Voir la source de Aberration (optique)

{{Voir homonymes|Aberration}}
{{Confusion|Aberration de la lumière}}
[[Fichier:Aberrations 3rd order.png|vignette|377x377px|Représentation des fronts d'ondes après déformation par les différentes aberrations d'ordre 1 et 3. ]]
Une '''aberration''' est un défaut du [[système optique]] qui se répercute sur la qualité de l'image (flou, irisation ou déformation). Les aberrations sont définies par rapport à l'[[axe optique|optique paraxiale]]<ref name="ref1">{{Ouvrage
  | nom = Guenther
  | prénom = Robert
  | titre= Modern Optics
  | éditeur= John Wiley & Sons Inc.
  | année= 1990
  | lieu= Cambridge
  | passage= 130
  | isbn = 0-471-60538-7}}.</ref> et matérialisent le fait que certains rayons ne convergent pas vers l'image prédite par l'optique géométrique. Ainsi, la théorie des aberrations s'inscrit dans le cadre de l'[[optique géométrique]] et ne prend pas en compte les aspects [[onde|ondulatoire]] ou [[photon|corpusculaire]] de la lumière.

Il est possible de classer les aberrations en deux groupes. D'une part, les [[Aberration chromatique|aberrations chromatiques]], dépendantes de la [[longueur d'onde]], qui sont responsables d'erreurs d'ordre colorimétrique dans les images. D'autre part, les [[Aberration géométrique|aberrations géométriques]], dépendantes de paramètres géométriques (position de la pupille, [[ouverture numérique]] et [[angle de champ]] notamment) ont un impact sur le [[pouvoir de résolution]] du système.

La [[conception optique]] permet de concevoir des systèmes peu aberrants en combinant des optiques dont les aberrations se compensent.

== Historique ==
La notion d'aberration est née avec les premiers instruments d'optique imageante : le [[verre correcteur]] en 1285<ref>{{google livres|7-sJ6hQjAr4C|titre=Optique MPSI-PCSI-PTSI|page=9}}</ref> et surtout la [[lunette astronomique]] et le [[Microscope optique|microscope]] mis au point par [[Antoni van Leeuwenhoek]] avec des procédés de fabrication de [[Lentille optique|lentilles optiques]] révolutionnaires pour l'époque<ref>Udo Wiesmann, In Su Choi et Eva-Maria Dombrowski (2006). Fundamentals of Biological Wastewater Treatment, Wiley-VCH Verlag GmnH : {{p.|8-9}}. {{ISBN|3527312196}}</ref>.
Les premiers instruments font immédiatement apparaître des aberrations, notamment chromatique dans le cas des lunettes astronomiques.

Pourtant il faudra attendre le {{s-|XIX}} pour qu'une théorie des aberrations apparaisse. La notion de stigmatisme est théorisée par [[Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]] en 1840<ref>{{google livres|b_4TAAAAQAAJ|titre=Dioptrische Untersuchungen}}</ref> et [[Ernst Abbe]] développe au cours de la seconde moitié du {{s-|XIX}} la notion d'aberration sphérique et chromatique. La mise en place d'un formalisme mathématique (polynômes de [[Frederik_Zernike|Zernike]]) autour des aberrations ne date que du début du {{s-|XX}}.

== Description du phénomène d’aberration ==
=== Origines possibles des aberrations ===
Les défauts observés dans une image lors de l'utilisation de systèmes optiques peuvent avoir plusieurs origines. Il convient donc de distinguer les défauts de fabrication liés aux éléments optiques (ces défauts font l'objet de spécifications particulières pour la qualité des optiques<ref>D'après ''Norme MIL-PRF-13830 Section 3.5 et MIL-O-1383'', 1954, Avec masque de référence ''C7641866 révision L'', de 1980</ref>{{,}}<ref>D'après ''Norme ISO 10110-3:199'', 1996 et ''Norme ISO 10110-5:2007'', 2007</ref>) :
* Défauts du matériaux des optiques: bulles, inclusions ou inhomogénéité de l'indice optique .
* Défauts de fabrication : planéité, rayons de courbures, rugosité de surface .
* Défauts dus à l'usure : rayures, revêtement optique endommagé .
* Défauts de conception : Aberrations présentes dès la phase de design .
=== Approche géométrique ===
{{détail|Optique géométrique}}
Le domaine de l’optique géométrique traite des systèmes optiques au travers des [[lois de Snell-Descartes]] (réfraction, réflexion) et du [[principe de Fermat]] selon lequel les  rayons lumineux traversent un milieu en empruntant un chemin optique extrémal. Ce modèle géométrique permet de prédire la trajectoire des rayons lumineux au travers du système dans le cadre de l'[[Approximation de Gauss|approximation paraxiale]].

Dans le modèle géométrique, les aberrations traduisent l'écart de trajectoire entre les rayons réels et les rayons théoriques. Les rayons théoriques étant pour la plupart construits à partir de lois faisant appel à des fonctions simples ([[sinus_(mathématiques)|sinus]], [[cosinus]], [[Fonction trigonométrique|tangente]]), il est possible de linéariser l'écart des rayons réels par un [[développement limité]] et d'écrire les aberrations du système sous la forme d'un [[polynôme]].
[[Fichier:Berration sens lentille.png|centré|vignette|648x648px|Importance du sens d'une lentille pour les aberrations. ]]
L'image ci-dessus présente un exemple de tracé d'optique géométrique montrant l'importance du sens d'une lentille. En effet, en haut, la lentille est placée dans le "bon" sens, tous les rayons convergent presque en un point (tâche image de 0.2 mm de diamètre). Dans le second exemple, la même lentille est placée dans l'autre sens. Alors, tous les rayons ne convergent plus en un point mais une tâche de 1.3 mm. 

=== Approche ondulatoire ===
{{détail|Optique physique}}

En [[Optique physique|optique ondulatoire]], la lumière est modélisée non plus par un rayon géométrique mais par une [[onde électromagnétique]].

Cela conduit à plusieurs conséquences importantes. D'abord, l'image d'un point, même au travers d'un système parfait, n'est plus un point mais une tache. Le diamètre de cette [[tache d'Airy]] est donné par :
<center>
<math>\Phi = 1,22 \frac{\lambda}{\text{ON}}</math>
</center>
<small>Avec Φ le diamètre de la tache d'Airy, λ la longueur d'onde de la lumière et ON l'[[ouverture numérique]] du système.</small>

On retrouve les résultats de l'optique géométrique lorsque λ tend vers zéro ''ie'' lorsque la longueur d'onde devient négligeable devant les dimensions des objets que la lumière va rencontrer. De plus, on s'attend à voir émerger des problèmes de taille de tache lorsqu'on travaille en [[lumière polychromatique]] : le diamètre de la tache d'Airy dépend de la longueur d'onde, donc le bord d'une tache issu d'une lumière polychromatique présente un dégradé de couleur.

La comparaison entre la tache d'Airy attendue et la tache image réelle constitue en soi un premier critère permettant de savoir si le système étudié présente des aberrations. En effet, comme il est impossible d'avoir une tâche image de taille inférieur à la tâche d'Airy, un système ayant une tâche image ayant la taille de la tâche d'Airy est dit "en limite de diffraction". 

D'autre part, l'approche ondulatoire conduit à décrire la propagation de la lumière en termes de [[front d'onde]]. La comparaison du front d'onde réel avec le front d'onde théorique permet de déduire un écart normal. Cet écart normal est ensuite développé sous forme polynomiale. La forme du polynôme permet d'identifier et de quantifier les aberrations présentes dans le système.

<gallery widths="250" heights="220">
File:Chromatische_aberratie2.JPG|'''Tache polychromatique''' (Image en fausses couleurs)
File:Lens_and_wavefronts_rotated.gif|'''Modification du [[front d'onde]] par une lentille convergente.'''
File:AberrationWavefront.png|'''Front d'onde réel issu d'une mesure interférométrique.''' Ce front d'onde n'étant pas sphérique, on déduit que l'optique étudiée présente des aberrations.
</gallery>

==== Lien entre déformation du front d'onde et tache image ====
Les relations de {{Lien|Ben Nijboer|texte=Nijboer}} permettent de relier la dimension de la tache image <math>(dx,dy)</math> à l'écart <math>\Delta</math> du [[front d'onde]] réel au front d'onde idéal<ref>{{google livres|8TsSmwEACAAJ|titre=The Extended Nijboer-Zernike Diffraction Theory and Its Applications}}</ref>.

<center>
<math> dy= \frac{1}{\cos(\alpha)} \frac{\partial \Delta}{\partial \alpha} \cos(\phi)-\frac{1}{\sin(\alpha)} \frac{\partial \Delta}{\partial \phi} \sin(\phi)</math>

<math> dx= \frac{1}{\cos(\alpha)} \frac{\partial \Delta}{\partial \alpha} \sin(\phi)+\frac{1}{\sin(\alpha)} \frac{\partial \Delta}{\partial \phi} \cos(\phi)</math>
</center>

== Aberrations chromatiques ==
{{détail|aberration chromatique}}

L'[[Indice de réfraction|indice]] d'un verre dépend de la longueur d'onde. Cette dépendance peut être approchée en première approximation par la [[loi de Cauchy (optique)|loi de Cauchy]]  <math>n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + ...</math><ref>{{Ouvrage|prénom1=Bernard|nom1=Balland|titre=Optique géométrique|sous-titre=Imagerie et instruments|passage=58}}</ref>.  

{{Image annotée
 | image       = Moon_1-10-09.jpg
 | image-width = 320
 | width       = 320
 | height      = 
 | float       = 
 | annotations =
{{Étiquette|76|20|rouge|60|ne}}
{{Étiquette|86|35|rouge|70|ne}}
{{Étiquette|45|85|{{blanc|bleu}}|10|n}}
{{Étiquette|25|70|{{white|bleu}}|10|n}}
 | caption     = Aberrations chromatiques apparaissant sur une observation de la lune. Irisation rouge à gauche et bleue à droite..
<!-- Etiquettes, paramètre 4: depuis le bord haut, pour l'orientaiton nord-est (ne)! -->
}}

Cette dépendance explique la [[dispersion (mécanique ondulatoire)#En optique|dispersion]] du milieu. On parle alors de la [[Nombre d'Abbe|constringence (ou nombre d'Abbe)]] du milieu (en général du [[verre optique]]) qui décrit comment évolue l'indice optique avec la longueur d'onde. Un verre avec un faible nombre d'Abbe a un indice optique variant beaucoup avec la longueur d'onde, et a introduit alors beaucoup d'aberration chromatique. 

Il en résulte donc que la focalisation pour les différentes longueurs d'onde d'une source polychromatique ne se fait pas dans le même plan, ce qui peut être observé sous la forme d'irisations.

Les aberrations chromatiques peuvent être regroupées en deux catégories :
* le '''chromatisme axial''' qui se traduit par des plans de mise au point différents pour les images de chaque longueur d'onde ;
* le '''chromatisme latéral''' qui se traduit par des images de taille différente pour chaque longueur d'onde.
L'aberration chromatique ne concerne que les systèmes comprenant des lentilles. Ainsi, un système n'utilisant que des miroirs n'aura aucune aberration chromatique.

La correction de l'aberration chromatique se fait de différentes manières :
* Utiliser des miroirs à la place des lentilles. Les miroirs introduisent cependant d'autres aberrations.
* Utiliser des verres optiques ayant un nombre d'Abbe élevé.
* Utiliser des combinaisons de différentes lentilles convergentes et divergentes ayant des nombres d'Abbe différents pour compenser l'aberration chromatique. (Principe du [[doublet achromatique]] ou de l'[[Triplet apochromatique|objectif apochromatique]]).

{|
|+
![[Fichier:Chromatic aberration lens diagram.svg|centré|vignette|271x271px|Lentille créant de l'aberration chromatique. ]]
![[Fichier:Lens6b-fr.svg|centré|vignette|265x265px|Doublet achromatique corrigeant l'aberration chromatique]]
|}

== Aberrations géométriques ==
{{détail|Aberration géométrique}}

=== Principe d'une aberration géométrique, approche géométrique ===
Une aberration géométrique est un écart entre un rayon paraxial, défini dans l'approximation de Gauss, et le rayon réel correspondant. Elle peut aussi être caractérisée par un écart entre la surface d'onde paraxiale et la surface d'onde réelle.
[[Fichier:Aberrations geometrique.png|centré|vignette|512x512px|Schéma de principe des aberrations géométriques]]
Pour un système parfait, tous les rayons partant du point B situé dans le plan objet xy à une distance h de l'axe optique doivent converger en un point B' situé à une distance h' de l'axe optique dans le plan image x'y'. Or, les phénomènes d'aberrations sont tels qu'un rayon va arriver en un point B" ; à une certaine distance Δh' de B'.

Les aberrations géométriques dépendent de<ref name="Field Guide to Lens Design">{{Ouvrage|prénom1=Julie|nom1=Bentley|prénom2=Craig|nom2=Olson|titre=Field Guide to Lens Design|éditeur=SPIE|date=2012-12-07|isbn=978-0-8194-9165-7|doi=10.1117/3.934997|lire en ligne=https://www.spiedigitallibrary.org/ebooks/FG/Field-Guide-to-Lens-Design/eISBN-9780819491657/10.1117/3.934997|consulté le=2024-07-18}}</ref> :

* La qualité du design opto-mécanique (aberrations de décentrement, de piston ou de tilt).
* La position du rayon sur l'objet (h).
* La position du rayon dans le plan image (h').
* La position du rayon dans le plan pupille (ρ)
* La géométrie du système (symétrie par rapport à la pupille, symétrie de révolution ou non, etc.).

=== Aberrations du 3ème ordre ===
Les aberrations du 3ème ordre sont : 

* L'aberration sphérique
* L'aberration de coma
* L'astigmatisme
* La courbure de champ
* La distorsion

==== Développement en 2 dimensions ====
En reprenant les notations géométriques du schéma ci-dessus, on a<ref>{{Ouvrage|prénom1=John E.|nom1=Greivenkamp|titre=Field Guide to Geometrical Optics|éditeur=SPIE|date=2004-01-20|isbn=978-0-8194-7816-0|doi=10.1117/3.547461|lire en ligne=https://www.spiedigitallibrary.org/ebooks/FG/Field-Guide-to-Geometrical-Optics/eISBN-9780819478160/10.1117/3.547461|consulté le=2024-07-18}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |titre=Aberrations géométriques |url=https://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optiquecours/abergeo.html |site=ressources.univ-lemans.fr |consulté le=2024-07-20}}</ref>, pour un système à symétrie de révolution autour de l'axe optique et pour un développement en 2 dimensions (correspondant au cas de la figure ci-dessus): 
{| class="wikitable"
|+
!Nom
!Dépendance
!Caractéristique
!Correction
|-
|[[Aberration sphérique]]
|∝ ρ{{exp|3}}
|Sur l'axe et hors d'axe. Flou
|Optique non sphérique, faible ouverture
|-
|[[Coma (optique)|Aberration de coma]]
|∝ ρ{{exp|2}}h'
|Hors d'axe. Flou et tache en forme d'aigrette
|Optique non sphérique
|-
|[[Astigmatisme (optique)|Astigmatisme]] et [[courbure de champ]]
|∝ ρh'{{exp|2}}
|Hors d'axe. Astigmatisme : Deux plans de focalisation distincts
Courbure de champ : Plan focal courbe
|Courbure du plan image et/ou optiques complexes
|-
|[[Distorsion (optique)|Distorsion]]
|∝ h'{{exp|3}}
|Hors d'axe. Déformation.
|Symétrie de construction, traitement numérique.
|}
[[File:Lens distorsion.png|vignette|right|Modélisation de distorsion en coussinet et en barillet créé par une [[lentille optique|lentille]], et influence de la position de la lentille sur la distorsion.]]Ce développement n'est pas suffisant pour décrire réellement un système optique complexe et un développement en 3 dimensions est alors nécessaire. En revanche, il sert à avoir une approche qualitative des influences des différents paramètres du système sur les aberrations. Par exemple, on peut voir qu'en fermant le diaphragme d'un système (et ainsi limitant ρ à de petites valeurs), on réduit fortement l'aberration sphérique (proportionnelle à ρ{{exp|3}}) mais on ne modifie pas la distorsion (qui ne dépend pas de ρ). 

===== Cas de la distorsion =====
La distorsion n'est pas une aberration comme les autres. En effet, cette aberration n’entraîne pas de destruction d'information, il n'y a pas de flou. Toute l'information peut théoriquement être retrouvé par déformation de l'image<ref name="Field Guide to Lens Design" />.

=== Développement en 3 dimensions, base de Seidel ===
C’est en 1857 que [[Philipp Ludwig von Seidel|Ludwig von Seidel]] développe une méthode permettant de séparer et analyser les aberrations optiques<ref>{{lang|de|texte=(1856), 289–332; “Über den Einfluss der Theorie der Fehler, mit welchen die durch optische Instrumente gesehenen Bilder behaftet sind, und über die mathematischen Bedingungen ihrer Authebung,” in Abhandlungen der naturwissenschaftlich-technischen Commission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften}}</ref>.

Deux méthodes existent pour trouver les termes exacts des aberrations de Seidel : par le calcul de la loi de Descartes pour chaque élément de la combinaison optique, hors de l'approximation de Gauss (donc pour un développement limité à un ordre supérieur à 1), soit par la méthode développée par Buchdahl<ref>''An Introduction to Hamiltonian Optics'', H.A. Buchdahl, Dover Classics of Science & Mathematics, 17 août 1997</ref> qui permet de connaître les termes exacts de la série de Seidel pour les aberrations d'ordre 3 et supérieur.

Tous les polynômes sont ici donnés avec un angle de 0⁰<ref name=":0">{{Ouvrage|titre=Handbook of optics|éditeur=McGraw-Hill|date=2010|isbn=978-0-07-149889-0|isbn2=978-0-07-163598-1|isbn3=978-0-07-163604-9|oclc=318409251|lire en ligne=https://www.worldcat.org/title/318409251|consulté le=2024-07-18}}</ref>{{,}}<ref name="Field Guide to Lens Design" />.
{| class="wikitable" border="1"
! Aberration !! Coefficient 
!Polynôme de Seidel
|-
| Defocus || <math>W_{020}</math> 
|<math>\rho^2</math>
|-
| Tilt || <math>W_{111}</math>
|h'<math>\rho \cos(\phi)</math>
|-
|[[Aberration géométrique#Aberration sphérique|Aberration sphérique]]
|<math>W_{040}</math>
|<math>\rho ^4</math>
|-
| [[Coma (optique)|Coma]] || <math>W_{131}</math> 
|<math>h' \rho^3 \cos(\phi)</math>
|-
| [[Astigmatisme (optique)|Astigmatisme]] || <math>W_{222}</math> 
|<math>h'^2 \rho^2 \cos(\phi)^2</math>
|-
| [[Courbure de champ]] || <math>W_{220}</math> 
|<math>h'^2 \rho^2 </math>
|-
|[[Distorsion (optique)|Distorsion]]
|<math>W_{311}</math>
|<math>h'^3 \rho \cos(\phi)</math>
|-
|Aberration sphérique d'ordre 5
|<math>W_{060}</math>
|<math>\rho^6</math>
|-
|Coma linéaire d'ordre 5
|<math>W_{151} </math>
|<math>h' \rho^5 \cos(\phi)</math>
|-
|Astigmatisme d'ordre 5
|<math>W_{422}</math>
|<math>h'^4 \rho^2 \cos(\phi)^2</math>
|-
|Courbure de champ d'ordre 5
|<math>W_{420}</math>
|<math>h'^4 \rho^2</math>
|-
|Distorsion d'ordre 5
|<math>W_{511}</math>
|<math>h'^5 \rho \cos(\phi)</math>
|-
|Aberration sphérique sagittale oblique
|<math>W_{240}</math>
|<math>h'^2 \rho^4 </math>
|-
|Aberration sphérique tangentielle oblique
|<math>W_{242}</math>
|<math>h'^2 \rho^4 \cos(\phi)^2</math>
|-
|Coma elliptique cubique
|<math>W_{331}</math>
|<math>h'^3 \rho^3 \cos(\phi)</math>
|-
|Coma elliptique linéaire
|<math>W_{333}</math>
|<math>h'^3 \rho^3 \cos(\phi)^3</math>
|}
La caractéristique principale de cette description des aberrations est qu’elle permet de prendre en compte les caractéristiques du système optique, sa symétrie de révolution, la conique des surfaces, etc. Les séries de Seidel présentent donc un avantage particulier pour la [[conception optique]], domaine de l’optique consistant à concevoir et améliorer des systèmes optiques (viseurs, objectifs, systèmes à miroir, télescopes{{, etc.}}) car elles sont reliées de manière évidentes aux aberrations du {{3e|ordre}}.

=== Développement, en dimension 3, en polynômes de Zernike ===
{{détail|Polynôme de Zernike}}
[[File:Zernike.jpg|thumb|Frederik Zernike en 1953.|205x205px]]
C’est en 1936 que [[Frederik Zernike|Zernike]] améliore la description analytique des aberrations en créant une famille de polynômes nommés [[Polynôme de Zernike|polynômes de Zernike]]. Ceux-ci sont orthogonaux dans le [[cercle unité]] (mais pas sur une portion de celui-ci) et permettent de décrire efficacement les aberrations d’ordre supérieur en prenant en compte le [[piston_(optique)|piston]] ou le [[tilt_(optique)|tilt]]. Là où la série de Seidel permettait de prendre en compte la symétrie de révolution du système, les polynômes de Zernike sont plutôt une description du front d'onde sans relation directe avec le système optique. Chaque monôme décrit alors une aberration spécifique sur la surface du cercle unité.
==== Principe ====
Il est possible de relier les polynômes de Zernike aux polynômes de Seidel, cependant ceci n'est pertinent que dans un système où l'on n'étudie que les aberrations du {{3e|ordre}}. Au-delà, les contributions de certains des monômes de Zernike pour le {{5e|ordre}} s'ajoutent à celles du {{3e|ordre}}.

==== Développement des aberrations en Zernike ====
Il existe de nombreuses notations et conventions différentes pour le formalisme de Zernike. Ici, sont données les polynômes orthonormés du cercle de Zernike et aberrations compensées<ref name=":1">{{Ouvrage|langue=en|titre=Optical Shop Testing|éditeur=Wiley|date=2007-06-08|isbn=978-0-471-48404-2|isbn2=978-0-470-13597-6|doi=10.1002/9780470135976|lire en ligne=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9780470135976|consulté le=2024-07-18}}</ref>.

Chaque terme contient la quantité appropriée de termes d'ordre inférieur afin de minimiser l'erreur moyenne de front d'onde de ce terme. Les polynômes de Zernike représentent donc des aberrations classiques compensées<ref name=":1" />{{,}}<ref name=":0" />.
{| class="wikitable" border="1"
! Aberration 
!n
!m
!Notation!! Polynôme de Zernike
!Représentation des polynômes
|-
|Piston
|0
|0
|<math>Z_0^0</math>
|1
| rowspan="13" |[[Fichier:Zernike polynomials2.png|vignette|300x300px|Représentation des différents polynômes de Zernike. ]]
|-
|Tilt
|1
|1
|<math>Z_1^1</math>
|<math>2\rho \cos(\phi)</math>
|-
| Defocus 
|2
|0
|<math>Z_2^0</math>|| <math>\sqrt{3}(2 \rho ^2 - 1)</math>
|-
| [[Astigmatisme (optique)|Astigmatisme]] 
|2
|2
|<math>Z_2^2</math>|| <math>\sqrt{6} \rho ^2 \cos(2\phi)</math>
|-
| [[Coma (optique)]] 
|3
|1
|<math>Z_3^1</math>|| <math>\sqrt{8}(3\rho ^3-2\rho) \cos(\phi)</math>
|-
|
|3
|3
|<math>Z_3^3</math>|| <math>\sqrt{8}(3\rho ^3-2\rho) \cos(\phi)</math>
|-
|[[Aberration géométrique#Aberration sphérique|Aberration sphérique]]
|4
|0
|<math>Z_4^0</math>
|<math>\sqrt{5}(6\rho ^4-6\rho ^2+1)</math>
|-
| Astigmatisme secondaire 
|4
|2
|<math>Z_2^4</math>|| <math>\sqrt{10}(4\rho ^4-3\rho ^2)cos(2 \theta)</math>
|-
|
|4
|4
|<math>Z_4^4</math>
|<math>\sqrt{10}(\rho ^4)cos(4 \theta)</math>
|-
|Coma secondaire
|5
|1
|<math>Z_5^1</math>
|<math>\sqrt{12}(10\rho ^5- 12 \rho ^3 + 3 \rho )cos(\theta)</math>
|-
|
|5
|3
|<math>Z_5^3</math>
|<math>\sqrt{12}(5\rho ^5- 4 \rho ^3)cos(3 \theta)</math>
|-
|
|5
|5
|<math>Z_5^5</math>
|<math>\sqrt{12}(\rho ^5)cos(5 \theta)</math>
|-
|Aberration sphérique secondaire
|6
|0
|<math>Z_6^0</math>
|<math>\sqrt{7}(20 \rho ^6 -30 \rho ^4 + 12 \rho ^2 -1)</math>
|-
|... et ordres superieurs ...
|
|
|
|
|
|}

==== Avantage ====
Si les polynômes de Zernike sont de plus en plus employés dans les logiciels d’optimisation optique, leur prédominance dans le domaine de l’analyse de front d’onde et de l’[[optique adaptative]] est sans conteste, du fait de l’approche plus ondulatoire que la série de Seidel. Cette base de polynômes est orthogonale pour un système ayant une pupille circulaire. Cela explique leur usage fréquent dans les logiciels de [[conception optique]] qui nécessite la décomposition sur une [[Base (algèbre linéaire)|base]] d'aberrations.

==== Limites ====
Il existe des systèmes optiques avec des pupilles non circulaires, tels que les télescopes avec des pupilles annulaires et hexagonales, ainsi que certains lasers avec des pupilles carrées. Dans ces cas précis, il existe des polynômes orthonormaux spécifiques.

== Critères de quantification des aberrations optiques ==
=== Rapport de Strehl ===
{{détail|Rapport de Strehl}}
[[Image:Carl-Strehl-Plakette.JPG|thumb|Karl Strehl]]
Le [[rapport de Strehl]] nommé d’après le physicien [[Karl Strehl]] est une quantité exploitant le principe de front d’onde idéal et de front d’onde aberrant. On définit le rapport de Strehl comme le rapport entre la [[fonction d'étalement du point]] (ou PSF, pour Point Spread Function) au plan de meilleure mise au point pour un système limité par la diffraction et la PSF réelle entachée d’aberration. La formule est alors : <math>S \simeq e^{-\left( \frac{2 \pi \sigma}{\lambda} \right)^2}</math> où σ est l’écart quadratique entre le front d’onde parfait et le front d’onde aberrant, l’unité étant la même que celle choisie pour la longueur d’onde <math>\lambda</math>.

Si le rapport de Strehl est un outil généralement utile et efficace pour juger de la qualité d’une optique, il demeure limité et n’est applicable qu’à un système dont la PSF réelle n’est pas trop différente de la PSF avec aberration. Un front d’onde trop perturbé peut produire un rapport de 0,9 tout en étant très mauvais.

=== Critère de Maréchal ===

En 1947, [[André Maréchal]] développe l’idée d’un critère permettant d’évaluer la qualité d’un système optique et discute pour la première fois dans sa thèse<ref>« l’étude des influences conjuguées des aberrations et de la diffraction sur l’image d’un point », soutenue le 13 juin 1947</ref> d’un critère de qualité optique, plus tard appelé critère de Maréchal. Il va alors plus loin que le critère de Rayleigh qui jusque-là se bornait à donner un critère de résolution de <math>\lambda/4</math> et énonce que l’écart RMS entre front d’onde idéal et front d’onde réel doit être inférieur à <math>\lambda/14</math> ce qui ramené au rapport de Strehl, implique d’avoir un rapport de Strehl approché d’environ 0.82.

=== FTM ===

La [[Fonction de transfert optique|FTM (fonction de transfert de modulation)]] correspond à l'évolution du contraste en fonction de la fréquence spatiale. Elle quantifie la capacité d'un système optique à reproduire correctement les différentes [[fréquence spatiale|fréquences spatiales]] du sujet.

Sur une image, les faibles fréquences spatiales correspondent aux grandes zones claires et sombres, alors que les hautes fréquences spatiales représentent les détails fins et les changements brusques de luminosité, par exemple au bord d'un objet. En [[photographie]], un système transmettant bien les hautes fréquences spatiales aurait du ''[[piqué]]''.

L'ouverture numérique pour une longueur d'onde donnée limite la fréquence spatiale de coupure.
<center>
<math>\nu_C=\frac{2 \sin(\alpha_{max})}{\lambda}</math>
</center>Mathématiquement il s'agit de la valeur normée de la fonction de transfert, pour un éclairage incohérent<ref>{{google livres|1WoBAQAAQBAJ|titre=De l'Optique électromagnétique à l'Interférométrie: Concepts et illustrations|page=245}}</ref>. Dans le cas idéal (limite de diffraction), la FTM correspond à [[Autocorrélation|l'autocorrélation]] de la pupille du système, soit :<math display="block">\text{FTM}=\frac{2}{\pi}\left(\text{arccos}\left(\frac{\sigma}{\nu_C}\right)-\frac{\sigma}{\nu_C}\sqrt{1-\left(\frac{\sigma}{\nu_C}\right)^2} \right)</math>En pratique, pour calculer la FTM d'un système imageant, une mire de résolution, (par exemple une mire [[Mire de résolution 1951 USAF|USAF 1951]]) est utilisée. Ce type de mire contient des éléments de toutes taille (et donc de toutes fréquences spatiales). Pour chacun de ces motifs, le contraste est calculé et on obtient donc la FTM.

<center>[[Fichier:Illustration_of_the_optical_transfer_function_and_its_relation_to_image_quality..svg|alt=Influence de la FTM sur la transmission des hautes fréquences|centré|vignette|600x600px|En haut : Un système optique peu aberrant. En bas : Un système optique avec beaucoup d'aberrations.(a-d) FTM  (b-e) PSF (c-f) Image d'une mire de résolution.]]
</center>

L'image ci-dessus montre que le système peu aberrant a une meilleur FTM que le système avec des aberration, ainsi le contraste est meilleur pour les grandes fréquences spatiales (centre de c et f) . Cela est confirmé par la taille de la PSF du système qui est plus petite en b qu'en e.

== Détermination expérimentale des aberrations ==

=== Méthode du point lumineux ===
[[File:Monochromator.jpg|thumb|Monochromateur servant à quantifier les aberrations chromatiques d'une optique]]
Cette méthode est la plus ancienne et la moins onéreuse à mettre en place. En pratique, la méthode repose sur le fait que l'observation de la tache [[image]] d'une source de petite dimension se rapproche de sa [[Fonction_d'étalement_du_point|réponse impulsionnelle]]. L'observation de la forme de cette réponse impulsionnelle et la position de mise au point permet sur l'axe seul de connaître :
* la présence d'aberration sphérique ;
* la présence d'astigmatisme ;
* la présence de chromatisme.
Un [[monochromateur]] peut permettre de quantifier le chromatisme par mesure de la position du [[Foyer_(optique)|meilleur foyer]] en fonction de la longueur d'onde.

Dans le champ (nécessite un dispositif de rotation de la source lumineuse autour de l'optique d'étude), on peut connaître en plus :
* la présence de coma ;
* la valeur de la courbure de champ ;
* la valeur des courbures sagittales et tangentielles.

Cette méthode permet également dans le cas d'optiques à diaphragme de déterminer à partir de quelle ouverture l'optique est limitée par la diffraction<ref>http://paristech.institutoptique.fr/site.php?id=762&fileid=9696</ref>.
=== Analyse de front d'onde ===
[[Fichier:Zygo.jpg|vignette|360x360px|Interféromètre de Zygo (type Fizeau) permettant une analyse de front d'onde. ]]
Les [[Analyseur_de_front_d%27onde|analyseurs de front d'onde]] permettent de mesurer une partie des défauts des optiques avec une grande précision.

On distingue deux types d'analyseur de front d'onde : les analyseurs [[Interférométrie|interférométriques]] ([[Interféromètre de Fizeau|Fizeau]], Zygo, etc.) et les analyseurs à micro-lentilles ([[Shack-Hartmann]], Phasics, etc.). Les premiers donnent le défaut du front d'onde par rapport à un front d'onde de référence. Les derniers donnent une carte topologique de la déformation ([[valeur absolue]] du défaut de front d'onde).

Cependant de tels dispositifs ne quantifient pas le chromatisme ni la distorsion puisqu'ils travaillent en lumière monochromatique, et que la distorsion est une déformation qui n'impacte pas le front d'onde

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references />
=== Voir aussi ===
* [[Aberration géométrique]]
* [[Aberration chromatique]]
* [[Conception optique]]
* [[Distorsion (optique)]]
*[[Aberrations en optique des particules chargées]]

=== Liens externes ===

{{Palette Objectifs}}
{{Portail|astronomie|Optique|photographie}}

[[Catégorie:Optique géométrique]]