Voir la source de Al-Karaji

{{Infobox Biographie2
 | date de naissance = fin du {{s|X}}
 | lieu de naissance = dans l'est de l'[[monde arabo-musulman|empire arabo-musulman]]
 | date de décès     = début du {{s|XI}}
 | activité          = mathématicien et ingénieur
}}
'''Abu Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Karaji''' ou '''Al-Karkhi''', né à la fin du {{s|X}}, mort au début du {{s|XI}}, est un [[mathématicien]] et [[ingénieur]] Persan<ref>{{lien web|url=http://www.muslimheritage.com/article/muhammad-al-karaji|titre=Muhammad Al-Karaji: A Mathematician Engineer from the Early 11th Century {{!}} Muslim Heritage|site=www.muslimheritage.com|langue=en|consulté le=2018-08-10|extrait=Of Persian origin, he spent an important part of his scientific life in Baghdad where he composed ground breaking mathematical books.}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage| nom = Selin | prénom = Helaine | titre = Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non-western cultures | éditeur = Springer | lieu = Berlin New York | année = 2008 | isbn = 9781402049606 | page=131 | extrait=Al-Karajī Abū Bakr Muh.ammad was a Persian mathematician and engineer.}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|nom1=Meri|prénom1=Josef W.|titre=Medieval Islamic Civilization, Volume 1 An Encyclopedia|date=January 2006|éditeur=Routledge|isbn=978-0-415-96691-7|page=32|extrait=During the tenth century CE, the Iranian mathematician al-Karaji (...)}}</ref> qui a vécu et travaillé à [[Bagdad]].

D'origine persane, il a passé une partie importante de sa vie scientifique à Bagdad où il a écrit des ouvrages pour les [[Mathématiques arabes|mathématiques]] dont les principaux sont ''Al-Badi' fi'l-hisab'', ''Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala'', et ''Al-Kafi fi'l-hisab''.

Al-Karaji est également l'auteur d'un traité d'hydrologie, ''Inbat al-Miyah al-khafiya (La Civilisation des eaux cachées)''.

== Biographie ==
On sait très peu de choses sur la vie d'al-Karaji, à commencer par son nom puisqu'on hésite entre al-Karaji et al-Kharki. Les successeurs d'al-Karaji, en particulier [[al-Samaw'al]], l'appelant pour la plupart al-Karaji, c'est ce nom qui semble le désigner actuellement<ref name=RashedEncyclopedia>{{DSB|auteur=[[Roshdi Rashed]]|url=http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902256.html|title=Al-Karajī (or Al-Karkhī), Abū Bakr Ibn Muḥammad Ibn al Ḥusayn}}</ref>. Concernant sa date de naissance et de mort, on en est réduit à des conjectures en s'appuyant sur les rares indices figurant dans ses écrits. On s'accorde en général pour dire qu'il est né à la fin du {{s|X}} et est mort au début du {{s|XI}} et avec certitude après 1015<ref name=Muslimheritage/>. Le même doute existe sur son lieu de naissance. On a longtemps dit de lui qu'il était né à {{Lien|langue=en|fr=Karkh}}, dans la banlieue de [[Bagdad]], mais une récente étude du chercheur italien [[Giorgio Levi Della Vida]]<ref>Giorgio Levi della Vida, , «Appunti e quesiti di storia letteraria araba. 4. Due nuove opere del matematico al-Karagi (al-Karkhi)», ''Rivista degli Studi Orientali'' (Roma) vol. 14, 1934, pp. 249-264; p. 250.</ref> le fait naître à [[Karaj]], dans l'actuel [[Iran]]. Selon Roshdi Rashed<ref name=RashedEncyclopedia/>, cette hypothèse est plausible sans être certaine.

Il aurait quitté sa région montagneuse pour aller vivre à Bagdad où il aurait tenu une position officielle<ref>{{harvsp|Sesiano|2008|p=131}}</ref> et se serait alors lancé dans des travaux mathématiques atteignant le sommet de son art vers 1012<ref>{{harvsp|Sesiano|1977|p=297}}</ref>. Si l'on en croit les quelques éléments biographiques de son traité ''Inbat al-miyah al-khafiya'', il aurait été impressionné par la curiosité intellectuelle des gens qu'il y aurait rencontrés<ref name=Muslimheritage/>. C'est durant son séjour à Bagdad qu'il écrit ses principaux traités mathématiques.

Il quitte ensuite Bagdad pour une région montagneuse et écrit alors son traité d'hydrologie.

== Œuvre ==
L'œuvre scientifique d'al-Karaji est essentiellement mathématique avec 3 ouvrages connus et étudiés dans le domaine de l'arithmétique et de l'algèbre. Il existe également d'autres ouvrages perdus attribués à al-Karaji concernant l'[[analyse indéterminée]], l'algèbre d'[[Al-Khwârizmî]], des problèmes d'héritage, le [[binôme de Newton|développement du binôme]]. Sa maitrise dans ce domaine lui vaut le surnom de «calculateur» (al-Hasib)<ref name=Muslimheritage/>.

En hydrologie, on connait de lui son traité sur les eaux souterraines.

Il aurait aussi écrit sur les contrats de constructions<ref name=Muslimheritage/>.
   
=== Mathématiques ===
==== Calculs sur les polynômes ====
Al-Karaji est le maître à penser d'un courant qui se développe à partir du {{s|XI}} sur une «arithmétisation des polynômes»<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|1986|id=DahanPeiffer|p=89}}</ref>{{,}}<ref>{{chapitre|auteur1=Roshdi Rashed|titre chapitre=l'arithmétisation de l'algèbre:al-Karaji et ses successeurs|auteurs ouvrage=Roshdi Rashed|titre ouvrage=Histoire des sciences arabes|sous-titre ouvrage=mathématiques et Physiques|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997|passage=37-41|id=Rashed1997a}}</ref>. Dans ses deux ouvrages, ''Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala'', suivi de ''Al-Badi' fi'l-hisab'' (''Livre merveilleux sur le calcul''<ref>{{harvsp|Sesiano|1977|p=298}}</ref>), il définit les règles de produits et de quotients sur des monômes de puissances entières positives ou négatives. Il travaille sur des polynômes étendus aux puissances négatives, c'est-à-dire sur des expressions qui s'écrivent en notation moderne sous la forme
{{retrait|<math>\sum_{k=-m}^{n}a_kX^k,</math>}}
développant des règles sur la somme et le produit de tels expressions, ainsi que sur la division d'un polynôme par un monôme. Il présente une technique pour retrouver les coefficients d'un trinôme de degré quelconque connaissant le développement de son carré<ref>{{harvsp|Woepcke|Karaji|1853|id=Woepcke|p=6;55}}.</ref>{{,}}<ref name=RashedEncyclopedia/>. Les coefficients sont pris aussi bien dans les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] que dans les [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]]<ref name=RashedEncyclopedia/>. Son travail sera prolongé par [[al-Samaw'al]] qui, avec une présentation des polynômes sous la forme de tableau de coefficients, permet de traiter l'algèbre des polynômes <math>\Q[X;1/X]</math> comme on traite des nombres en écriture décimale<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|1986|id=DahanPeiffer|p=91}}</ref>.

On sait, toujours grâce à al-Samaw'al, qu'il aurait développé dans un ouvrage aujourd'hui perdu, la [[binôme de Newton|formule du binôme]] jusqu'à l'exposant 12 en expliquant que la même méthode peut se poursuivre au-delà et en présentant les divers coefficients sous la forme d'un tableau triangulaire, ancêtre du [[triangle de Pascal]]. Il explique la construction de ce triangle grâce à la [[formule de Pascal|formule dite de Pascal]] : chaque coefficient d'une ligne est la somme des deux coefficients de la ligne précédente situés juste au-dessus de lui<ref>{{chapitre|langue=en|auteur1=John Lennart Berggren|titre chapitre=Mathematics in Medieval Islam|auteurs ouvrage=[[Victor J. Katz]]|titre ouvrage=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|sous-titre ouvrage=A Sourcebook|passage=514-675}}, {{p.|552/553}}</ref>. C'est selon Roshdi Rached<ref name=RashedEncyclopedia/>, un des premiers exemples d'une forme archaïque de [[raisonnement par récurrence|raisonnement par induction]].

Un autre exemple de raisonnement de ce type, par induction décroissante, se trouve dans ''Le Fahkri''<ref>{{harvsp|Woepcke|Karaji|1853|id=Woepcke|p=61}}</ref> où al-Karaji démontre la formule de la somme des cubes de tous les entiers de 1 à 10, c'est-à-dire le cas particulier pour 10 du théorème de '''[[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]]'''. Le raisonnement est double, faisant intervenir la géométrie et l'algèbre<ref>{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|1986|id=DahanPeiffer|p=90}}</ref> et utilise les formules 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 ainsi que l'égalité 2n × n(n-1)/2 + n {{exp|2}}= n{{exp|3}}. Il montre ainsi que
{{retrait|(1 + 2 + 3 + ... + 10) <sup>2</sup> {{ = }} 1<sup>3</sup> + 2 <sup>3</sup> + 3 <sup>3</sup> + ... + 10 <sup>3</sup>.}}
Il le fait en montrant d'abord que
{{retrait|(1 + 2 + 3 + ... + 10) <sup>2</sup> {{=}} (1 + 2 + 3 + ... + 9) <sup>2</sup> + 10 <sup>3</sup> .}}
En effet, (1 + 2 + 3 + ... + 10) <sup>2</sup> = (1 + 2 + 3 + ... + 9) <sup>2</sup> + 2 × 10 × (1 + 2 + ... + 9) + 10<sup>2</sup> (Il démontre cette égalité géométriquement et non algébriquement).
 
Il peut alors utiliser la même règle à (1 + 2 + 3 + ... + 9) <sup>2</sup>, puis à (1 + 2 + 3 + ... + 8) <sup>2</sup>, etc. pour obtenir :
{{retrait|<math>\begin{align} (1 + 2 + \cdots + 10)^2&= (1 + 2 + 3 + \cdots + 8)^2+9^3+10^3 \\  & = (1 + 2 + 3 + ... + 7)^2+8^3+9^3+10^3\\  & = \cdots\\ \ & = 1^3+2^3+3^3+4^3+ \cdots + 10^3 \end{align}</math>}}

Al-Karaji développe aussi, comme son prédécesseur [[Abu Kamil]], des techniques de calculs sur les nombres irrationnels.

==== Al Istiqra ou l'analyse indéterminée ====
Al-Karaji apporte une pierre significative à l'étude de l'[[analyse indéterminée]], c'est-à-dire l'étude des [[équation algébrique|équations algébriques]] à coefficients entiers à plusieurs inconnues possédant une infinité de solutions rationnelles. Le sujet n'est pas neuf. Les problèmes des ''[[Arithmétiques]]'' de [[Diophante]] traitent en grande partie de ce thème, à tel point que des équations de ce genre sont dites [[équation diophantienne|diophantiennes]]. Al-Karaji connaît plusieurs des livres des ''Arithmétiques'' traduits vers 870 par [[Qusta ibn Luqa]]<ref>{{harvsp|Rashed|1997a|id=Rashed1997a|p=37}}</ref>, mais c'est avec l'éclairage de l'algèbre d'[[Al-Khwârizmî]] et des travaux d'[[Abu Kamil]] qu'il tente d'en dégager des méthodes de résolution<ref>{{chapitre|auteur1=Roshdi Rashed|titre chapitre=L'analyse diophantienne rationnelle|auteurs ouvrage=Roshdi Rashed|titre ouvrage=Histoire des sciences arabes|sous-titre ouvrage=mathématiques et Physiques|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997|passage=73-80|id=Rashed1997b}}{{p.|77}}</ref>. Parmi les 254 problèmes de son ''Fakhri,'' la plupart sont déjà chez Diophante ou chez Abu Kamil, à l'exception de 60 problèmes originaux.

Il nomme ce champ d'étude ''al-Istiqra'' et lui consacre un traité aujourd'hui perdu. Le principe général de résolution consiste à utiliser une variable auxiliaire (paramètre) permettant de ramener l'équation à des formes connues. Il lui suffit alors de donner des valeurs du paramètre pour fournir des exemples de solutions. Son étude porte principalement sur les équations de la forme {{math|P(''x''){{=}} ''y''{{exp|2}}}} où {{math|P(''x'')}} est un polynôme du second degré à coefficients entiers ou un polynôme de la forme {{math|''ax''{{exp|2''n''}}+ ''bx''{{exp|2n-1}}}} ou {{math|''ax''{{exp|2''n''}}+ ''bx''{{exp|2n-2}}}} mais son étude s'élargit à des systèmes d'équations diophantiennes à trois inconnues ou des équations de degré supérieur à deux<ref name=RashedEncyclopedia/>.

{{Boîte déroulante/début|titre=Principe de résolution sur deux exemples}}
Pour une équation du type {{math|''ax''{{exp|2}}+''bx'' + ''c'' {{=}} ''y''{{exp|2}}}}, une solution {{math|(''x''{{ind|0}},''y''{{ind|0}})}} étant connue, il suffit de poser {{math|''x'' {{=}} ''x''{{ind|0}} + ''t''}} et {{math|''y'' {{=}} ''y''{{ind|0}} + ''λt''}} pour trouver ''t'' comme solution d'une équation du premier degré de paramètre λ<ref> Méthode de la corde {{harv|Rashed|2013|p=49}}.</ref>. C'est autour de ce principe, avec énoncé de conditions suffisantes pour l'existence d'une solution particulière, que s'articule une grande partie des résolutions du ''Fakhri''.

Pour l'équation {{math|''x''{{exp|3}} + ''y''{{exp|3}} {{=}} ''z''{{exp|2}}}}, il suffit de poser {{math|''y'' {{=}} ''λx''}} et {{math|''z'' {{=}} ''μx''}}, pour trouver ''x'' comme solution d'une équation du premier degré de paramètres λ et μ<ref>{{harvsp|Woepcke|Karaji|1853|id=Woepcke|p=124}}</ref>{{,}}<ref name=RashedEncyclopedia/>.

Il suffit alors de donner des valeurs particulières à λ, ou à λ et μ, pour donner des solutions possibles aux problèmes traités.
{{Boîte déroulante/fin}}

Son ''Fakhri'' est plutôt un recueil organisé de problèmes de ce genre mais dans son ''Badi'', destiné à un public plus averti, al-Karaji présente une théorie organisée des équations de ce type. Il s'affranchit de toute contrainte géométrique et de toute contrainte d'homogénéité pour rendre ses problèmes les plus généraux possibles<ref name="RashedEncyclopedia" />.

Ses ouvrages sont commentés et approfondis par ses successeurs [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]], al-Zanjani, Ibn al-Khawwam et [[Kamāl al-Dīn al-Fārisī]]<ref> {{harvsp|Rashed|1997b|id=Rashed1997b|p=79}}</ref>, et parviennent à l'Occident grâce au ''[[Liber abaci]]'' de [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]].

==== Kafi fi'l-hisab ====
Ce dernier ouvrage, ''Kafi fi'l-hisab'' (''Livre suffisant sur la science arithmétique'') est probablement une œuvre de commande. Il n'est pas destiné à des mathématiciens mais à des fonctionnaires. Il explique les règles de calcul sur les entiers et les fractions, l'extraction de racine carrée. Il contient quelques formules d'aire et de volumes et de nombreux exemples<ref>{{harvsp|Sesiano|2008|p=132}}</ref>. Il n'utilise pas le système indien ([[système décimal]]), mais un système où les nombres sont écrits en toutes lettres<ref>{{chapitre|auteur1=Ahmad S. Saidan|titre chapitre=Numération et arithmétique|auteurs ouvrage=Roshdi Rashed|titre ouvrage=Histoire des sciences arabes|sous-titre ouvrage=mathématiques et Physiques|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997}}, {{p.|13}}.</ref>. Il est très proche, notamment en ce qui concerne les calculs d'aire et de volume, d'un livre didactique écrit par [[Abu l-Wafa]], ''Livre sur ce que doivent savoir les scribes, les artisans et les autres en fait de science arithmétique''<ref>{{harvsp|Rashed|1997|p=124}}.</ref>.

=== Hydrologie ===
[[Fichier:Muhammad al karaji 01.jpg|vignette|Schéma de [[qanat]]s extrait du ''Inbat al-miyah al-khafiya'']]
Le traité ''Inbat al-miyah al-khafiya'' (''La Civilisation des eaux cachées'') est écrit par al-Karaji probablement après ses traités mathématiques. Si l'on en croit les éléments biographiques figurant dans son introduction, al-Karaji aurait abandonné la rédaction de traités mathématiques pour se lancer dans des recherches scientifiques. Encouragé par un ministre de l'époque, Abu Ghanim Ma'ruf b. Muhammad, il aurait entrepris la rédaction de ce traité d'hydrologie. On date cet écrit autour de 1015 (406 H)<ref name=Muslimheritage>{{Lien web |langue=en |auteur=Mohammed Abattouy |titre= Muhammad Al-Karaji: A Mathematician Engineer from the Early 11th Century|url=http://www.muslimheritage.com/article/muhammad-al-karaji-mathematician-engineer-early-11th-century |date= |site= muslimheritage.com|consulté le=20 mai 2016}}.</ref> ou 1017<ref>[http://www.sudoc.fr/00001172X Fiche Sudoc].</ref>.

Il répond à un réel besoin : la croissance rapide des grandes villes du monde arabo-musulman, alors en plein «[[âge d'or islamique|âge d'or]]» nécessite de nouvelles méthodes d'approvisionnement en eau. De plus, le développement de l'agriculture et ses systèmes d'irrigation est une préoccupation importante de cette époque<ref name=Muslimheritage/>.

Cet ouvrage, un des plus anciens concernant l'hydrologie, révèle chez son auteur, une réelle maîtrise du sujet. Après une introduction contenant quelques notes biographiques, des considérations générales sur la géographie du globe, les phénomènes naturels, le cycle de l'eau, l'étude des terrains, l'auteur expose les techniques de recherches d'eaux souterraines, traite de leur exploitation. Il présente une description technique de la construction et l'entretien des [[qanat]]s (conduites d'eau souterraines). On y trouve également des considérations juridiques sur la construction de puits et de conduites. Al-Karaji présente également quelques instruments dont certains sont de son invention<ref name=Muslimheritage/>.

Cet ouvrage est considéré comme une contribution originale en [[hydrologie]] et un document précieux sur les connaissances en ce domaine dans le monde arabo-musulman du {{s|X}}<ref name=Muslimheritage/>.

== Références ==
{{Références}}

== Article connexe ==
* [[Mathématiques arabes]]
* [[Liste des mathématiciens arabo-musulmans]]

== Bibliographie ==
* {{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}
* {{DSB|first=Roshdi|last=Rashed|url=http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902256.html|title=Al-Karajī (or Al-Karkhī), Abū Bakr Ibn Muḥammad Ibn al Ḥusayn}}
* {{chapitre|langue=en|auteur1=Jacques Sesiano|titre chapitre=Al-Karaji|auteurs ouvrage=Helaine Selin|titre ouvrage=Encyclopaedia of the History of Science, Technologie, and Medecine in Non-Western Cultures|lieu=|éditeur=Springer-Verlag|année=2008|passage=131-132|isbn=978-1-4020-4559-2}}
* {{Lien web |langue=en |auteur=Mohammed Abattouy |titre= Muhammad Al-Karaji: A Mathematician Engineer from the Early 11th Century|url=http://www.muslimheritage.com/article/muhammad-al-karaji-mathematician-engineer-early-11th-century |date= |site= muslimheritage.com|consulté le=20 mai 2016}}
* {{Chapitre |langue= |auteur1=[[Roshdi Rashed]] |titre chapitre= Al-Karaji : une nouvelle organisation de l'analyse diophantienne rationnelle|auteurs ouvrage=Roshdi Rashed |titre ouvrage=Histoire de l'analyse diophantienne classique: D’Abu Kamil à Fermat  |lieu= |éditeur=Walter de Gruyter|année= 2013|volume=12 |tome= |pages totales= |isbn=9783110337884 |présentation en ligne= https://books.google.fr/books?id=n3nnBQAAQBAJ|passage=36-75 }}
* {{Ouvrage |langue= |auteur1=Roshdi Rashed |titre=Histoire des sciences arabes|sous-titre =Mathématiques et Physiques|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997}}
* {{DahanPeiffer}}, «L'école d'al-Karagi : les algébristes-arithméticiens» pp 88-89
* {{ouvrage|auteur1=[[Franz Woepcke]]|auteur2=Muḥammad ibn al -Ḥusayn Karajī|id=Woepcke|titre=Extrait du Fakhrî: traité d'algèbre|année=1853|lieu=Paris|lire en ligne=https://archive.org/details/extraitdufakhrt00karagoog}}
* {{article|auteur1=Jacques Sesiano|titre=Le traitement des équations indéterminées dans le Badīʿ fī 'l-Ḥisāb d'Abū Bakr Al-Karajī|périodique= Archive for History of Exact Sciences|volume=17 |numéro=4 |jour=29 |mois= décembre|année= 1977|pages= 297-379|issn= |présentation en ligne=https://www.jstor.org/stable/41133493?seq=1#page_scan_tab_contents}}

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