Voir la source de 1 (nombre)

{{Ne pas confondre|texte=Ne doit pas être confondu avec le chiffre « [[Un (chiffre)|1]] »}}
{{Autre4|le '''nombre un'''||Un}}
{{Autre|l'année 1 du [[calendrier julien]]|1 (année)}}
{{Infobox Nombre
| nom=1
| cardinal=un, une
| ordinal=premier, première <br /> prime (anc.) <br /> {{1er}}, {{1re}}
| préfgrec=mono
| préflatin=uni
| adverbe=premièrement
| advlatin=primo
| multlatin=semel
| systnum=[[Système unaire|unaire]]
| décomposition=aucun
| diviseurs=1
| numromaine=[[I (chiffre romain)|I]]
| repbinaire=1

| repoctale=1
| repduod=1
| rephexa=1
|numzh=一，弌，壹, 幺
|numarabe=١}}

'''[[50 Cent|1]]'''<ref>{{Article|langue=François|auteur1=Junior pyrono|titre=Dg|périodique=Gd|volume=12904|numéro=48582516|pages=123456789|date=Qweasy|lire en ligne=509 36 24 66 10}}</ref> ('''un''') est l'[[entier naturel]] représentant une entité seule. « Un » fait quelquefois référence à l'unité, et « unitaire » est quelquefois utilisé comme un [[adjectif]] dans ce sens (par exemple, un [[Segment (mathématiques)|segment]] de longueur unitaire est un segment de longueur 1).

== Écriture ==
Tous les [[Système de numération|systèmes de numération]] possèdent un [[chiffre]] pour signifier le '''nombre un'''.<br>
{{Chiffres et nombres}}
=== Chiffre arabe ===
{{Article détaillé|Un (chiffre)}}

Le chiffre « [[Un (chiffre)|un]] », symbolisé « [[Un (chiffre)|1]] », est le [[chiffre arabe]] servant notamment à signifier le '''nombre un'''.

{{Mantisse}}

=== Autres chiffres actuels ===
Le chiffre « [[Un (chiffre)|1]] » n'est pas le seul utilisé dans le monde ; un certain nombre d'[[alphabet]]s — particulièrement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des chiffres différents, même au sein de la [[numération indo-arabe]].

{| class="wikitable sortable" border="1" align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 0 0 1em 1em; background: #F9F9F9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Alphabet !! Chiffre !! Alphabet !! Chiffre !! Alphabet !! Chiffre !! Alphabet !! Chiffre
|-
| [[Amharique]] || align="center" | {{Uni|1369|script=Ethi|styles=1}}
| [[Alphabet arabe|Arabe]] || align="center" | {{Uni|06F1|script=Arab}}
| [[Bengali|Bengalî]] || align="center" | {{Uni|09E7|script=Beng}}
| [[Birman (langue)|Birman]] || align="center" | {{Uni|1041|script=Mymr}}
|-
| [[Devanāgarī]] || align="center" | {{Uni|0967|script=Deva}}
| [[Alphasyllabaire gujarati|Gujarati]] || align="center" | {{Uni|0AE7|script=Gujr}}
| [[Gurmukhî]] || align="center" | {{Uni|0A67|script=Guru}}
| [[Kannara]] || align="center" | {{Uni|0CE7|script=Knda}}
|-
| [[Khmer (langue)|Khmer]] || align="center" | {{Uni|0ED1|script=Khmr}}
| [[Alphabet latin|Latin]] || align="center" | {{Uni|0031|script=Latn}}
| [[Malayalam]] || align="center" | {{Uni|0D67|script=Mlym}}
| [[Oriya]] || align="center" | {{Uni|0B67|script=Orya}}
|-
| [[Tamoul]] || align="center" | {{Uni|0BE7|script=Taml}}
| [[Télougou]] || align="center" | {{Uni|0C67|script=Telu}}
| [[Alphabet thaï|Thaï]] || align="center" | {{Uni|0E51|script=Thai}}
| [[Tibétain]] || align="center" | {{Uni|0F21|script=Tibt}}
|}
Voici le un en [[afficheur 7 segments]] :
<gallery widths="40" perrow="5" heights="40" style="text-align: center;" class="gauche">
Image:7-segment bc.svg|
</gallery>

== En mathématiques ==

Le nombre 1 est défini comme le successeur du [[0 (nombre)|nombre 0]]. C'est le plus petit [[ordinal successeur]] et le premier [[nombre impair]].

Pour tout nombre <math>x</math> :
*<math>x \times 1 = 1 \times x =x</math> (ceci exprime le fait que 1 est l'[[élément neutre]] pour la [[multiplication]]) ;
*<math>\frac x1= x</math> (voir [[division]]) ;
*<math>x^1=x</math> ;
*<math>1^x=1</math> ;
*<math>x^0=1</math> (voir [[exponentiation]]).

Pour tout entier naturel <math>x</math>, <math>x \uparrow\uparrow 1 = x</math> et <math>1 \uparrow\uparrow x = 1</math> (voir [[Notation des puissances itérées de Knuth|puissances itérées de Knuth]]).

En utilisant l'[[addition]] ordinaire, nous avons 1 + 1 = [[2 (nombre)|2]] ; dépendant de l'interprétation du symbole « + » et du [[système de numération]] utilisé, l'expression peut avoir beaucoup de sens différents.

1 ne peut pas être utilisé comme base d'un [[système de numération]] positionnel de manière ordinaire. Quelquefois les [[marques de dénombrement]] sont assimilées à la « base 1 » ou [[système unaire]], puisque seulement une marque (souvent un bâton) est nécessaire, mais cela ne marche pas de la même façon que le système de numération positionnelle. En liaison avec ceci il n'existe pas de [[logarithme]] en base 1, puisque la « [[fonction exponentielle]] » de base 1 est la [[fonction constante]] 1.

1, dans la [[construction des entiers naturels]] par Von Neumann, est défini comme l'[[ensemble]] {0}. Il a un seul élément, c'est un [[nombre ordinal|ordinal]] et un [[nombre cardinal|cardinal]], son [[Axiome de fondation#Hiérarchie cumulative|rang ordinal]] est 1.

On appelle [[Singleton (mathématiques)|singleton]] un ensemble ayant un seul élément.

Dans un [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif ou [[monoïde]], l'[[élément neutre]] est quelquefois noté 1, mais « ''e'' » (issu de l'[[Allemagne|allemand]] ''Einheit'', unité) est plus traditionnel. Néanmoins, 1 est spécialement dédié pour l'identité multiplicative d'un [[anneau unitaire|anneau]]. (Cette identité multiplicative est souvent appelée « unité ».)

1 est sa propre [[factorielle]].

1 est aussi le premier et le deuxième nombre dans les [[suite de Fibonacci|suites de Fibonacci]], et le premier nombre de beaucoup de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier ''Livre de suites entières'' de Sloane ajoutait un 1 initial à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces 1 initiaux dans leur [[ordre lexicographique]]. Plus tard, Sloane dans son ''Encyclopédie des suites entières'' et sa contrepartie Web, l'''[[OEIS|Encyclopédie électronique des suites entières]]'', ignora ces 1 initiaux dans l'ordre lexicographique des suites, car de tels 1 initiaux correspondent aux cas triviaux.

1 est le [[produit vide]], lorsqu'il est l'[[élément neutre]] de la multiplication utilisée. En particulier et par convention pour assurer la continuité des fonctions exponentielles pour la valeur zéro, tout nombre (sauf zéro<ref>[[Puissance d'un nombre#Puissance d'exposant nul|0{{exp|0}}]] est une [[forme indéterminée|expression indéterminée]].</ref>) élevé à la puissance zéro donne le résultat 1.

1 est une des trois valeurs possibles retournées par la [[fonction de Möbius]]. En entrant un entier qui est [[sans carré]] avec un nombre [[Parité (arithmétique)|pair]] de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne un.

1 est le seul nombre [[Parité (arithmétique)|impair]] qui soit dans l'image de la fonction [[indicatrice d'Euler]] (<math>\varphi(x)=1\,</math> pour x = 1 et x = 2 seulement).

1 est, par définition, la [[Norme (mathématiques)|norme]] d'un [[vecteur unité]] et de la [[matrice unité]].

=== 1 n'est plus considéré comme un nombre premier ===

Bien que le nombre ait été considéré dans le passé comme étant un [[nombre premier]] (alors défini comme un nombre [[divisible]] seulement par un et lui-même), la définition maintenant généralement acceptée (nombre ayant exactement deux [[diviseur]]s distincts, soit un et lui-même), l’exclut.

D'ailleurs, pour garantir l'unicité de la [[décomposition en produit de facteurs premiers]], il est nécessaire de ne pas considérer 1 comme un nombre premier.

Certains mathématiciens définissent encore 1 comme un nombre premier mais ils sont minoritaires, on peut par exemple citer Albert H. Beiler qui listait 1 comme nombre premier dans ''Recreations in the Theory of Numbers'' publié en 1964<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Albert H. Beiler|titre=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|année=1964|pages totales=349|passage=214|isbn=0486210960}}.</ref>. Aussi il existe une légende qui affirme que le dernier mathématicien important à publier 1 en tant que nombre premier fut [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]] en 1899 mais dans les 6 publications qu'il a publié entre 1898 et 1900, aucune ne contient de référence aux nombres premiers<ref>https://arxiv.org/pdf/1209.2007</ref>.

=== Quelques propriétés arithmétiques de 1 ===
*1 est son propre [[Carré (algèbre)|carré]]. En conséquence, c'est un [[nombre automorphe]] dans n'importe quelle [[Base (arithmétique)|base]] et un [[nombre de Kaprekar]]. 1 est le premier [[nombre figuré]] de chaque sorte, telle que les [[nombre triangulaire|nombres triangulaires]], [[nombre pentagonal|nombres pentagonaux]], [[nombre tétraédrique|nombres tétraédriques]], [[nombre pyramidal hexagonal|nombres pyramidaux hexagonaux]], [[nombre hexagonal centré|nombres hexagonaux centrés]]…
*1 est le plus petit nombre non [[nombre brésilien|brésilien]].
*1 est un [[nombre à moyenne harmonique entière]].
*1 est le seul [[nombre parfait]] d'ordre 1 (voir [[nombre parfait multiple]]).
*1 est égal à la [[Somme (arithmétique)|somme]] de ses chiffres dans tout [[système de numération]] de base différente, c'est un [[nombre Harshad]] complet.
*1 est un [[méandre (mathématiques)|nombre méandrique]], un [[méandre (mathématiques)|nombre semi-méandrique]] et un [[méandre (mathématiques)|nombre méandrique ouvert]].

== Dans la société humaine ==

Beaucoup de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Beaucoup de religions considèrent [[Dieu]] comme l'exemple parfait d'unicité. Voir l'article « [[Monade (philosophie)]] » pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités.

Quelque chose est « ''unique'' » si c'est le seul exemplaire de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (spécialement en [[publicité]]), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial.

Dans la langue française, '''un''' est l'[[article indéfini]] masculin singulier ; le féminin est '''une'''.

Un est aussi l'expression de la [[troisième personne du singulier]] pour la distinguer d'un groupe (« L''''un''' de vous prendra-t-il un café ?) ».

== En sciences ==

Le nombre « 1 » est :
* posé comme égal à la [[constante physique]] (c), désignant la [[vitesse de la lumière]], dans la notation d'Heaviside pour simplifier les calculs.
* le facteur dans les rapports pour les [[Conversion des unités|conversions]] d'unités.
* le rapport total de densité pour un [[univers]] plat.
* le [[numéro atomique]] de l'[[hydrogène]].
* le plus souvent utilisé pour représenter la ''vérité'' comme [[Donnée (informatique)|donnée]] [[Algèbre de Boole (logique)|booléenne]] en [[informatique]].

== Dans d'autres domaines ==

Le nombre « 1 », sous diverses graphies (« un », « I », « 01 », etc.), peut référer à :
* L'[[liste des indicatifs téléphoniques internationaux par indicatif|indicatif téléphonique international]] vers les pays participant au [[plan de numérotation nord-américain]], tels que les [[États-Unis]] et le [[Canada]].
* En musique :
**le chiffre romain I représente le [[Degré (musique)|degré]] de la [[Gamme musicale|gamme]] nommé [[tonique (musique)|tonique]], lorsqu'il est distingué I = majeur, i = mineur ;
**''[[1 (album des Beatles)|1]]'' est un [[Discographie des Beatles|album des Beatles]].
* En [[France]], le [[Anniversaire de mariage|nombre d'années de mariage]] des noces de [[coton]].
* 01 est le numéro du [[département français]] de l'[[Ain (département)|Ain]].
*L'avion [[Mikoyan-Gourevitch MiG-1]].
* L'[[astéroïde]] [[(52228) Protos]] désigne le premier.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|1 (number)|8626065|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

{{Autres projets
|commons=Category:1 (number)
|commons titre=Un
|wiktionary=un
}}

=== Articles connexes ===
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* {{page h|Ligne 1}}
* [[Développement décimal de l'unité]] : les notations mathématiques usuelles font que {{math|1}} = {{math|0,999…}} et que tout [[nombre décimal]] peut s'écrire ainsi de deux manières différentes.

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{Lien web|url=http://yoda.guillaume.pagesperso-orange.fr/UnP1.htm|site=Nombres - Curiosités, théorie et usages|auteur=Gérard Villemin|titre=1}}

{{Palette|Nombres|nombre=1|Puissances d'entiers|Puissances de deux}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:1 (nombre)|*]]
[[Catégorie:Entier naturel]]
[[Catégorie:Puissance de deux|001]]