Voir la source de Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison

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{{Infobox Livre
 | auteur             = [[Al-Khawarizmi]]
 | préface            = 
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 | légende            = Première page du ''Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala''
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}}

L''''''Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison'''''<ref>Titre admis par « la plupart des spécialistes » d'après A. Djebbar (cf. vidéo citée en lien externe) par exemple l'[http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.univ-irem.fr%2Fcommissions%2Fepistemologie%2Fressouces%2Fress.ext%2Fgrands%2520textes%2Falkhwarismi.htm IREM].</ref> (en [[arabe]] : {{lang|ar|'الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة}}, ''Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala'') est un livre historique de mathématiques écrit en [[arabe]] entre 813 et 833 par le mathématicien perse [[Al-Khawarizmi]]. Dans cet ouvrage, Al-Khawarizmi pose les fondations de l'[[algèbre]] en étant le premier à étudier systématiquement la résolution des [[équation]]s du [[équation du premier degré|premier]] et du [[équation du second degré|second degré]]. Les successeurs d'Al-Khwarizmi ont perpétué et amplifié son œuvre dans d'autres ouvrages qui portaient souvent le même titre. Ce livre a eu une grande influence pendant plusieurs siècles, au point d'avoir donné naissance à deux noms communs dans de nombreuses langues, dont le français : ''algèbre'' et ''[[algorithme]]'' (par déformation d'Al-Khwarizmi). Cette influence est essentiellement due à la présentation et à l'organisation de cet abrégé. Il est le premier à exposer de façon à la fois claire et précise un ensemble de méthodes de résolution des [[équation du second degré|équations du second degré]] : {{citation bloc|pour la première fois, nous trouvons rassemblé dans un même ouvrage un ensemble d'éléments (définitions, opérations, algorithmes, démonstrations) qui étaient auparavant soit éparpillés et sans lien entre eux, soit non formulés explicitement et indépendamment des questions traitées<ref name="Djeb_31">{{harvsp|Djebbar|2005|p=31}}.</ref>.}}

== Contexte ==
Sous le règne d'[[Al-Ma’mūn]] <small>(813-833)</small>, l'Empire [[abbassides|abbasside]] est à son apogée. Le [[Calife]] demande à Al-Khawarizmi, un savant renommé travaillant à la [[Maison de la sagesse]] de [[Bagdad]], de faire le point sur les méthodes mathématiques utiles à la gestion de cet immense État qui s'étend de l'[[Asie centrale]] aux [[Pyrénées]].

== Contenu ==
L'''Abrégé'' est constitué d'une introduction et de deux parties. Dans ce traité, Al-Khwarizmi est le premier à étudier systématiquement des équations du [[équation du premier degré|premier]] et du [[équation du second degré|second degré]], c'est-à-dire celles qui peuvent être écrite sous la forme, dans une écriture moderne d'une équation qui n'apparaît qu'au {{s-|XVII}}<ref>Le [[signe égal]] apparaît pour la première fois dans un livre imprimé de [[Robert Recorde]], en 1557.</ref> :
:<math>ax^2+bx+c=0</math>,
avec <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> trois nombres quelconques, <math>a</math> étant éventuellement [[zéro|nul]], où la lettre ''x'' désigne un [[inconnue (mathématiques)|nombre inconnu]]. Cependant, ces notations modernes ne sont pas utilisées dans l'''Abrégé'', dans lequel tous les calculs sont [[algèbre rhétorique|décrits par des phrases]] et les nombres écrits en toutes lettres. 
=== Introduction ===
Selon la tradition de l'époque, l'introduction commence par des louanges à Dieu, au Prophète ainsi qu'au Calife [[Al-Ma’mūn]]. Puis Al-Khawarizmi présente la suite de l'ouvrage, en indiquant qu'il lui a été commandé par le Calife : il s'agit d'un abrégé, ou manuel, destiné à {{citation|rendre plus clair ce qui était obscur et [...] faciliter ce qui était difficile}}<ref>Citation issue de {{harvsp|Djebbar|2005|p=25}}.</ref> dans le but de résoudre des problèmes concrets de calcul d'héritage, [[arpentage]] ou de commerce. Il évoque deux parties : la première consiste à présenter des opérations de calcul, la deuxième est une liste d'exemples résolus.

=== Première partie ===
La première partie du manuel est composée de quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, l'auteur expose le [[système décimal|système de numération décimale]] des nombres, puis définit les objets de l'algèbre<ref name="Djebbar27">{{harvsp|Djebbar|2005|p=27}}.</ref>. Il considère trois types d'objets : 
* les ''nombres'' (que nous appellerions des constantes, et notés <math>c</math> par ailleurs dans cet article) qu'il désigne du nom d'une unité monétaire, le ''[[dirham d'argent]]'', 
* les ''racines'' (nombres solutions, le mot ''racine'' signifiant « ce qui est caché » et qu'il faut mettre à jour, que nous noterons <math>x</math>) 
* et les ''carrés'' des racines (donc <math>x^2</math>). 
Les [[mathématiques arabes|mathématiciens arabes]] de l'époque ne connaissaient pas les [[nombre négatif|nombres négatifs]]. Les nombres d'Al-Khawarizmi sont des [[entier naturel|entiers]] ou [[nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs<ref name="Djebbar27"/>.

Le deuxième chapitre analyse systématiquement les [[équation du second degré|équations de degré deux]] ou [[équation affine|un]], c'est-à-dire les équations dont l'écriture moderne<ref>La notation numérique des exposants, même entiers, ne sera pas observée avant les travaux de [[Descartes]]. L'algèbre des origines utilisait des signes spéciaux pour carré, cube, racine carrée et racine cubique</ref> serait :
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
avec ''a'' éventuellement nul.

Le fait d'ignorer les nombres négatifs conduit Al-Khawarizmi à distinguer six cas dans lesquels les paramètres <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> sont tous positifs :

# les carrés égalent les racines : <math>ax^2 = bx</math> ;
# les carrés égalent les nombres : <math>ax^2 = c</math> ;
# les racines égalent les nombres : <math>bx = c</math> ;
# les carrés et les racines égalent les nombres : <math>ax^2+bx = c</math> ;
# les carrés et les nombres égalent les racines : <math>ax^2+c = bx</math> ;
# les racines et les nombres égalent les carrés : <math>bx+c = ax^2</math>.

Chacun des six cas est suivi d'exemples et de sa méthode de résolution, d'abord générale, puis, pour les trois derniers cas, appliquée aux exemples. Le chapitre s'achève sur les démonstrations des méthodes de résolution des trois cas par des [[algèbre géométrique|raisonnements s'appuyant sur la géométrie]], y compris la démonstration de l'[[existence (mathématiques)|existence]] des solutions<ref>{{harvsp|Djebbar|2005|p=27-28}}.</ref>.

Al-Khwarizmi résout les équations en utilisant successivement les deux techniques qui ont donné leur nom au livre : ''al-jabr'' et ''al-muqabala''. En [[français]] moderne ''al-jabr'' et ''al-muqabala''  sont deux aspects de ce qu'on appelle ''transposition''<ref>[http://francois.gannaz.free.fr/Littre/xmlittre.php?requete=t2678 Dictionnaire Littré en ligne.]</ref>.

Dans le troisième chapitre, l'auteur étend le domaine de l'algèbre. Il applique les cinq opérations classiques (à savoir : l'[[addition]], la [[soustraction]], la [[multiplication]], la [[division]] et l'extraction de la [[racine carrée]]) à des objets plus complexes que les ''dirhams'' : des nombres non rationnels, des inconnues, des expressions combinant plusieurs nombres. Ce passage est moins maîtrisé que le précédent : l'exposé n'est pas systématique, certaines démonstrations sont présentées, mais pas toutes (Al-Khawarizmi avoue avoir échoué pour certaines)<ref>{{harvsp|Djebbar|2005|p=29-30}}.</ref>.
;Exemple de calcul complexe démontré<ref>{{harvsp|Djebbar|2005|p=29}}.</ref>
:<math>\left(\sqrt{200}-10\right) + \left(20-\sqrt{200}\right) = 10.</math>

Le quatrième et dernier chapitre de cette partie rassemble environ quarante exemples sur lesquels sont appliqués les méthodes présentées auparavant<ref name="Djeb_31"/>.

=== Deuxième partie ===
{{...}}
Cette partie de l'ouvrage, quantitativement la plus importante<ref>{{Chapitre |auteur1=Ahmed Djebbar|titre chapitre=La phase arabe de l'algèbre (IX<sup>e</sup>-XV<sup>e</sup> S.)|auteurs ouvrage=Dorier J.-L., Coutat S.|titre ouvrage=Enseignement des mathématiques et contrat social|sous-titre ouvrage=enjeux et défis pour le {{21e|siècle}} - Actes du colloque EMF|lieu=Genève |éditeur= Université de Genève|année= 2012|isbn= 978-2-8399-1115-3|lire en ligne=http://www.emf2012.unige.ch/images/stories/pdf/Actes-EMF2012/Actes-EMF2012-GT4/GT4-pdf/EMF2012GT4DJEBBAR.pdf |passage= 603-611}}</ref>, est dédiée à {{citation|la résolution de problèmes de transactions commerciales, d’[[arpentage]] et de répartition des héritages<ref>{{article|prénom1=Ahmed|nom1=Djebbar|lien auteur=Ahmed Djebbar|titre=La naissance de l’Algèbre|journal=Réciproques|numéro=15|mois=5|année=2001|url=http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull15/naissalg.htm}}</ref>.}}

== Al-jabr et Al-muqabala ==
=== Al-jabr ===

''Al-jabr'' signifie ''réduction'', au sens de « réduction d'une fracture »<ref>Le terme ''álgebra''  a été conservé en ce sens en [[espagnol]] comme l'indique le [http://lema.rae.es/drae/?val=álgebra dictionnaire] de l'[[Académie royale espagnole]].</ref>, sa transcription en latin a donné ''algebra'' puis [[algèbre]]. L'''al-jabr'' consiste à réduire l'équation en éliminant les [[soustraction]]s par [[addition]] de termes dans les deux membres. En termes modernes, cela revient à obtenir une équation à coefficients tous positifs. 
{{exemple|''x''<sup>2</sup> {{=}} 40''x'' − 4''x''<sup>2</sup> est transformé, par ''al-jabr'', en ''x''<sup>2</sup> + 4''x''<sup>2</sup> {{=}} 40''x'', puis 5''x''<sup>2</sup> {{=}} 40''x''.}}
En effet, Al-Khawarizmi nomme les termes soustraits (comme 4''x''<sup>2</sup> dans l'exemple précédent) : ''nâqis'', « terme enlevé ». Le même mot est employé pour désigner le membre manquant d'un [[amputation|amputé]]<ref>Rodet, Léon (1850-1895). ''L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque'', {{p.|32}}</ref>. Al-jabr consiste donc à ''restaurer'' ce qui est manquant dans une équation.

=== Al-muqabala ===
Éliminer les soustractions par ''al-jabr'' ne suffit pas pour obtenir un des six cas canoniques. 
{{exemple|''x''<sup>2</sup> + 5 {{=}} 40''x'' + 4''x''<sup>2</sup> contient des carrés dans les deux membres, chaque membre est pourtant une [[somme (arithmétique)|somme]].}}

''Al-muqabala'' consiste à soustraire une quantité afin que des quantités de même type (dirham, racine ou carré) ne puissent se trouver à la fois dans les deux membres de l'équation.

{{exemple|Dans  ''x''<sup>2</sup> + 5 {{=}} 40''x'' + 4''x''<sup>2</sup> on soustrait ''x''<sup>2</sup> pour obtenir 5 {{=}} 40''x'' + 3''x''<sup>2</sup>.}}

== Le problème de la traduction ==
[[Fichier:Dixit algorizmi.png|thumb|Page d'une traduction en latin d'un autre livre d'Al-Khwarizmi, commençant par ''Dixit Algorizmi'' (Cambridge, University Library, Ii. 6.5.).]]

Une seule copie en [[arabe]] a été conservée. Elle se trouve à l'[[Université d'Oxford]] et est datée de [[1361]]<ref>{{harvsp|Hamon|2006}}.</ref>. En 1831, Frederic Rosen a publié une traduction en anglais basée à partir de ce manuscrit. Dans sa préface, il remarque que l'écriture est « simple et lisible », mais que les signes [[diacritiques de l'alphabet arabe]] ont été omis, ce qui rend la compréhension de certains passages difficiles<ref>{{harvsp|Frederic Rosen|1831}}</ref>.

La totale nouveauté des concepts étudiés dans ce livre peut se mesurer à la difficulté à traduire son titre.
Le dictionnaire ''[[Trésor de la langue française informatisé]]'' donne « ''science des restitutions et des comparaisons'' » tout en affirmant que ''al-jabr'' signifie ''réduction''<ref>[http://atilf.atilf.fr Trésor de la langue française informatisé] article "algèbre", partie étymologie.</ref>.
Quant à [[Amy Dahan|Dahan-Dalmédico]] et Pfeiffer, elles se contentent d'un « ''précis sur le calcul de al-jabr et al-muqabala<ref>{{DahanPeiffer}}, {{p.}}84.</ref>'' ».

== Influence ==
{{...}}
Au {{s-|XIII}}, c'est grâce à [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] que l'Europe prit connaissance de cette œuvre<ref name=Charb>{{Article|auteur=Louis Charbonneau|titre=Du raisonnement laissé à lui-même au raisonnement outillé: l'algèbre depuis Babylone jusqu'à Viète|périodique=Bulletin de l'Association des Mathématiques du Québec|année=1992|page=11|url=http://archimede.mat.ulaval.ca/amq/archives/1991/4/1991-4-part5.pdf}}</ref>.

== Postérité ==
Cet ouvrage est considéré comme : {{citation bloc|l'acte de naissance officiel de l'algèbre en tant que discipline (avec, à la fois, un nom, des objets, des outils, des algorithmes et des domaines d'application)<ref>{{harvsp|Djebbar|2005|p=23}}</ref>.}} Il est l'un des livres {{citation|les plus importants de l'[[histoire des mathématiques]]<ref>{{Article|auteur=Marc Moyon|titre=Apprendre les mathématiques au Moyen Âge : l’importance des traductions arabo-latines|périodique=[[Images des mathématiques]], [[CNRS]]|année=2014|url=http://images.math.cnrs.fr/Apprendre-les-mathematiques-au.html}}</ref>}}, et plus précisément de l'[[Chronologie de l'algèbre|histoire de l'algèbre]]<ref name=Charb/>.

== Sources et références ==
=== Bibliographie ===
* {{DjebbarAlgèbre}}
=== Éditions critiques ===
* {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Levet|titre=[[Robert de Chester]]. L'Algèbre d'Al-Khwarismi| sous-titre =[d'après l'édition latine du XIIe siècle]|éditeur=IREM de Poitiers|année=1997| format =4 fasc.|collection =Cahiers d'histoire des mathématiques et d’épistémologie|présentation en ligne=http://www.univ-irem.fr/commissions/epistemologie/ressouces/ress.ext/grands%20textes/alkhwarismiplan.htm}}
* {{ouvrage|langue=en|titre=Robert of Chester's latin translation of the Algebra ok al-Khowarizmi|lire en ligne=http://www.wilbourhall.org/pdfs/Robert_of_Chester_s_Latin_Translation_of.pdf|nom1=[[Louis Charles Karpinski]]|année=1915|éditeur=The MacMillan Company|lieu=New York}}{{commentaire biblio|Partie algébrique de la traduction en latin de Robert de Chester, avec une traduction en anglais.}}
* {{RosenAlJabr}}
* {{ouvrage|auteur1=Al-Khwārizmī|champ libre=traduit et commenté par [[Roshdi Rashed]]|titre=Al-Khwārizmī|sous-titre=Le commencement de l'algèbre|édition=Blanchard|année=2007|isbn=9782853672412}}

==== Étude ancienne ====
* {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Léon|nom1=Rodet|titre=L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque|lieu=Paris|année=1878|collection =Journal asiatique|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995262|consulté le={{1er}} novembre 2010}}

=== Liens externes ===
*  [http://serge.mehl.free.fr/chrono/Khwarizmi.html Al-Khwarizmi] sur le site Chronomath, pour une première approche.
* {{MacTutor|id=Al-Khwarizmi|title=Al-Khwarizmi}}.
*  {{lien web|url=http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/flash/Lamballe.pdf|titre=D’Al Khwarizmi à Cardan, les débuts de l’Algèbre|auteur=Gérard Hamon|éditeur=IREM de Rennes|année=2006|mois=février|id=Hamon2006}}{{commentaire biblio|Avec un tableau donnant une traduction d'une démonstration d'Al-Khwarizmi et, en regard, les notations modernes.}}
* [https://culturemath.ens.fr/thematiques/lycee/l-algebre-arabe-entretien-avec-ahmed-djebbar Interview vidéo d'Ahmed Djebbar] sur le site de l'[[École normale supérieure (Paris)|École normale supérieure]]. Une vue d'ensemble de l'algèbre arabe médiévale en huit parties, dont deux étudient spécifiquement le traité d'algèbre d'Al-Khwarizmi.

=== Notes ===
{{Références|colonnes=2}}

{{Palette|Mathématiques arabes}}
{{Portail|Mathématiques|Monde arabo-musulman|Haut Moyen Âge}}

{{DEFAULTSORT:Abrege du calcul par la restauration et la comparaison}}
[[Catégorie:Livre historique de mathématiques]]
[[Catégorie:Littérature de langue arabe]]
[[Catégorie:Œuvre didactique et pédagogique médiévale]]
[[Catégorie:Œuvre mathématique du haut Moyen Âge]]
[[Catégorie:Histoire de l'algèbre]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]