Voir la source de Abu l-Wafa

{{Sous-titre|Muhammad Aboul-Wafa}}
{{homonyme|Wafa}}
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|charte = écrivain}}

'''Abu Al-Wafa''' ou '''Abu l-Wāfā’''' ou '''Muhammad Aboûl-Wafâ''', {{persan|محمد ابوالوفای بوزجانی}}, né en 940 à [[Bouzjan]] et mort en 998 à [[Bagdad]] était un [[astronome]] et [[mathématicien]] [[empire perse|persan]] et [[musulman]]<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://global.britannica.com/EBchecked/topic/2127/Abul-Wafa|titre=Abūʾl-Wafāʾ — Persian mathematician|site=[[Encyclopædia Britannica]]}}.</ref> principalement connu pour ses apports en trigonométrie plane et en [[trigonométrie sphérique]].

== Biographie ==

Né en 939 ou 940 à Buzjan dans la région de [[Khorasan-e-razavi|Khorassan]], il étudie les [[mathématiques]] auprès de ses oncles.

En [[959]], il émigre à [[Bagdad]] où il restera jusqu'à sa mort pendant l'apogée de la dynastie [[Abbassides|abbasside]]. Sous le règne des [[Bouyides]], [[Adhud ad-Dawla Fanna Khusraw|`Adhud ad-Dawla]] et son fils [[Charaf ad-Dawla Chirzil|Charaf ad-Dawla]], [[Bagdad]] devient un important centre culturel. Introduit à la cour, Abu l-Wafa rejoint al-Quhi et [[al-Sijzi]] comme [[astronome]].

Parallèlement à ses observations astronomiques, Abu l-Wafa s'intéresse à la [[géométrie]], la [[trigonométrie]], l'[[algèbre]] et correspond avec les autres scientifiques de son époque.

== Contributions ==

=== Astronomie ===

Abu l-Wafa s'intéresse aux mouvements de la lune. Il observe en particulier, à Bagdad, l'éclipse de lune du {{date-|24 mai 997}} concomitamment avec [[al-Biruni]] situé à Kath, permettant ainsi de préciser la différence de [[longitude]] entre les deux villes. Il corrige les tables lunaires de son époque mettant en évidence ce que [[Tycho Brahe]] appellera la troisième variation.

=== Trigonométrie ===

Dans son livre ''La révision de l'Almageste''<ref>{{Article|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k93241p/f411.image|titre=L'Almageste d'Abû'lwefa Albûzdjâni|auteur=Baron Carra de Vaux|périodique=Journal asiatique|date=mai-juin 1992|tome=19|série=8}}</ref> (par référence à l'[[Almageste]] de [[Claude Ptolémée|Ptolémée]]), il complète les tables trigonométriques de ses prédécesseurs notamment sur la tangente, en utilisant des méthodes géométriques comparables à nos formules de trigonométrie (voir par exemple la démonstration ci-dessous pour la détermination du sinus de la différence de deux arcs)<ref>{{Article|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k93241p/f420.image|titre=L'Almageste d'Abû'lwefa Albûzdjâni|auteur=Baron Carra de Vaux|périodique=Journal asiatique|date=mai-juin 1992|tome=19|série=8|page=417}}</ref>.

{{Démonstration|contenu=
[[File:AbulWafa-trigo.svg|right|300px|Figure utilisée par Abul l-Wafa pour déterminer le sinus de la différence de deux angles]]
Considérons la figure ci-contre. Soit un cercle de rayon [OB] (qu'on peut supposer de longueur 1), et deux arcs BA et BC dont on connaît les sinus BT et BH. Il s'agit de déterminer le sinus de l'arc AC, différence des arcs BA et BC. 

Soit D tel que l'arc BD soit le double de l'arc BC, et Z tel que l'arc BZ soit le double de l'arc BA. On a donc l'arc DZ qui est le double de l'arc AC et le sinus de AC est la moitié de la longueur de la corde [DZ]. Comme T et H sont les milieux de [BZ] et [BD], le [[théorème de Thalès]] permet de conclure que le sinus cherché est la longueur TH. 

Les triangles TOB et HOB étant rectangles en T et H, ils sont inscrits dans le même cercle de diamètre [OB] (non représenté). Les [[Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre|angles inscrits]] HOB et HTB portés par le segment [HB] sont donc égaux. Il en est de même des angles TOH et TBH, portés par [TH]. 

Si on pose N le projeté orthogonal de B sur (TH), il en résulte que les triangles BNT et BHO sont semblables, ayant leurs angles égaux. On a donc :
:<math>\frac{BT}{TN} = \frac{BO}{HO}</math>
De plus, les angles NBT et HBO de ces deux triangles sont égaux. Si l'on retranche l'angle HBT, on a donc les angles NBH et TBO égaux. les deux triangles rectangles NBH et TBO ont donc leurs angles égaux, donc sont isométriques. On a donc :
:<math>\frac{BH}{HN} = \frac{BO}{TO}</math>
On peut en déduire TN et HN, puis TH = TN - HN. On reconnaît alors la formule donnant le sinus de la différence de deux arcs. En effet :
:<math>\sin(BA - BC) = \sin(AC) = TH = TN - HN = \frac{BT \times HO}{BO} - \frac{BH \times TO}{BO} = \sin(AB)\cos(BC) - \sin(BC)\cos(AB)</math>
}}

On lui doit la notion de cercle trigonométrique, celles de sécante et cosécante. On lui attribue aussi la formule des sinus en [[trigonométrie sphérique]] :
:<math>\frac{\sin(A)}{\sin(a)} = \frac{\sin(B)}{\sin(b)} = \frac{\sin(C)}{\sin(c)}</math>

=== Géométrie ===

Abu l-Wafa commente les œuvres d'[[Euclide]], [[Diophante]] et [[al-Khwarizmi]] (ces commentaires ont disparu). Dans son livre ''Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction'', il développe des [[construction à la règle et au compas|constructions]] approchées à la règle et au compas de polygones réguliers à cinq, sept ou neuf côtés. Il s'intéresse en particulier aux constructions réalisables avec un compas d'écartement constant. Il propose une construction de la parabole. Il propose des constructions mécaniques de [[trisection de l'angle|trisections d'angles]] et de [[duplication du cube]]. Il s'intéresse au problème de la division d'un carré en somme de plusieurs carrés et propose une première solution à la [[trisection du carré]]<ref>Reza Sarhangi, Slavik Jablan (2006). ''Elementary Constructions of Persian Mosaics.'' Towson University and The Mathematical Institute. [http://pages.towson.edu/gsarhang/Math%20Horizons%202.pdf pages.towson.edu]</ref>. Également démonstration du théorème de Pythagore<ref>Alpay Özdural (1995). ''Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans.'' Journal of the Society of Architectural '[https://www.jstor.org/pss/991025 www.jstor.org])</ref>, il utilisera cette preuve par dissection pour expliquer le [[théorème de Pythagore]] aux artisans<ref>{{article|lang=en|prénom=Alpay|nom=Özdural|titre=Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World|revue=[[Historia Mathematica]]|volume=27|numéro=2|mois=5|année=2000|p.=171-201|doi=10.1006/hmat.1999.2274}}</ref>.

[[Fichier:Wafa's problem.svg|vignette|Triangle équilatéral AEF inscrit dans le carré ABCD]]Il est connu pour une solution du problème géométrique suivant. Soit ''ABCD'' un [[carré]] de centre ''O''. Le problème est : construire un [[Point (géométrie)|point]] ''E'' sur le [[Segment (mathématiques)|segment]] ''BC'' et son [[Symétrie axiale|symétrique]] ''F'' par rapport à la [[Droite (mathématiques)|droite]] ''(AC)'' de telle façon que le [[triangle]] ''AEF'' soit [[triangle équilatéral|équilatéral]].

La solution proposée par Abu l-Wafa est la suivante :
# Construire le [[cercle circonscrit]] à ''ABCD''.
# Construire un second [[cercle]], de centre ''C'' et passant par ''O''.
# Noter ''U'' et ''V'' les deux points auxquels ces cercles se coupent.
# On peut alors [[Démonstration (mathématiques élémentaires)|prouver]] que les droites ''(AU)'' et ''(AV)'' coupent le carré en deux points qui sont les points ''E'' et ''F'' recherchés.
Le ''Livre sur les constructions géométriques nécessaires aux artisans'' d'Abu l-Wafa est un recueil d'une centaine de constructions géométriques. Leur comparaison à celles qui apparaissent dans les traités mathématiques de la Renaissance montre des ressemblances frappantes. Toutefois, ces similitudes n'ont pas été jugées concluantes, parce qu'elles pourraient aussi bien résulter de reconstructions indépendantes. La descendance de ce traité dans l'Europe latine est toujours débattue<ref>Dominique Raynaud (2012) Abū al-Wafāʾ Latinus? A Study of Method, ''Historia Mathematica'' 39-1: 34-83 ([https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086011000693 DOI 10.1016/j.hm.2011.09.001]</ref>.

=== Arithmétique ===

Dans son livre ''Ce qui est nécessaire en arithmétique pour les comptables et les hommes d'affaires'', il développe des [[mathématiques]] en même temps théoriques (fraction, multiplication, division, mesures) et pratiques (calculs de taxes, unités de monnaies, paiement  de traitements). Bien que connaissant la [[numération indienne]], il ne l'utilise pas dans cet ouvrage adressé au grand public. Il développe cependant une théorie sur les [[nombre négatif|nombres négatifs]] les associant à l'image d'une dette : 3 - 5 représentant par exemple une dette de 2. Il accepte de multiplier ces nombres négatifs par des positifs et de les incorporer dans des calculs.

=== Optique ===

Abu l-Wafa s'intéresse aussi à l'[[optique]] et publie un livre sur les [[miroir (optique)|miroirs]] ardents, miroirs dont tous les rayons réfléchis convergent en un même point, permettant ainsi d'obtenir en ce point une chaleur suffisante pour enflammer un objet.

== Écrits ==

Abu l-Wafa a écrit de nombreux livres dont certains ont disparu :

* ''Kitab fi ma yahtaj ilayh al-kuttab wa'l-ummal min 'ilm al-hisab'' (''Ce qui est nécessaire en arithmétique pour les comptables et les hommes d'affaires'') entre 961 et 976 ;
* ''Kitab al-Handasa'' (''Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction'') ;
* ''Al-Kitab al-Kamil'' (''Le livre complet''), une révision de l'Almageste ;
* une théorie sur la Lune (disparu) ;
* ''El Wadih'' (des tables trigonométriques, disparu) ;
* un traité sur les coniques (disparu) ;
* ''Kitab al-maraya al-muhriqa'' (''Livre sur les miroirs ardents'').

== Voir aussi ==
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{dictionnaires}}

=== Sources ===
* Hebri Bousserouel, ''Les savants musulmans oubliés de l'histoire''.
* {{DjebbarHistoire}}.
* {{article|prénom=Joseph|nom= Bertrand|lien auteur=Joseph Bertrand|titre=La théorie de la lune d’Aboul Wefa|journal= Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences|lieu= Paris|numéro= 73|pages= 581-588|année=1872}}
* {{MacTutor|id=Abu'l-Wafa}}
* [http://www.cosmovisions.com/Wafa.htm Biographie] sur le site d'Imago Mundi
* [http://i2geo.net/xwiki/bin/view/Systems/DisplayGeoGebra?asset=Coll_ChristianMercat.TangramdAbulWafa&xpage=popup Tangram] d'Abu'l Wafa en géométrie dynamique, dissection d'un triangle en un rectangle de même aire.

=== Références ===
{{références}}

=== Articles connexes ===
* [[Mathématiques arabes]]
* [[Liste des mathématiciens arabo-musulmans]]

{{Palette|Grandes figures de l'islam médiéval|Mathématiques arabes}}
{{Portail|astronomie|mathématiques|Iran|monde arabo-musulman|Haut Moyen Âge}}

{{DEFAULTSORT:Wafa, Abu}}
[[Catégorie:Mathématicien de Perse]]
[[Catégorie:Astronome perse du Xe siècle]]
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