Voir la source de Aleph (nombre)

{{Unicode}}
{{Voir homonymes|Aleph}}
[[Fichier:Aleph0.svg|vignette|Aleph-zéro, le plus petit aleph]]
En [[théorie des ensembles]], les '''alephs''' sont les [[Nombre cardinal|cardinaux]] des [[Ensemble infini|ensembles infinis]] [[Ensemble bien ordonné|bien ordonnés]]. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre [[Aleph (lettre)|aleph]], notée א, première lettre de l'[[alphabet hébreu]], qui est utilisée pour les représenter. En effet on montre que les alephs forment une [[classe (mathématiques)|classe]] propre elle-même « bien ordonnée », et il existe alors une et une seule « bijection » (une classe fonctionnelle bijective) croissante de la classe des ordinaux dans la classe des alephs. On utilise la notation ℵ{{ind|α}} pour désigner l'image de α par cette « bijection ».

En présence de l'[[axiome du choix]], les alephs représentent les cardinaux de tous les ensembles infinis, en vertu du [[théorème de Zermelo]] qui dit qu'alors tout ensemble peut être bien ordonné. La définition même des alephs n'utilise cependant pas l'axiome du choix.

Le plus petit aleph est le cardinal de l'ensemble ℕ des [[Entier naturel|entiers naturels]], et on le note donc [[aleph-zéro]] ℵ{{ind|0}}. Le suivant est noté [[aleph-un]], ℵ{{ind|1}}, puis ℵ{{ind|2}}, et ainsi de suite.

La notation a été introduite par [[Georg Cantor]], qui est le premier à s'être intéressé à la relation d'[[équipotence]] entre ensembles infinis, c'est-à-dire au fait d'être en [[bijection]]. Il s'est rendu compte que deux ensembles infinis pouvaient ne pas être équipotents. Il a ensuite introduit la notion de [[nombre cardinal]], un nombre qui caractérise une [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] pour l'équipotence. Pour Cantor, qui utilise implicitement l'axiome du choix, ou plutôt plus directement que tout ensemble peut être bien ordonné, les alephs représentent tous les cardinaux infinis.

== Définitions ==
=== Ordinal initial infini ===
Plus formellement, dans la [[théorie des ensembles|théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel]], on appelle ''ordinal initial'' un [[Nombre ordinal|ordinal]] qui n'est équipotent à aucun ordinal strictement inférieur, et on appelle aussi ''cardinal'' un tel ordinal, en particulier en présence de l'axiome du choix. Un ordinal étant par définition bien ordonné, tout ordinal est donc équipotent à un ordinal initial, et par là même tout ensemble bien ordonné également. Tout ordinal [[ensemble fini|fini]] est un ordinal initial. Un aleph est par définition un ordinal initial infini. Le plus petit ordinal infini, ω, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est également le plus petit aleph, et on le note, en tant que cardinal, ℵ{{ind|0}}.

=== La classe propre des alephs ===
La classe des ordinaux est une classe propre : c'est une version positive du [[paradoxe de Burali-Forti]]. On en déduit, grâce au [[schéma d'axiomes de remplacement]], que la classe des ordinaux initiaux est aussi une classe propre.

En effet, si ce n'était pas le cas, à partir d'un certain rang, les ordinaux seraient tous équipotents, soit α le plus petit d'entre eux. Tout ordinal serait alors subpotent à α, et donc isomorphe à un bon ordre sur une partie de α. Un tel bon ordre est défini par son graphe : une partie de α × α. On peut donc définir par [[schéma d'axiomes de compréhension|compréhension]] sur l'ensemble des parties de α × α, l'ensemble des bons ordres définis sur une partie de α. On associe à chacun de ces bons ordres son ordinal, et les ordinaux ainsi obtenus forment un ensemble par [[schéma d'axiomes de remplacement|remplacement]], ce ne peut donc être la classe de tous les ordinaux d'où la contradiction.

La classe des alephs est donc elle-même une classe propre, puisque les ordinaux initiaux finis forment un ensemble (qui est celui des [[entier naturel|entiers naturels]]).

=== Définition par induction ===
Une classe propre d'ordinaux est nécessairement image de la classe des ordinaux par une unique classe fonctionnelle bijective croissante<ref>{{Krivine98}}, 2007, {{p.|24-25}} et {{p.|36-37}}.</ref> : la fonctionnelle se définit par [[Récurrence transfinie#Définition par récurrence sur la classe des ordinaux|induction ordinale]].

Pour expliciter la définition dans le cas des alephs, on va noter ρ → ρ{{exp|+}} le successeur sur les ordinaux initiaux (c'est le cardinal successeur, qui diffère de l'[[ordinal successeur]]) : à ρ il associe le plus petit des ordinaux strictement supérieur à ρ et non équipotent à ρ. Il existe forcément un tel ordinal, puisque la classe des ordinaux initiaux est une classe propre, et que toute classe non vide d'ordinaux a un plus petit élément.

Il est possible alors de définir la suite ordinale aleph de la façon suivante :
:<math>\aleph_{0} = \omega</math>
:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>
et pour λ, un [[ordinal limite]] infini :
:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math><ref>Jean-Louis Krivine, ''Théorie axiomatique des ensembles'', Paris, [[Presses universitaires de France|PuF]], 1972, {{p.|47}}, ou {{Krivine98}}, 2007, {{p.|37}}.</ref>

=== Cardinal successeur ===
Il est possible de donner une définition plus explicite du cardinal successeur. On associe à tout ensemble un ordinal initial, que l'on appelle ordinal ou cardinal de Hartogs, de la façon suivante. L'[[ordinal de Hartogs]] d'un ensemble ''a'' est l'ensemble de tous les ordinaux subpotents à ''a''. Cet ensemble est évidemment un [[Section commençante|segment initial]] de la classe des ordinaux, donc un ordinal. Il est également évidemment initial.

Quand ''a'' est un ordinal initial ρ, l'ordinal de Hartogs de ρ n'est autre<ref name=Moschovakis>{{Moschovakis-notes}}.</ref> que ρ{{exp|+}}, le cardinal successeur de ρ.

{{Article détaillé|Ordinal de Hartogs}}

=== Axiome du choix et cardinal d'un ensemble ===
Les définitions qui précèdent se font dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ; l'[[axiome du choix]] n'est jamais utilisé. L'axiome du choix équivaut au [[théorème de Zermelo]] qui énonce que tout ensemble peut être bien ordonné. Comme les [[Ensemble fini|ensembles finis]] (au sens : équipotents à un entier) sont par définition bien ordonnés, l'axiome du choix équivaut donc au fait que tout ensemble infini est équipotent à un aleph.

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, en abrégé [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZFC]], tout ensemble ''A'' est donc équipotent à un ordinal initial, qui est soit un entier si l'ensemble est fini, soit un aleph si l'ensemble est infini, et que l'on appelle alors ''cardinal de l'ensemble A''.

En l'absence de l'axiome du choix, les alephs représentent les cardinaux des ensembles bien ordonnés infinis. On ne peut plus vraiment dire que ℵ{{ind|0}} est le plus petit cardinal infini : il pourrait exister des ensembles qui ne sont pas finis, c'est-à-dire qui ne sont équipotents à aucun entier, mais ne contiennent pas de partie [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] (de tels ensembles, qui ne sont équipotents à aucun de leurs sous-ensembles propres, sont dits ''{{Lien|langue=en|trad=Dedekind-infinite set|fr=Ensemble infini au sens de Dedekind|texte=finis au sens de Dedekind}}'').

De façon analogue, sans l'axiome du choix, tout ce que l'on peut dire du cardinal successeur ρ{{exp|+}} de ρ, c'est que tout ensemble qui aurait un cardinal compris entre ρ et ρ{{exp|+}}, au sens de la subpotence, serait soit ρ soit ρ{{exp|+}}. En effet un ensemble qui s'injecte dans l'ordinal ρ{{exp|+}} est nécessairement bien ordonné. Donc ρ{{exp|+}} est bien minimal, parmi les ensembles ayant un cardinal supérieur à ρ au sens de la subpotence, c'est-à-dire les ensembles dans lesquels ρ s'injecte. Par contre, sans axiome du choix, rien ne permet de dire qu'il en est le plus petit élément.

== Exemples ==
=== Aleph-zéro ===

[[Aleph-zéro]] (ℵ{{ind|0}}) est, par définition, le cardinal de l'ensemble des [[Entier naturel|entiers naturels]] ; c'est le plus petit aleph. Si l'[[axiome du choix]] est vérifié, il s'agit également du plus petit cardinal infini. Un ensemble de cardinal ℵ{{ind|0}} est un [[ensemble infini]] [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] ([[Ensemble dénombrable#Quelques exemples d'ensembles dénombrables|comme]] l'ensemble des [[Entier relatif|entiers relatifs]] et celui des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]]).

=== Aleph-un ===

[[Aleph-un]] (ℵ{{ind|1}}) est par définition le cardinal de l'ensemble des nombres ordinaux dénombrables (un ensemble lui-même non dénombrable). C'est aussi le cardinal de l'ensemble des nombres ordinaux infinis dénombrables. En présence de l'axiome du choix, ℵ{{ind|1}} est aussi le plus petit cardinal strictement supérieur au dénombrable, au sens où il s'injecte alors dans tout ensemble non dénombrable. Enfin, l’[[hypothèse du continu]] ([[Décidabilité|indécidable]] dans [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZFC]]), équivaut à ce que ℵ{{ind|1}} soit le cardinal de l’ensemble des nombres réels (voir plus bas [[#Continu]]).

=== Aleph-ω ===
Le plus petit ordinal infini est noté ω. Les ordinaux strictement inférieurs à ω sont les entiers naturels. Le cardinal ℵ{{ind|ω}} est donc par définition la [[Borne supérieure et borne inférieure|borne supérieure]] des ℵ{{ind|''n''}} pour ''n'' entier naturel.

=== Continu ===
{{Article connexe|hypothèse du continu}}
Le cardinal de l'ensemble des [[Nombre réel|nombres réels]], appelé [[puissance du continu]], est aussi celui de l'ensemble des parties de l'ensemble des entiers naturels. Il est noté 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}}. Il faut l'[[axiome du choix]] pour montrer qu'il est bien ordonné, donc que 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}} est un aleph.

Dans [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZFC]], la place de 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}} dans la hiérarchie des alephs n'est cependant pas déterminée. On peut même démontrer que 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}} = ℵ{{ind|α}} est compatible avec ZFC pour la plupart des valeurs de α > 0, mais pas pour α de [[cofinalité]] ω (à cause du [[théorème de König (théorie des ensembles)|théorème de König]]) ; par exemple 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}} ne peut être égal à ℵ{{ind|ω}}.

Une formulation de l'[[hypothèse du continu]] est l'affirmation que 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}} = ℵ{{ind|1}}, dit autrement on peut bien ordonner l'ensemble des réels par un bon ordre de type ℵ{{ind|1}}.

== Arithmétique cardinale ==
{{confusion|Nombre_ordinal#Opérations_arithmétiques_sur_les_ordinaux{{!}}arithmétique ordinale}}
Les nombres cardinaux sont des nombres ordinaux, néanmoins, lorsque l'on parle d'arithmétique cardinale on parle d'une arithmétique différente de [[Nombre_ordinal#Opérations_arithmétiques_sur_les_ordinaux|celle des nombres ordinaux]]. Le contexte permet généralement de savoir, en présence de nombres cardinaux, si les additions, multiplications ou exponentiations à considérer relèvent de l'arithmétique cardinale (utilisant des lettres hébraïques comme aleph ou beth) ou ordinale (utilisant des lettres grecques comme alpha ou beta).

=== Somme et produit finis ===

La somme cardinale est par définition le cardinal de la [[Réunion disjointe|somme disjointe]], le produit cardinal celui du [[produit cartésien]]. La somme cardinale de deux ordinaux est donc le cardinal de leur somme ordinale, de même pour le produit, mais la somme ordinale de deux ordinaux initiaux n'est pas en général un ordinal initial, de même pour le produit : par exemple ω + ω et ω × ω ont tous deux la même cardinalité que ω, soit ℵ{{ind|0}}.

On note cependant de la même façon somme cardinale et somme ordinale, le contexte et les notations employées étant sans ambigüité, et on opère de même pour les produits. Par exemple :
: ω < ω + ω < ω × ω (somme et produit ordinaux)
<ref>{{Krivine98}}, 2007</ref> mais (bien que ℵ{{ind|0}} = ω par définition) :
: ℵ{{ind|0}} = ℵ{{ind|0}} + ℵ{{ind|0}} = ℵ{{ind|0}} × ℵ{{ind|0}} (somme et produit cardinaux).

L'arithmétique de la somme et du produit des alephs (en nombre fini) est triviale à savoir que l'on a le résultat suivant :
: ℵ{{ind|α}} + ℵ{{ind|β}} = ℵ{{ind|α}} × ℵ{{ind|β}} = [[Extremum|max]](ℵ{{ind|α}}, ℵ{{ind|β}}).
En particulier, pour le carré cardinal :
: ℵ{{ind|α}} × ℵ{{ind|α}} = ℵ{{ind|α}}
et pour l'exponentiation finie (qui se définit par récurrence sur ω) :
: ℵ{{ind|α}}{{exp|''n''}} = ℵ{{ind|α}}.

Le résultat initial se déduit de celui sur le carré cardinal par le [[théorème de Cantor-Bernstein]]. Pour ce dernier il suffit, étant donné un ordinal κ, d'exhiber un bon ordre sur κ × κ, qui, dans le cas où κ est un ordinal initial, est isomorphe à κ. C'est le cas de l'ordre suivant sur κ × κ (les couples d'ordinaux sont énumérés en « équerres » successives), pour (α, β), (γ, δ) ∈ κ × κ, on a (α, β) < (γ, δ) quand :
:: max(α, β) < max(γ,δ)
: ou
:: max(α, β) = max(γ,δ) et α < γ
: ou
:: max(α, β) = max(γ,δ) et α = γ et β < δ.
On montre alors qu'il s'agit d'un bon ordre sur κ × κ, puis, par [[Récurrence transfinie#Sur la classe des ordinaux|récurrence ordinale]] sur α, que le bon ordre ainsi défini sur ℵ{{ind|α}} × ℵ{{ind|α}} a pour [[type d'ordre]] au plus ℵ{{ind|α}}, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à un segment initial de ℵ{{ind|α}} (ce qui suffit pour la démonstration)<ref>{{Cori-Lascar II}}, {{chap.|7}}, {{p.|164-165}} ({{Google Livres|zDrqGvJhSPIC|page=154|p. 154-155}} de l'édition en anglais).</ref>{{,}}<ref>[[Patrick Dehornoy]], ''Logique et théorie des ensembles, Notes de cours'', FIMFA [[École normale supérieure (Paris)|ENS]], 2006-2007, [https://dehornoy.users.lmno.cnrs.fr/Surveys/DehornoyChap5.pdf chapitre 5 : Les cardinaux], {{p.|135-136}}.</ref>{{,}}<ref>{{Krivine98}}, 2007, {{p.|38}}.</ref>.

On en déduit, en présence de l'axiome du choix, le même résultat pour [[Ensemble infini#Arithmétique cardinale et axiome du choix|la somme et le produit de deux cardinaux infinis]], c'est-à-dire que l'union disjointe et le produit de deux ensembles infinis sont équipotents entre eux et à celui des ensembles infinis qui a le plus [[grand cardinal]] (l'équipotence entre n'importe quel ensemble infini et son carré cartésien équivaut à l'axiome du choix, voir [[ordinal de Hartogs]]).

Le théorème sur le produit des alephs, ou encore ses conséquences pour les cardinaux infinis dans ZFC, est parfois appelé ''théorème de Hessenberg''<ref>La première démonstration publiée de ces résultats sur la somme et le produit des alephs, est parue dans {{Article|lang=de|auteur=[[Gerhard Hessenberg|G. Hessenberg]]|année=1906|titre=Grundbegriffe der Mengenlehre|périodique={{lang|de|Abhandlungen der Fries'schen Schule, Neue Folge}}|volume=1 |pages=478-706|url=https://archive.org/details/grundbegriffede00hessgoog}}.</ref>.

=== Somme et produit infinis, exponentiation ===
{{Article détaillé|Réunion disjointe|Produit cartésien|Exponentiation ensembliste}}
{{Section vide ou incomplète}}
L'exponentiation cardinale est définie par : card(''A''){{exp|card(''B'')}} = card([[Exponentiation ensembliste|''A''{{exp|''B''}}]]).

κ{{exp|λ}} est toujours égal soit à 2{{exp|λ}}, soit à κ, soit à μ{{exp|[[Cofinalité|cf(μ)]]}} pour un cardinal μ tel que cf(μ) ≤ λ < μ<ref>{{Ouvrage |langue= anglais |auteur=[[Thomas Jech]]|titre= Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded|année première édition=1978|numéro d'édition=3|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|lieu= Berlin |année= 2002 |isbn= 978-3-540-44085-7|url={{Google Livres|WTAl997XDb4C}}|page=58}}, Cor. 5.21 ([https://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech,+T.+J.+%282003%29.+Set+Theory+%28The+3rd+millennium+ed.%29.pdf pdf]).</ref>.
<!--
En supposant l'[[hypothèse généralisée du continu]], si κ et λ sont des cardinaux infinis, κ{{exp|λ}} est égal à κ si λ ...
<ref>{{Harvsp|Jech|2002|p=58-59}}, Th. 5.22. Voir aussi http://math.stackexchange.com/questions/14429/whats-the-cardinality-of-all-sequences-with-coefficients-in-an-infinite-set</ref>
-->

== Points fixes ==
Pour tout ordinal α : α ≤ ℵ{{ind|α}}.

Dans beaucoup de cas, ℵ{{ind|α}} est strictement supérieur à α. Cependant, certains ordinaux limites sont des [[Point fixe|points fixes]] de la fonction aleph. Le premier cardinal de ce type est la limite de la suite
:<math>\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots</math>

Tout [[cardinal inaccessible]] est également un point fixe de la fonction aleph.

== Notes et références ==
{{Références}}

==Articles connexes==
* [[Beth (nombre)]]
* [[Nombre transfini]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Infini]]
[[Catégorie:Nombre cardinal]]
[[Catégorie:Alphabet hébreu]]