Voir la source de 97,5e centile

{{Titre mis en forme|97,5{{e}} centile}}[[Fichier:NormalDist1.96.svg|vignette|250x250px| 95 % de l'aire sous la courbe de la  [[Loi normale|distribution normale]] se situe à moins de 1,96 écart-type de la valeur moyenne.]]
En [[probabilité]]s et en [[statistique]]s, le '''97,5'''{{E}} '''centile''' de la [[Loi normale|distribution normale]] standard est un nombre couramment utilisé. La valeur approximative de ce nombre est de '''1,96''', ce qui signifie que 95 % de l'aire sous une [[Loi normale|courbe normale]] se situe à environ 1,96 [[Écart type|écart-type]] de la [[moyenne]]. En raison du [[théorème central limite]], ce nombre est utilisé dans la construction d'[[Intervalle de confiance|intervalles de confiance]] d'environ 95 %. Son omniprésence est due à la convention arbitraire mais courante en statistiques scientifiques et fréquentistes, consistant à utiliser des intervalles de confiance avec une probabilité de 95 %<ref name="NIST">
{{Lien web |titre=Engineering Statistics Handbook: Confidence Limits for the Mean |url=http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm |éditeur=National Institute of Standards and Technology |consulté le=2008-02-04 |extrait=Although the choice of confidence coefficient is somewhat arbitrary, in practice 90%, 95%, and 99% intervals are often used, with 95% being the most commonly used. |archive-url=https://web.archive.org/web/20080205120031/http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm |archive-date=5 February 2008 }}</ref>{{,}}<ref name="Swift">
{{Article|auteur1=Swift|prénom1=MB|titre=Comparison of Confidence Intervals for a Poisson Mean - Further Considerations|périodique=Communications in Statistics - Theory and Methods|volume=38|numéro=5|année=2009|doi=10.1080/03610920802255856|s2cid=120748700|pages=748–759|extrait=In modern applied practice, almost all confidence intervals are stated at the 95% level.}}</ref>. Bien que d'autres conventions existent, celle-ci semble particulièrement courante dans les statistiques médicales<ref name="BMJ">
{{Lien web |titre=Resources for Authors: Research |url=http://resources.bmj.com/bmj/authors/types-of-article/research |éditeur=BMJ Publishing Group Ltd |consulté le=2008-02-04 |extrait=For standard original research articles please provide the following headings and information: [...] results - main results with (for quantitative studies) 95% confidence intervals and, where appropriate, the exact level of statistical significance and the number need to treat/harm |archive-url=http://arquivo.pt/wayback/20090718220240/http://resources.bmj.com/bmj/authors/types-of-article/research |archive-date=18 July 2009 }}</ref>, et dans d'autres domaines d'application, tels que les [[Sciences de la Terre|sciences de la terre]], les sciences sociales et la recherche commerciale.

Il n’existe pas de nom unique accepté pour ce nombre; il est également communément appelé "écart normal standard", "score normal" ou "[[Cote Z (statistiques)|score Z]]" pour [[Le Point|le point]] de centile 97,5, le "point 0,975", ou simplement sa valeur approximative, 1,96.

Si la variable aléatoire ''X'' a une distribution normale standard, c'est-à-dire ''X'' ~ N(0,1),

: <math> \mathrm{P}(X > 1.96) \approx 0.025, \,</math>

: <math> \mathrm{P}(X < 1.96) \approx 0.975, \,</math>

et comme la distribution normale est symétrique,

: <math> \mathrm{P}(-1.96 < X < 1.96) \approx 0.95. \,</math>

Une notation pour ce nombre est ''z''<sub>.975</sub>. À partir de la [[Variable aléatoire à densité|fonction de densité de probabilité]] de la distribution normale standard, la valeur exacte de ''z'' <sub>0,975</sub> est déterminée par

: <math> \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_{.975}} e^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = 0.975.</math>

== Histoire ==
[[Fichier:Youngronaldfisher2.JPG|droite|vignette|280x280px| Ronald Fisher.]]
L'utilisation de ce nombre dans les statistiques appliquées peut être attribuée à l'influence de l'ouvrage classique de [[Ronald Aylmer Fisher|Ronald Fisher]], ''Statistical Methods for Research Workers'', publié pour la première fois en 1925 :

{{Citation bilingue bloc|1=The value for which P =.05, or 1 in 20, is 1.96 or nearly 2 ; it is convenient to take this point as a limit in judging whether a deviation is to be considered significant or not<ref>
{{Ouvrage|prénom=Ronald |nom=Fisher |lien auteur=Ronald Fisher |titre=[[Statistical Methods for Research Workers]] |année=1925 |isbn=0-05-002170-2 |page=[https://archive.org/details/statisticalmethoe7fish/page/47 47] |éditeur=Oliver and Boyd |lieu=Edinburgh}}</ref>.|2=la valeur pour laquelle P = 0.05, ou 1 sur 20, est 1.96 ou presque 2 ; il est pratique de prendre ce point comme limite pour juger si une déviation doit être considérée comme significative ou pas.|langue=en}}

Dans le tableau 1 du même ouvrage, il donne la valeur plus précise {{Formatnum|1,959964}}. En 1970, la valeur tronquée à 20 [[Chiffre significatif|décimales]] fut calculée comme étant {{Formatnum|1,95996398454005423552}}.

La valeur approximative couramment utilisée de 1,96 est donc précise à plus d'une part pour 50 000, ce qui est plus que suffisant pour les travaux appliqués.

Certaines personnes utilisent même la valeur 2 à la place de 1,96, rapportant un intervalle de confiance de 95,4 % comme intervalle de confiance de 95 %. Ceci n'est pas recommandé mais est parfois observé<ref>{{Lien web |titre=Estimating the Population Mean Using Intervals |url=http://www.stat.wmich.edu/s216/book/node78.html |série=stat.wmich.edu |éditeur=Statistical Computation Lab |consulté le=7 August 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180704195514/http://www.stat.wmich.edu/s216/book/node78.html |archive-date=4 July 2018 }}</ref>.

== Fonctions dans plusieurs logiciels courants ==
L’inverse du de la fonction cumulative de la distribution normale standardisée peut être utilisé pour calculer cette valeur. Le tableau suivant fournit les commandes qui renvoient 1,96 dans certains logiciels courants :
{| class="wikitable sortable"
!Application
! Fonction
|-
| [[Microsoft Excel|Excel]]
| [https://support.office.com/en-gb/article/NORM-S-INV-function-d6d556b4-ab7f-49cd-b526-5a20918452b1 NORM.S.INV]  (0,975)
|-
| [[MATLAB]]
| [http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/stats/index.html?/access/helpdesk/help/toolbox/stats/norminv.html norminv] (0,975)
|-
| [[R (langage)|R]]
| [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Normal.html qnorm] (0,975)
|-
| [[Python (langage)|Python]] ([[SciPy]])
| [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.norm.html#scipy.stats.norm scipy.stats.norm.ppf] (0.975)
|-
| [[SAS Institute|SAS]]
| [http://support.sas.com/documentation/cdl/en/lefunctionsref/69762/HTML/default/viewer.htm#n0gygnmlse8n5in1sp1u2n97lpej.htm probit] (0,025);
|-
| [[SPSS]]
| x = [http://www-01.ibm.com/support/knowledgecenter/SSLVMB_21.0.0/com.ibm.spss.statistics.help/invdistfunctionlist.htm COMPUTE IDF.NORMAL] (0,975,0,1).
|-
| [[Stata]]
| [https://www.stata.com/help.cgi?density_functions#normal invnormal] (0,975)
|-
| [[Wolfram Language]] ([[Mathematica]])
| InverseCDF[Distribution Normale[0, 1], 0,975]<ref>[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/InverseCDF.html InverseCDF], Wolfram Language Documentation Center.</ref>{{,}}<ref>[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/NormalDistribution.html?q=NormalDistribution&lang=en NormalDistribution], Wolfram Language Documentation Center.</ref>
|}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir également ==
* [[Marge d'erreur]]
* [[Probit]]
* [[Valeurs de référence pour les principaux tests biologiques|Plage de référence]]
* [[Erreur type|Erreur type (statistiques)]]
* [[Règle 68-95-99,7]]

{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Constante mathématique]]
[[Catégorie:Loi normale]]