vue de deux développements décimaux manifestement différents du même nombre apparaît comme un [[paradoxe]], qui est amplifié par l'apparition du nombre apparemment bien connu : {{math|1}}<ref group="note">{{Harvsp|Bunch|1982|p=119}}, {{Harvsp|Tall|Schwarzenberger|1978|p=6}}. La dernière suggestion est due à {{Harvsp|Burrell|1998|p=28}} : « Le plus rassurant de tous les nombres est peut-être {{math|1}}. […] Il est donc particulièrement dérangeant de voir quelqu'un faire passer {{math|0,9…}} pour {{math|1}}. »</ref>. 
* Certains étudiants interprètent {{math|0,999…}}, ou toute notation semblable, comme une suite de {{math|9}}, longue certes, mais finie, de longueur variable, non spécifiée. Dans la mesure où ils acceptent une suite infinie, ils s'attendent néanmoins à ce que le dernier chiffre « à l'infini » soit un {{math|9}}<ref>{{Harvsp|Tall|Schwarzenberger|1978|p=6-7}}.</ref>{{,}}<ref name="Tall221">{{Harvsp|Tall|2000|p=221}}.</ref>.
* L'intuition et un enseignement ambigu conduisent les étudiants à penser la limite d'une suite comme un processus, plutôt qu'une valeur fixe, puisqu'une suite n'a pas besoin d'atteindre sa limite. Quand les étudiants acceptent la différence entre une suite de nombres et sa limite, ils peuvent lire {{math|0,999…}} comme la suite elle-même, plutôt que sa limite<ref>{{Harvsp|Tall|Schwarzenberger|1978|p=6}}.</ref>{{,}}<ref name="Tall221" />.

Ces idées sont erronées dans le contexte de la théorie standard des nombres réels, bien que certaines puissent être valables dans d'autres systèmes numériques ; soit ceux-ci ont été inventés pour leur utilité générale en mathématiques, soit il s'agit de [[contre-exemple]]s pour une meilleure compréhension de la nature de {{math|0,999…}}.

Beaucoup de ces explications ont été trouvées par {{lien|David Tall}}, qui a étudié les caractéristiques de l'enseignement et de la connaissance, qui conduisent à certaines des incompréhensions qu'il a rencontrées chez ses étudiants à l'université<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html|titre=Limits, infinitesimals and infinities|auteur=David Tall|site=[[Université de Warwick]]}}.</ref>. En les interrogeant pour déterminer pourquoi une vaste majorité commençait par rejeter l'égalité, il a trouvé que {{Citation|les étudiants continuent à concevoir {{math|0,999…}} comme une suite de nombres qui se rapproche toujours plus de {{math|1}}, mais pas comme une valeur fixée, au motif qu'« on n'a pas spécifié combien il y a de décimales », ou que « c'est le nombre décimal le plus proche en dessous de {{math|1}} »<ref name="Tall221" />.}}.

Parmi [[#Démonstrations algébriques|les démonstrations élémentaires]], la multiplication de {{math|1=0,333… = 1/3}} par {{math|3}} est apparemment une bonne stratégie<ref group="note">{{Harvsp|Richman|1999}} pense que cet argument {{citation|tire sa force du fait que les gens ont été conditionnés à accepter la première ligne sans y réfléchir}}.</ref> pour convaincre les étudiants réticents que {{math|1=0,999… = 1}}. Cependant, quand on leur fait comparer leur approbation de la première équation avec leurs doutes sur la deuxième, certains  étudiants commencent à douter de la première, d'autres s'énervent<ref>{{Harvsp|Tall|1976|p=10-14}}.</ref>. Les méthodes plus sophistiquées ne sont pas plus garanties : des étudiants qui sont tout à fait capables d'appliquer des définitions rigoureuses peuvent retomber sur le langage intuitif quand ils sont surpris par un résultat de mathématique tel que {{math|1=0,999… = 1}}. Par exemple, une étudiante en analyse réelle était capable de montrer que {{math|1=0,333… = 1/3}} en utilisant la définition par la [[borne supérieure]], mais soutenait que {{math|0,999…}} n'est pas égal à {{math|1}}, sur la base de sa compréhension initiale de {{math|1=0,333… = 1/3}} par la [[division posée]]<ref>{{Harvsp|Edwards|Ward|2004|p=416–417}}. Pour un exemple analogue, voir {{Harvsp|Pinto|Tall|2001|p=5}}.</ref>. D'autres encore peuvent démontrer que {{math|1=0,333… = 1/3}} mais, face à la [[#Fractions et divisions posées|démonstration par les fractions]], insistent sur le fait que la « logique » prend le pas sur les calculs.

{{lien|lang=en|trad=Joseph Mazur}} raconte l'histoire d'un de ses étudiants en [[analyse numérique]], par ailleurs brillant, qui {{Citation|mettait en doute à peu près tout ce que je disais en cours, mais ne doutait jamais de sa calculette et qui avait fini par croire que neuf chiffres étaient tout ce dont on a besoin pour faire des mathématiques, y compris calculer la [[racine carrée]] de {{math|23}}. Cet étudiant restait réfractaire à un argument de limite pour {{math|1=9,999… = 10}}, l'appelant un « processus infiniment croissant sauvagement imaginé »<ref>{{Harvsp|Mazur|2005|p=137–141}}.</ref>}}.

Selon sa théorie APOS (''{{Lang|en|Actions, Processes, Objects, Schemas}}'') de l'apprentissage mathématique, Dubinsky et ses collaborateurs<ref>{{Article
|langue=en
|auteur=Ed Dubinsky
|auteur2=Kirk Weller
|auteur3=Michael McDonald
|auteur4=Anne Brown 
|titre=Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2 
|périodique=Educational Studies in Mathematics
|année=2005 
|volume=60
|pages=253-266
|doi=10.1007/s10649-005-0473-0
<!--|consulté le=23/4/16-->
}} ({{p.|261-262}}).</ref> proposent une explication : les étudiants qui perçoivent {{math|0,999…}} comme une suite finie, indéterminée, dont la distance à {{math|1}} est infiniment petite, « n'ont pas fini de construire un concept du développement décimal infini ». D'autres étudiants qui ont fini de construire ce concept, ne sont sans doute pas capables d'encapsuler ce concept dans un concept d'objet, comme celui qu'ils ont pour {{math|1}}, et ils voient donc ces deux concepts comme incompatibles. 
Dubinsky ''[[et al.]]'' relient aussi cette capacité mentale d'encapsulation au fait de considérer une fraction comme {{math|1/3}} comme un nombre véritable, et ainsi de travailler avec les ensembles de nombres.

== Dans la culture populaire ==

Avec le développement d'[[Internet]], les débats sur {{math|0,999…}} sont sortis de la salle de classe, et se trouvent fréquemment sur les [[Forum (informatique)|forums]] de discussion ou d'annonces, y compris beaucoup qui n'ont en principe que peu à voir avec les mathématiques. 
* Dans le forum sci.math<ref>{{Harvsp|de Vreught|1994}}, repris dans [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Why does 0.9999... = 1 ?], sur mathforum.org.</ref>, la discussion sur {{math|0,999…}} est devenue un « sport de masse », et c'est une des questions abordées dans ses [[Foire aux questions|FAQ]]<ref>Comme l'a observé {{Harvsp|Richman|1999}}, citant {{Harvsp|de Vreught|1994}}.</ref>. La FAQ passe rapidement sur {{math|1/3}}, la multiplication par {{math|10}}, les limites, et fait même allusion aux suites de Cauchy.
* Une édition de 2003 de la chronique générale ''The Straight Dope'' du [[Chicago Reader]] discute {{math|0,999…}} au moyen de {{math|1/3}} et des limites, et parle des malentendus intérieurs en ces termes :
{{citation bloc|Le primate inférieur qui est en nous résiste encore, disant que {{math|0,999…}} ne représente pas vraiment un ''nombre'', mais à la rigueur un ''processus''. Pour trouver un nombre, il faut arrêter le processus, mais alors l'histoire de {{math|1=0,999… = 1}} s'effondre. N'importe quoi<ref>{{Harvsp|Adams|2003}}.</ref>...}}
* Dans le même esprit la question de {{math|0,999…}} s'est trouvée un tel succès pendant les sept premières années du forum [[Battle.net]] de la société ''[[Blizzard Entertainment]]'' que la compagnie a émis un [[communiqué de presse]] le {{1er}} avril 2004, pour affirmer définitivement que c'est {{math|1}} :
{{citation bloc|Nous sommes très excités de fermer ce livre une fois pour toutes. Nous avons été témoins des peines de cœur et des soucis pour savoir si, oui ou non, {{math|1=0,999… = 1}}, et nous sommes fiers d'annoncer que la démonstration suivante résout finalement et de façon conclusive pour nos clients<ref>{{Lien web|lang=en
|url=http://us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?id=2843583
|titre=Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1
|date=1{{er}} avril 2004
|éditeur=Blizzard Entertainment
<!--|consulté le=22/4/16-->
}}.</ref>.}}
:Deux démonstrations sont alors proposées, basées sur les limites et sur la multiplication par 10.
*{{math|0,999…}} fait aussi partie du folklore mathématique, et tout spécialement dans la plaisanterie suivante<ref>{{Harvsp|Renteln|Dundes|2005|p=27}}.</ref> :
{{citation bloc|Question : Combien faut-il de mathématiciens pour visser une ampoule électrique ?<br />
Réponse : {{math|0,999999…}}}}

== Dans les systèmes de numération alternatifs ==
Bien que les nombres réels forment un système de [[nombre]]s extrêmement utile, la décision d'interpréter la notation {{math|0,999…}} comme la représentation d'un nombre réel n'est, tout bien pesé, qu'une convention, et [[William Timothy Gowers|Timothy Gowers]]<ref>{{Harvsp|Gowers|2002}}.</ref> argumente que l'identité {{math|1=0,999… = 1}} qui en résulte est une convention aussi :
{{début citation}}On peut définir d'autres systèmes de numération utilisant de nouvelles règles, ou de nouveaux objets ; dans ce genre de systèmes, les preuves ci-dessus devraient être réinterprétées, et on pourrait bien trouver que dans tel ou tel système {{math|0,999…}} et {{math|1}} ne soient pas identiques. Cependant, beaucoup de systèmes sont des extensions – ou des alternatives – par rapport au système des nombres réels, et {{math|1=0,999… = 1}} continue à être vrai. Mais même dans ce genre de système, cela vaut la peine d'examiner le comportement de {{math|0,999…}} (dans la mesure où cette représentation a un sens, et en plus unique), mais aussi pour le comportement de phénomènes reliés. Si ces phénomènes diffèrent de ceux du système des nombres réels, alors au moins une des hypothèses de base de ce système est fausse.{{fin citation}}

=== Nombres infinitésimaux ===

Certaines démonstrations que {{math|1=0,999… = 1}} reposent sur la propriété [[archimédien]]ne des nombres réels standards : il n'y a pas d'infinitésimaux non nuls.
Il existe des [[structure algébrique|structures algébriques]] mathématiquement cohérentes, comprenant diverses alternatives aux réels standards, qui ne sont pas archimédiennes. La signification de {{math|0,999…}} dépend de la structure dans laquelle on l'utilise. Par exemple les [[Nombre dual|nombres duaux]] possèdent un nouvel élément, infinitésimal, <math>\varepsilon</math>, analogue dans les [[Nombre complexe|nombres complexes]] à l'unité imaginaire {{math|i}}, sauf que dans le cas des nombres duaux, <math>\varepsilon^2=0</math>. La structure qui en résulte peut servir en [[dérivation algorithmique]]. Les nombres duaux peuvent être ordonnés par un [[ordre lexicographique]], auquel cas les multiples de <math>\varepsilon</math> deviennent des éléments non archimédiens<ref>{{Harvsp|Berz|1992|p=439–442}}.</ref>. Noter, cependant que, considérés comme une extension des réels, les duaux satisfont encore {{math|1=0,999… = 1}}. Noter encore que puisque <math>\varepsilon</math> existe en tant que nombre dual, <math>\varepsilon/2</math> existe aussi, si bien que <math>\varepsilon</math> n'est pas « le plus petit nombre dual positif », et d'ailleurs, comme pour les réels, ce nombre n'existe pas.

L'[[analyse non standard]] fournit un système de numération avec tout un ensemble d'infinitésimaux (et leurs inverses, infiniment  grands)<ref group="note">Pour un traitement complet des nombres non standard, voir par exemple {{Harvsp|Robinson|1996}}.</ref>. {{nobr|A. H. Lightstone}} a mis au point un développement décimal pour les [[Nombre hyperréel|nombres hyperréels]] dans l'intervalle <math>\left]0,1\right[^\ast</math><ref>{{Harvsp|Lightstone|1972|p=245–247}}.</ref>. Il montre comment associer à tout nombre une suite de décimales {{math|0,''d''{{ind|1}}''d''{{ind|2}}''d''{{ind|3}}…;…''d''{{ind|∞–1}}''d''{{ind|∞}}''d''{{ind|∞+1}}…}} indexée par les [[Analyse non standard#Exemple 1 : Il existe un entier supérieur à tous les entiers standard|nombres hypernaturels]]. Bien qu'il ne discute pas directement {{math|0,999…}}, il montre que le nombre réel {{math|1/3}} est représenté par {{math|0,333…;…333…}}, ce qui est une conséquence de l'[[Analyse non standard#Axiome de transfert|axiome de transfert]]. En multipliant par 3, on obtient une représentation analogue pour des développements avec des 9 qui se répètent. Mais Lightstone montre que dans ce système, les expressions {{math|0,333…;…000…}} — ou {{math|0,999…;…000…}} — ne correspondent à aucun nombre.

En même temps, le nombre hyperréel <math>u_H=0{,}999\ldots;\ldots 999000\ldots</math> avec la dernière décimale 9 à un rang hypernaturel infini {{math|''H''}} satisfait à l'inégalité stricte <math>u_H<1</math>. En fait, la suite :
<math>u_1=0,9\,;\ u_2=0,99\,;\ u_3=0,9999</math> et <math>u_H=1-10^{-H}<1</math>. Selon cette écriture, Karin et Mikhail Katz ont proposé une évaluation différente de {{math|0,999…}} :  
:<math>\begin{array}{cl}0{,}\underbrace{999\ldots}&= \, 1 - 1/10^{[\N]}\\[-1ex][\N]&
\end{array}</math>
où <math>[\N]</math> est un hypernaturel infini donné par la suite <math>1,2,3,\ldots</math>, modulo un certain [[ultrafiltre]]<ref>{{Harvsp|Katz|Katz|2010a|}}.</ref>. [[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]] caractérise cette interprétation comme une façon « tout à fait raisonnable » de justifier rigoureusement l'intuition qu'il « manque un petit quelque chose entre {{math|0,999…}} et {{math|1}} »<ref>{{Harvsp|Stewart|2009|p=175}} ; la discussion de {{math|0,999…}} est étendue sur les {{p.|172-175}}.</ref>. Comme Karin et Mikhail Katz, Robert Ely met en question la supposition que les idées des étudiants sur l'inégalité {{math|0,999… < 1}} sont des idées fausses sur les nombres réels, et il préfère les interpréter comme des intuitions [[Analyse non standard|non standard]], qui pourraient avoir un intérêt dans l'apprentissage du [[calcul infinitésimal]]<ref>{{Harvsp|Katz|Katz|2010b}} ; {{Harvsp|Ely|2010}}.</ref>.

=== Hackenbush ===

La [[théorie des jeux combinatoires]] fournit également des nombres alternatifs aux réels, avec le jeu [[Hackenbush]] '''L-R''' infini comme exemple particulièrement frappant. En 1974, [[Elwyn Berlekamp]] décrit une correspondance entre les chaînes du jeu Hackenbush et les développements binaires des réels, motivé par l'idée de la [[compression de données]]. Par exemple, la valeur de la chaîne Hackenbush '''LRRLRLRL…''' est <math>0{,}010101\ldots _\mathrm{(base 2)}=1/3</math>. Cependant la valeur de '''LRLLL…''' (correspondant à <math>0{,}111\ldots_\mathrm{(base\ 2)}</math> est infinitésimalement inférieur à {{math|1}}. La différence entre les deux est le [[nombre surréel]] <math>1/\omega</math>, où <math>\omega</math> est le premier [[nombre ordinal|ordinal infini]] ; la représentation correspondante est '''LRRRR…''', ou <math>0{,}000\ldots_\mathrm{(base\ 2)}</math><ref group="note">{{Harvsp|Berlekamp|Conway|Guy|1982|p=79–80, 307–311}} discutent {{math|1}} et {{math|1/3}}, et abordent <math>1/\omega</math>. Le jeu pour <math>0{,}111\ldots_\mathrm{(base\ 2)}</math> découle directement de la règle de Berlekamp, et est discuté par {{Harvsp|Walker|1999}}.</ref>.

=== Brisure de la soustraction ===

Une autre manière par laquelle les démonstrations peuvent être rendues invalides est le cas où <math>1-0{,}999\ldots</math> n'existe tout simplement pas, parce que la soustraction n'est pas toujours possible. Les [[Structure (mathématiques)|structures mathématiques]] où il existe une opération d'addition, mais où l'opération de soustraction n'est pas toujours définie comprennent les [[demi-groupe]]s [[Loi commutative|commutatifs]], les [[monoïde]]s commutatifs et les [[demi-anneau]]x. Fred Richman considère un tel système — construit de façon que {{math|0,999… < 1}} — dans un article intitulé « {{math|0,999…}} est-il égal à {{math|1}} ? »<ref name="richman99"/> de ''[[Mathematics Magazine]]'', un journal destiné aux enseignants en premier cycle de l'université et à leurs étudiants.

Sur les développements décimaux<ref group="note">Qu'il appelle {{Citation|nombres décimaux}}, tandis qu'il nomme {{Citation|fractions décimales}} ce qu'on appelle couramment [[Nombre décimal|nombres décimaux]].</ref> positifs, Richman définit l'[[ordre lexicographique]] et une opération d'addition, remarquant que {{math|0,999… < 1}}, tout simplement parce que {{math|0 < 1}} au rang des unités, mais pour tout développement infini {{math|''x''}}, on a {{math|1=0,999… + ''x'' = 1 + ''x''}}. Donc une particularité des développements décimaux est qu'ils ne sont pas tous [[élément régulier|simplifiables]] pour l'addition. Une autre est qu'il n'y a pas de développement décimal {{math|''x''}} correspondant à {{math|1/3}}, c'est-à-dire vérifiant {{math|1=''x + x + x'' = 1}}. Après avoir défini la multiplication, les développements décimaux positifs forment un demi-anneau positif, totalement ordonné et commutatif<ref name="richman99"/>. Bien que cette structure vérifie certaines propriétés intéressantes, beaucoup des règles de l'arithmétique usuelle n'y sont plus valables.

En parallèle, Richman propose une variante paradoxale des [[#Les coupures de Dedekind|coupures de Dedekind]] : il innove en appelant {{Citation|coupure de Dedekind}} de l'anneau ''D'' des [[Nombre décimal|nombres décimaux]] toute [[Inclusion (mathématiques)#Inclusion au sens strict|partie propre]] non vide ''A'' de ''D'' [[Section commençante|stable par minorant]], mais ''sans interdire que A possède un plus grand élément''. À tout élément {{math|''d''}} de ''D'', il peut ainsi associer deux {{Citation|coupures}} : l'ensemble <math>\{x\in D\mid x<d\}</math>, qu'il note {{math|''d''{{exp|–}}}}, et l'ensemble <math>\{x\in D\mid x\le d\}</math>, qu'il assimile à {{math|''d''}} et nomme {{Citation|coupure principale}}. Rappelant que Dedekind identifiait l'une à l'autre ces deux {{Citation|coupures}} en disant qu'elles {{Citation|ne diffèrent que de façon inessentielle}} — ce qui revient à exclure la seconde, comme dans la présentation classique des coupures de Dedekind rappelée [[#Les coupures de Dedekind|ci-dessus]], Richman analyse cependant la structure où ''toutes ses'' {{Citation|coupures de Dedekind}} sont autorisées et où {{math|''d''{{exp|–}}}} et {{math|''d''}} ne sont pas considérées comme égales. Ses {{Citation|coupures}} contenant {{math|0}} sont alors en [[bijection]] avec les développements décimaux positifs, en associant à tout développement l'ensemble des nombres décimaux inférieurs ''au sens large'' à une certaine troncature du développement. L'ensemble correspondant au développement infini {{math|0,999…}} est donc la coupure {{math|1{{exp|–}}}}, tandis que l'ensemble correspondant au développement {{math|1}} est la « coupure principale {{math|1}} ».

Il n'y a pas d'infinitésimaux positifs dans ses « coupures » sur ''D'', mais il y a une sorte d'« infinitésimal négatif » {{math|0{{exp|–}}}}, qui n'a pas de développement décimal. Il conclut que {{math|1=0,999… = 1 + 0{{exp|–}}}}, tandis que l'équation {{math|1=0,999… + ''x'' = 1}} n'a pas de solution<ref group="note">{{Harvsp|Richman|1999}}. {{Harvsp|Rudin|1976|p=23}} donne cette construction alternative (étendue à tous les rationnels) comme dernier exercice de son chapitre I.</ref>.

=== Nombres p-adiques ===

{{Article détaillé|Nombre p-adique}}

Quand on leur pose des questions sur {{math|0,999…}}, les novices croient souvent qu'il doit y avoir un « dernier {{math|9}} », ce qui fait qu'ils pensent que <math>1-0{,}999\ldots</math> est un nombre positif, qu'ils écrivent {{math|0,000…1}}. Que cela ait ou non un sens, le but intuitif est clair : si l'on ajoute un {{math|1}} au dernier des {{math|9}} cela va provoquer des retenues en cascade, remplacer tous les {{math|9}} par des {{math|0}} et le {{math|0}} des unités par un {{math|1}}. Parmi d'autres raisons, cette idée échoue, parce qu'il n'y a pas de « dernier {{math|9}} » dans {{math|0,999…}}<ref>{{Harvsp|Gardiner|2003|p=98}}, {{Harvsp|Gowers|2002|p=60}}.</ref>. Cependant il existe un système qui contient une infinité de 9 y compris un dernier 9.

[[Fichier:4adic 333.svg|right|thumb|Les entiers 4-adiques (points noirs), comprenant la suite <math>(3,\ 33\ 333\ \ldots)</math> convergeant vers {{math|–1}}. L'analogue 10-adique est {{math|1=…999 = –1}}.]]

Les [[nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]] sont un système de numération alternatif de grand intérêt en [[théorie des nombres]]. Comme les nombres réels, les nombres ''p''-adiques peuvent être construits à partir des rationnels, au moyen de [[Suite de Cauchy|suites de Cauchy]] ; la construction utilise une métrique différente, dans laquelle {{math|0}} est plus proche de {{math|''p''}}, et encore plus de {{math|''p{{exp|n}}''}}, que de {{math|1}}. Les nombres ''p''-adiques forment un [[corps commutatif]] si ''p'' est [[Nombre premier|premier]], et un [[anneau commutatif]] sinon, y compris si {{math|1=''p'' = 10}}. Donc on peut faire de l'arithmétique avec les nombres ''p''-adiques, et il n'y a pas d'infinitésimaux.

Dans les nombres 10-adiques, les analogues des développements décimaux s'étendent vers la gauche. Le développement {{math|…999}} possède un dernier {{math|9}} tandis qu'il n'a pas de premier {{math|9}}. On peut ajouter 1 au chiffre des unités, et les retenues en cascade ne laissent que des {{math|0}} :
:<math>\ldots 999+1=\ldots 000=0</math>
donc {{math|1=…999 = –1}}<ref name="Fjelstad11">{{Harvsp|Fjelstad|1995|p=11}}.</ref>. Une autre démonstration utilise une [[série géométrique]]. La série infinie impliquée par la notation {{math|…999}} ne converge pas dans les réels, mais elle converge dans les 10-adiques, et l'on peut réutiliser la formule familière :
:<math>\ldots 999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1</math><ref>{{Harvsp|Fjelstad|1995|p=14–15}}.</ref>.
– à comparer avec la série {{supra|Séries et suites infinies}}.

Une troisième démonstration a été inventée par un élève de cinquième, qui doutait de l'argument de la limite donné par son professeur, que {{math|1=0,999… = 1}}, mais était inspiré par la démonstration par la multiplication par 10 {{supra|Manipulation des décimales}}, mais à l'envers : si <math>x=\ldots 999</math> alors <math>10x=\ldots 9990=x-9</math>, et par suite <math>x=-1</math><ref name="Fjelstad11" />.

Une extension finale, puisque {{math|1=0,999… = 1}} dans les réels et {{math|1=…999 = –1}} dans les 10-adiques, « par une foi aveugle et un jonglage inconsidéré avec les symboles »<ref>{{Harvsp|DeSua|1960|p=901}}.</ref>, on peut ajouter les deux relations, et arriver à {{math|1=…999,999… = 0}}. Cette équation n'a de sens ni comme développement 10-adique, ni comme développement décimal, mais il se trouve qu'on peut lui donner une signification si l'on développe une théorie des « doubles décimales », avec des côtés gauches périodiques, pour représenter un système familier : celui des nombres réels<ref>{{Harvsp|DeSua|1960|p=902–903}}.</ref>.

== Problèmes connexes ==

* Les [[paradoxes de Zénon]], et en particulier celui d'[[Paradoxe d'Achille et de la tortue|Achille et de la tortue]], sont voisins du paradoxe apparent que {{math|1=0,999… = 1}}. Le paradoxe peut être modélisé mathématiquement, et comme {{math|0,999…}}, résolu par une série géométrique. Cependant, il n'est pas clair que ce traitement mathématique s'applique aux questions d'ordre métaphysique que Zénon explorait<ref>{{Harvsp|Wallace|2003|p=51}}, {{Harvsp|Maor|1987|p=17}}.</ref>.
* La [[division par zéro]] intervient dans certaines des discussions populaires de {{math|0,999…}} et excite également des controverses. Tandis que la plupart des auteurs choisissent de définir {{math|0,999…}}, presque tous les traitements modernes laissent indéfinie la division par zéro, parce qu'on ne peut pas lui assigner de signification dans le champ des nombres réels standards. Cependant, la division par zéro peut être définie dans certains autres systèmes, comme dans l'[[analyse complexe]], où on peut ajouter un [[point à l'infini]] aux nombres finis pour obtenir la [[sphère de Riemann]]. Dans ce cas, cela a un sens de définir {{math|1/0}} comme l'infini<ref group="note">Voir par exemple le traitement des transformations de Möbius dans {{Harvsp|Conway|1978|p=47–57}}.</ref> ; et, en fait, les résultats sont profonds et applicable à de nombreux problèmes en ingénierie et en physique. Certains mathématiciens éminents avaient plaidé pour ce genre de définition bien avant que l'un de ces systèmes de numération ne soit mis au point<ref>{{Harvsp|Maor|1987|p=54}}.</ref>.
* Le [[Zéro signé|zéro négatif]] est encore un exemple de redondance dans l'écriture des nombres. Dans des systèmes de numération tels que les réels, où {{math|0}} dénote l'[[élément neutre]] pour l'addition, il n'est ni positif ni négatif, et l'interprétation usuelle de {{math|-0}} est que c'est l'[[élément symétrique]] de {{math|0}} pour l'addition, ce qui force {{math|1=-0 = 0}}<ref>{{Harvsp|Munkres|2000|p=34|loc={{Lang|en|Exercise}} 1 (c)}}.</ref>. Néanmoins, certaines applications scientifiques utilisent des zéros positif et négatif distincts. En informatique, il existe des standards de codage des entiers stockés sous la forme de [[Système binaire#Représentation des entiers négatifs|signe et valeur absolue]], et c'est également la règle pour les nombres à virgule flottante, spécifiés par le standard [[IEEE 754]] pour les virgules flottantes<ref>{{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=Herbert Kroemer
|auteur2=Charles Kittel
|titre=Thermal Physics
|éditeur=W. H. Freeman
|lieu=New York
|année=1980
|numéro d'édition=2
|pages totales=473
|page=462
|passage=462
|isbn=0-7167-1088-9
}} ; {{Lien web|lang=en
|url=https://msdn.microsoft.com/en-us/library/aa691146%28v=vs.71%29.aspx
|titre=Floating point types
|auteur=MSDN
| lien auteur =Microsoft Developer Network
|année=2016
<!--|consulté le=22/4/16-->
}}.</ref>. On peut également citer le [[Système binaire#Complément à un|complément à un]], toutefois en désuétude. {{Pertinence<!--mais surtout style--> détail|date=avril 2016|Ce qu'il faut retenir, c'est que si la plupart du temps les systèmes savent qu'ils doivent répondre « vrai » à la question « est-ce que {{math|1=0 = -0}} ? », cela peut provoquer des résultats différents, surtout en cas de division par {{math|0}}.}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|0.999...|356043222|type=n}}
=== Notes ===
<references group="note"/>

=== Références ===
{{références|colonnes=2}}

=== Ouvrages et articles cités ===
*{{Lien web|lang=en
|url=http://www.straightdope.com/columns/030711.html
|titre=An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?
|id=Adams2003
|auteur=Cecil Adams
|date=11 juillet 2003
|éditeur=The Straight Dope
<!--|consulté le=22/4/16-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Tom M.
|nom1=Apostol
|lien auteur1=Tom Apostol
|titre=Mathematical Analysis
|éditeur=[[Addison-Wesley]]
|année=1974
|numéro d'édition=2
|pages totales=492
|isbn=0-201-00288-4
}}{{Commentaire biblio SRL|Passage de l'analyse élémentaire à l'analyse avancée, ce livre a l'ambition d'être {{Citation|honnête, rigoureux, à jour, et en même temps, pas trop pédant.}} (préface). Les développements d'Apostol sur les nombres réels utilisent l'axiome de la [[borne supérieure]] et introduisent les développements décimaux deux pages plus loin (p. 9-11).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=R. G.
|nom1=Bartle
|prénom2=D. R.
|nom2=Sherbert
|titre=Introduction to Real Analysis
|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]
|année=1982
|isbn=0-471-05944-7
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce manuel vise à être « un manuel accessible, de rythme raisonnable, qui traite des concepts et techniques fondamentaux de l'analyse réelle ». Son développement sur les réels repose sur l'axiome de la borne supérieure (p. vii-viii).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Elwyn R.
|nom1=Berlekamp
|lien auteur1=Elwyn Berlekamp
|prénom2=J. H.
|nom2=Conway
|lien auteur2=John Horton Conway
|prénom3=R. K.
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|lien auteur3=Richard Guy
|titre=Winning Ways for your Mathematical Plays
|éditeur=Academic Press
|année=1982
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}}
* {{Chapitre
|langue=en
|auteur=Martin Berz 
|titre ouvrage=Computer Arithmetic and Enclosure Methods|auteurs ouvrage=L. Atanassova et J. Herzberger
|titre=Automatic differentiation as nonarchimedean analysis 
|éditeur=[[Elsevier (éditeur)|Elsevier]]
|année=1992 
|page=439-450
|url=http://bt.pa.msu.edu/pub/papers/adtheory/adtheory.pdf<!--consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Bryan H.
|nom1=Bunch
|titre=Mathematical Fallacies and Paradoxes
|éditeur=Van Nostrand Reinhold
|année=1982
|pages totales=216
|isbn=0-442-24905-5
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce livre présente une analyse des paradoxes et faussetés, comme un outil pour explorer son sujet central « la relation assez ténue entre réalité mathématique et réalité physique ». Il suppose connue l'algèbre de seconde ; les mathématiques supplémentaires sont apportées par le livre, y compris les séries géométriques au chapitre 2. Bien que {{math|0,999…}} ne soit pas l'un des paradoxes entièrement traités, il est brièvement mentionné au cours d'un développement sur la méthode de Cantor (p. ix-xi, 119).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Brian
|nom1=Burrell
|titre=Merriam-Webster's Guide to Everyday Math
|sous-titre=A Home and Business Reference
|éditeur=Merriam-Webster
|année=1998
|pages totales=373
|isbn=0-87779-621-1
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=XeaorGgYAXsC&printsec=frontcover
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=William
|nom1=Byers
|titre=How Mathematicians Think
|sous-titre=Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics
|éditeur=[[Princeton University Press]]
|année=2007
|pages totales=415
|isbn=978-0-691-12738-5
|isbn2=0-691-12738-7
|lire en ligne={{Google Livres|a0ezDYYt98sC|page=39}}
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1={{Lien|John B. Conway}}
|titre=Functions of One Complex Variable I
|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]
|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]
|numéro dans collection=11
|année=1978
|numéro d'édition=2
|année première édition=1973
|pages totales=317
|isbn=978-0-387-90328-6
|lire en ligne={{Google Livres|9LtfZr1snG0C}}
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce texte suppose « un solide cours de calcul analytique » comme préalable ; ses buts avoués sont de présenter l'analyse complexe comme « une introduction aux mathématiques » et d'en expliciter les matières avec clarté et précision (p. vii).
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Frank C. 
|nom1=DeSua
|titre=A system isomorphic to the reals 
|périodique=[[American Mathematical Monthly]]
|année=1960 
|volume=67
|numéro=9
|pages=900-903
|doi=10.2307/2309468
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Barbara
|nom1=Edwards
|prénom2 =Michael | nom2 =Ward
|titre=Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions 
|périodique=American Mathematical Monthly
|année=2004 
|volume=111
|numéro=5
|pages=411-425 
|url texte=http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf
|consulté le=23 avril 2010
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Robert
|nom1=Ely
|titre=Nonstandard student conceptions about infinitesimals 
|périodique=Journal for Research in Mathematics Education
|année=2010
|volume=41
|numéro=2
|pages=117-146
}}{{Commentaire biblio SRL|Cet article est une étude de terrain concernant une étudiante, qui a mis au point une théorie des infinitésimaux à la [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], pour s'aider à comprendre le calcul différentiel, et en particulier pour rendre compte du fait que {{math|0,999…}} diffère de {{math|1}} par une valeur infinitésimale {{math|0,000…1}}.
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=George B. Thomas
|auteur2=Ross Finney
|auteur3=Maurice D. Weir
|auteur4=Frank R. Giordano
|titre=Thomas' Calculus
|sous-titre=Early Transcendentals
|éditeur=Addison-Wesley
|lieu=New York
|année=2001
|numéro d'édition=10
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Paul 
|nom1=Fjelstad
|titre=The repeating integer paradox 
|périodique=The College Mathematics Journal
|année=1995
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|pages=11-15 
|doi=10.2307/2687285
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Anthony
|nom1=Gardiner
|titre=Understanding Infinity
|sous-titre=The Mathematics of Infinite Processes
|éditeur=Dover
|année=2003
|année première édition=1982
|pages totales=308
|isbn=0-486-42538-X
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=NiDCYJ8vrGQC&printsec=frontcover
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[Timothy Gowers]]
|titre=Mathematics
|sous-titre=A Very Short Introduction
|éditeur=[[Oxford University Press]]
|lieu=Oxford
|année=2002
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|isbn=0-19-285361-9
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=DBxSM7TIq48C&printsec=frontcover
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Ivor
|nom1=Grattan-Guinness
|titre=The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann
|éditeur=[[MIT Press]]
|année=1970
|isbn=0-262-07034-0
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=H. B.
|nom1=Griffiths
|prénom2=P. J.
|nom2=Hilton
|titre=A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics
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|pages totales=640
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|lire en ligne={{Google Livres|LwrpBwAAQBAJ}}
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce livre est l'aboutissement d'un cours pour les professeurs de mathématiques du secondaire dans la région de [[Birmingham]]. Le cours était destiné à donner une perspective universitaire sur l'enseignement des mathématiques à l'école, et le livre vise les étudiants « qui ont en gros le niveau demandé après une année d'études spécialisées en mathématiques à l'université ». Les nombres réels sont construits au chapitre 24, « chapitre peut-être le plus difficile de tout le livre », bien que les auteurs attribuent une bonne partie de la difficulté à leur utilisation de la théorie des [[idéal|idéaux]], qui n'est pas reproduite ici (p. vii, xiv). Ce livre est écrit spécialement pour permettre un deuxième regard sur des concepts familiers, avec un éclairage contemporain (p. viii).
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=K.
|nom1=Katz
|prénom2 = M.| nom2 =Katz
|titre=When is .999… less than 1 ? 
|périodique=The Montana Mathematics Enthusiast
|id=KatzKatz2010a
|année=2010
|volume=7
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|pages=3-30 
|url texte=http://www.math.umt.edu/TMME/vol7no1/
|consulté le=23 avril 2010
}}
* {{Article|lang=en
|titre=Zooming in on infinitesimal 1 − .9.. in a post-triumvirate era
|id=KatzKatz2010b
|revue=Educational Studies in Mathematics
|auteur=Karin Usadi Katz
|auteur2=Mikhail G. Katz
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|arxiv=1003.1501
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Vilmos
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|prénom2 = Paola | nom2 = Loreti 
|titre=Unique developments in non-integer bases
|périodique=American Mathematical Monthly
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}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=A. H.
|nom1=Lightstone 
|titre=Infinitesimals 
|périodique=American Mathematical Monthly
|année=1972
|volume=79
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}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[Eli Maor]]
|titre=To Infinity and Beyond
|sous-titre=A Cultural History of the Infinite
|éditeur=Birkhäuser
|année=1987
|pages totales=275
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|lire en ligne={{Google Livres|v0btBwAAQBAJ}}
}}{{Commentaire biblio SRL|Revue de l'infini, par thèmes plutôt que chronologique, ce livre est « destiné au lecteur généraliste », mais « raconté du point de vue d'un mathématicien ». À propos du dilemme entre rigueur et lisibilité, l'auteur « espère avoir convenablement résolu ce problème<!--il espère mais c'est raté (cf. diffs d'avril 2016), donc on peut virer ce commentaire àma--> » (p. x-xiii).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Joseph
|nom1=Mazur
|titre=Euclid in the Rainforest : Discovering Universal Truths in Logic and Math
|éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson: Pi Press]]
|année=2005
|pages totales=334
|isbn=0-13-147994-6
}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[James Munkres]]|titre=Topology|éditeur=[[Prentice Hall]]|année=2000|numéro d'édition=2|année première édition=1975|pages totales=537|isbn=978-0-13-181629-9|lire en ligne=https://archive.org/details/Topology2EdJamesMunkres_201701/page/n39}}{{Commentaire biblio SRL|Pensé comme une introduction à la topologie, « au niveau du {{2e|cycle}} universitaire », sans connaissances préalables : {{Citation|je ne suppose même pas que le lecteur en connaisse beaucoup en théorie des ensembles}} ({{p.|xi}}). Le traitement des réels par Munkres est axiomatique ; il prétend construire à la main : {{Citation|Cette manière d'approcher le sujet demande pas mal de temps et d'efforts, et cela a une valeur plus logique que mathématique.}} ({{p.|30}}).
}}
* {{Chapitre
|langue=en
|prénom1=Rafael
|nom1=Núñez
|titre=Do ''Real'' numbers really move? Language, thought, and gesture: the embodied cognitive foundations of mathematics
|éditeur=Springer 
|année=2006
| titre ouvrage=18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics
|auteurs ouvrage=Reuben Hersh
|passage=160-181
|isbn=978-0-387-25717-4
|url=https://pdfs.semanticscholar.org/796a/1483d044ed913b361f1de3982af62c7c6a4a.pdf<!--http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/RNinHersh.pdf-->
<!--|consulté le=22/4/16-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=George
|nom1=Pedrick
|titre=A First Course in Analysis
|éditeur=Springer
|année=1994
|pages totales=279
|isbn=0-387-94108-8
|lire en ligne={{Google Livres|kHOnHNz9XssC}}
}}
* {{Chapitre
|langue=en
|prénom1=Anthony
|nom1=Peressini 
|prénom2 =Dominic | nom2 = Peressini 
|auteurs ouvrage=Bart van Kerkhove et Jean Paul van Bendegem
|titre ouvrage=Perspectives on Mathematical Practices
|éditeur=Springer
| titre chapitre = Philosophy of mathematics and mathematics education
|collection= Logic, Epistemology, and the Unity of Science
|année=2007
|numéro dans collection=5
|isbn=978-1-4020-5033-6
|page=175-189
|url={{Google Livres|IdsfZIU8kTYC|page=186}}
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Marko
|nom1=Petkovšek
|titre=Ambiguous numbers are dense
|périodique=American Mathematical Monthly
|année=1990 
|volume=97 
|numéro=5 
|pages=408-411 
|doi=10.2307/2324393
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Márcia
|nom1=Pinto
|prénom2=David
|nom2=Tall
|titre=Following Students'Development in a Traditional University Analysis Course
|titre volume=PME25
|année=2001
|passage=v4: 57-64
|lire en ligne=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pinto-tall.pdf
|consulté le=24 avril 2010
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=M. H.
|nom1=Protter
|prénom2=Charles B.
|nom2=Morrey
|titre=A First Course in Real Analysis
|éditeur=Springer
|année=1991
|numéro d'édition=2
|année première édition=1977
|pages totales=536
|pages=536
|isbn=978-0-387-97437-8
|lire en ligne={{Google Livres|0pZJeQ2lEmkC}}
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce livre vise à « présenter une fondation théorique de l'analyse convenable pour les étudiants qui ont terminé un cours standard sur le calcul analytique » (p. vii). À la fin du chapitre 2, les auteurs supposent comme axiome pour les réels que [[Théorème de la limite monotone|les suites croissantes majorées convergent]], démontrant plus tard [[#Segments emboîtés et bornes supérieures|le théorème des segments emboîtés et la propriété de la borne supérieure]] (p. 56-64). Les développements décimaux apparaissent dans l'appendice 3, « développements des réels dans une base quelconque » (p. 503-507).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Charles Chapman
|nom1=Pugh
|titre=Real Mathematical Analysis
|éditeur=Springer
|année=2002
|pages totales=440
|isbn=978-0-387-95297-0
|lire en ligne={{Google Livres|R_ZetzxFHVwC}}
}}{{Commentaire biblio SRL|Supposant le lecteur familier avec les rationnels, Pugh introduit les [[#Les coupures de Dedekind|coupures de Dedekind]] dès que possible, disant du traitement axiomatique : « Ceci est une sorte d'entourloupe, puisque toute l'analyse est fondée sur le système des réels. » (p. 10). Après avoir démontré la [[propriété de la borne supérieure]] et quelques faits connexes, les coupures ne sont plus utilisées pour le reste du livre.
}}
* {{article|lang=en|nom1=Renteln |prénom1=Paul |nom2=Dundes |prénom2=Alan |année=2005|titre=Foolproof: a sampling of mathematical folk humor|journal=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]]|volume=52 |numéro=1 |pages=24-34 |url texte=https://web.archive.org/web/20090225124532/http://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Fred
|nom1=Richman 
|périodique=Mathematics Magazine
|année=1999
|volume=72
|numéro=5
|pages=396-400
|url=https://studentportalen.uu.se/uusp-filearea-tool/download.action?nodeId=754744&toolAttachmentId=145726
|prénom=Fred|nom=Richman|titre=Is 0.999… = 1? 
<!--http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm Le texte publié donné en lien peut montrer quelques différences avec ce preprint, qui ne porte notamment pas la pagination.-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Abraham
|nom1=Robinson
|lien auteur1=Abraham Robinson
|titre=Non-standard Analysis
|éditeur=Princeton University Press
|lieu=Princeton, N.J.
|année=1996
|pages totales=293
|isbn=0-691-04490-2
|lire en ligne={{Google Livres|OkONWa4ToH4C}}
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Maxwell
|nom1=Rosenlicht
|titre=Introduction to Analysis
|éditeur=Dover
|année=1985
|pages totales=254
|isbn=0-486-65038-3
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=8FmMCgAAQBAJ&printsec=frontcover
}}{{Commentaire biblio SRL|Ce livre donne une introduction « prudente et rigoureuse » à l'analyse réelle. Il donne les axiomes des réels, puis les construit (p. 27-31) comme des développements décimaux infinis, avec {{math|1=0,999… = 1}} comme partie de la définition.
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[Walter Rudin]]
|titre=Principles of Mathematical Analysis
|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]
|lieu=New York/St. Louis/San Francisco etc.
|année=1976
|numéro d'édition=3
|année première édition=1953
|pages totales=342
|isbn=0-07-054235-X
|lire en ligne=https://notendur.hi.is/vae11/%C3%9Eekking/principles_of_mathematical_analysis_walter_rudin.pdf
}}{{Commentaire biblio SRL|Manuel pour un cours de second cycle universitaire avancé. « L'expérience m'a convaincu qu'il est pédagogiquement malavisé (bien que correct logiquement) de démarrer la construction des réels à partir des rationnels. Au début, la plupart des étudiants ne voient tout simplement pas pourquoi le faire. Donc on introduit le système des réels comme un corps ordonné satisfaisant la propriété de la borne supérieure, et on en montre rapidement quelques propriétés. Cependant la construction de Dedekind n'est pas omise. Elle est mise en appendice du chapitre 1, où elle peut être étudiée et appréciée quand le temps en est venu. » (p. ix).
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Charles
|nom1=Smith
|prénom2=Charles
|nom2=Harrington
|titre=Arithmetic for Schools
|éditeur=Macmillan
|année=1895
|présentation en ligne=https://www.jstor.org/pss/1074966
|consulté le=24 avril 2010
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Houshang
|nom1=Sohrab
|titre=Basic Real Analysis
|éditeur=Birkhäuser
|année=2003
|pages totales=559
|isbn=0-8176-4211-0
|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=gBPI_oYZoMMC&printsec=frontcover
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]]
|auteur2=David Tall
|titre=The Foundations of Mathematics
|éditeur=Oxford University Press
|année=1977
|isbn=0-19-853165-6
|lire en ligne={{Google Livres|TLelvnIU2sEC}}
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Ian
|nom1=Stewart
|titre=Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures
|éditeur=Profile Books
|année=2009
|isbn=978-1-84668-292-6
}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ian Stewart|titre=Calculus|sous-titre=Early Transcendentals|éditeur=[[Cengage Learning]]|année=2011|pages totales=1344|isbn=978-0-538-49790-9|lire en ligne={{Google Livres|QyOYWR9RLI8C|page=706}}}}{{Commentaire biblio SRL|Ce livre vise à « aider les étudiants à découvrir l'analyse » et à « se concentrer sur la compréhension des concepts » (p. v). Il omet les démonstrations des fondements de l'analyse.
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=D. O. 
|nom1=Tall
|prénom2 = R. L. E. | nom2 = Schwarzenberger
|titre=Conflicts in the learning of real numbers and limits 
|périodique=Mathematics Teaching 
|année=1978
|volume=82
|pages=44-49 
|url texte=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf
|consulté le=24 avril 2010
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=David 
|nom1=Tall
|titre=Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics 
|périodique=Mathematical Education for Teaching 
|année=1976
|volume=2
|numéro=4
|url texte=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf
|consulté le=24 avril 2010
}}
* {{Article
|langue=en
|prénom1=David 
|nom1=Tall
|titre=Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology
|périodique=Mathematics Education Research Journal 
|année=2000
|volume=12
|numéro=3
|pages=210-230 
|url texte=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf
|consulté le=24 avril 2010
}}
* {{Ouvrage
|langue=de
|prénom1=Hans
|nom1=von Mangoldt
|lien auteur1=Hans Carl Friedrich von Mangoldt
|titre=Einführung in die höhere Mathematik
|éditeur=Verlag von S. Hirzel
|lieu=Leipzig
|année=1911
|numéro d'édition=1
|titre chapitre=Chap. : Reihenzahlen
}}
*{{Lien web|lang=en
|url=http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/
|titre=sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1? 
|id=de Vreught1994
|auteur=Hans de Vreught
<!--|consulté le=21/4/16-->
}}
*{{Lien archive|lang=en
|horodatage archive=20070120052054
|url=http://www.maths.nott.ac.uk/personal/anw/Research/Hack|titre=Hackenstrings and the 0.999… ?= 1 FAQ
|id=Walker1999
|auteur=A. N. Walker
|année=1999
|en ligne le=
<!--|consulté le=21/4/16-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=David Foster
|nom1=Wallace
|lien auteur1=David Foster Wallace
|titre=Everything and More
|sous-titre=A Compact History of Infinity
|éditeur=Norton
|lieu=New York
|année=2003
|pages totales=319
|isbn=0-393-00338-8
}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons= 0.999…| commons titre= 0.999...}}

=== Liens externes ===
*{{Lien web|lang=en|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/joan2.html|titre=I would like to know why .9999... = 1 ?|site=mathcentral.uregina.ca}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://descmath.com/diag/nines.html|titre=Repeating Nines|site=descmath.com}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://qntm.org/pointnine|titre=Point nine recurring equals one|site=qntm.org}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html|titre=What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?|auteur=[[Timothy Gowers]]|année=2004}}

=== Bibliographie ===
* {{Article
|langue=en
|prénom1=Bob
|nom1=Burn
|titre=81.15 A case of conflict
|périodique=[[The Mathematical Gazette]]
|année=1997
|volume=81 
|numéro=490
|pages=109-112
|jstor=3618786
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=J. B. Calvert
|auteur2=E. R. Tuttle 
|auteur3=Michael S. Martin
|auteur4=Peter Warren
|titre=The age of Newton: an intensive interdisciplinary course
|périodique=The History Teacher
|année=1981 
|volume=14
|numéro=2
|pages=167-190
|jstor=493261
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=Younggi Choi 
|auteur2=Jonghoon Do
|titre=Equality involved in 0.999… and (-8){{exp|{{sfrac|1|3}}}}
|périodique=For the Learning of Mathematics
|année=2005
|volume=25
|numéro=3
|pages=13-15, 36
|jstor=40248503
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=Tony Gardiner
|titre=Infinite processes in elementary mathematics: how much should we tell the children ?
|périodique=The Mathematical Gazette
|année=1985
|volume=69
|numéro=448 
|pages=77-87
|jstor=3616921
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Richard
|nom1=Mankiewicz
|titre=The Story of Mathematics
|éditeur=[[Orion Publishing Group|Cassell]]
|lieu=Londres
|année=2000
|pages totales=192
|isbn=0-304-35473-2
}}{{Commentaire biblio SRL|Mankiewicz cherche à présenter « l'histoire des mathématiques de façon accessible » en combinant les aspects visuels et qualitatifs des mathématiques, les écrits de mathématiciens, et des ébauches historiques (p. 8). 
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=John Monaghan
|titre=Real mathematic: one aspect of the future of A-level
|périodique=The Mathematical Gazette
|année=1988
|volume=72 
|numéro=462
|pages=276-281
|jstor=3619940 
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=Malgorzata Przenioslo 
|titre=Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university
|périodique=Educational Studies in Mathematics
|année=2004
|volume=55
|numéro=1
|pages=103-132
|doi=10.1023/B:EDUC.0000017667.70982.05
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=James T. Sandefur
|titre=Using self-similarity to find length, area, and dimension
|périodique=American Mathematical Monthly
|année=1996
|volume=103
|numéro=2
|pages=107-120
|jstor=2975103 
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=Anna Sierpińska
|titre=Humanities students and epistemological obstacles related to limits
|périodique=Educational Studies in Mathematics 
|année=1987 
|volume=18
|numéro=4
|pages=371-396 
|doi=10.1007/BF00240986
|jstor=3482354
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=Jennifer Earles Szydlik 
|titre=Mathematical beliefs and conceptual understanding of the limit of a function
|périodique=Journal for Research in Mathematics Education
|année=2000
|volume=31
|numéro=3
|pages=258-276 
|jstor=749807 
<!--|consulté le=23/4/16-->
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=David O. Tall
|titre=Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus 
|périodique=ZDM Mathematics Education
|année=2009
|volume=41
|numéro=4
|pages=481-492
|doi=10.1007/s11858-009-0192-6
}}
* {{Article
|langue=en
|auteur=David O. Tall
|titre=Intuitions of infinity
|périodique=Mathematics in School
|année=1981
|pages=30-33
}}

{{portail|nombre}}

[[Catégorie:Paradoxe en mathématiques]]
[[Catégorie:1 (nombre)]]