Voir la source de 9 (nombre)

{{Voir homonymes|Neuf}}
{{Ne pas confondre|9 (chiffre)}}
{{à sourcer|date=janvier 2016}}
{{Infobox Nombre
| nom=9
| cardinal=neuf
| ordinal=neuvième <br> none (anc.) <br> {{9e}} || préfgrec=ennéa-
| préflatin=nona-
| adverbe=neuvièmement || advlatin=nono || multlatin=novies
| systnum=base 9
| décomposition=3{{2}} || diviseurs=1, 3 et 9
| numromaine=IX
| repbinaire=1001
| repoctale=11
| repduod=9
| rephexa=9
| numarabe=٩
| numabjad=ﻁ
| numzh=九, 玖, 勾
}}

'''9''' (neuf) est l'[[entier naturel]] qui suit [[8 (nombre)|8]] et qui précède [[10 (nombre)|10]]. C'est le plus haut nombre à un chiffre dans le système décimal.

== Vocabulaire général ==
* Un groupe de neuf choses est appelé une ennéade.
* L'action de multiplier par neuf s'appelle nonupler.

== Neuf dans différents domaines ==
=== Mathématiques, géométrie ===
Neuf est un nombre [[Parité (arithmétique)|impair]] et un [[nombre composé]], ses [[diviseurs stricts]] sont [[1 (nombre)|1]] et  [[3 (nombre)|3]]. C'est un [[carré parfait]], le quatrième [[nombre puissant]] et un [[nombre cubique centré]].

9 est le troisième [[nombre carré]] non [[nombre brésilien|brésilien]].

9 est la somme des [[factorielle]]s des trois premiers entiers non nuls (1! + 2! + 3! = 9).

9 est la somme des trois premiers [[Cube parfait|cubes parfaits]] (0{{3}} + 1{{3}} + 2 {{3}} = 9).

En [[Système décimal|base dix]], un nombre est [[Liste de critères de divisibilité|divisible par neuf si et seulement si]] la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ainsi, pour déterminer si un nombre est divisible par 9 on peut le remplacer par la somme de ses chiffres, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un nombre d'un seul chiffre ; si ce chiffre est 9 ou [[0 (nombre)|0]], le nombre initial est divisible par 9. Le seul autre nombre avec cette propriété est [[3 (nombre)|3]]. En [[système de numération|base ''N'']], les [[diviseur]]s de ''N'' – 1 ont cette propriété. Une autre conséquence du fait que 9 = 10 – 1 fait que c'est aussi un [[nombre de Kaprekar]]. 9 est un [[nombre de Motzkin]].

Six ''neuf'' consécutifs apparaissent dans les décimales de [[pi|{{math|π}}]] de la place 762 à la place 767. Ceci est connu comme le [[point de Feynman]].

Les puissances entières successives de 9 sont : 1, 9, 81, 729, 6 561, 59 049{{etc.}}

En [[géométrie]], un [[polygone]] à neuf côtés est appelé [[ennéagone]] (techniquement), ou nonagone (d'un usage commun).

En [[arithmétique]], la [[preuve par neuf]] est une technique permettant de présumer l'exactitude d'un calcul mental ou effectué « à la main ».

==== Curiosités ====
<math>
\begin{array}{lcr}
9^2 &= &81\\
99^2 &= &9801\\
999^2 &= &998001\\
9999^2 &= &99980001\\
99999^2 &= &9999800001\\
\cdots
\end{array}
</math>

On pourrait penser que le système d'écriture décimal est non ambigu (contrairement au système romain qui doit fixer des règles supplémentaires pour écrire IV au lieu de IIII par exemple), il n'en est rien : une suite infinie de 9 en décimales donne le nombre [[Développement décimal de l'unité|1 = 0,99999…]].

==== Neuf dans divers systèmes de numération ====
{| border="0" align="center" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! [[Base (arithmétique)|Base]]
! [[Système de numération]]
!
|-
| 2 || [[Système binaire|binaire]] ||  1001
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 3 || [[Système trinaire|base 3]] ||  100
|-
| 4 || [[Système quaternaire|base 4]] ||  21
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 5 || [[Système quinaire|base 5]] ||  14
|-
| 6 || [[Système sénaire|base 6]] ||  13
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 7 || [[Système septénaire|base 7]] ||  12
|-
| 8 || [[Système octal|base 8]] ||  11
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 9 || [[Système nonaire|base 9]] ||  10
|-
| colspan=2 | au-delà de 9 ([[Système décimal|base dix]], [[Système hexadécimal|base seize]]...)
| 9
|}

=== Nombre 9 et base quinaire ===
Dans un grand nombre de langues du monde entier, 9 s'écrit sous la forme 5+4 ou 4+5. ([[système quinaire]])

Exemple : en langue wolof (Sénégal), 9 se dit juroom neent (5+4).

=== Astronomie, physique, chimie ===
* Neuf [[corps céleste]]s ont été considérés comme des [[planète]]s de 1930 à 2006. En dehors de la Terre, dans le [[système solaire]], chacune possède une signification astrologique et mythologique, bien que trois de celles-ci ([[Uranus (planète)|Uranus]], [[Neptune (planète)|Neptune]] et [[Pluton (planète naine)|Pluton]]) n'étaient pas connues dans l'[[Antiquité]].
* Neuf est le [[numéro atomique]] du [[fluor]].

=== Anthropologie physique ===
* Neuf mois de [[gestation]] sont nécessaires pour les [[Homo sapiens|humains]].
* Neuf bébés nés en même temps sont appelés des [[Jumeau#Naissances multiples|nonuplés]], bien qu'aucun bébé né parmi des nonuplés n'ait survécu.

=== Musique ===

==== Généralités ====
En [[théorie de la musique]], une [[neuvième]] est la neuvième [[note de musique|note]] d'une [[gamme musicale]] ou l'[[intervalle (musique)|intervalle]] entre la première note et la neuvième. Un [[Accord de cinq notes|accord de neuvième]] est un accord avec une neuvième, c’est-à-dire la neuvième note d'une gamme prise sur une double octave.

Le terme de [[nonette (musique)|nonette]] s'applique à un ensemble de neuf [[musicien]]s, mais aussi à une écriture musicale à neuf parties solistes, ainsi qu'à
une œuvre pour neuf musiciens.

==== Musique classique ====
[[Beethoven]] et [[Anton Bruckner|Bruckner]] ont écrit neuf [[symphonie]]s. Après la mort de Beethoven qui laissa [[Symphonie nº 10 de Beethoven|sa dixième symphonie]] inachevée, les compositeurs devinrent superstitieux ; il se créa toute une légende autour d’une prétendue « [[malédiction de la neuvième symphonie]] » qui survécut jusqu’à la fin du {{XIXe siècle}}. [[Mahler]] essaya de « tricher avec la mort » en appelant sa neuvième symphonie {{Citation étrangère|lang=de|[[Das Lied von der Erde]]}}. Après quoi, il composa [[Symphonie nº 9 de Mahler|une « neuvième symphonie »]] qui dans son esprit était en fait la dixième. Il mourut alors que [[Symphonie nº 10 de Mahler|sa dixième symphonie]] (la onzième dans son esprit) était encore inachevée. Peut-être [[Dvořák]] fut-il aussi superstitieux à propos du nombre neuf, parce qu'il n'écrivit plus de symphonies après sa ''[[Symphonie no 9 de Dvořák|Symphonie du Nouveau Monde]]'', qui est de nos jours considérée comme sa neuvième, mais qui pour lui était la huitième car il considérait la partition de [[Symphonie no 1 de Dvořák|sa première symphonie]] (en [[do mineur]]) perdue pour toujours. Il vécut sept ans de plus. Au {{XXe siècle}}, une quantité de compositeurs, tels que [[Chostakovitch]], composèrent une neuvième symphonie sans en souffrir de conséquences fâcheuses.

Neuf est aussi le nombre de [[Valkyrie]]s dans ''[[Die Walküre|La Walkyrie]]'' de [[Richard Wagner]].

==== Musique moderne ====
En [[pop (musique)|musique pop]], la chanson ''[[Love Potion No. 9 (chanson)|Love Potion No. 9]]'' fut écrite par  [[Jerry Leiber et Mike Stoller]] (qui ont aussi écrit ''[[Riot in Cell Block Number 9]]''), et devint un tube pour [[The Searchers (groupe)|The Searchers]] en [[1965 en musique|1965]].

[[The Beatles|Les Beatles]] réalisèrent une chanson appelée ''[[Revolution 9]]'' qui apparaît sur l'''[[album blanc]]'' ; les paroles principales sont une voix qui répète {{Citation étrangère|lang=en|Number nine…number nine…number nine…}}. [[John Lennon]], le compositeur principal de « Revolution 9 », a aussi réalisé un solo titré « #9 Dream », amenant son biographe à la conclusion qu'il était obsédé par ce nombre.

Parmi les groupes dont les noms comportent le nombre neuf, on peut noter [[Stroke 9]], [[Nine Days]] et [[Nine Inch Nails]], et dans le domaine du [[rap]], [[Tech N9ne]].

=== Littérature et arts plastiques ===
* Un [[neuvain]] est un poème de neuf vers.
* Le neuvième art désigne la [[bande dessinée]].
* Les ''[[Neuf Preux]]'' est un motif festif médiéval qui connut une grande popularité jusqu'au {{XVIe siècle}}.
* Dans la ''[[Divine Comédie]]'', [[Dante]] décrit les neuf [[cercles de l'Enfer]].
* Dans ''[[Le Seigneur des anneaux]]'' de ''[[J. R. R. Tolkien]]'', on trouve neuf ''[[Nazgûl]] et les neuf membres de [[La Communauté de l'anneau]].''

=== Mythologie, croyances, religions, traditions ===
* Chez les Bassas du Cameroun, 9 est le chiffre sacré par excellence, en liaison avec la vie et la mort ([https://books.google.fr/books?id=748ACAAAQBAJ&pg=PA484&lpg=PA484&dq=%22chiffre+neuf%22+dibombari+mbock&source=bl&ots=4PKMzSxTvw&sig=iIw7XweRbzQ-tadvvy7D2ACvVyA&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiVm7uTqbbUAhWsA8AKHUbGC_sQ6AEIIzAA#v=onepage&q=%22chiffre%20neuf%22%20dibombari%20mbock&f=false page 484]).
* Dans la [[mythologie égyptienne]], il existe neuf dieux majeurs et divinités (voir aussi [[Ennéade]]).
* Dans la [[mythologie grecque]], il existe neuf [[Muses]].
* Dans la [[mythologie chinoise]], les [[neuf fils du dragon]] sont des personnages majeurs, on en retrouve sur la majorité des édifices impériaux ou religieux.
* Neuf ({{langue|zh|九}}, [[Hanyu pinyin|pinyin]] ''jiǔ'') est considéré comme un bon nombre dans la [[culture chinoise]] parce qu'il sonne comme le mot « durable » ({{langue|zh|久}}, ''jiǔ''). C'était le chiffre symbole de l'empereur sous la [[dynastie Ming]] et c'est pour cette raison que la [[Cité interdite]] compte {{nombre|9999|pièces}} (et également car seul un palais divin pourrait compter 10 000 pièces).
* Dans les cultures [[turco-mongol]]es [[Moyen Âge|médiévales]], le chiffre 9 était également faste et se retrouve dans les noms de [[Yesügei]], père de [[Gengis Khan]], et de [[Doqouz Khatoun]], épouse de [[Houlagou Khan]], un des petits-fils de Genghis.
* {{japonais|Neuf|[[九]]|kyū/ku}} dans la langue japonaise est un nombre redouté, en effet il se prononce comme le mot {{japonais|« [[souffrance]] »|苦|ku}} apparenté au concept bouddhique de ''[[duḥkha]]''.
* Dans le [[Folkloristique|folklore]] [[Slaves|slave]], le nombre neuf revêt une importance particulière, qui apparaît dans des expressions telles que « au-delà du trois fois neuvième royaume », et qui semble renvoyer à un mode de comptage archaïque par neuf<ref>[http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/slave_0080-2557_1927_num_7_3_7383 Jiří Polívka, ''Les nombres 9 et 3 x 9 dans les contes des Slaves de l'est''] (''Revue des études slaves'', 1927 ; sur Persée).</ref>. Dans la tradition [[Christianisme orthodoxe|orthodoxe]], le neuvième jour après un décès fait l'objet d'un rite particulier (autres dates-jalons : 3 jours, 40 jours, un an)<ref>[http://www.persee.fr/doc/crai_0065-0536_1918_num_62_4_74030 La triple commémoration des morts] (1918, sur Persée).</ref>.
* Le [[chandelier]] à 9 branches est un symbole important du [[judaïsme]] : la [[hanoukkia]].
* Dans la religion catholique, une [[neuvaine]] est une période de dévotion privée ou publique de neuf jours, destinée à obtenir des grâces.
* Neuf est le nombre de vies présumé des [[chat]]s dans diverses traditions (sept vies selon d'autres).
* Le [[Anniversaire de mariage|nombre d'années de mariage]] des noces de [[faïence]].
* Dans la [[mythologie nordique]], il existe neuf mondes.

=== Psychologie, ésotérisme ===
* Il existe neuf types de personnalités représentées sur un [[ennéagramme]].

=== Géographie, aménagement du territoire ===
* 09 est le numéro du [[département français]] de l'[[Ariège (département)|Ariège]].
* {{page h|Autoroute 9}}
* Le numéro de l'[[autoroute française]] [[Autoroute française A9|A9]].
* Le nom du territoire appelé ''[[Kowloon]]'' à [[Hong Kong]] veut dire littéralement : ''Neuf [[Dragon chinois|dragons]]''.

=== Histoire, société, politique ===
* Neuf juges siègent à la [[Cour suprême des États-Unis]], ainsi qu'à la [[Cour suprême du Canada]].
* Un [[chat à neuf queues]] est un fouet à 9 lanières.

=== Sports et jeux ===
* Aux [[échecs]], le nombre maximum de [[dame (échecs)|dames]] qu'un côté peut posséder après avoir transformé tous ses [[pion (échecs)|pions]].
* Le [[Billard américain#Le jeu de la 9|jeu de la 9]] est une variante du [[billard américain]].
* [[Demi de mêlée (rugby à XV)|Au rugby à XV, le demi de mêlée]] porte le {{n°|9}}.
* Au [[football]], le {{n°|9}} est porté par les attaquants.
* Au [[baseball]], il y a neuf joueurs sur le jeu. 9 représente la position du [[voltigeur de droite]].

=== Technologie ===
* L'avion [[Mikoyan-Gourevitch MiG-9]].

=== Normes, codifications ===
* Dans le [[Système international d'unités]], le [[préfixes du Système international d'unités|préfixe]] pour 1000{{exp|9}} est [[ronna]], et celui pour son inverse est [[ronto]].
* L'[[ISO 9]] est le standard [[Organisation internationale de normalisation|ISO]] pour la translittération des caractères [[cyrillique]]s vers les caractères [[latin]]s.
* Dans la [[American Standard Code for Information Interchange|codification ASCII]], 9 est la valeur définissant une tabulation horizontale (Horizontal Tab, HT) ; le chiffre 9 est représenté par la valeur décimale 57.
* Dans l'[[alphabet Morse]], le chiffre 9 est représenté par quatre signaux longs suivis d'un signal bref ('''<code>----·</code>''').

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|9 (number)|8628894|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary = neuf|wiktionary titre = neuf}}
{{Infobox Liste de fichiers
|titre01   = 9 en code morse
|fichier01 = 9 number morse code.ogg
|type01    = ogg
}}

=== Articles connexes ===
* [[Neuf arcs]]
* [[Système des neuf-rangs]]

=== Liens externes ===

{{Palette|Nombres|nombre=9}}
{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Entier naturel|009]]