Voir la source de 1 024 (nombre)

{{Voir homonyme|1024}}
Le [[nombre]] '''{{formatnum:1024}}''' ('''mille vingt-quatre''') est l'[[entier naturel]] suivant [[1 023 (nombre)|1 023]] et précédant [[1 025 (nombre)|1 025]].

== Décomposition en facteurs premiers ==
1024 est une puissance de 2, qui est donc son seul facteur premier :
<center><math>1024 = 2^{10} = 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2.</math></center>

== Propriétés ==

C'est la [[Puissance de deux|dixième]] [[Puissance (mathématiques élémentaires)|puissance]] entière de [[2 (nombre)|2]] : {{formatnum:1024}} = 2{{exp|10}} (cf. supra).

C'est le [[Carré parfait|carré]] de [[32 (nombre)|32]] : {{formatnum:1024}} = 32{{exp|2}}.

C'est le plus petit nombre possédant exactement 11 diviseurs (en incluant le diviseur 1)<ref>{{OEIS|id=A005179}}</ref>

== Approximations par 10{{exp|''n''}} ==

{{Article détaillé|Préfixe binaire}}

On peut remarquer que 1024 = 2{{exp|10}} est proche de [[1000 (nombre)|1000]] = 10{{exp|3}}, à 2,4% près.

Cette coïncidence permet plus généralement d'estimer les puissances successives de 2 à partir des [[Puissance de dix|puissances successives de 10]].

Cela permet de mieux apprécier l'[[ordre de grandeur]] de chaque puissance de deux, voire de trouver une approximation en notation décimale, pour des exposants pas trop élevés.

La formule {{math|2<sup>10''a'' + ''b''</sup> ≈ 2{{exp|''b''}}10<sup>3''a''</sup>}} donne une bonne précision pour les exposants de la forme « 10''a'' + ''b'' » (puissance de 2) inférieurs à 50 environ, c'est-à-dire pour les exposants « 3''a'' » (puissance de 10) inférieurs à 15 environ.

Pour les exposants « 10''a'' + ''b'' » (puissance de 2) inférieurs à 300 environ, c'est-à-dire pour les exposants « 3''a'' » (puissance de 10) inférieurs à 90 environ, « 3''a'' » est toujours une estimation satisfaisante pour l'ordre de grandeur, c'est-à-dire pour le nombre de zéros à inscrire après le « 1 ».

Pour ''a'' = 5 et ''b'' = 3 par exemple, l'approximation donne : {{math|2{{exp|53}} ≈ 8×10{{exp|15}}}} . 
Or, si 10{{exp|15}} reste un bon ordre de grandeur, la valeur réelle de 2{{exp|53}} est plus proche de 9×10{{exp|15}}.

Pour les exposants « 10''a'' + ''b'' » (puissance de 2) supérieurs à 300 environ, c'est-à-dire pour les exposants « 3''a'' » (puissance de 10) supérieurs à 90 environ, l'approximation devient de moins en moins précise ; l'ordre de grandeur se décale progressivement pour atteindre un écart d'une magnitude (un zéro) vers  « 3''a'' » (puissance de 10) = 300 environ.

Ainsi, pour ''a'' = 100 et ''b'' = 0 par exemple, l'écart relatif entre 2{{exp|1000}} et 10{{exp|300}} est environ :

:<math>\begin{align}
\frac{2^{1000}}{10^{300}}
&= \exp \left( \ln \left( \frac{2^{1000}}{10^{300}} \right) \right) \\[3pt]
&= \exp \left( \ln ( 2^{1000}) - \ln(10^{300})\right)\\[3pt]
&\approx \exp\left(693{,}147-690{,}776\right)\\
&\approx \exp\left(2{,}372\right)\\
&\approx 10{,}72
\end{align}</math>

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|1024 (number)|614521922}}
{{références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* Année [[1024]]
* [[Nombres 1 000 à 1 999]]
* [[Ordre de grandeur (données)]]
* [[Préfixe binaire]]

{{Palette
|Nombres|nombre=1024
|Grand nombre
|Puissances d'entiers
|Puissances de deux
}}
{{Portail|nombre}}

{{DEFAULTSORT:1024}}
[[Catégorie:Puissance de deux]]
[[Catégorie:Entier naturel]]