Voir la source de 142 857 (nombre)

Le [[nombre]] '''{{formatnum:142857}}''' possède de nombreuses propriétés [[mathématiques]] remarquables en [[système décimal|base dix]]. La plupart de celles-ci découlent du fait que {{formatnum:142857}} est la [[Développement décimal périodique|période du développement décimal]] de la fraction {{fraction|1|7}}.
{{Infobox Nombre|nom=142857 |cardinal=142 857 |ordinal= |préfgrec= |préflatin= |adverbe= |advlatin= |décomposition=3{{exp|3}}×11×13×37 |diviseurs=1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297,
333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443,
3663,3861,4329,5291,10989,12987,15873,
47619,142857 |numromaine=inexistante |repbinaire=100010111000001001 |repoctale=427011 |repduod=6A809 |rephexa=22E09 |systnum= |métrique=}}

== Nombre cyclique ==
{{Voir|Nombre cyclique}}
{{formatnum:142857}} est un [[nombre cyclique]] appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les [[Permutation|permutations circulaires]] :
: 1 × 142 857 = '''1'''42 857
: 2 × 142 857 = 285 7'''1'''4
: 3 × 142 857 = 428 57'''1'''
: 4 × 142 857 = 57'''1''' 428
: 5 × 142 857 = 7'''1'''4 285
: 6 × 142 857 = 857 '''1'''42

=== Développement décimal cyclique des septièmes ===
La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division {{fraction|1|7}}) :
: 1/7 = 0,'''142 857 142 857 142 857 …'''

On notera alors la première approximation de [[pi]] par un [[Nombre rationnel|rationnel]] dont la période du développement décimal comprend plus d'un chiffre :
: 22/7 = 3,'''142 857…'''  (approximation très grossière car seules deux premières décimales sont identiques).

=== Multiplications de 8 à 14 ===
Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres de 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier. Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre ''n'' se transforme en (''n'' – 1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million) :
* 8 × 142 857 = '''1''' 142 85'''6''' (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1 + 6)
* 9 × 142 857 = '''1''' 285 71'''3''' (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1 + 3)
* 10 × 142 857 = '''1''' 428 57'''0''' (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1 + 0)
* 11 × 142 857 = '''1''' 571 42'''7''' (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1 + 7)
* 12 × 142 857 = '''1''' 714 28'''4''' (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1 + 4)
* 13 × 142 857 = '''1''' 857 14'''1''' (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1 + 1)
* 14 × 142 857 = '''1''' 999 99'''8''' (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1 + 8)
*: On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre ''n'' en (''n'' – 1), l'unité « passant devant ».

=== Multiplications de 15 à 21 ===
Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre ''n'' se transforme en (''n'' – 2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions) :
* 15 × 142 857 = '''2''' 142 85'''5''' (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2 + 5)
* 16 × 142 857 = '''2''' 285 71'''2''' (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2 + 2)
* 17 × 142 857 = '''2''' 428 56'''9''' (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2 + (–1))
*: La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2 + (–1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.
* 18 × 142 857 = '''2''' 571 42'''6''' (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2 + 6)
* 19 × 142 857 = '''2''' 714 28'''3''' (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2 + 3)
* 20 × 142 857 = '''2''' 857 14'''0''' (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2 + 0)
* 21 × 142 857 = '''2''' 999 99'''7''' (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2 + 7)
*: La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre ''n'' en (''n'' – 2), le 2 « passant devant ».

=== Multiplications suivantes ===
* Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre ''n'' devient (''n'' – 3), le 3 passant devant.
* Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre ''n'' devient (''n'' – 4), le 4 passant devant.
* Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier ''n'' peut s'écrire de façon unique (7 × ''a'' + ''b''), ''a'' étant un nombre entier et ''b'' un nombre entier compris entre 0 et 6 (par simple [[division euclidienne]] par 7).

La multiplication par ''n'' devient :
: ''n'' × 142 857 = (7 × ''a'' + ''b'') × 142 857 
:: = ''a'' × (7 × 142 857) + ''b'' × 142 857 
:: = ''a'' × (999 999) + ''b'' × 142 857 
:: = (''a'' × 1 000 000 - ''a'') + ''b'' × 142 857

Le nombre ''b'' étant compris entre 0 et 6, le produit ''b'' × 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (''a'' × 1 000 000 – ''a'') explique la décomposition du dernier chiffre ''n'' de la permutation en (''n – a'') et ''a'' « passant devant » (''a'' millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

== Lien avec 9, 99, 999 et 999 999 ==
De nombreuses [[Identité remarquable|identités remarquables]] lient 142 857 aux nombres de la forme 10{{exp|''n''}} – 1 :
: 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 où 2 + 7 = 9
: 14 + 28 + 57 = 99
: 142 + 857 = 999
: 142 857 × 7 = 999 999

Elles sont liées au fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction {{fraction|1|7}} et se généralisent aux autres périodes de fractions du type {{fraction|1|''n''}} par exemple :
* 333 (de {{fraction|1|3}})
* 09 (de {{fraction|1|11}})
* 076 923 (de {{fraction|1|13}})

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre {{nobr|6 modulo 9}} :
: <math>2^1 \mod 9 \equiv 2</math>
: <math>2^2 \mod 9 \equiv 4</math>
: <math>2^3 \mod 9 \equiv 8</math>
: <math>2^4 \mod 9 \equiv 7</math>
: <math>2^5 \mod 9 \equiv 5</math>
: <math>2^6 \mod 9 \equiv 1</math>
et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 × 142 857 = 999 999, on peut déduire
: 142 857 × 7 × ''n'' = ''n'' × 1000000 – ''n'',
ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142 857.

== Nombre de Kaprekar ==
142 857 est un [[nombre de Kaprekar]] (en base dix) :
: 142 857{{exp|2}} = 20 408 122 449
: 142 857 = 20 408 + 122 449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre {{formatnum:142857}} avec un éventuel décalage (donc {{formatnum:142857}} × 1, 2, … ou 6) ou {{formatnum:999999}} (= {{formatnum:142857}} × 7). Par exemple :
: 142 857 × 56 = 7 999 992
:: ⇒ 7 + 999 992 = 999 999 = 142 857 × 7
: 142 857 × 125 = 17 857 125
:: ⇒ 17 + 857 125 = 857 142 = 142 857 × 6
: 142 857 × 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541
:: ⇒ 1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569
:: ⇒ 2 + 428 569 = 428 571 = 142 857 × 3

On notera également
: 142 857{{exp|4}} = 416 491 461 893 377 757 601
: 142 857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757 601
et
: 142 857{{exp|8}} = 173 465 137 830 082 936 774 412 507 898 191 113 275 201
: 142 857 × 15 = 173 465 + 137 830 + 082 936 + 77 4412 + 507 898 + 191 113 + 275 201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :
* 333 (de {{fraction|1|3}})
* 09 (de {{fraction|1|11}})
* 0 588 235 294 117 647 (de {{fraction|1|17}})

== Nombre Harshad ==
142 857 est un [[nombre Harshad]] : 142 857 = 5291 × (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7).

== Nombre jumeau et la roue de six ==
[[Image:Roue de six.svg|vignette|La roue de six.]]
326 451 peut être considéré comme le jumeau de 142 857 :
* D'une part :
*: 142 857 × '''3''' = 428 57'''1'''
*: 142 857 × '''2''' = 285 71'''4'''
*: 142 857 × '''6''' = 857 14'''2'''
*: 142 857 × '''4''' = 571 42'''8'''
*: 142 857 × '''5''' = 714 28'''5'''
*: 142 857 × '''1''' = 142 85'''7'''
* D'autre part :
*: 10 = '''3''' + (7 × '''1''')
*: 100 = '''2''' + (7 × '''14''')
*: 1 000 = '''6''' + (7 × '''142''')
*: 10 000 = '''4''' + (7 × '''1 428''')
*: 100 000 = '''5''' + (7 × '''14 285''')
*: 1 000 000 = '''1''' + (7 × '''142 857''')

On peut visualiser certaines propriétés de 142 857 avec la roue de six évoquée par [[Dom Néroman]] dans son livre ''La leçon de Platon''.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.

== Autres propriétés ==
Sa [[décomposition en produit de facteurs premiers]] est :
: 142 857 = 3{{exp|3}} × 11 × 13 × 37

Il possède au total {{nombre|32|diviseurs}}, qui sont : 1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297,333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443,3663,3861,4329,5291,10989,12987,15873,47619,142857<ref>{{Lien web|titre=Nombre 142857 |url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/N12345.htm |site=villemin.gerard.free.fr |consulté le=2019-10-07}}.</ref>.

== En littérature ==
Le nombre 142 857 apparaît dans la ''[[Trilogie du cycle des dieux]]'' de [[Bernard Werber]] comme le numéro de chambre de [[Michael Pinson]] et le fait réfléchir à toutes ses caractéristiques.

== Lien avec les nombres divisibles par 7 ==
* Entre 1-10, il y a 1 nombre divisible par 7
* Entre 1-100, il y a 14 nombres divisibles par 7
* Entre 1-1000, il y a 142 nombres divisibles par 7
* Entre 1-10000, il y a 1428 nombres divisibles par 7
* Entre 1-100000, il y a 14285 nombres divisibles par 7
* Entre 1-1000000, il y a 142857 nombres divisibles par 7
* Entre 1-10000000, il y a 1428571 nombres divisibles par 7
…

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette
|Nombres|nombre=142857
|Grand nombre
}}
{{Portail|nombre}}

{{DEFAULTSORT:142857}}
[[Catégorie:Entier naturel]]
[[Catégorie:Nombre remarquable]]