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'''65 537''' est le [[nombre entier]] suivant [[65 536 (nombre)|{{formatnum:65536}}]] et précédant {{formatnum:65538}}. C'est un [[nombre premier]] et un [[nombre de Fermat]], et le plus grand nombre connu possédant ces deux propriétés.

== Mathématiques ==
[[Fichier:Regular_65537-gon_First_Carlyle_Circle.gif| vignette| Construction d'un [[polygone régulier]] de {{nombre|65537 côtés}} (voir « [[Polygone constructible]] »).]]
{{formatnum:65537}} est le plus grand [[nombre premier]] connu de la forme <math>2^{2^{n}}\!+1</math> ({{mvar|n}} = 4). Ainsi, un polygone [[Polygone régulier|régulier]] à {{nombre|65537 côtés}} peut être [[construction à la règle et au compas|construit à la règle et au compas]] ; la première construction explicite est obtenue en 1894 par {{lien|Johann Gustav Hermes}}<ref>{{Article| langue=de| auteur={{lien|Johann Gustav Hermes}}| titre=Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile| périodique=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse| lieu=[[Göttingen]]| année=1894| volume=3| pages=170–186| url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002496585}}.</ref>. En [[théorie des nombres]], les nombres premiers de cette forme sont appelés [[Nombre de Fermat|nombres premiers de Fermat]], du nom du [[mathématicien]] français [[Pierre de Fermat]]. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont :
* <math>2^{2^{0}}\!+1 = 2^{1}\!+1 = 3</math> ;
* <math>2^{2^{1}}\!+1 = 2^{2}\!+1 = 5</math> ;
* <math>2^{2^{2}}\!+1 = 2^{4}\!+1 = 17</math> ;
* <math>2^{2^{3}}\!+1 = 2^{8}\!+1 = 257</math> ;
* <math>2^{2^{4}}\!+1 = 2^{16}\!+1 = 65537</math><ref>{{Ouvrage| langue=en|prénom1=J. H.|nom1=Conway|prénom2=R. K.|nom2=Guy|titre=The Book of Numbers|passage=[https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/139 139]|lieu=New York|éditeur=Springer-Verlag|année=1996|isbn=0-387-97993-X|lire en ligne=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw|accès url=inscription}}</ref>.

[[Leonhard Euler]] découvre en 1732 que le nombre de Fermat suivant est un [[nombre composé]] :
:<math>2^{2^{5}}\!+1 = 2^{32}\!+1 = 4294967297 = 641 \times 6700417</math>,
et [[Fortuné Landry]] en 1880 qu'il en est de même pour celui d'après :
:<math>2^{2^{6}}\!+1 = 2^{64}\!+1 = 274177 \times 67280421310721</math>.

{{formatnum:65537}} est également le {{17e}} [[Suite de Jacobsthal|nombre de Jacobsthal-Lucas]], et le plus grand entier {{mvar|n}} connu tel que <math>10^{n}\!+27</math> soit un [[nombre premier probable]]<ref>{{Lien web| langue=en |titre=Sequences by difficulty of search |url=http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt |consulté le=2014-06-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140714191755/http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt |archive-date=2014-07-14 }}</ref>.

== Applications ==
{{formatnum:65537}} est couramment utilisé comme exposant public dans le chiffrement [[Chiffrement RSA|RSA]]. Comme il s'agit du nombre de Fermat <math>F_n = 2^{2^{n}} + 1</math> avec <math>n = 4</math>, le raccourci courant est <math>F_4</math> ou <math>F4</math><ref>{{Lien web| langue=en |titre=genrsa(1) |url=https://www.openssl.org/docs/man1.0.2/apps/genrsa.html |éditeur=OpenSSL Project |consulté le=2017-05-24 |extrait=<nowiki>-F4|-3 [..] the public exponent to use, either 65537 or 3. The default is 65537.</nowiki> |archive-url=https://web.archive.org/web/20170313225729/https://www.openssl.org/docs/man1.0.2/apps/genrsa.html |archive-date=2017-03-13 }}</ref>. Cette valeur a été utilisée dans le chiffrement RSA principalement pour des raisons historiques ; les premières implémentations de chiffrement RSA brutes (sans rembourrage approprié) étaient vulnérables aux très petits exposants, tandis que l'utilisation d'exposants élevés était coûteuse en calculs sans aucun avantage pour la sécurité (en supposant un rembourrage approprié)<ref>{{Lien web| langue=en |titre=RSA with small exponents? |url=https://crypto.stackexchange.com/questions/109/rsa-with-small-exponents}}</ref>.

{{formatnum:65537}} est également utilisé comme module dans certains générateurs de nombres aléatoires de Lehmer, comme celui utilisé par [[ZX Spectrum]]<ref>{{Ouvrage| langue=en|prénom1=Steve|nom1=Vickers|lien auteur1=Steve Vickers (computer scientist)|titre=Sinclair ZX Spectrum Basic Programming|éditeur=2nd|année=1983|pages totales=73–75|lire en ligne=https://worldofspectrum.org/ZXBasicManual/|consulté le=2022-05-26|titre chapitre=Chapter 11. Random numbers|extrait=The ZX Spectrum uses p=65537 and a=75, and stores some bi-1 in memory.}}</ref>, qui garantit que toute valeur de départ sera [[Nombres premiers entre eux|copremiers]] (essentielle pour assurer la période maximale) tout en permettant une réduction efficace par le module en utilisant un décalage de bit et une soustraction.

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=65,537|id1=1100446833}}
{{Références}}

{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Entier naturel|65537]]