Voir la source de Adhérence (mathématiques)

{{Voir homonymes|Adhérence}}
{{Confusion|Valeur d'adhérence}}
En [[topologie]], l''''adhérence''' d'une [[Sous-ensemble|partie]] d'un [[espace topologique]] est le [[Extremum|plus petit]] ensemble [[Fermé (topologie)|fermé]] contenant cette partie. Lorsque l'espace est [[Espace métrisable|métrisable]], c'est aussi l'ensemble des [[Limite d'une suite|limites]] de [[suite (mathématiques)|suites]] convergentes à valeurs dans cette partie.
[[File:Topologie concepts de base illustrations.png|thumb|Illustration de concepts de base en topologie générale]]
== Définitions ==
Dans un espace topologique ''E'', l'adhérence d'une partie ''X'', notée {{surligner|''X''}}, est le « plus petit » (au sens de l'inclusion) fermé contenant ''X''<ref name=Choquet>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Gustave Choquet]]|titre=Tolology|éditeur=Academic Press|date=1966|url={{Google Livres|BmVwQYR6JqgC|page=14}}|page=14}}.</ref>.
:L'existence d'un tel fermé est claire<ref name=Choquet/> : il existe au moins un fermé contenant ''X'', à savoir l'espace ''E ''lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant ''X'' [[Espace topologique#Définition par les fermés|est un fermé]] contenant ''X'', et est le plus petit ayant cette propriété.

Un point ''x'' de ''E'' est dit « adhérent » à ''X'' s'il appartient à {{surligner|''X''}}. On verra [[#Ensemble des points adhérents|plus bas]] une définition équivalente de la notion de [[point adhérent]], qui fournira donc une définition équivalente de l'adhérence.

== Exemples ==
Une partie est fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence<ref>{{Harvsp|Choquet|1966|p=15|loc=Corollary 1}}.</ref>. Ainsi, pour la [[topologie discrète]] sur ''E'', l'adhérence d'une partie ''X'' est égale à ''X''. À l'opposé, pour la [[topologie grossière]] sur ''E'', dont les fermés sont l'ensemble vide et ''E'', l'adhérence de toute partie non vide est égale à ''E''.

L'adhérence d'une [[partie dense]] (cf. [[#Densité|§ ci-dessous]]) est par définition l'espace tout entier. 

L'adhérence d'un [[Intervalle (mathématiques)#Inventaire|intervalle de ℝ]] est l'intervalle fermé de mêmes bornes : l'adhérence de ]{{math|–∞}}, ''a''[ est l'intervalle ]{{math|–∞}}, ''a''].

== Propriétés ==
L'adhérence est un [[Clôture (mathématiques)#Opérateur de clôture|opérateur de clôture]]<ref>D'après {{harvsp|Choquet|1966|p=16}}, la première propriété est immédiate, la deuxième vient du fait que tout fermé est égal à son adhérence, et la troisième, du fait que {{surligner|''Y''}} est un fermé contenant ''Y''.</ref> :{{Retrait|<math>X\subset\overline X,\quad\overline{\overline X}=\overline X\quad{\rm et}\quad\left(X\subset Y\implies\overline X\subset\overline Y\right)</math>.}}

===Cas métrique===
Dans un [[espace métrique]], l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points [[Distance (mathématiques)#Distance d'un point à une partie|à distance nulle de cette partie]]. Autrement dit, l'adhérence d'un ensemble <math>A\neq\varnothing</math> est l'intersection des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] <math>V_r(A)</math> de <math>A</math><ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean Dieudonné]]|titre=[[Éléments d'analyse]]|tome=I|titre volume=Fondements de l'analyse moderne|passage=40|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|date=1979|isbn=978-2-04-010410-8|oclc=489875029|consulté le=2022-07-08}}.</ref>.

Dans un espace métrique, l'adhérence de toute [[Boule (topologie)|boule]] ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon. Dans un [[espace vectoriel normé]] muni de la distance ║''x – y''║, on a égalité. Mais dans un espace métrique quelconque, l'inclusion peut être stricte. Par exemple pour la [[topologie discrète]] sur un ensemble ''E'', toute partie est égale à son adhérence. Or cette topologie est induite par la distance discrète (définie par : ''d''(''x'', ''y'') = 1 si ''x ≠ y'', et ''d''(''x'', ''x'') = 0), pour laquelle les boules ouvertes de rayon 1 sont les [[Singleton (mathématiques)|singletons]], tandis que toute boule fermée de rayon 1 est égale à ''E''.

===Dualité entre adhérence et intérieur===
{{Article détaillé|Intérieur (topologie)}}
Pour deux parties ''X'' et ''Y'' de ''E'' [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaires]] l'une de l'autre, l'adhérence de ''Y'' et l'intérieur de ''X'' sont complémentaires l'un de l'autre.
:En effet<ref name=ChoquetP16/>, l'intérieur de ''X'' est l'[[Union (mathématiques)|union]] des [[Ouvert (topologie)|ouverts]] inclus dans ''X'' donc son complémentaire est l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] des fermés contenant ''Y''.

=== Sous-espaces et espaces produits ===
Si ''Y'' est un sous-espace de ''E'' (muni de la [[topologie induite]]) et ''X'' une partie de ''Y'', l'adhérence de ''X'' dans ce sous-espace est égale à {{surligner|''X''}}∩''Y''.

Dans un [[Topologie produit|espace produit]] ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'', l'adhérence d'un [[Produit cartésien#Produit cartésien d'une famille d'ensembles|produit ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''X{{ind|i}}'' de parties]] ''X{{ind|i}}'' ⊂ ''E{{ind|i}}'' est égale au produit ∏{{ind|''i''∈''I''}} {{Surligner|''X{{ind|i}}''}} des adhérences de ces parties<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, prop. 7, {{Google Livres|12yuCBbwijUC|page autre=SA1-PA27|{{p.|I.27}}}}.</ref>.

=== Intersections et réunions ===
* L'adhérence d'une intersection est incluse dans l'intersection des adhérences mais l'inclusion peut être stricte, même pour une intersection finie<ref name=ChoquetP16>{{harvsp|Choquet|1966|p=16}}.</ref>. Par exemple dans ℝ, l'adhérence de {{nobr|1=]{{math|–∞}}, 0[∩]0, {{math|+∞}}[}} est [[Ensemble vide|∅]], tandis que l'intersection des adhérences est {{nobr|1=]{{math|–∞}}, 0]∩[0, {{math|+∞}}[ = {0}.}}
*Puisque l'adhérence est un opérateur de clôture {{supra|Propriétés}}, une union d'adhérences est incluse dans l'adhérence de l'union<ref name=ChoquetP16/>.<br>L'inclusion peut être stricte. Par exemple dans ℝ, l'union de la suite de singletons {1/(''n''+1)} (fermés donc égaux à leurs adhérences) ne contient pas le point 0, qui est point adhérent.<br>Pour une union finie, on a cependant égalité. En effet<ref name=ChoquetP16/>, {{Surligner|''X''}}∪{{Surligner|''Y''}} [[Espace topologique#Définition par les fermés|est un fermé]] contenant ''X''∪''Y'' donc contenant {{Surligner|''X''∪''Y''}}.

== Caractérisations ==

=== Ensemble des points adhérents ===
{{Article détaillé|Point adhérent}}
Un point ''x'' de ''E'' est [[#Définitions|adhérent à ''X'']] si et seulement si tout [[Glossaire de topologie#V|voisinage]] de ''x'' [[Ensembles disjoints|rencontre]] ''X''<ref name=Choquet/>, autrement dit : tout ouvert contenant ''x'' rencontre ''X''.
:En effet<ref name=Choquet/>{{,}}<ref>Une variante de cette démonstration figure dans le cours correspondant sur [[Wikiversité]] : voir le [[#Voir aussi|lien en bas de page]].</ref>, ''x'' n'appartient pas à {{surligner|''X''}} si et seulement si [il existe un fermé contenant ''X'' et pas ''x'', c'est-à-dire si] il existe un ouvert contenant ''x'' et disjoint de ''X''.

=== Espaces métriques et suites ===
Dans un espace ''E'' quelconque, l'adhérence d'une partie ''X'' contient toujours la [[Espace séquentiel#Fermeture séquentielle|fermeture séquentielle]] de ''X'', c'est-à-dire que toute limite d'une suite d'éléments de ''X'' appartient à l'adhérence de ''X''.

Un [[Espace séquentiel#Espace de Fréchet-Urysohn|espace de Fréchet-Urysohn]] est un espace dans lequel, réciproquement, tout point adhérent à une partie ''X'' est limite d'une suite à valeurs dans ''X''. Les espaces métrisables (i.e. dont la [[Espace métrique#Définitions|topologie est issue]] d'une [[Distance (mathématiques)|distance]]), et plus généralement les espaces [[à bases dénombrables de voisinages]], en sont des exemples.

== Densité ==
{{Article détaillé|Partie dense}}
On dit qu'une partie ''X ''d'un espace topologique ''E ''est dense lorsque son adhérence est l'espace ''E ''tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide en contient un point.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

Toute partie [[Ordre dense#Sous-ensemble dense d'un ensemble ordonné|dense pour un ordre]] est dense pour la [[Topologie de l'ordre|topologie de cet ordre]]. Ainsi (cf. [[Ordre dense#Exemples|§ « Exemples » de l'article ''Ordre dense'']]), [[Nombre rationnel|ℚ]] et [[Nombre réel|ℝ]]\ℚ sont denses dans ℝ, et ℝ est dense dans la [[droite réelle achevée]] ℝ∪{{math|{–∞, +∞}|}}, ce qui justifie la notation {{surligner|ℝ}} pour cet espace.

Un point ''x ''de ''E ''est dit dense si le singleton {''x''} est dense. On l'appelle parfois aussi point '''générique'''.

=== Exemple de point générique ===
Considérons l'ensemble ℕ des [[Entier naturel|entiers naturels]]. On y [[Espace topologique#Définition par les fermés|définit une topologie (via des fermés)]] de la façon suivante :
* un [[ensemble fini]] d'entiers non nuls est fermé ;
* l'espace entier est fermé.
Dans cet espace, 0 est générique.

N.B. : en [[géométrie algébrique]], ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le [[spectre d'anneau]], vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple est [[homéomorphe]] à Spec(ℤ) par simple substitution des [[Nombre premier|nombres premiers]] aux entiers non nuls.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Topologie générale/Adhérence, intérieur#Adhérence|wikiversity titre=Adhérence}}
* [[Frontière (topologie)]]
* [[Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe]]
* [[Espace topologique#Définition par les adhérences|Axiomes de Kuratowski]]
* [[Théorème de fermeture/complémentaire de Kuratowski]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie générale]]