Voir la source de Accord pythagoricien

{{à sourcer|date=février 2009}}
[[Image:Quinte du loup et comma pythagoriciens.svg|thumb|right|[[Loup (musique)|Quinte du loup]] et [[Comma (musicologie)|comma]] sur le cercle représentant sept [[Octave (musique)|octaves]].]]
En [[théorie de la musique occidentale]], l''''accord [[Pythagore|pythagoricien]]''' est un [[Accord (organologie)|accord]] construit exclusivement sur des [[Intervalle (musique)|intervalles]] de [[quinte]]s pures. Il est caractérisé par sa [[Tierce (musique)|tierce]], dite pythagoricienne, de rapport 81/64<ref name="Abromont2001p299">{{harvsp|Abromont|2001|p=299|id=Abromont2001}}.</ref>. On l'appelle communément « '''[[Gamme musicale|gamme]] pythagoricienne''' ».

Durant l'[[Antiquité]], l'intervalle de quinte pure était considéré comme le plus [[consonance (musique)|consonant]] après l'[[Octave (musique)|octave]], en raison de son rapport numérique simple (2/3) sur le [[monocorde]]<ref name="Abrégé de Musique">{{fr}} Frédéric Platzer, ''Abrégé de Musique'', Ellipses, 1998, {{ISBN|2-7298-5855-5}}, {{p.|63-65}}.</ref>.
La méthode de superposition des quintes permet de construire une [[gamme chromatique]]<ref name="Guide illustré de la musique">{{fr}} Ulrich Michels, ''Guide illustré de la musique'', Fayard, 1988, {{ISBN|2-213-02189-9}}, {{p.|89}}.</ref> ; c'est ainsi la plus ancienne manière d'accorder les instruments à sons fixes. Elle a été en usage jusqu'à la fin du [[Moyen Âge]]<ref>https://www.physinfo.org/chroniques/modalite.html - Modalité musicale et arithmétique modulaire in MATHS & PHYSIQUE DIGITALES
MUSIQUES RARES ET/OU CONTEMPORAINES
La Théorie de l'Information, langage de la Science
Musiques hors des sentiers battus</ref>. Depuis, la gamme utilisée dans la [[musique occidentale]] est principalement la [[gamme tempérée]]. Cette gamme est plus pratique en termes de [[composition musicale]] que la gamme pythagoricienne.

== Histoire ==

Cet accord tient son nom du [[Philosophie en Grèce antique|philosophe]] et [[Mathématiques de la Grèce antique|mathématicien]] grec [[Pythagore]], à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation d'accords similaires remontent aux [[Babylone|Babyloniens]], vers le {{IIe millénaire av. J.-C.}}<ref>{{article|langue =en|nom1= West|prénom1=M.L.|titre=The Babylonian Musical Notation and the Hurrian Melodic Texts| périodique=Music & Letters|volume=75|numéro=2|mois=mai|année=1994|pages=161-179|url=https://musicircle.net/wp-content/uploads/2018/08/Babylonian-Notatin-and-the-Hurrian-Melodic-Texts_Music-and-Letters-1994-WEST-161-79.pdf}}.</ref>. L'école pythagoricienne a théorisé la [[Échelle heptatonique|gamme heptatonique]] dans l'[[harmonie des sphères]], en utilisant les rapports de nombres entiers les plus simples sur le [[monocorde]] : l'[[Octave (musique)|octave]] (rapport 1/2, la corde est partagée en deux), la [[quinte]] (rapport 2/3, la corde vibre sur ses deux tiers) et la [[Quarte (musique)|quarte]] (rapport 3/4). Ces [[Intervalle (musique)|intervalles]] étant alors considérés comme les seuls [[consonance (musique)|consonants]]<ref>{{lien web |auteur=Francis Beaubois|titre =Pythagore et l’art de faire entendre les nombres|url =https://edutheque.philharmoniedeparis.fr/pythagore-entendre-les-nombres.aspx|site=edutheque.philharmoniedeparis.fr|consulté le=10 février 2024}}. </ref>.

Aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu, mais on retrouve chez [[Platon]] les termes du rapport du leimma, soit 256/243<ref name="Platon">{{PlaTim}}, 36 b.</ref>. Le plus ancien texte connu traitant du système pythagoricien est de [[Henri Arnault de Zwolle]], écrit vers [[1450]]<ref>{{chapitre|prénom1= Pierre-Yves|nom1=Asselin|titre ouvrage=Musique et Tempérament|éditeur= Jobert|lieu=Paris|année=2000|isbn=2905335009|titre chapitre=Le système pythagoricien|passage=139}}.</ref>.

[[Platon]], dans le ''[[Timée (Platon)|Timée]]'' (34 b - 37 a), décrit comment le Démiurge façonne l'[[Anima mundi|Âme du monde]]. [[Jean-François Mattéi (philosophe)|Jean-François Mattéi]] résume ce passage de Platon ainsi :
{{citation bloc|1=Le démiurge va tirer de sa composition finale une structure harmonique suggestive dont les calculs témoignent d'une influence pythagoricienne. Elle est constituée par une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et de raison 3 (1, 3, 9, 27), qu'il est commode de disposer sur un diagramme en forme de lambda majuscule (Λ), selon un schéma que l'on trouve chez [[Proclus]]. Cette figure porte, sur chaque côté de l'angle, les nombres respectifs de la série paire et de la série impaire. Le dernier de ces nombres (27) est égal à la somme des six précédents (1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27)… La progression selon le facteur 2 donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4...), alors que la progression selon le facteur 3 forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète en s'aidant de deux proportions continues ou « [[médiétés]] », l'une [[Suite arithmétique|arithmétique]] (de type 1, 2, 3), l'autre harmonique (de type 3, 4, 6), bien connues des pythagoriciens, en particulier [[Archytas de Tarente|Archytas]]. L'intervalle des nombres de 1 à 2 sera composé des nombres 1 (Tonique), 4/3 (Quarte), 3/2 (Quinte) et 2 (Octave) ; le ton, dont la valeur est 9/8, se situe entre la quarte et la quinte, puisque 3/2 : 4/3 = 9/8. L'Âme du monde est ainsi composée de cinq tons majeurs égaux entre lesquels est intercalé comme « reste », ''leimma'', l'intervalle de 256/243 (= 1,053), mesure du demi-ton diatonique de la gamme naturelle de [[Pythagore]], qui est un peu plus faible que notre demi-ton tempéré.
 | 2=[[Jean-François Mattéi (philosophe)|Jean-François Mattéi]]
 | 3=''Platon''<ref>{{ouvrage|prénom1 = Jean-François|nom1 = Mattéi|lien auteur1=Jean-François Mattéi|titre=Platon|éditeur=PUF|collection=Que sais-je ?|année=2005
 |passage=73-74}}.</ref>.}}

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au [[Moyen Âge]] lorsque l'on a commencé à considérer comme consonant l'intervalle de tierce. En particulier avec [[Gioseffo Zarlino]] qui donne une nouvelle définition<ref>{{lien web |titre=Faits divers - Modalité musicale et arithmétique modulaire<!-- Vérifiez ce titre --> |url=https://www.physinfo.org/chroniques/modalite.html |site=physinfo.org |consulté le=20-11-2023}}.</ref> de la tierce dans son ''Istitutioni Harmoniche'' en 1558.

[[Isaac Newton|Newton]] (1704) était convaincu qu'il devait y avoir une parfaite correspondance entre les diverses couleurs et les notes de la gamme<ref>{{lien web |titre=À la recherche de correspondances entre sons et couleurs |url=https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/physique-sons-couleurs-science-art-1460/page/2/ |site=Futura |consulté le=20-11-2023}}.</ref>.

Voltaire, dans les ''Éléments de philosophie de Newton'' (1738), [[s:Éléments de la philosophie de Newton/Édition Garnier/Partie 2/Chapitre 13|partie 2, chap. XIV]], résume les résultats :

{{citation bloc|1=La plus grande réfrangibilité du violet répond à ré ; la plus grande réfrangibilité du pourpre répond à mi. Violet/ré, pourpre/mi, bleu/fa, vert/sol, jaune/la, orange/si, rouge/do (ut). Voltaire ajoute : “Cette analogie secrète entre la lumière et le son donne lieu de soupçonner que toutes les choses de la nature ont des rapports cachés que peut-être on découvrira quelque jour.”
 | 2=[[Pierre Thuillier (philosophe)|Pierre Thuillier]]
 | 3=La revanche des sorcières<ref>{{ouvrage|prénom1=Pierre|nom1=Thuillier|lien auteur1=Pierre Thuillier (philosophe)|titre=La revanche des sorcières|sous-titre=L'irrationnel et la pensée scientifique|éditeur=Belin|année=1997|passage=62}}.</ref>.}}

== Construction de la gamme pythagoricienne ==
[[Fichier:Monocorde quinte pure dessin.svg|vignette|On construit une quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde.]]

=== Quinte pure ===
{{Article détaillé|Quinte}}
L'intervalle de [[quinte|quinte pure]] correspond en [[acoustique musicale]] à un rapport de fréquences de 3/2. Ainsi, si on part de la note ayant pour fréquence {{Unité|200|Hz}}, l'intervalle de quinte pure est obtenu en partageant la corde aux 2/3, donc en multipliant cette fréquence par 3/2 : la deuxième note aura une fréquence de {{Unité|300|Hz}}, la troisième note {{Unité|450|Hz}}, la quatrième note {{Unité|675|Hz}}, etc. De même, comme le montre la figure à droite, en utilisant le [[monocorde]], on construit un intervalle de quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde. Ce rapport de 3/2 s'explique physiquement par la troisième [[Harmonique_(musique)|harmonique]] produite lors de la production d'un son harmonique : la fréquence de la troisième harmonique est deux fois la fréquence de la quinte juste. Ainsi, jouer une note et sa quinte simultanément est [[Harmonie|harmonieux]].

=== Suite de quintes ===
À partir de cette nouvelle note à la quinte on prend à nouveau les deux tiers de la corde, ce qui donne la deuxième quinte. En continuant ainsi, on retombe à la {{12e|quinte}} sur une note très proche de celle de départ (en tenant compte du [[Octave (musique)#Principe d'équivalence|principe d'équivalence des octaves]]). Sur le plan mathématique, il se trouve que si on répète douze fois le passage à la quinte, on a franchi ''légèrement plus'' de sept octaves (<math>(3/2)^{12} \approx (2/1)^7</math>), et on revient ''presque exactement'' sur la note initiale. Ce rapport de fréquence 3/2 est en effet en rapport multiplicatif « simple » (au sens des [[fractions continues]]) du rapport d'octave 2/1 : <math>\frac{\log{(3/2)}}{\log{(2/1)}}\approx 7/12</math> (ou plus précisément {{formatnum:7.01955}}…/12){{Note|texte=log(3/2) divisé par log2 est le logarithme à base 2 de 3/2 selon la formule générale du changement de base. Il s'agit donc de la valeur de l'intervalle de 3/2 exprimée en nombre réel d'octave. En la multipliant par 1200 on obtient une valeur en cents ou centièmes de demi-ton soit environ 701,955 soit à peine 2 cents de plus que la quinte tempérée|groupe=}}. Ce fait mathématique est à l'origine de pratiquement toute la théorie musicale : division de l'octave en douze demi-tons, et rôle primordial de la quinte dans les accords musicaux.

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène à une même octave, soit dans un intervalle de rapport 2 ([[Octave (musique)#Principe d'équivalence|principe d'équivalence des octaves]]), et on ignore la différence entre <math>(\frac{3}{2})^{12}</math> et <math>{2^{7}}</math> (appelée [[comma pythagoricien]]) pour boucler la boucle. On peut choisir avec l'exemple précédent l'octave comprise entre {{Unité|200|Hz}} et {{Unité|400|Hz}} : il faut diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des {{Unité|400|Hz}}, ce qui donnera par exemple pour celle de {{Unité|675|Hz}} le résultat {{Unité|337.5|Hz}} (675/2{{exp|1}}).

{| class="wikitable centre" style="text-align:center"
|+ 12 quintes pures successives ascendantes<ref name="Abrégé de Musique" />
|-----
! Quintes
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
!Noms
|do
|sol
|ré
|la
|mi
|si
|fa♯
|do♯
|sol♯
|ré♯
|la♯
|mi♯
|si♯
|-----
! Rapports
| 1
| 3/2
| 3<sup>2</sup>/2<sup>2</sup>
| 3<sup>3</sup>/2<sup>3</sup>
| 3<sup>4</sup>/2<sup>4</sup>
| 3<sup>5</sup>/2<sup>5</sup>
| 3<sup>6</sup>/2<sup>6</sup>
| 3<sup>7</sup>/2<sup>7</sup>
| 3<sup>8</sup>/2<sup>8</sup>
| 3<sup>9</sup>/2<sup>9</sup>
| 3<sup>10</sup>/2<sup>10</sup>
| 3<sup>11</sup>/2<sup>11</sup>
| 3<sup>12</sup>/2<sup>12</sup>
|-----
! Rapports ramenés dans l'octave
| 1
| 3/2
{{=}}1,5
| 3<sup>2</sup>/2<sup>3</sup>
≈1,13
| 3<sup>3</sup>/2<sup>4</sup>
≈1,69
| 3<sup>4</sup>/2<sup>6</sup>
≈1,27
| 3<sup>5</sup>/2<sup>7</sup>
≈1,90
| 3<sup>6</sup>/2<sup>9</sup>
≈1,42
| 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
≈1,07
| 3<sup>8</sup>/2<sup>12</sup>
≈1,60
| 3<sup>9</sup>/2<sup>14</sup>
≈1,20
| 3<sup>10</sup>/2<sup>15</sup>
≈1,80
| 3<sup>11</sup>/2<sup>17</sup>
≈1,35
| 3<sup>12</sup>/2<sup>18</sup>
≈2,03
|}
On pourrait de la même manière écrire la suite symétrique des douze quintes pures descendantes en faisant apparaître cette fois les bémols. Cette suite est équivalente à l'octave près de celle des douze quartes pures ascendantes, 2/3 × 2 étant égal à 4/3<ref>{{Lien web |titre=La gamme de Pythagore |url=https://www.easyzic.com/dossiers/la-gamme-de-pythagore,h151.html}}</ref>.
{| class="wikitable"
|+12 quintes pures successives descendantes
!Quintes
| -12
| -11
| -10
| -9
| -8
| -7
| -6
| -5
| -4
| -3
| -2
| -1
|0
|-
!Noms
|ré♭♭
|la♭♭
|mi♭♭
|si♭♭
|fa♭
|do♭
|sol♭
|ré♭
|la♭
|mi♭
|si♭
|fa
|do
|-
!Rapports
|2<sup>12</sup>/3<sup>12</sup>
|2<sup>11</sup>/3<sup>11</sup>
|2<sup>10</sup>/3<sup>10</sup>
|2<sup>9</sup>/3<sup>9</sup>
|2<sup>8</sup>/3<sup>8</sup>
|2<sup>7</sup>/3<sup>7</sup>
|2<sup>6</sup>/3<sup>6</sup>
|2<sup>5</sup>/3<sup>5</sup>
|2<sup>4</sup>/3<sup>4</sup>
|2<sup>3</sup>/3<sup>3</sup>
|2<sup>2</sup>/3<sup>2</sup>
|2/3
|1
|-
!Rapports ramenés dans l'octave
|2<sup>20</sup>/3<sup>12</sup>
≈1,97
|2<sup>18</sup>/3<sup>11</sup>
≈1,48
|2<sup>16</sup>/3<sup>10</sup>
≈1,11
|2<sup>15</sup>/3<sup>9</sup>
≈1,66
|2<sup>13</sup>/3<sup>8</sup>
≈1,25
|2<sup>12</sup>/3<sup>7</sup>
≈1,89
|2<sup>10</sup>/3<sup>6</sup>
≈1,40
|2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
≈1,05
|2<sup>7</sup>/3<sup>4</sup>
≈1,58
|2<sup>5</sup>/3<sup>3</sup>
≈1,19
|2<sup>4</sup>/3<sup>2</sup>
≈1,78
|4/3
≈1,33
|1
|}

=== Tri des notes ===
On trie des quintes suivant l'ordre croissant des rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2]. La dernière quinte est raccourcie à l'octave supérieure.

{| style="text-align:center" class="wikitable centre"
|+ Nom des notes de l'[[échelle chromatique]] ascendante
|-----
! Quintes
| colspan="2" | 0
| colspan="2" | 7
| colspan="2" | 2
| colspan="2" | 9
| colspan="2" | 4
| colspan="2" | 11
| colspan="2" | 6
| colspan="2" | 1
| colspan="2" | 8
| colspan="2" | 3
| colspan="2" | 10
| colspan="2" | 5
| colspan="2" | 0

|-----
! Rapports ramenés dans l'octave
| colspan="2" | 1
| colspan="2" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 3<sup>2</sup>/2<sup>3</sup>
| colspan="2" | 3<sup>9</sup>/2<sup>14</sup>
| colspan="2" | 3<sup>4</sup>/2<sup>6</sup>
| colspan="2" | 3<sup>11</sup>/2<sup>17</sup>
| colspan="2" | 3<sup>6</sup>/2<sup>9</sup>
| colspan="2" | 3/2
| colspan="2" | 3<sup>8</sup>/2<sup>12</sup>
| colspan="2" | 3<sup>3</sup>/2<sup>4</sup>
| colspan="2" | 3<sup>10</sup>/2<sup>15</sup>
| colspan="2" | 3<sup>5</sup>/2<sup>7</sup>
| colspan="2" | '''2'''

|---
! Noms
| colspan="2" | do
| colspan="2" | do♯
| colspan="2" | ré
| colspan="2" | ré♯
| colspan="2" | mi
| colspan="2" | mi♯
| colspan="2" | fa♯
| colspan="2" | sol
| colspan="2" | sol♯
| colspan="2" | la
| colspan="2" | la♯
| colspan="2" | si
| colspan="2" | do

|---
! Rapports intermédiaires
| colspan="3" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="2" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="2" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="2" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="2" | 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
| colspan="2" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>
| colspan="3" | 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>

|}

La gamme chromatique obtenue possède des intervalles irréguliers avec une alternance des deux valeurs. L'écart entre la {{1e}} et la {{2e}} note est appelé ''apotome''. Autrement dit, c'est l'écart entre le do et le do♯. Les écarts se mesurent en faisant les quotients des rapports : ici l'apotome vaut donc <math>\frac {3^7 / 2^{11}} 1 = 3^7 / 2^{11}</math>. On retrouve l'apotome entre le ré et ré♯, entre le mi et le mi♯, entre le fa et le fa♯, le sol et le sol♯, et le la et le la♯. L'écart entre la {{2e}} et la {{3e}} note, i.e. entre le do♯ et le ré, s'appelle ''leimma''. Il vaut <math>\frac {3^2 / 2^3} {3^7 / 2^{11}} = 2^8 / 3^{5}</math>. On retrouve cet intervalle entre le do♯ et le ré, le ré♯ et mi, le mi♯ et le fa♯, le fa♯ et le sol, le sol♯ et le la, le la♯ et le si et enfin le si et le do. D'une manière générale l'apotome est entre deux notes de nom identique tandis que le leimma est entre deux notes de noms différents. C'est la même règle avec les bémols obtenus dans la suite des quintes descendantes. L'apotome est légèrement plus grand que le leimma. Cette différence s'appelle le ''comma pythagoricien'' égal à <math>\frac {\text{apotome}} {\text{leimma}} = \frac {3^7 / 2^{11}} {2^8 / 3^5}  = 3^{12} / 2^{19}</math>. Le comma pythagoricien est perceptible à l'oreille car il vaut presque un quart de demi-ton. Le logarithme de base 2 permet de calculer une valeur d'environ 23 centièmes de demi-ton : <math>1200\times\log_2\biggl(\frac{3^{12}}{2^{19}}\biggr)=1200\times\log\left ( \frac{3^{12}}{2^{19}} \right )/\log2\simeq23,5</math>.

== Intervalles caractéristiques ==

La gamme chromatique pythagoricienne comporte<ref name="Asselin">Pierre-Yves Asselin, ''Musique et Tempérament'', Jobert, Paris, 2000 {{ISBN|2905335009}}, Le système pythagoricien ({{p.|69}})</ref>:
* 11 quintes pures, plus la quinte du loup
* également 11 [[Quarte (musique)|quartes pures]], obtenues par [[Renversement (musique)|renversement]] des quintes
* 8 tierces majeures pythagoriciennes de rapport 81/64 plus grandes que la tierce pure de Zarlino d'un [[comma syntonique]], et 4 tierces majeures très légèrement plus petites que la tierce pure de Zarlino d'un schisma.
* également 8 sixtes mineures pythagoriciennes obtenues par renversement de rapport 128/81
* 10 tons purs de rapport 9/8 et 2 tons plus petits inférieurs d'un comma pythagoricien
* également 10 septièmes mineures dites faibles obtenues par renversement de rapport 16/9
* 9 sixtes majeures pythagoriciennes de rapport 27/16 et 9 tierces mineures pythagoriciennes obtenues par renversement de rapport 32/27
* 5 apotomes et 7 leimmas
* 7 septièmes majeures de rapport 3<sup>5</sup>/2<sup>7</sup> et 5 septièmes majeures de rapport 2<sup>12</sup>/3<sup>7</sup> obtenues par renversement

=== Comma pythagoricien ===
{{article détaillé|comma pythagoricien}}

Le comma pythagoricien représente la différence entre 7 octaves et 12 quintes pures<ref name="Abrégé de Musique"/>.
Son rapport de fréquences vaut :
:<math>\frac{(\frac{3}{2})^{12}}{2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}}\approx1,014</math>

=== Quinte du loup ===

L'intervalle de 12 quintes pures représente une étendue légèrement supérieure à 7 octaves, la dernière quinte est raccourcie (du comma pythagoricien) pour donner à l'ensemble une étendue valant exactement 7 octaves : elle forme la quinte dite « du [[loup (musique)|loup]] » car elle est très dissonante (elle « hurle »). Cette quinte rend difficile la transposition. C'est l'un des inconvénients à l'origine de la recherche de nouveaux [[gammes et tempéraments|tempéraments]].

Dans la pratique, les musiciens qui préfèrent utiliser des octaves pures accordent leurs instruments sur une gamme pythagoricienne en reportant la quinte du loup dans un intervalle peu utilisé, en général ''sol# — mi♭''. Les intervalles englobant la quinte du loup sonneront faux aussi, il faut donc soigneusement l'éviter.

La quinte du loup se trouve ici dans l'intervalle ''mi♯''—''do'', mais elle est placée{{Pas clair|date=juin 2023}} normalement dans la gamme dans l'intervalle ''sol♯—mi♭'', car c'est la quinte la moins utilisée. Sa valeur est diminuée de ce comma par rapport à une quinte juste.

Le rapport de la quinte du loup se calcule en enlevant 11 quintes justes aux 7 octaves considérées :

: <math>\frac{2^7}{\frac{3^{11}}{2^{11}}}=\frac{2^{18}}{3^{11}}\approx 1,480</math>, à comparer avec 1,5 pour une quinte juste.

=== Tierce pythagoricienne ===

La tierce majeure, qui vaut deux tons purs successifs, a pour rapport 9/8 × 9/8 = 81/64 dans la gamme pythagoricienne. Elle diffère légèrement de la tierce pure de rapport 5/4 = 80/64. La différence entre ces deux tierces est le [[comma syntonique]].

=== Ton pythagoricien ===

Le ton pur pythagoricien, appelé l'[[Epogdoon|épogdoon]], a pour rapport 9/8 : deux quintes successives forment une neuvième, qui est une seconde redoublée. La neuvième réduite à l'octave donne le rapport : (3/2 × 3/2) / 2 = 9/8.

=== Demi-tons ===
La construction de l'accord fait apparaître deux valeurs pour les [[demi-ton]]s :
* le plus grand est l'apotome, qui vaut 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup> (environ 1,0679),
* le plus petit est le leimma, qui vaut 2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup> (environ 1,0535).

Le produit de ces deux intervalles vaut un ton pythagoricien : (3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>)×(2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>) = 3<sup>2</sup>/2<sup>3</sup> = 9/8.<br />

Le quotient de ces deux intervalles vaut exactement le comma pythagoricien : (3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>)/(2<sup>8</sup>/3<sup>5</sup>) = 3<sup>12</sup>/2<sup>19</sup>.

Une octave vaut : 5 tons + 2 leimmas, le leimma est donc l'équivalent dans l'échelle pythagoricienne du demi-ton diatonique.

Ces deux demi-tons n'étant pas égaux, il est difficile de [[transposition (musique)|transposer]] (jouer un même morceau avec une note [[Tonique (musique)|tonique]] différente) ou de [[modulation (musique)|moduler]] (changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau) dans cette gamme.

==== Apotome ====

L'apotome est l'intervalle compris entre une note et son altération. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>.

==== Leimma ====
Le ''leimma'' (du grec {{grec ancien|λεῖμμα}}, « reste »), proche d'une moitié de ton, est le différentiel entre la quarte pure, intervalle de référence chez les Grecs, et deux tons entiers<ref>{{harvsp|Chailley|1979|p=29}}.</ref>. Il se calcule donc en soustrayant deux tons (9/8) à l'intervalle de quarte (4/3), soit : 
:<math>\frac{4}{3}\times\frac{8}{9}\times\frac{8}{9} = \frac{2^2\times 2^3 \times 2^3}{3 \times 3^2 \times 3^2} = \frac{2^8}{3^5}</math>.

Le leimma correspond à l'intervalle compris entre une note altérée et sa voisine ne portant pas le même nom (ré♯ et mi par exemple, ou bien mi♭ et ré).

== Notation ==

[[Image:Construction gamme pythagoricienne en solfege.svg|thumb|Cycle des quintes avec le solfège : on descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel)]]
En utilisant le nom des notes issues du [[solfège]], il est possible de construire une suite de quintes (en formant le [[cycle des quintes]]) et de donner un nom aux notes de la gamme pythagoricienne.

Dans la gamme tempérée, l'étendue d'une quinte juste vaut trois tons et demi : sur un piano on avance de quinte en quinte en se déplaçant chaque fois de 7 touches (touches noires comprises). En partant du ''do'' on obtient la suite :

''do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯ — ré♯ — la♯ — mi♯ — si♯''…

Par convention, on utilise le [[dièse]] pour les notes altérées dans la suite des quintes ascendantes, et le [[bémol]] dans la suite des quintes descendantes<ref name="Guide illustré de la musique"/>.

Toujours en partant de ''do'', la suite des quintes descendantes commence par :

''do — fa — si♭ — mi♭ — la♭ — ré♭ — sol♭ — do♭ — fa♭ — si♭♭ — mi♭♭ — la♭♭ — ré♭♭''…

{{clr}}
[[Image:Zarlinocembalo.png|thumb|right|Clavier à 19 touches par octave imaginé par [[Gioseffo Zarlino|Zarlino]], distinguant dièses et bémols]]

Il n'y a pas d'[[enharmonie]] puisque cette gamme n'est pas tempérée : par exemple le do♯ n'a pas la même fréquence que le ré♭. Les deux demi-tons, qui sont identiques dans la gamme tempérée, sont nommés dans la gamme pythagoricienne :
* ''apotome'', pour l'intervalle formé par une note et sa version altérée ;
* ''limma'', pour l'intervalle formé par une note altérée et la note voisine ne portant pas le même nom.

Ces intervalles sont disposés ainsi :
* ''do'' — apotome — ''do♯'' — limma — ''ré'', pour les quintes ascendantes ;
* ''do'' — limma — ''ré♭'' — apotome — ''ré'', pour les quintes descendantes.

Dans la gamme pythagoricienne, les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, on en déduit l'ordre suivant : ''do — ré♭ — do♯ — ré''.
{{clr}}

== Gammes ==

La superposition de 5 quintes (''do — sol — ré — la — mi'') donne, après réduction à l'octave, une gamme pentatonique<ref name="Guide illustré de la musique"/> : ''ré — mi — sol — la — do''.

La superposition de 7 quintes (''fa — do — sol — ré — la — mi — si'') donne une gamme heptatonique diatonique<ref name="Guide illustré de la musique"/> : ''ré — mi — fa — sol — la — si — do''.

La superposition de 12 quintes donne une gamme chromatique<ref name="Guide illustré de la musique"/>.

=== Gamme pythagoricienne majeure ===

À partir d'une suite de 12 quintes pures, on désigne les notes de la gamme chromatique obtenue par les noms suivants :

''mi♭ — si♭ — fa — do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯''

La quinte du loup sera placée dans l'intervalle le moins utilisé, souvent ''sol♯ - mi♭''. Selon le choix de la note de départ, on obtiendra différents [[mode (musique)|modes]] pour les sept notes de base. La gamme majeure se définit selon les rapports suivants :

{| class="wikitable centre" style="text-align:center"
|+ Gamme pythagoricienne majeure
!Notes
|colspan="2" | '''do'''
|colspan="2" | '''ré'''
|colspan="2" | '''mi'''
|colspan="2" | '''fa'''
|colspan="2" | '''sol'''
|colspan="2" | '''la'''
|colspan="2" | '''si'''
|colspan="2" | '''do'''
|-
!Rapports
|colspan="2" | 1/1
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 81/64
|colspan="2" | 4/3
|colspan="2" | 3/2
|colspan="2" | 27/16
|colspan="2" | 243/128
|colspan="2" | 2/1
|-
!Rapports intermédiaires
|
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 256/243
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 256/243
|
|}

Cette gamme peut aussi se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au [[gamme tempérée|tempérament égal]], exprimés en [[cent et savart|cents]]. La formule mathématique pour obtenir ces écarts est la suivante avec ''n'' pour le nombre de demi-tons de la gamme tempérée et ''R'' pour les rapports de la gamme pythagoricienne{{Note|texte=Le logarithme musical est juste une transformation mathématique qui simplifie les calculs en remplaçant des divisions par des soustractions. Les rapports de fréquences sont donc remplacés par des intervalles qui sont toujours une différence de "hauteurs" entre deux notes. La hauteur d'une note n'existe pas en tant que telle. Elle n'existe que par comparaison avec une autre note de référence comme le la 440 par exemple. Le logarithme binaire donne des valeurs exprimées en nombre réel d'octave(s). La gamme tempérée est caractérisée par des demi-tons égaux valant donc chacun un douzième d'octave. Le cent est une unité logarithmique fine de mesure des intervalles où chaque demi-ton au tempérament égal vaut exactement cent cents. Une octave vaut donc 1200 cents. D'où la constante multiplicative de la formule.}} : 

<math>\Bigl(1200\times\log\left ( R \right )/\log2\Bigr)-n\times100</math>

{| class="wikitable centre" style="text-align:center"
!Notes
| Do || Do♯ || Ré || Mi♭ || Mi || Fa || Fa♯ || Sol || Sol♯ || La || Si♭ || Si
|-----
!Écarts
| 0  || +13,69 || +3,91 || -5,87 || +7,82|| -1,96 || +11,73  || +1,96 || +15,64 || +5,87 || -3,91 || +9,78
|}

=== Construction de la gamme chromatique pythagoricienne ===

La gamme pythagoricienne majeure contient la quarte pure (rapport 4/3). On remarque dans la gamme des douze quintes successives ascendantes, qu'en remplaçant l'intervalle le plus proche de la quarte (celui de 11 quintes de rapport 3<sup>11</sup>/2<sup>17</sup>) par la quarte elle-même soit une quinte descendante, on retrouve apotomes et limmas. Cela revient à remplacer le ''mi♯'' par le ''fa''. Dans la gamme chromatique on peut remplacer aussi le ''sol♯'', le ''ré♯'' et le ''la♯'' par le ''si♭'', le ''mi♭'' et le ''la♭''. Cette substitution déplace la quinte du loup dans l'intervalle ''do♯ — la♭'', ce qui peut convenir car cette quinte est elle aussi moins utilisée que ''fa — do'' si on est dans une tonalité de do majeur. On remarque qu'en plus les rapports de fréquence sont moins chargés en grands nombres de puissance{{Note|texte=Dans le tableau précédent la gamme chromatique compte trois dièses et deux bémols soit des notes issues de huit quintes pures ascendantes et de trois quintes pures descendantes en partant de do}}. On vérifie bien que (2<sup>7</sup>/3<sup>4</sup>) / (3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>) = 2<sup>18</sup>/3<sup>11</sup> qui est la valeur de la quinte du loup :

{| class="wikitable centre" style="text-align:center"
|+ Gamme chromatique pythagoricienne avec trois bémols et deux dièses en partant de do{{Note|texte=Les notes de cette gamme sont issues de quatre quintes pures descendantes et de sept quintes pures ascendantes en partant de do}}
|---
! Quintes
|colspan="2"| 0
|colspan="2"| 7
|colspan="2"| 2
|colspan="2"| -3
|colspan="2"| 4
|colspan="2"| '''-1'''
|colspan="2"| 6
|colspan="2"| 1
|colspan="2"| -4
|colspan="2"| 3
|colspan="2"| -2
|colspan="2"| 5
|colspan="2"| 0

|---
! Rapports
|colspan="2"| 1
|colspan="2"| 3<sup>7</sup>/2<sup>11</sup>
|colspan="2"| 3<sup>2</sup>/2<sup>3</sup>
|colspan="2"| 2<sup>5</sup>/3<sup>3</sup>
|colspan="2"| 3<sup>4</sup>/2<sup>6</sup>
|colspan="2"| '''4/3'''
|colspan="2"| 3<sup>6</sup>/2<sup>9</sup>
|colspan="2"| 3/2
|colspan="2"| 2<sup>7</sup>/3<sup>4</sup>
|colspan="2"| 3<sup>3</sup>/2<sup>4</sup>
|colspan="2"| 2<sup>4</sup>/3<sup>2</sup>
|colspan="2"| 3<sup>5</sup>/2<sup>7</sup>
|colspan="2"| 2

|---
! Intervalles intermédiaires
|colspan="3"| apo.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| apo.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| apo.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| apo.
|colspan="2"| lim.
|colspan="2"| apo.
|colspan="3"| lim.

|---
! Noms
|colspan="2"| do
|colspan="2"| do♯
|colspan="2"| ré
|colspan="2"| mi♭
|colspan="2"| mi
|colspan="2"| fa
|colspan="2"| fa♯
|colspan="2"| sol
|colspan="2"| la♭
|colspan="2"| la
|colspan="2"| si♭
|colspan="2"| si
|colspan="2"| do

|}

== Représentation graphique ==

Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma (90,225 cents) étant plus court que l'apotome (113,685 cents) d'un comma (23,460 cents).

[[Image:Intervalles de la gamme pythagoricienne.svg|700px|center|alt=Représentation graphique de la gamme pythagoricienne sur une octave, formée avec une alternance d'apotomes et de limmas. Les tons sont séparés les uns les autres par un apotome et un limma, sauf les intervalles mi–fa et si–do qui correspondent à un seul limma.|Intervalles de la gamme pythagoricienne]]

== Comparaison avec la gamme tempérée ==

{| class="wikitable centre" style="text-align:center"
|+Rapports, fréquences et intervalles de la gamme pythagoricienne ; écarts avec la gamme tempérée
!Notes{{Note|texte=Il-y-a dans ce tableau 23 notes issues de 11 quintes pures descendantes en dessous du ré qui se terminent par un si double bémol et de 11 quintes pures ascendantes au-dessus du ré qui se terminent par un fa double dièse}}!! Rapports avec ''ré''!! Fréquences pour ''la'' = {{Unité|440|Hz}} !! Intervalles en cents !! Idem au TE{{Note|texte=TE est l'abrégé de tempérament égal où chaque demi-ton a la même valeur soit un douzième d'octave}}
!Écarts
|---
| ''ré'' || 1 / 1 (1,000) || 293,33 || 0 || 0
|0
|---
| ''mi♭'' || 256 / 243 (1,053) || 309,03 || 90,225
|rowspan="2"| 100
| -9,775
|---
| ''ré♯'' || {{formatnum:2187}} / {{formatnum:2048}} (1,068) || 313,24 || 113,685
| +13,685
|-
| ''fa♭''
|{{formatnum:65536}} / {{formatnum:59049}} (1,110)
|325,56
|180,450
| rowspan="2" |200
| -19,550
|---
| ''mi''|| 9/8 (1,125) || 330,00 || 203,910
| +3,910
|---
| ''fa''|| 32/27 (1,185) || 347,65 || 294,135
| rowspan="2" | 300
| -5,865
|---
| ''mi♯''||{{formatnum:19683}}/{{formatnum:16384}} (1,201) || 352,40 || 317,595
| +17,595
|-
|'' sol♭''
|8 192/6 561 (1,249)
|366,25
|384,360
| rowspan="2" |400
| -15,640
|---
| ''fa♯''|| 81/64 (1,266) || 371,25 || 407,820
| +7,820
|---
| ''sol''|| 4/3 (1,333) || 391,11 || 498,045 || rowspan="2" | 500
| -1,955
|-
|''fa♯♯''
|177 147/131 072 (1,352)
|396,45
|521,505
| +21,505
|---
|  ''la♭''|| 1 024/729 (1,405) || 412,03 || 588,270
| rowspan="2" | 600
| -11,730
|---
| ''sol♯''|| 729/512 (1,424) || 417,66 || 611,730
| +11,730
|-
|''si♭♭''
|262 144/177 147 (1,480)
|434,08
|678,495
| rowspan="2" |700
| -21,505
|---
| ''la''|| 3/2 (1,500) ||'''440,00'''|| 701,955
| +1,955
|---
| ''si♭''|| 128/81 (1,580) || 463,54 || 792,180
| rowspan="2" | 800
| -7,820
|---
| ''la♯''||{{formatnum:6561}}/{{formatnum:4096}} (1,602) || 469,86 || 815,640
| +15,640
|-
| ''do♭''
|32 768/19 683 (1,665)
|488,34
|882,405
| rowspan="2" |900
| -17,595
|---
|''si''|| 27/16 (1,688) || 495,00 || 905,865
| +5,865
|---
|''do''|| 16/9 (1,778) || 521,48 || 996,090
| rowspan="2" | 1000
| -3,910
|---
|''si♯''||{{formatnum:59049}}/{{formatnum:32768}} (1,802) || 528,60 || 1019,550
| +19,550
|-
| ''ré♭''
|4 096/2 187 (1,873)
|549,38
|1086,315
| rowspan="2" |{{formatnum:1100}}
| -13,865
|---
|''do♯''|| 243/128 (1,898) || 556,88 || 1109,775
| +9,775
|---
|''ré''|| 2/1 (2,000) || 586,67 ||{{formatnum:1200}}||{{formatnum:1200}}
|0
|}
[[Fichier:Gamme pythagore vs temperament egal.svg|alt=Comparaison des enharmonies en gamme pythagoricienne et en gamme tempérée|centré|vignette|1300x1300px|Comparaison des enharmonies en gamme pythagoricienne et en gamme tempérée]]
<br />

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Pythagorean tuning|217774181}}
{{Références}}

== Annexes ==
=== Articles connexes ===
* [[Gamme pharaonique]]
* [[Loup (musique)|Loup]]

=== Liens externes ===
[http://people.irisa.fr/Francois.Schwarzentruber/gammes/ Application en ligne pour écouter la gamme pythagoricienne et la comparer avec d'autres gammes]

=== Bibliographie ===
* {{Guide de la théorie de la musique}}
* Patrice Bailhache : ''Une histoire de l'acoustique musicale'' - CNRS Éditions Paris 2001 - {{ISBN|2-271-05840-6}}
* {{Ouvrage 
| auteurs = Roland de Candé 
| titre = Dictionnaire de musique 
| collection = Microcosme 
| lien éditeur = Éditions du Seuil 
| éditeur = Éditions du Seuil 
| lieu = Paris 
| année = 1961 
| isbn = 978-2-02-000297-4 
| isbn2 = 2-02-000297-3 
| lire en ligne = 
}}
* {{La musique grecque antique}}
* Edmond Costère, ''Lois et styles des harmonies musicales'', Paris, PUF, 1954.
* Edmond Costère, ''Mort ou transfiguration de l’harmonie'', Paris, PUF, 1962.
* Devie Dominique, ''Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique'', Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
* Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
* {{en}} Guerino Mazzola, ''The Topos Geometry of Musical Logic'' (''in'' Gérard Assayag ''et al.'' (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, {{p.|199-213}}).
* {{en}} Guerino Mazzola, ''The Topos of Music'', Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
* {{en}} E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), ''Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory'', EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
* Heiner Ruland, ''Évolution de la musique et de la conscience : Approche pratique des systèmes musicaux'', ÉAR, Genève 2005, {{ISBN|2-88189-173-X}}
* Edith Weber, ''La résonance dans les échelles musicales'', révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, {{n°|2}} (1965), {{p.|241-243}} - doi:10.2307/927346

{{palette|Échelles musicales}}
{{portail|musique classique}}

[[Catégorie:Justesse]]
[[Catégorie:Pythagorisme]]