Voir la source de Aide:Systèmes de projection

{{Catégorie principale|Modèle générique de paramétrage de carte}}

On décrit ici les systèmes de projection des [[Wikipédia:Jargon/Modèle de paramétrage de carte|'''modèles génériques de paramétrage de carte''']]. Ce sont, pour quelques-unes, des versions approchées des systèmes de pseudo<ref>On a pris le soin de distinguer sous le terme « pseudo projection » des transformations qui ne peuvent être assimilées à des projections au sens mathématique du terme.</ref> [[projection cartographique|projections cartographiques]] couramment employées.

La catégorie [[:Catégorie:Modèle exemple de géolocalisation automatisée]] fournit des tests de rendus.
{{clr}}{{Palette Navigation Géolocalisation}}
== Considérations générales ==
{{Catégorie principale|Modèle de fonction mathématique pour la cartographie}}
Le problème consiste à convertir la donnée de coordonnées géographiques ([[latitude]], [[longitude]]) en position à l'écran (en {{/Change|pixel|pourcentage}}) pour une carte donnée. Des [[:Catégorie:Modèle générique de paramétrage de carte|modèles génériques de paramétrage de carte]] correspondent aux différents types de projections cartographiques

=== Cadrage ===
{{Article détaillé|contenu=Modèles concernés : {{M|Latitude}} • {{M|Longitude}}}}

[[Fichier:Geographic coordinates sphere 2.svg|325px|thumb|Coordonnées polaires]]

Les paramètres à fournir sont (essentiellement), suivant le modèle générique, parmi ces paramètres :
* les latitudes en [[Degré (angle)|degrés]] : <code>top</code>, <code>latitude</code>, <code>bottom</code>
* les longitudes en degrés :  <code>right</code>, <code>longitude</code>, <code>left</code>
* les tailles en [[pixel]]s {{/Change|: <code>iheight</code>, <code>iwidth</code>|<code>iheight</code>, <code>iwidth</code> ne sont plus nécessaires}}

{|align="center"
|+paramètres à fournir pour le paramétrage d'une carte géographique.
|-
|[[Fichier:Geographic coordinates on map.svg]]
|}

Puisqu'en l'état actuel des choses, beaucoup de modèles ne fournissent pas directement les paramètres <code>latitude</code> et <code>longitude</code>. Il existe deux modèles {{M|Latitude}} et {{M|Longitude}} qui permettent d'obtenir ces valeurs.

=== Décomposition de la projection ===
En réalité un [[Wikipédia:Jargon/Modèle de paramétrage de carte|modèle de paramétrage de carte]] ne fournit pas une position à l'écran ;
mais un couple (<code>x</code>,<code>y</code>) {{/Change|où (<code>largeur*x</code>,<code>largeur*y</code>) sont les nombres de pixels à l'écran ; ce qui permet d'ajuster la taille de l'image affichée avec <code>largeur</code>|de pourcentages qui indiquent la position du point par rapport aux dimensions de l'image de la carte}}.

Les [[Wikipédia:Jargon/Modèle de paramétrage de carte|modèles de paramétrage de carte]] ''implémentent'' donc deux fonctions de conversion :
<center><big>
'''<code>x(lat, long)</code>''', &nbsp; &nbsp; &nbsp;
'''<code>y(lat,long)</code>'''
</big></center>
Ces fonctions satisfont les inégalités<ref>cet encadrement n'est bien sur plus valable lorsque le point est hors-carte.</ref> :
<center>
0 ≤ <code>x(lat, long)</code> ≤ {{/Change|1|100}}, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
0 ≤ <code>y(lat,long)</code> ≤ {{/Change|<code>iheight/iwidth</code>|100}}
</center>
où ([[Wikipédia:Jargon/Paramètre de latitude|lat]], [[Wikipédia:Jargon/Paramètre de longitude|long]]) sont les coordonnées géographiques d'un point exprimées en degrés.

'''Un modèle (générique) de paramétrage de carte retourne donc les coordonnées (x,y) à partir de la donnée des coordonnées (lat,long).''' Cette conversion se décompose en trois étapes :
:1) '''Conversion des degrès en radians :'''
<center>
<math>\varphi={\pi\over 180}\operatorname{lat}</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>\lambda={\pi\over 180}\operatorname{long}</math> ; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
(<math>\varphi_0={\pi\over 180}\operatorname{latitude}</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>\lambda_0={\pi\over 180}\operatorname{longitude}</math>)
</center>

:2) '''Projection cartographique proprement dite :'''
::Ici, on considère la Terre comme une sphère parfaite de rayon 1. Les coordonnées géographiques ([[latitude]], [[longitude]]) sont ici (<math>\varphi</math>,<math>\lambda</math>) exprimés en [[radian]]. On recherche la conversion en coordonnées (X,Y) du point sur la carte. Le point (0,0) correspondra toujours aux coordonnées (<math>\varphi_0</math>,<math>\lambda_0</math>) et sera le centre de la carte. L'échelle en ce centre est de 1:1<ref>c'est-à-dire, une distance de 1 sur la shère donne une distance de 1 sur la carte en son centre ; ou encore en terme mathématique, on a dY=dϕ, dX=dλ au centre.</ref>. Les fonctions sont donc :
<center>
<math>X(\varphi,\lambda)</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>Y(\varphi,\lambda)</math>
</center>
::Ces fonctions sont détaillées ci-après.<!--


-->
:3) '''Conversion de (X,Y) en (x,y) :'''
{{/Change|balise=div|
<center>
<math>x={1\over 2}+{180\over\pi}{c_x\over\operatorname{iwidth}} X</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>y={1\over 2}{\operatorname{iheight}\over \operatorname{iwidth}}-{180\over\pi}{c_y\over \operatorname{iwidth}} Y</math><!--
--><ref>le signe - s'explique par le fait que si l'axe des Y est conventionnellement orienté vers le haut, la position verticale à l'écran croît vers le bas (concrètement : <code>top &gt; bottom</code> pour des latitudes et <code>top &lt; bottom</code> à l'écran).</ref>
</center>
|
<center>
<math>x=100 \left({{1\over 2}+{180\over\pi}{1\over\cos(\varphi_0)(\operatorname{right}- \operatorname{left})}X}\right)</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>y=100 \left({{1\over 2}-{180\over\pi}{1\over(\operatorname{top}- \operatorname{bottom})} Y}\right)</math><!--
--><ref>le signe - s'explique par le fait que si l'axe des Y est conventionnellement orienté vers le haut, la position verticale à l'écran croît vers le bas (concrètement : <code>top &gt; bottom</code> pour des latitudes et <code>top &lt; bottom</code> à l'écran).</ref>
</center>
::ou encore
<center>
<math>x=100 \left({{1\over 2}+{180\over\pi}{c_x\over\operatorname{iwidth}} X}\right)</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>y=100 \left({{1\over 2}-{180\over\pi}{c_y\over \operatorname{iheight}} Y}\right)</math><!--
--><ref>le signe - s'explique par le fait que si l'axe des Y est conventionnellement orienté vers le haut, la position verticale à l'écran croît vers le bas (concrètement : <code>top &gt; bottom</code> pour des latitudes et <code>top &lt; bottom</code> à l'écran).</ref>
</center>
}}
::<math>c_x\!\,</math> et <math>c_y\!\,</math> sont (de manière parfois artificielle)  :

<center>
<math>c_x={1\over\cos(\varphi_0)}{\operatorname{iwidth}\over(\operatorname{right}- \operatorname{left})}</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>c_y={\operatorname{iheight}\over(\operatorname{top}- \operatorname{bottom})}</math>
</center>

=== Distance ===
{{Article détaillé|contenu=Modèles concernés : {{M|Km»Degré}}, {{M|Distance cartographique}} et {{M|Distance planétaire}}}}

La distance kilométrique entre deux points géographiques (φ, λ) ; (φ', λ') n'est pas simple à calculer de manière générale. La situation s'améliore lorsque les deux points ont même longitude (i.e., λ=λ') :
<center><code>D(φ, φ', λ)= |φ-φ'| diam / 2</code></center>
ou même latitude (i.e., φ=φ') :
<center><code>D(φ, λ, λ')= cos(φ) |λ-λ'| diam / 2</code></center>

Ici <code>diam</code> est le [[diamètre]] en km de la planète<ref>si l'on considère la planète en question comme une sphère parfaite.</ref>. Les formules inverses permettent de convertir une distance kilométrique en un angle en radian.

==== Conversion d'une distance kilométrique verticale ====
À partir d'un point quelconque <code>(lat, long)</code> donnée en degré, un déplacement d'une distance <code>D</code> vers le Sud se traduit par une variation d'angle :
<center><math>\operatorname{lat}-\operatorname{lat'} = {180\over \pi}{ 2 D \over \operatorname{diam}}</math></center>
{{/Change|balise=div||2=
Après projection, cette variation d'angle donne un écart (positif) de
<center><code>ev = sqrt[ (x(lat',long)-x(lat,long))² + (y(lat',long)-y(lat,long))²]</code></center>
qui correspond à un pourcentage de la hauteur de l'image de la carte.

Si l'on exclut les projections coniques à proximité des pôles, on peut négliger l'écart longitudinal entre la représentation des deux points. On obtient alors une formule finale de <code>ev(lat, long, D)</code>, la conversion en pourcentage d'un écart kilométrique vertical <code>D</code> au point <code>(lat, long)</code>:
<center><code>ev(lat, long, D) = y(lat-{180/π}2D/diam},long) - y(lat,long)</code></center>
}}
{{/Change||En multipliant par la hauteur de l'image /100, on a l'écart en pixels.}}

==== Conversion d'une distance kilométrique horizontale ====
De manière similaire, un déplacement d'une distance <code>D</code> vers l'Ouest à partir du point <code>(lat, long)</code>, se traduit par une variation d'angle :
<center><math>\operatorname{long}-\operatorname{long'} = {180\over \pi}{ 2 D \over \cos{({\pi\over 180}\operatorname{lat})}\operatorname{diam}}</math></center>
{{/Change|balise=div||2=
Après projection, cette variation d'angle donne un écart (positif) de
<center><code>eh = sqrt[ (x(lat,long)-x(lat,long'))² + (y(lat,long)-y(lat,long'))²]</code></center>
qui correspond à un pourcentage de la largeur de l'image de la carte.

Là encore, on néglige l'écart vertical, et l'on obtient :
<center><code>eh(lat, long, D) = x(lat,long) - x(lat,long-{180/π}2D/(cos((π/180)lat) diam))</code></center>
}}
{{/Change||En multipliant par la largeur de l'image /100, on a l'écart en pixels.}}

==== La projection équirectangulaire ====
{{/Change|balise=div||2=
Les formules se simplifie considérablement dans ce cas de figure :
<center><code>ev(lat, long, D) = 100 (lat-lat')/(top-bottom) = '''COEF''' D /(top-bottom)</code></center>
<center><code>eh(lat, long, D) = 100 (long-long')/(right-left) = '''COEF''' D /[(right-left) cos((π/180)lat)]</code></center>
où
<center><code>'''COEF''' = 100 (180/π) (2/diam)</code></center>
}}

=== Échelle ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Échelle cartographique}}}}
{{...}}
Si la carte n'est pas déformée, les deux coefficients <math>c_x\!\,</math> et <math>c_y\!\,</math> doivent être égaux et donnent l'échelle globale de la carte (non redimensionnée) en pixels par dégrés (de latitude ou, de longitude à l'équateur).

En réalité, {{M|Géolocalisation/Projection équirectangulaire}} est le seul modèle à employer les paramètres <code>left</code>, <code>right</code> ; les autres utilisent simplement <code>longitude</code>. C'est donc <math>c_y\!\,</math> qui doit être retenu pour l'échelle.

=== Déformation ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Déformation cartographique}} •  {{M|Déformation cartographique centrale}} }}
La déformation est le rapport entre échelle horizontale et échelle verticale ou encore, pour une distance donnée, le rapport des longueurs (en pixels) de la représentation de cette distance sur un méridien et un parallèle.
<center>déformation globale = <math>{c_x\over c_y} = 
{\operatorname{iwidth} \over \operatorname{iheight}} \,
{(\operatorname{top}-\operatorname{bottom}) \over \cos(\varphi_0)(\operatorname{right}-\operatorname{left})}
</math></center>
où
<center><math>\cos(\varphi_0)= \cos \left({\pi\over 180}\rm{latitude}\right)= \cos\left({\pi\over 180}{\rm{top}+\rm{bottom}\over 2}\right)</math></center>

{{M|Déformation cartographique}} calcule une déformation locale en un point quelconque de la carte. La formule est
<center>déformation(<code>lat, long</code>) = <math>\left(\frac{\rm{iwidth}}{\rm{iheight}}\right)
{
x\left(\rm{lat},\rm{long}+0.01/\cos({\frac{\pi}{180}}\rm{lat})\right)-x(\rm{lat},\rm{long})
\over
y(\rm{lat}-0.01,\rm{long})-y(\rm{lat},\rm{long})
}
</math></center>

{{M|Déformation cartographique centrale}} calcule la déformation locale au centre de la carte. Donc :
<center><code>déformation centrale = déformation(latitude, longitude)</code>.</center>
On emploie {{M|Latitude}}, {{M|Longitude}} pour déterminer ce centre.

Notons que Déformations centrale et globale donnent le même résultat pour la {{M|Géolocalisation/Projection équirectangulaire}}.
{{Boîte déroulante/début|titre=Vérification}}
Les formules de projection sont dans ce cas:
<center><code>x(long)={{/Change||100 * }}(long-left)/(right-left)</code></center>
<center><code>y(lat)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * (top-lat)/(top-bottom)</code></center>
On en déduit que
<center><code>x(longitude+A)-x(longitude)={{/Change||100 * }}A/(right-left)</code></center>
<center><code>y(latitude-B)-y(latitude)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * B/(top-bottom)</code></center>
Ici <code>A=0.01/cos(π/180 latitude)</code>, <code>B=0.01</code>. Donc
<center>déformation centrale = <code>iwidth/iheight * (top-bottom)/(right-left) * 1/cos(π/180 latitude)</code> = déformation globale</center>
{{Boîte déroulante/fin}}

Une déformation de 1 correspond en théorie à une absence de déformation. En réalité, à cause de l'aplatissement de la [[Terre]], le rapport optimal est
{|align="center" style="vertical-align:middle; text-align:center;padding:0;background-color:transparent;"
|-
|Circonférence équatoriale
|
|40 075 km
|
|
|-
|
-----
|=
|
-----
|≈
|1,0017
|-
|Circonférence sur un méridien
|
|40 008 km
|
|
|}
Une déformation supérieure à 1 correspond à un écrasement vertical<ref>ou un étirement horizontal, selon le point de vue.</ref>.

Omis {{M|Géolocalisation/Projection équirectangulaire}}, les modèles emploient <math>c_y\!\,</math> (ou <code>déformation*<math>c_y\!\,</math></code> lorsque le paramètre déformation existe) au lieu de <math>c_x\!\,</math>.

=== Excentrage ===
Certaines cartes ont été recadrées. La conséquence de ce recadrage est que le ''[[méridien]] central'' (qui est vertical et rectiligne) se trouve excentré, voire même, hors carte. Pour prendre cela en charge, certains modèles génériques ont un paramètre alternatif <code>x0</code> pour fournir la position horizontale en pixels du ''méridien central'' sur la carte.

== De la formule mathématique à celle du modèle ==
[[#Décomposition de la projection|Récapitulons]] : Les formules mathématiques de la projection sont
<center>
<math>X(\varphi,\lambda)</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>Y(\varphi,\lambda)</math>
</center>
et le code d'un modèle (générique ou optimisé) de paramétrage de carte présente la forme suivante :
<pre>{{#switch:{{{1}}}
|y={{#expr: y({{{2}}}, {{{3}}})
   }}
|x={{#expr: x({{{2}}}, {{{3}}})
   }}
<!-- ... -->
}}</pre>
où
<center><big>
'''<code>x(lat, long)</code>''', &nbsp; &nbsp; &nbsp;
'''<code>y(lat,long)</code>'''
</big></center>
sont liés aux formules mathématiques par :
<center>
<math>x(\operatorname{lat}, \operatorname{long})=100 \left({{1\over 2}+{180\over\pi}{c_x\over\operatorname{iwidth}} X(\varphi,\lambda)}\right)</math>
<!--X({\pi\over 180}\operatorname{lat},{\pi\over 180}\operatorname{long})-->
</center>
<center>
<math>y(\operatorname{lat},\operatorname{long})=100 \left({{1\over 2}-{180\over\pi}{c_y\over \operatorname{iheight}} Y(\varphi,\lambda)}\right)</math>
</center>
où
<center>
<math>\varphi={\pi\over 180}\operatorname{lat}</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>\lambda={\pi\over 180}\operatorname{long}</math><!--

note:


--><ref>Donc <code><math>\varphi</math><nowiki>=(pi/180)*({{{2}}})</nowiki></code> ; <!--
--><code><math>\lambda</math><nowiki>=(pi/180)*({{{3}}})</nowiki></code> ; <!--
--><code><math>\varphi_0</math><nowiki>=(pi/180)*({{{latitude}}})</nowiki></code> ; <!--
--><code><math>\lambda_0</math><nowiki>=(pi/180)*({{{longitude}}})</nowiki></code> ; <!--
--><code><math>\varphi_1</math><nowiki>=(pi/180)*({{{latitude1}}})</nowiki></code> ; <!--
-->etc.</ref>.
</center>


Pour davantage de souplesse (prise en compte de l'excentrage et de la déformation) et pour alléger la formule, on ajoute les paramètres <code>px0</code>, <code>py0</code>, <code>dx</code>, <code>dy</code>, de sorte que le code du modèle devient (pour les projections complexes) :
<pre>{{#switch:{{{1}}}
|y={{#expr: {{{py0|50}}} - ({{{dy}}}) * Y( (pi/180)*({{{2}}}), (pi/180)*({{{3}}}) )
   }}
|x={{#expr: {{{px0|50}}} + ({{{dx}}}) * X( (pi/180)*({{{2}}}), (pi/180)*({{{3}}}) )
   }}
<!-- ... -->
}}</pre>
où <code>dx</code>, <code>dy</code> devraient donc être :
<center>
dx=<math>100{180\over\pi}{1\over\cos((\pi/180)\operatorname{latitude})}{1\over(\operatorname{right}- \operatorname{left})}</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
dy=<math>100{180\over\pi}{1\over(\operatorname{top}- \operatorname{bottom})}</math>.
</center>
Noter qu'au final, ces formules sont indépendantes de <code>(iwidth, iheight)</code> puisque l'on opère en pourcentage.

== Projections cylindres ou pseudo-azimutales ==

;La transformation verticale:
:Chez la plupart de ces systèmes de projection, <math>Y=(\varphi-\varphi_0)</math> ; cela signifie que les [[Parallèle (géographie)|parallèles]] sont des droites horizontales régulièrement espacés. La transformation verticale est simplement :
<center><code>y(lat)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * (top-lat)/(top-bottom)</code></center>

=== Pseudo projection équirectangulaire ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection équirectangulaire}}}}

C'est la conversion la plus simple :
<center>
<math>X=\cos(\varphi_0)(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp;
<math>Y=(\varphi-\varphi_0)</math>
</center>
[[Méridien]]s et [[Parallèle (géographie)|parallèles]] forment une grille régulière. L'entrée des valeurs <code>top</code>, <code>bottom</code>, <code>right</code>, <code>left</code>, laisse la place à une possible déformation.
<center>
<code>x(long)={{/Change||100 *}} (long-left)/(right-left)</code></center>
<center><code>y(lat)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * (top-lat)/(top-bottom)</code></center>

;Note: La carte doit normalement résulter d'une [[Projection cylindrique équidistante|projection équirectangulaire]]. Dans ce cas, il n'y pas de déformation au centre (c'est-à-dire, que l'on aura <code>déformation=1</code>).

=== Pseudo projection "linéaire" ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection linéaire}}}}

Cette conversion est moins approximative car elle tient compte de l'oblicité des méridiens.
Méridiens et parallèles demeurent des droites régulièrement espacées.
<center>
<math>X=(\cos(\varphi_0) - \sin(\varphi_0)(\varphi-\varphi_0))(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=(\varphi-\varphi_0)</math>
</center>
<math>\cos(\varphi_0) - \sin(\varphi_0)(\varphi-\varphi_0)</math> est le développement limité d'ordre 1 de <math>\cos(\varphi)</math> en <math>\varphi_0</math> qui correspond à la ''projection arquée''.
<center><code>x(lat,long)={{/Change||100 * [ }}1/2+ iheight/iwidth*'''COEF'''*(long-longitude)/(top-bottom){{/Change|| ]}}</code></center>
<center>où <code>'''COEF'''= cos(π/180*(top+bottom)/2) - sin(π/180*(top+bottom)/2) * (π/180*(lat-(top+bottom)/2))</code></center>
<center><code>y(lat)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * (top-lat)/(top-bottom)</code></center>



=== Pseudo projection "arquée" ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection arquée}}}}

Ici les méridiens sont arqués, les parallèles demeurent des droites régulièrement espacées.
<center>
<math>X=\cos(\varphi)(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=(\varphi-\varphi_0-\tan{\varphi} \frac{a}{2} {(\lambda-\lambda_0)}^2)</math>
</center>
Un paramètre supplémentaire <code>a</code> permet d'ajuster l'<!---->''arquage''. Sa valeur doit être positive pour l'hémisphère nord (<code>a=0.4</code> pour {{M|Géolocalisation/France}}).
<center><code>x(lat,long)={{/Change||100 * [ }}1/2+ iheight/iwidth*'''COEF'''*(long-longitude)/(top-bottom){{/Change|| ]}}</code></center>
<center>où <code>'''COEF'''= cos(π/180*lat)</code></center>
<center><code>y(lat,long)={{/Change|iheight/iwidth|100}} * (top-lat-tan(π/180*lat)*a/2*π/180*(long-longitude)^2)/(top-bottom)</code></center>

== Projection sur un plan ==
=== Projection perspective ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection perspective}}}}

La projection la plus naturelle est la vue en perspective, qui correspond à une projection sur un plan tangent à la surface du globe. C'est une [[Projection cartographique#Projection azimutale|projection azimutale]].
Elle est paramétrée par la donnée d'une échelle, et la donnée de la position d'un point de convergence (la position de l'œil) que l'on donne en coordonnées sphérique : <math>(\lambda_0, \varphi_0, d)</math> où <math>d\not=1</math>. Le plan de projection est alors tangent à la sphère au point <math>(\lambda_0, \varphi_0, 1)</math> (le centre de projection).

Si C est le centre de projection, D le point de convergence, la projection d'un point S de la surface du globe est simplement le point P d'intersection de la droite SD avec le plan. Les valeurs (X,Y) sont les coordonnées du vecteur CP dans un repère orthonormé <math>(i', j', k')</math> (d'origine C) du plan de projection. <math>i'</math> et <math>j'</math> appartiennent au plan et <math>k'</math> et sur l'axe CD. On choisira bien sur le repère où <math>i'</math> est dans un plan horizontal (afin que l'axe Nord-Sud soit vertical).

{{Boîte déroulante/début|titre=Détail des calculs}}
Coordonnées cartésiennes des points (dans le repère du globe) :
{|style="width:100%;align:center;"
|-
|<math>C=\begin{vmatrix}   \cos(\varphi_0)\cos(\lambda_0) \\   \cos(\varphi_0)\sin(\lambda_0) \\   \sin(\varphi_0) \end{vmatrix}</math>
|<math>D=\begin{vmatrix} d \cos(\varphi_0)\cos(\lambda_0) \\ d \cos(\varphi_0)\sin(\lambda_0) \\ d \sin(\varphi_0) \end{vmatrix}</math>
|<math>S=\begin{vmatrix}  \cos(\varphi)\cos(\lambda) \\ \cos(\varphi)\sin(\lambda) \\ \sin(\varphi) \end{vmatrix}</math>
|}
Le point P étant sur la droite SD, il s'écrit :
<math>P=\alpha S + (1-\alpha)D</math>.
Le point P étant également dans le plan de projection (caractérisé par (x,y,z)C=0), on a <math>(P-C)^t C=0</math>.

Pour alléger l'écriture, on pose <math>P-C=\alpha S + \beta C</math> où <math>\beta=(d(1-\alpha)-1)</math> et <math>K = S^t C</math>. Donc
<center>
<math>0= \alpha S^t C + \beta C^t C = \alpha K + d(1-\alpha)-1</math>.
</center>
On en déduit la valeur de <math>\alpha</math> :
<center>
<math>\alpha= (d-1)/(d-K)</math>.
</center>
où
<center>
<math>
\begin{align}
K &= S^t C\\
\ &=\cos(\varphi_0)\cos(\lambda_0)\cos(\varphi)\cos(\lambda)+
    \cos(\varphi_0)\sin(\lambda_0)\cos(\varphi)\sin(\lambda)+
    \sin(\varphi_0)\sin(\varphi) \\
\ &=\sin(\varphi_0)\sin(\varphi)+\cos(\varphi_0)\cos(\varphi)\cos(\lambda-\lambda_0) \\
\ &=\cos(\varphi-\varphi_0)+\cos(\varphi_0)\cos(\varphi)(\cos(\lambda-\lambda_0)-1)
\end{align}
</math>
</center>

D'autre part, le repère <math>(i', j', k')</math> du plan de projection est défini par :
<center>
<math>(i', j', k')=
\begin{vmatrix}
 -\sin(\lambda_0) & -\cos(\lambda_0)\sin(\varphi_0) &  \cos(\varphi_0)\cos(\lambda_0) \\
  \cos(\lambda_0) & -\sin(\lambda_0)\sin(\varphi_0) & \cos(\varphi_0)\sin(\lambda_0) \\
  0               & \cos(\varphi_0) & \sin(\varphi_0)
\end{vmatrix}
</math>
</center>
et le vecteur CP a (X,Y,0) pour coordonnées dans ce repère. On en déduit P-C = X i' + Y j' ; puis les valeurs X et Y.

{|style="width:100%;text-align:center;"
|-
|<math>-\sin(\lambda_0) X - \sin(\varphi_0)\cos(\lambda_0) Y = \alpha \cos(\varphi)\cos(\lambda) + \beta \cos(\varphi_0)\cos(\lambda_0)
</math>
|<math>(I)</math>
|-
|<math> \cos(\lambda_0) X - \sin(\varphi_0)\sin(\lambda_0) Y = \alpha \cos(\varphi)\sin(\lambda) + \beta \cos(\varphi_0)\sin(\lambda_0)
</math>
|<math>(II)</math>
|-
|<math>   \cos(\varphi_0) Y = \alpha \sin(\varphi) + \beta \sin(\varphi_0)
</math>
|<math>(III)</math>
|}

{|style="width:100%;text-align:center;"
|-
|<math>\begin{align}
-\sin(\lambda_0) (I) + \cos(\lambda_0) (II) 
 & = X \\
 & = \alpha \cos(\varphi)( -\sin(\lambda_0)\cos(\lambda)+\cos(\lambda_0)\sin(\lambda) ) \\
 & = \alpha \cos(\varphi)\sin(\lambda-\lambda_0)
\end{align}</math>
|<math>(IV)</math>
|-
|<math>\begin{align}
\cos(\lambda_0) (I) + \sin(\lambda_0) (II)
 & = - \sin(\varphi_0) Y \\
 & =\alpha \cos(\varphi)(\cos(\lambda)\cos(\lambda_0)+\sin(\lambda)\sin(\lambda_0)) + \beta \cos(\varphi_0) \\
 & =\alpha \cos(\varphi)\cos(\lambda-\lambda_0) + \beta \cos(\varphi_0)
\end{align}</math>
|<math>(V)</math>
|-
|<math>\cos(\varphi_0) (III) - \sin(\varphi_0) (V) = Y
=\alpha (\sin(\varphi)\cos(\varphi_0)- \cos(\varphi)\cos(\lambda-\lambda_0)\sin(\varphi_0))
</math>
|}

Et l'on vérifie :
<center>
<math>\begin{align}
\sin(\varphi_0) (III) + \cos(\varphi_0) (V)
 & = 0 \\
 & =\alpha (\sin(\varphi)\sin(\varphi_0)+\cos(\varphi_0)\cos(\varphi)\cos(\lambda-\lambda_0)) + \beta \\
 & =\alpha K + \beta \\
 & =\alpha (K-d) + (d-1) \\
 & = 0
\end{align}</math>
</center>

Enfin Y s'écrit également :
<center>
<math>
\begin{align}
Y &= \alpha(\cos(\varphi_0)\sin(\varphi)-\sin(\varphi_0)\cos(\varphi)\cos(\lambda-\lambda_0)) \\
\ &= \alpha(\sin(\varphi-\varphi_0)+(1-\cos(\lambda-\lambda_0))\sin(\varphi_0)\cos(\varphi))
\end{align}
</math>
</center>
{{Boîte déroulante/fin}}

<center>
<math>X=\alpha \cos(\varphi)\sin(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=\alpha (\sin(\varphi-\varphi_0)-\sin(\varphi_0)\cos(\varphi)(\cos(\lambda-\lambda_0)-1))</math>
</center>
où
<center>
<math>\alpha=(d-1)/(d-K)</math>
</center>
<center>
<math>K=\cos(\varphi-\varphi_0)+\cos(\varphi_0)\cos(\varphi)(\cos(\lambda-\lambda_0)-1)
</math>
</center>

Voir [http://mathworld.wolfram.com/VerticalPerspectiveProjection.html Vertical Perspective Projection]
==== Projection gnomonique ====
La projection est gnomonique lorsque <code>d=0</code>. La Terre est donc vue depuis son centre. Voir [http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html Gnomonic Projection].

==== Projection stéréographique ====
La projection est stéréographique lorsque <code>d=-1</code>. La Terre est donc vue depuis l'[[antipode]] du centre de projection. Voir [http://mathworld.wolfram.com/StereographicProjection.html Stereographic Projection].

==== Projection orthographique ====
La projection est orthographique lorsque d=<math>\infty</math>. La Terre est donc vue "à l'infinie".

<!--erreur sémantique
====Projection azimutale====
La projection est azimutale lorsque <math>\varphi_0=\pi / 2</math>. La Terre est donc vue de Pôle. Cette projection est également un cas limite de projection conique.
-->

=== Projection azimutale équivalente de Lambert ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection azimutale équivalente de Lambert}}}}
La [[projection azimutale équivalente de Lambert]] est assez proche de la projection perspective et plus particulièrement de la projection stéréographique où les parallèles divergent également.

Les formules ont la même forme générale que celles de la projection perspective
<center>
<math>X=\alpha' \cos(\varphi)\sin(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=\alpha' (\sin(\varphi-\varphi_0)-\sin(\varphi_0)\cos(\varphi)(\cos(\lambda-\lambda_0)-1))</math>
</center>
mais <math>\alpha'</math> est plus complexe que <math>\alpha</math> :
<center>
<math>\alpha'=\sqrt{{2 \over (1+\cos(\varphi-\varphi_0)+\cos(\varphi_0)\cos(\varphi)(\cos(\lambda-\lambda_0)-1))}}</math>
</center>
Sur l'axe vertical central (où <math>\lambda=\lambda_0</math>), la formule se simplifie et l'on obtient :
<center>
<math>X=0\;</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=2\sin({\varphi-\varphi_0 \over 2})
</math>
</center>
Voir [http://mathworld.wolfram.com/LambertAzimuthalEqual-AreaProjection.html Lambert Azimuthal Equal-Area Projection].

== Projections coniques ==
Les caractéristiques de la projection coniques sont (généralement) :
:* Les parallèles sont des cercles
:* Les méridiens sont des droites régulièrement espacées qui se coupent en un pôle.

La formule générale est
<center>
<math>X=r(\varphi) \sin(\beta)\!\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=r(\varphi_t) - r(\varphi) \cos(\beta)\!\,</math>, &nbsp; &nbsp; où &nbsp;
<math>\beta=n (\lambda-\lambda_0)</math>.
</center>
où <math>\varphi_t</math> est la latitude <code>top</code>, et <math>\lambda_0</math> la longitude du méridien central, toutes deux exprimées en radian.
Les différences résident donc dans la fonction <math>r\,</math> (de calcul du rayon) et le coefficient <math>n\,</math><ref>Si l'on voir la projection comme un éventail, le coefficient <math>n\,</math> détermine l'ouverture de l'éventail</ref>.
=== Projection coniques linéaires ===
Ici les parallèles sont régulièrement espacées ; autrement dit, <math>r(\varphi)\,</math> est linéaire :
<center><math>r(\varphi)= G - \varphi\!\,</math></center>
G sera la latitude où les méridiens se croisent.

On parle des « projection conique équidistante ».
On considère 2 cas (tangent et sécant) :
==== Projection conique linéaire tangente ====
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection conique linéaire}}}}

Ici la projection ne dépend que <math>\varphi_0</math> (latitude du parallèle tangent). <math>(n(\lambda-\lambda_0),\pm\pi/2-\varphi)\!\,</math> sont des coordonnées polaires. Donc <math>r(\varphi)=\pm\pi/2-\varphi\!\,</math> et <math>n={\cos(\varphi_0)\over\pm\pi/2-\varphi_0}</math> :
<center>
<math>X=(\pm\pi/2-\varphi) \sin(\beta)\!\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=(\pm\pi/2-\varphi_0) - (\pm\pi/2-\varphi) \cos(\beta)\!\,</math>.
</center>

==== Projection conique équidistante sécante ====
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection conique équidistante}}}}
la ''projection conique équidistante'' ou ''projection de Delisle'' est basée sur 2 latitudes <math>\varphi_1, \varphi_2\!\,</math> (cône sécant).
<center>
<math>r(\varphi)= G - \varphi\!\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>G={\cos \varphi_1 \over n} + \varphi_1\!\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>n={\cos \varphi_1 - \cos \varphi_2 \over \varphi_2 - \varphi_1}\!\,</math>.
</center>
Les 2 dernières formules découlent de la propriété : '''les longueurs des méridiens sécants sont conservés par la projection'''
{{Boîte déroulante/début|titre=Vérification}}
Sur la sphère, la longueur (le périmètre) du méridien de latitude <math>\varphi</math> est
<center>
<math>2 \pi \cos \varphi</math>.
</center>
Sa projection est un arc de cercle de rayon <math>r(\varphi)</math> et d'angle <math>2\pi n</math> donc de longueur :
<center>
<math>2 \pi n r(\varphi)</math>.
</center>
La propriété se traduit par le système :
<center>
<math>\cos \varphi_1= n (G -\varphi_1)</math> ; &nbsp; &nbsp;
<math>\cos \varphi_2= n (G -\varphi_2)</math>.
</center>
L'on obtient par résolution:
<center>
<math>G={\cos \varphi_1 \over n} + \varphi_1={\cos \varphi_2 \over n} + \varphi_2\!\,</math> ; &nbsp; &nbsp;
<math>n(\varphi_2 - \varphi_1)=\cos \varphi_1 - \cos \varphi_2\!\,</math>.
</center>
{{Boîte déroulante/fin}}
On voit que le rayon n'est pas a priori nul au pôle. Donc, les méridiens n'intersectent pas au pôle (qui faisant varié la longitude forme un arc de cercle), mais au delà (à la latitude G).

Les projections tangentes correspondent aux cas particuliers où <math>\varphi_1=\pm {\pi\over 2}</math> ; <math>\varphi_2=\varphi_0</math>.

Voir [http://mathworld.wolfram.com/ConicEquidistantProjection.html Conic Equidistant Projection].

=== Projections coniques non-linéaires ===
<math>n=\sin(\varphi_0)</math> et <math>r(\varphi)\,</math> est non-linéaire.

==== Projection conique centrale sur le cône tangent ====
{{Article détaillé|contenu=Modèles concernés : {{M|Géolocalisation/Projection conique}} • {{M|Géolocalisation/Projection conique avec DL}}.}}

Il s'agit d'une projection centrale sur le cône tangent.
Ici les parallèles ne sont plus régulièrement espacées mais se répartissent selon la <math>\tan{(\varphi-\varphi_0)}</math>
<center>
<math>X=r \sin(\beta)\!\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=d - r \cos(\beta)\!\,</math>, &nbsp; &nbsp; où &nbsp;
<math>d=1/\tan{\varphi_0}=\tan{(\pi/2-\varphi_0)}</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>r=d-\tan{(\varphi-\varphi_0)}</math>.
</center>
{{...}}

Les modèles génériques {{M|Géolocalisation/Projection conique}} et {{M|Géolocalisation/Projection conique avec DL}} mettent en œuvre cette projection. Dans le second, les fonctions trigonométriques ont été remplacées pas des [[développement limité|développements limités]] ; ce qui dégrade très légèrement le résultat ; mais améliore considérablement le temps de calcul.

;Les formules de {{M|Géolocalisation/Projection conique avec DL}} :
:<center><code>y(lat, long) = {{/Change||100 *}}( y0 + ( iheight/2 - y0 ) * ( 1 - t * DLt ) * DLc ) {{/Change|/iwidth|/iheight}}</code></center>
:<center><code>x(lat, long) = {{/Change||100 *}}( x0 + ( iheight/2 - y0 ) * ( 1 - t * DLt ) * DLs ) /iwidth</code></center>

:où <code>DLt</code> est un DL de <math>\tan(\phi-\phi_0)</math> :
:<center><code>DLt = (lat-latitude) * ( pi/180 + (pi/180)^3 / 3 * (lat-latitude)^2 )</code></center>
:<code>DLc</code> est un DL de <math>\cos(\beta)</math> :
:<center><code>DLc = 1- (pi/180)^2 / 2 * (long-longitude)^2 * s^2</code></center>
:<code>DLs</code> est un DL de <math>\sin(\beta)</math> :
:<center><code>DLs = (long-longitude) * s * ( pi/180 - (pi/180)^3 / 6 * (long-longitude)^2 * s^2 ) )</code></center>
:avec
:<center><code><math>\beta=(\lambda-\lambda_0) \sin(\varphi_0)</math> = pi/180 (long-longitude) * s </code></center>
:<center><code><math>s = \sin(\varphi_0)</math> = sin(pi/180 * latitude)</code></center>
:<center><code><math>t = \tan(\varphi_0)</math> = tan(pi/180 * latitude)</code></center>
:et <code>(x0, y0)</code> sont les coordonnées en pixels du pôle sur (ou hors de) l'image (<code>x0 = iwidth/2</code> par défaut).

==== Projection conique centrale sur un cône sécant ====
Si <math>\varphi_1</math> et <math>\varphi_2</math> sont les deux méridiens sécants et <math>\varphi_0=(\varphi_1+\varphi_2)/2</math> alors :
<center>
<math>r(\varphi)=\cos({\varphi_2-\varphi_1 \over 2}) ({1 \over \tan{\varphi_0}} -\tan{(\varphi-\varphi_0)} )</math>.
</center>
{{...}}

Ces projections sont en réalité toutes identiques à la projection sur le cône tangent, à une déformation près, puisque l'absence de déformation n'est pas sur le méridien centrale mais sur les deux méridiens sécants.

=== Pseudo projections coniques complexes ===
{{Article principal|Projection de Lambert}}

Les cartes actuelles emploient généralement des (pseudo) projections coniques complexes (souvent appelées « projection conique modifiée ») tels que la projection sur un cône sécant, et surtout la projection de Lambert. La formule théorique générale est alors trop complexes pour être implémentées.

Heureusement les modèles {{M|Géolocalisation/Projection conique modifiée}} et {{M|Géolocalisation/Projection conique avec DL}} possèdent l'un et l'autre, un paramétrage suffisamment souple pour "émuler" ces systèmes de projections complexes.
Ces modèles ne permettent donc qu'une approximation de la ''projection conique modifiée'' en paramétrant davantage (ce qui permet un meilleur ajustement en "jouant" sur les paramètres).

== Autres projections ==
=== Projection polyconique ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection polyconique}}}}

La [[:en:Polyconic projection|projection polyconique]] n'est pas à proprement parler une projection conique (les méridiens ne sont pas rectilignes) ; mais elle ressemble à un accolement de 2 projections coniques (pour chaque pôles). On doit plutôt la considérer comme une projection azimutale car elle dépend d'un point central <math>(\varphi_0, \lambda_0)</math> (le point tangent). La parallèle centrale de latitude <!--<math>\varphi_0</math>-->0, est une droite horizontale qui, en quelque sorte, marque la séparation entre les deux cônes.
<!--
The properties of this projection are such that scale is constant along all parallels and along the central meridian.
-->
<center>
<math>X = \cot(\varphi) \sin((\lambda - \lambda_0)\sin(\varphi))\,</math>, &nbsp; &nbsp;
<!--
 c'est stupide!

<math>Y = \varphi-\varphi_0 + \cot(\varphi) (1 - \cos((\lambda - \lambda_0)\sin(\varphi)))\,</math>
-->
<math>Y = \varphi + \cot(\varphi) (1 - \cos((\lambda - \lambda_0)\sin(\varphi)))\,</math>
</center>

Voir [http://mathworld.wolfram.com/PolyconicProjection.html Mathworld's page on polyconic projections]

=== Pseudo projection sinusoïdale ===
{{Article détaillé|contenu=Modèle concerné : {{M|Géolocalisation/Projection sinusoïdale}}}}

La [[projection sinusoïdale]]<ref>La projection sinusoïdale est aussi appelée projection de Samson ou de Flamsteed.</ref> est caractérisée par le fait que les méridiens ont une forme sinusoïdale et sont régulièrement espacés (avec un écartement maximal à l'équateur), les parallèles demeurent des droites régulièrement espacées.
La latitude est donc celle de la [[#Pseudo projection équirectangulaire|projection équirectangulaire]].
Donc
<center>
<math>X=\cos(\varphi)(\lambda-\lambda_0)</math>, &nbsp; &nbsp;
<math>Y=\varphi</math>
</center>
Pour tenir compte d'un possible excentrage de la carte, le paramétrage est basé (là encore) sur les coordonnées de cadrage <code>left</code>, <code>right</code>, <code>top</code>, <code>bottom</code>.
<code>longitude</code> donne la longitude centrale (où le méridien est une droite); donc <code>(right-left)/2</code> a priori. Il n'y a pas de paramètre <code>latitude</code> car la latitude centrale est toujours  <code>0</code>.

Plus précisément, <code>left</code>, <code>right</code> seront les longitudes des bords de la carte au niveau de l'équateur ; <code>top</code>, <code>bottom</code> les latitudes des bords de la carte au niveau de <code>longitude</code>.

On obtient :
<center><code>x(lat,long)=100/(right-left)* [ (longitude-left) + cos(pi/180*lat)*(long-longitude) ]</code></center>
<center><code>y(lat)=100 * (top-lat)/(top-bottom)</code></center>

;Congruence : les paramètres <code>left</code>, <code>right</code> peuvent sortir du cadre <math>-180\le\ \le 180</math> (pour une carte centrée sur l'océan Pacifique, typiquement). Il serait alors nécessaire de recadrer la longitude fournie (le paramètre <code>3</code> de {{M|G}}) dans l'intervalle <code>[left,right]</code> avant projection... ce qui alourdirait considérablement les formules. A partir de la valeur <code>long</code> fournie, la valeur <code>long'</code> utilisée serait :
<center><code>long'= long+360</code> si <code>long<left</code>; <code>long-360</code> si <code>right<long</code>; <code>long</code> sinon.</center>
:De plus, ce test est trop restrictif car l'intervalle <code>[left,right]</code> est un minima.
:Note : dans le cas particulier où la Terre entière est représentée, on peut plus simplement ajouter <code>... mod 100</code> à la formule pour rester dans la fourchette <code>0<= =<100</code>.

=== Voir aussi ===
* [http://www.radicalcartography.net/?projectionref Table of examples and properties of all common projections], from radicalcartography.net

== Références ==
:*{{Ouvrage
|titre=L'aventure cartographique
|éditeur=Belin
|auteur=Jean Lefort
|langue=français
|année=2004
|pages=319
|passage=291-318
|chap=Annexe B
|isbn=2-84245-069-8
}}

----
{{Références}}

{{Palette|Projet cartographie|déroulé=non}}

[[Catégorie:Aide à la géolocalisation]]