Voir la source de Action de groupe (mathématiques)

{{Voir homonymes|Action de groupe}}
En [[mathématiques]], une '''action d'un groupe''' sur un [[ensemble]] est une [[loi de composition|loi de composition externe]] du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque [[Élément (mathématiques)|élément]] du groupe, d'une [[permutation]] de l'ensemble, de telle manière que toutes ces [[bijection]]s se [[Composition de fonctions|composent]] de façon [[Représentation de groupe#Définitions|compatible]] avec la [[Loi de composition interne|loi]] du groupe.

== Définition ==

Étant donné un ensemble ''E'' et un [[groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'', dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté ''e'', une ''[[Loi de composition|action]]'' (ou ''opération'') de ''G'' sur ''E'' est une application :

{{retrait|taille=4em|
<math>
\begin{align} 
G \times E &\ \longrightarrow\ E\\ 
(g,x)\ &\ \longmapsto\  g \cdot x 
\end{align}
</math>
}}

vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes :

{{retrait|taille=4em
 |1. <math>\ \ \forall x \in E\quad e \cdot x = x</math> ;
}}
{{retrait|taille=4em
 |2. <math>\ \ \forall (g,g') \in G^2\quad\forall x \in E\quad g' \cdot \underbrace{(g \cdot x)}_{\in E}=\underbrace{(g'g)}_{\in G} \cdot x</math>.
}}

On dit également que ''G'' ''opère'' (ou ''agit'') sur l'ensemble ''E''. Il est important de bien vérifier que l'ensemble ''E'' est stable sous l'action du groupe ''G''.

On peut exprimer la définition, de manière équivalente, une ''[[Loi de composition|action]]'' (ou ''opération'') de ''G'' sur ''E'' est une application  [[surjection|surjective]] :
{{retrait|taille=4em|
<math>
\begin{align} 
G \times E &\ \longrightarrow\ E\\ 
(g,x)\ &\ \longmapsto\  g \cdot x 
\end{align}
</math>

vérifiant la propriété :

 <math>\ \ \forall (g,g') \in G^2\quad\forall x \in E\quad g' \cdot \underbrace{(g \cdot x)}_{\in E}=\underbrace{(g'g)}_{\in G} \cdot x</math>.
}}

Ce qui conduit à un point de vue équivalent consistant à dire que le groupe ''G'' opère sur l'ensemble ''E'' si l'on dispose d'un [[morphisme de groupes]], dit ''associé'' à l'action, <math>\phi : G \to{\rm S}_E</math>, du groupe ''G'' dans le [[groupe symétrique]] S{{ind|''E''}} de l'ensemble ''E''. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe ''G''.

Ce morphisme est lié à l'action par <math>g \cdot x = (\phi(g))(x)</math> pour tout <math>g\in G, x\in E</math>.

Dans le cas où l'ensemble ''E'' est muni d'une structure supplémentaire (algébrique, topologique, géométrique), on peut se limiter aux morphismes <math>\phi</math> tels que <math>\phi(g)</math> préserve cette structure pour tout <math>g\in G</math>; ces actions sont appelées actions par automorphismes (pour cette structure). Par exemple, si ''E'' est un espace vectoriel, et on exige que <math alt="$\phi$">\phi</math> soit à valeurs dans GL(''E''), on parle d'une action ''linéaire'' de ''G'' sur ''E''.

== Exemples ==

* Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :
** [[Théorème de Cayley|par translations à gauche]] ; cette action est [[#Action simplement transitive|simplement transitive]], c'est-à-dire [[#Action libre|libre]] et [[#Action transitive|transitive]] :<br /><math>G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gx</math> ;
** par [[automorphisme intérieur|automorphismes intérieurs]], action aussi appelée [[action par conjugaison|par conjugaison]] :<br /><math>G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gxg^{-1}</math>:
* Le groupe symétrique d'un ensemble ''E'' opère naturellement sur ''E'' ; cette action est [[#Action fidèle|fidèle]] et transitive :<br /><math>{\rm S}_E\times E \rightarrow E,\ (\sigma,x) \mapsto \sigma(x)</math>.
* Plus généralement, un [[groupe de permutations]] ''G'' d'un ensemble ''E'' (c'est-à-dire un sous-groupe du groupe symétrique de ''E'') opère sur ''E'' par <br /><math>G  \times E \rightarrow E,\ (\sigma,x) \mapsto \sigma(x)</math>. Cette opération est appelée l'opération naturelle du groupe de permutations ''G''. Elle est fidèle mais pas forcément transitive.
* Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''E'' <span id="Action sur les parties">agit naturellement sur l'[[ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties de ''E'']]</span>, par<br><math>G\times\mathcal P(E)\to\mathcal P(E),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math><ref>{{Ouvrage|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|titre=Mathématiques : Tout-en-un pour la licence niveau L2|sous-titre=cours complet avec applications et 760 exercices corrigés|éditeur=[[Dunod]]|année=2020|numéro d'édition=3|année première édition=2007|url={{Google Livres|_ujMDwAAQBAJ|page=60}}|passage=60}}.</ref>.
* Le [[groupe orthogonal]] (resp. [[groupe unitaire|unitaire]]) d'un [[espace euclidien]] (resp. [[espace hermitien]]) ''E'' opère sur sa sphère unité :
** <math>O(E) \times  S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)</math> ;
** <math>U(E) \times  S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)</math>.
* Le [[groupe linéaire]] d'un [[espace vectoriel]] ''E'' opère sur l'ensemble <math>\eth</math> de ses [[Base (algèbre linéaire)|bases]] ; cette action est simplement transitive :<br /><math>GL(E) \times \eth \to\eth,\ (f,(e_i)_{i\in I}) \mapsto (f(e_i))_{i\in I}</math>.
* Le [[Groupe général linéaire#Groupe projectif linéaire|groupe projectif linéaire]] (ou groupe des homographies) <math>\mathbb{PGL}(E)</math> d'un [[géométrie projective|espace projectif]] ℙ(''E'') opère sur l'ensemble <math>\mathcal F</math> de ses [[faisceau harmonique|faisceaux harmoniques]] :<br /><math>\mathbb{PGL}(E) \times \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F},\ (\phi,F) \mapsto \phi(F)</math>.
* Le groupe symétrique d'indice ''p'' opère sur l'ensemble des [[forme multilinéaire|formes ''p''-linéaires]] par :<br /><math>\begin{array}{ccl} {\rm S}_p \times \mathcal{L}_p& \rightarrow & \mathcal{L}_p \\ (\sigma, \varphi) & \mapsto & \sigma \cdot \varphi := (x_1,\ldots,x_p) \mapsto \varphi(x_{\sigma (1)},\ldots,x_{\sigma (p)}).\end{array}</math>
* Le [[groupe de Galois]] d'un [[polynôme]] opère sur l'ensemble de ses [[Racine d'un polynôme|racines]].
*Tout [[groupe de type fini]] agit naturellement sur le [[graphe de Cayley]] associé à n'importe laquelle de ses parties génératrices finies.

== Actions à droite, actions à gauche ==

Tous les exemples du paragraphe précédent sont des actions à gauche. Mais il est utile
de considérer aussi les actions à droite. On aura une action à droite si
{{retrait|taille=4em|<math>\forall (g,g') \in G^2\quad\forall x \in E\quad(x \cdot g) \cdot g' = x \cdot (gg')</math>.}}
Ainsi, un groupe ''G'' opère sur lui-même à droite par translations à droite.
Il est bien sûr naturel et commode de noter
<center>
<math>(x,g)\mapsto x\cdot g</math>
</center>
une action à droite.

Le [[groupe opposé]] du groupe symétrique S{{ind|''E''}} est l'ensemble des permutations de ''E'' muni de la loi de composition <math>\ (f, g) \mapsto f \star g = g \circ f</math>. À une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''E'', il correspond un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé de S{{ind|''E''}}. Cet homomorphisme applique un élément ''g'' de ''G'' sur la permutation ''x'' ↦ ''x⋅g'' de ''E''.

'''Commentaire.''' La notation fonctionnelle en usage aujourd'hui conduit naturellement à privilégier les actions à gauche.
La notation exponentielle (utilisée par exemple par [[Emil Artin]] dans son livre sur les [[Algèbre géométrique (structure)|algèbres géométriques]]), où ce que nous notons <math>\phi(x)</math> s'écrit <math>x^\phi</math>, conduirait à privilégier les actions à droite.

== Orbites, stabilisateurs et points fixes ==
=== Orbite ===
On définit l''''orbite''' d'un élément {{mvar|x}} de ''E'' par
{{retrait|taille=4em
| <math> O_x = \left\{y\in E\mid\exists g \in G : y = g \cdot x \right\}</math>.
}}
L'orbite de {{mvar|x}} est l'ensemble des éléments de ''E'' associés à {{mvar|x}} sous l'action de ''G''. La relation « {{mvar|y}} est dans l'orbite de {{mvar|x}} » est une [[relation d'équivalence]] sur ''E'' ; les classes d'équivalence sont les orbites.

En particulier, les orbites forment une [[Partition d'un ensemble|partition]] de ''E''.

=== Stabilisateur d'un élément ===
Le '''stabilisateur''' (ou '''sous-groupe d'isotropie''') d'un élément {{mvar|x}} de ''E'' sous l'action de ''G'' est l'ensemble
{{retrait|taille=4em|<math> G_x = \mathrm{St}_x \stackrel{\text{def}}{=} \left\{ g \in G \mid g \cdot x = x \right\}</math>}}
des éléments qui laissent {{mvar|x}} [[invariant]] sous leur action.
C'est un [[groupe (mathématiques)|sous-groupe]] de ''G''. Les stabilisateurs de deux éléments de la même orbite sont conjugués via la formule :
{{retrait|taille=4em|<math>\mathrm{St}_{g\cdot x} = g\, \mathrm{St}_x\,g^{-1}</math>.}}
En particulier :
* ils sont isomorphes donc [[équipotent]]s ;
* ils ont le même [[Indice d'un sous-groupe|indice]].

D'ailleurs, l'application
{{retrait|taille=4em
 |<math> \left\{\begin{array}{ccc} G/\mathrm{St}_x & \rightarrow & O_x\\ \bar{g} & \mapsto & g \cdot x \end{array}\right.</math>
}}
est une bijection de <math>G/\mathrm{St}_x</math> sur <math>O_x</math><ref>Pour une justification (avec formulation plus précise), {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Action de groupe|section « Relations entre orbite et stabilisateur » du chapitre sur les actions de groupes|début=voir par exemple la}}</ref>, si bien que l'indice du stabilisateur de n'importe quel point d'une orbite est égal au cardinal de cette orbite (cette propriété sera rappelée plus bas sous le nom de « [[#Formule des classes|formule des classes]] ».)

=== Points fixes d'un élément du groupe ===
On peut définir, de manière analogue, l'ensemble {{math|Fix{{ind|''g''}}}} des points fixés par un élément {{mvar|g}} du groupe ''G'' comme l'ensemble des éléments de ''E'' invariants sous l'action de {{mvar|g}} :
{{retrait|taille=4em|<math> \mathrm{Fix}_g \stackrel{\text{def}}{=} \left\{ x \in E \mid g \cdot x = x \right\}</math>.}}

=== Stabilisateur d'une partie A de E ===
L'ensemble des ''g'' de ''G'' tels que ''g⋅A = A'' est appelé '''stabilisateur de ''A'' sous ''G''''' et noté stab(''A'') ; c'est le [[#Stabilisateur d'un élément|stabilisateur de l'élément ''A'']] de <math>\mathcal P(E)</math>, pour l'[[#Action sur les parties|action (de ''G'') sur <math>\mathcal P(E)</math> naturellement associée à celle sur ''E'']]<ref>{{Harvsp|Ramis|Warusfel|2020|p=70}}.</ref>.
{{Exemple|
Une méthode pour réussir le [[Rubik's cube]] ([[Méthode CFOP|méthode Fridrich]]) consiste à réaliser les deux premières couronnes, puis à orienter les cubes de la dernière couronne pour avoir la face supérieure et enfin à permuter les cubes (Permute Last Layer). On peut ainsi noter '''Pll''' le stabilisateur des deux premières couronnes et de la dernière face. La nature de groupe apparaît naturellement : si l'on compose deux algorithmes Pll par exemple, on en obtient un  autre.

Ainsi, le cube de Rubik permet d'illustrer la notion d'action de groupe sur un ensemble<ref>{{Lien web|titre=Le Rubik's cube, groupe de poche |url=http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/rubiks-cube-groupe-de-poche.pdf|site=culturemath.ens.fr|auteur=[[Pierre Colmez]]}}.</ref>.

}}

== Caractéristiques des actions de groupe ==
=== Action transitive ===
Une action est dite ''transitive'' si elle possède une et une seule orbite. Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''E'' est donc transitive si et seulement si ''E'' n'est pas vide et que deux éléments quelconques de ''E'' peuvent être envoyés l'un sur l'autre par l'action d'un élément du groupe<ref>Ceci est la seconde forme de la définition dans [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]], Algèbre'', Paris, 1970, ch. I, § 5, {{numéro|5}}, déf. 6, {{p.|56}}.</ref> :<center><math>\forall x,y\in E\quad\exists g\in G\quad y=g\cdot x</math>.</center>
Plus généralement, une action sur un ensemble E (d'au moins ''n'' éléments) est dite ''n-transitive'' si l'action correspondante sur l'[[Espace de configuration|ensemble des ''n''-uplets d'éléments distincts]] est transitive, c'est-à-dire si pour ''n'' points distincts ''x''{{sub|1}}, … , ''x{{sub|n}}'' et ''n'' points distincts ''y''{{sub|1}}, … , ''y{{sub|n}}'', quelconques dans ''E'', il existe toujours au moins un élément ''g'' du groupe tel qu'on ait à la fois ''g·x''{{sub|1}} = ''y''{{sub|1}}, … , ''g·x{{sub|n}} = y{{sub|n}}''.

L'action est dite ''strictement n-transitive''<ref>{{article|lien auteur=Jacques Tits|prénom1=Jacques|nom=Tits|titre=Groupes finis simples sporadiques|périodique=[[Séminaire Bourbaki]]|année=1969/70 ({{22e|année}})|numéro=375|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1969-1970__12_/SB_1969-1970__12__187_0/SB_1969-1970__12__187_0.pdf}}, section 1.2.3, {{p.|191}}, parle d'un groupe de permutations « fortement ''n'' fois transitif ».</ref> si, de plus, un tel ''g'' est toujours unique, autrement dit si l'action sur les ''n''-uplets d'éléments distincts est [[#Action simplement transitive|simplement transitive]].

Un groupe de permutations est dit transitif (resp. ''n''-transitif, resp. strictement ''n''-transitif) si son opération naturelle est transitive (resp. ''n''-transitive, resp. strictement ''n''-transitive).

Il résulte de la [[Groupe sporadique|classification des groupes simples finis]] que les seuls groupes de permutations 4-transitifs sont les groupes symétrique et [[groupe alterné|alterné]] (de degré ≥ 4 et ≥ 6 respectivement) et les [[Groupe de Mathieu|groupes de Mathieu]] ''M''{{ind|24}}, ''M''{{ind|23}}, ''M''{{ind|12}} et ''M''{{ind|11}} : de plus, ''M''{{ind|24}} et ''M''{{ind|12}} sont 5-transitifs<ref>{{p.|152}} de {{article|langue=en|lien auteur=Shreeram Shankar Abhyankar|prénom1=Shreeram S.|nom=Abhyankar|url=http://www.ams.org/journals/bull/2001-38-02/S0273-0979-00-00892-2/|titre=Resolution of singularities and modular Galois theory|périodique=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]] (New Series)|volume=38|numéro=2|p.=131-169|année=2001}}.</ref>.

[[Camille Jordan (mathématicien)|Jordan]] avait prouvé en 1873 que les seuls groupes de permutation ''strictement'' 6-transitifs sont les groupes symétriques de degrés 6 et 7 et le groupe alterné de degré 8<ref>{{Rotman1}}, {{4e}} éd., tirage de 1999, {{p.|286}}.</ref>.

=== Action libre ===

Une action est dite ''libre'' si tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans [[point fixe]] : <math>\forall x \in E\quad{\rm St}_x = \{e\}</math>.

=== Action fidèle ===
Une action est dite ''fidèle'' (on dit parfois aussi ''effective'') si l'''intersection'' de tous les stabilisateurs est réduite au neutre, autrement dit si seul le neutre fixe tous les points. <center><math>\forall g \in G,\  (\forall x\in E,\ \ x = g\cdot x)\iff g=e</math>.</center>
Une action libre est fidèle.

De façon équivalente, une action est fidèle si le morphisme

{{retrait|taille=4em
 |<math>\begin{array}{ccccc}
\phi & : & G & \to & {\rm S}_E \\
& & g & \mapsto & \phi (g) \\\end{array}
</math>
}}

défini par <math>(\phi(g))(x)=g \cdot x</math> est injectif.

=== Action simplement transitive ===
Une action est dite ''simplement transitive'' si elle est à la fois transitive et libre. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe :
<center><math>\forall x,y\in X\quad\exists!g\in G\quad y=g\cdot x</math>.</center>

Par exemple, l'action d'un groupe sur lui-même par translations à gauche (ou à droite) est simplement transitive.

Une action fidèle et transitive d'un groupe abélien est simplement transitive<ref>{{ouvrage|prénom=Marcel|nom=Berger|lien auteur1=Marcel Berger|titre=Géométrie|référence=Référence:Géométrie (Berger)|numéro chapitre=1}}, § 1.4.</ref>. En effet, plus généralement, pour toute action transitive d'un groupe ''G'', les orbites d'un [[sous-groupe normal]] sont permutées par ''G'' donc sont toutes de même [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]] (donc sont des [[Singleton (mathématiques)|singletons]] si ce sous-groupe fixe un point)<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Algebra: A Teaching and Source Book|auteur=Ernest Shult|auteur2=David Surowski|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2015|url={{Google Livres|OVUwCgAAQBAJ|page=115}}|passage=115}}.</ref>.

Une action transitive d'un [[groupe fini]] ''G'' sur un ensemble ''X'' est simplement transitive si et seulement si ''G'' et ''X'' ont même [[Cardinal d'un ensemble fini|cardinal]]<ref>{{ouvrage|langue=en|nom1=Dixon|prénom1=John D.|nom2=Mortimer|prénom2=Brian|titre=Permutation Groups|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=163|année=1996|isbn=978-0-387-94599-6|url={{Google Livres|4QDpFN6k61EC|page=8}}|passage=8-9}}.</ref>.

=== Action continue ===
Si ''G'' est un [[groupe topologique]] et ''X'' un [[espace topologique]], l'action est dite ''continue'' si l'application correspondante ''G''×''X'' → ''X'', (''g'', ''x'') ↦ ''g⋅x'' est [[Continuité (mathématiques)|continue]]<ref>{{Godbillon1}}, 1971, {{p.|28}}.</ref>, ''G''×''X'' étant muni de la [[topologie produit]]<ref>Si elle vérifie seulement que pour tout ''x'' ∈ ''X'', l'application ''G'' → ''X'', ''g'' ↦ ''g⋅x'' est continue, on dit – paradoxalement – que l'action est {{refnec|date=septembre 2011|''fortement continue''}}.</ref>. L'espace ''X''/''G'' des orbites est alors muni d'une [[topologie quotient]] et l'application ''X → X''/''G'' est [[Applications ouvertes et fermées|ouverte]]. Si ''X''/''G'' est [[Compacité (mathématiques)|compact]], l'action est dite '''cocompacte'''.

L'action est dite ''propre''<ref>Sur cette notion, on pourra consulter [http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/courstopalg.pdf Topologie : revêtements et groupe fondamental] par [[Michèle Audin]], [[Institut de recherche mathématique avancée|IRMA]], 2004 et approfondir dans N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique'', TG III, § 4.</ref> si l'application ''G''×''X'' → ''X''×''X'', (''g'', ''x'') ↦ (''g⋅x'', ''x'') est [[Application propre|propre]]. L'espace des orbites est alors [[Espace séparé|séparé]]. Une action continue propre d'un [[groupe discret]] est dite {{Lien|trad=Properly discontinuous action|Action proprement discontinue|texte=proprement discontinue}}. Lorsque ''G'' est [[localement compact]] et ''X'' séparé, l'action est propre si et seulement si deux points quelconques ''x'' et ''y'' de ''X'' possèdent toujours des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] ''V{{ind|x}}'' et ''V{{ind|y}}'' tels que ''V{{ind|y}}'' ne rencontre ''gV{{ind|x}}'' que pour un ensemble [[relativement compact]] d'éléments ''g'' de ''G''. Lorsque ''G'' est séparé et ''X'' localement compact, une action continue est propre si et seulement si, pour tout compact ''K'' de ''X'', le fermé des éléments ''g'' de ''G'' pour lesquels ''gK'' rencontre ''K'' est compact. Si ''G'' est un [[groupe compact]], ces conditions de (relative) compacité de parties de ''G'' sont automatiquement vérifiées. Si ''G'' est un groupe discret, elles équivalent à la finitude des parties considérées.

== Formule des classes, formule de Burnside ==
À travers les notions d'orbite et de stabilisateur, les actions de groupe sont un outil commode en [[combinatoire]]. D'autre part, un certain nombre de propriétés concernant la structure de certains groupes peuvent être démontrées par des arguments de dénombrement.

Deux identités reviennent fréquemment, en particulier lorsque le groupe ''G'' est fini.

* La <span id="Formule des classes">''formule des classes''</span> affirme {{supra|Stabilisateur d'un élément}} que le cardinal de toute orbite <math>\omega</math> est égal à l'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] dans ''G'' du stabilisateur de n'importe quel point {{mvar|x}} de <math>\omega</math>. En particulier, si ''G'' est fini :<center><math> \mathrm{card}~O_x = \frac {\mathrm{card}~ G} {\mathrm{card}~{\rm St}_x}</math>.</center>Par suite, si l'on désigne par {{math|Ω}} l'ensemble des orbites et par <math> c_\omega</math> l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] commun des stabilisateurs des éléments de l'orbite <math>\omega</math>, un [[Corollaire (mathématiques)|corollaire]] de la formule des classes est (toujours sous l'hypothèse que ''G'' est fini) :<center><math> \mathrm{card}~E =\sum_{\omega \in \Omega} \mathrm{card}~\omega \ = {\mathrm{card}~G} \ \sum_{\omega \in\Omega}\frac1{c_\omega}</math>.</center>
* La <span id="Formule de Burnside">''[[Lemme de Burnside|formule de Burnside]]''</span><ref>Bien qu'il soit traditionnel de lui attacher le nom de Burnside, ce dernier l'avait en fait attribuée dans son livre de 1897 à [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]], et elle avait déjà été {{refsou|date=décembre 2017|découverte en réalité par [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]}}.</ref>{{,}}<ref>Ne pas confondre avec {{page h|Théorème de Burnside}}.</ref>{{,}}<ref>Pour une démonstration, {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe#Problème 2. (Lemme dit de Burnside)|exercice corrigé du chapitre sur les actions de groupes|début=voir par exemple cet}}</ref> affirme pour sa part que <math>\mathrm{card}~ \Omega\times\mathrm{card}~ G=\sum_{g\in G}\mathrm{card}~\mathrm{Fix}_g</math>. En particulier, si ''G'' est fini :
** le nombre d'orbites est :<center><math>\mathrm{card}~ \Omega = \frac1{\mathrm{card}~ G}\sum_{g\in G} \mathrm{card}~\mathrm{Fix}_g</math> ;</center>
** si ''G'' agit [[#Action transitive|transitivement]] sur un ensemble non vide, alors la moyenne du nombre de points fixes des éléments du groupe ''G'' est égale à {{math|1}}.

== Actions équivalentes et quasi équivalentes ==
Soit ''G'' un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble ''X'' et sur un ensemble ''Y''. Nous dirons que ces deux opérations sont '''équivalentes'''<ref>Expression conforme par exemple à {{Ouvrage|langue=en|auteur={{Lien|lang=de|Derek John Scott Robinson|texte=Derek J. S. Robinson}}|titre=A Course in the Theory of Groups|numéro dans collection=80|collection=GTM|éditeur=Springer|année=1996|numéro d'édition=2|isbn=978-0-387-94461-6|url={{Google Livres|lqyCjUFY6WAC|page=35}}|passage=35}}, à {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Michael Aschbacher|M. Aschbacher]]|titre=Finite Group Theory|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2000|isbn=9780521786751|url={{Google Livres|BprbtnlI6HEC|page=9}}|passage=9}}, à {{Ouvrage|auteur=Jean Delcourt|titre=Théorie des groupes|éditeur=Dunod|année=2001|passage=62}}.</ref> s'il existe une bijection ''f'' de X sur Y telle que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait
<center><math>f(g \cdot x) = g \cdot f(x)</math>,</center>
où les points représentent respectivement les opérations de ''G'' sur ''X'' et sur ''Y''.

Soit maintenant ''G'' un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble ''X'', soit ''H'' un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble ''Y''. On dit que ces deux actions sont '''quasi équivalentes'''<ref>Expression conforme à {{Harvsp|Aschbacher|2000|p=9}}. La terminologie est variable. Des opérations qui ici sont dites quasi équivalentes sont parfois dites équivalentes. C'est le cas dans {{Ouvrage|prénom=Josette|nom=Calais|titre=Éléments de théorie des groupes|éditeur=[[PUF]]|année=1984|passage=206}}.</ref> ou encore isomorphes<ref>Expression conforme à {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=282}}.</ref> s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un [[isomorphisme de groupes]] σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait
<center><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x)</math>,</center>
où les points représentent respectivement l'opération de ''G'' sur ''X'' et celle de ''H'' sur ''Y''.

Cela revient à dire<ref>{{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=282}}.</ref> que si ''f''* désigne l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''{{-1}} de S<sub>''X''</sub> sur S<sub>''Y''</sub>, si φ désigne l'homomorphisme de groupes de ''G'' dans S<sub>''X''</sub> correspondant à l'action de ''G'' sur ''X'', si ψ désigne l'homomorphisme de groupes de ''H'' dans S<sub>''Y''</sub> correspondant à l'action de ''H'' sur ''Y'', alors
<center><math>f^{\ast} \circ \varphi = \psi \circ \sigma </math>.</center>

Dans le cas particulier où G = H et où σ est l'isomorphisme identité de G, on retrouve l'équivalence de deux opérations d'un même groupe.

Si deux actions sont quasi équivalentes, l'ensemble des orbites de la première est équipotent à l'ensemble des orbites de la seconde. Plus précisément, on peut mettre les orbites de la première en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde de façon que deux orbites mises en correspondance aient toujours le même cardinal (à une orbite de la première action, faire correspondre son image par la bijection ''f'' considérée plus haut). En particulier, deux actions quasi équivalentes sont toutes deux transitives ou toutes deux non transitives. Il en est de même<ref>Voir quelques exemples dans {{Harvsp|Calais|1984|p=206}}.</ref> des propriétés de transitivité multiple, de fidélité{{etc.}}

== Action d'un groupe sur un groupe par automorphismes ==
Soient ''G'' et ''H'' deux groupes. Supposons qu'une action ''G'' × ''H'' → ''H'' : (''g'', ''h'') ↦ ''g''⋅''h'' de ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''H'' possède la propriété suivante :
:pour tout élément ''g'' de ''G'', pour tous éléments ''h'', ''k'' de ''H'', ''g''⋅(''h*k'') = (''g''⋅''h'')∗(''g''⋅''k''),
où l'astérisque représente la loi du groupe ''H''. Cela revient à dire que pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation ''h'' ↦ ''g''⋅''h'' de ''H'' est un [[Morphisme de groupes#Automorphismes de groupe|automorphisme]] du groupe ''H''<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur={{Lien|lang=de|Hans Kurzweil}}|auteur2=[[Bernd Stellmacher]]|url=http://www.math.ku.dk/~olsson/manus/GruFus/Kurzweil-Stellmacher_Theory%20of%20finite%20groups.pdf|titre=The Theory of Finite Groups, An Introduction|année=2004|numéro chapitre=8|titre chapitre=Groups Acting on Groups}}.</ref>. On dit alors que l'action de ''G'' sur ''H'' est une '''action par automorphismes'''<ref>Expression employée par {{Harvsp|Delcourt|2001|p=86}}.</ref>. Dans ce cas, l'homomorphisme de ''G'' dans S<sub>H</sub> associé à l'action prend ses valeurs dans le groupe Aut(''H'') des automorphismes de ''H''. Une action de ''G'' sur ''H'' par automorphismes peut donc être assimilée à un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''H'').

Par exemple, l'action d'un groupe sur lui-même par conjugaison est une action par automorphismes ([[Automorphisme intérieur|intérieurs]]).

Soit ''G'' un groupe opérant par automorphismes sur un groupe ''H'', soit ''G''<sub>1</sub> un groupe opérant par automorphismes sur un groupe ''H''<sub>1</sub>. On dit que ces deux actions sont '''quasi équivalentes'''<ref>Expression conforme à {{Harvsp|Aschbacher|2000|p=9}}.</ref> comme actions par automorphismes (et non seulement comme actions de groupes sur ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) ''f'' de ''H'' sur ''H''<sub>1</sub> et un [[isomorphisme de groupes]] σ de ''G'' sur ''G''<sub>1</sub> tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait
<center><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x)</math>,</center>
où les points représentent respectivement l'opération de ''G'' sur ''H'' et celle de ''G''<sub>1</sub> sur ''H''<sub>1</sub>.

Les actions de groupe sur groupe par automorphismes permettent de définir le [[produit semi-direct]] (externe) d'un groupe par un autre.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Action de groupe|wikiversity titre=Action de groupe}}
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|wikiversity titre=Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives}}
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
*{{Lien|trad=Primitive permutation group|Groupe de permutations primitif|texte=Action de groupe primitive}}
*[[Domaine fondamental]]
*[[Indicateur de cycles]]
*{{Lien|G-module}}
* [[Représentation de groupe]]
*[[Théorème de dénombrement de Pólya]]
*[[Théorie des représentations]]
}}

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=GroupAction|titre=Group Action}}
* Yoann Gelineau, [http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gelineau/devagreg/Formule_Burnside_Applications_Combinatoires.pdf Formule de Burnside et Applications Combinatoires], tiré de {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Peter M. Neumann]]|auteur2=Gabrielle A. Stoy|auteur3=Edward C. Thompson|titre=Groups and Geometry|url={{Google Livres|DrEksWlmBtkC|page=100}}|passage=100-102}}
* {{Lien web|langue=en|url=http://ncatlab.org/nlab/show/action|titre=Action|auteur=Patrick Morandi|site=[[nLab]]}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Action de groupe|*]]
[[Catégorie:Symétrie]]