Voir la source de Algèbre classique

{{Ébauche|algèbre}}
{{Voir homonymes|Algèbre (homonymie)}}
[[Fichier:Algebraproblem.jpg|vignette|Exemple de calculs d'algèbre élémentaire.]]
L''''algèbre élémentaire''', également appelée '''algèbre classique''' est la branche des [[mathématiques]] dont l'objet est l'étude des opérations algébriques ([[addition]], [[multiplication]], [[soustraction]], [[division]] et [[racine d'un nombre|extraction de racine]]) sur les nombres [[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]], et dont l'objectif principal est la résolution d'[[équation polynomiale|équations polynomiales]]. 

Le qualificatif d'''élémentaire'' (ou ''classique'') est destiné à la différencier de l'[[algèbre générale|algèbre ''générale'']]  (ou ''moderne''), qui étudie les [[structure algébrique|structures algébriques]] ([[groupe (mathématiques)|groupes]], [[corps commutatif]]s, etc.) généralisant les notions de [[nombre]] et d'[[opération (mathématiques)|opération]]. Elle se différencie également de l'[[arithmétique élémentaire]] par l'usage de lettres pour représenter les [[inconnue (mathématiques)|nombres inconnus]]. 

En ce sens, l'adjectif '''algébrique''' peut, suivant les cas, être un synonyme de ''[[polynôme|polynomial]]'' (comme dans ''[[courbe algébrique]]'') ou l'antonyme d'''[[arithmétique élémentaire|arithmétique]]''.

== Expressions algébriques ==

Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :
* le signe <math>+</math> est utilisé pour marquer l'[[addition]].
* le signe <math>-</math> est utilisé pour marquer la [[soustraction]].
* les signes <math>\times</math> ou <math>\cdot</math> sont utilisés pour marquer la [[multiplication]]. Quand la multiplication concerne deux lettres, il est possible d'écrire <math>ab</math> au lieu de <math>a\times b</math>.
* le signe <math>\div</math> est utilisé pour marquer la [[division]], <math>a\div b</math> pouvant également s'écrire <math>\cfrac{a}{b}</math>.

Par exemple :
* Le produit d'un nombre <math>x</math> augmenté de 3 par lui-même s'écrit <math>(x+3)x</math>.
* La différence des carrés de deux nombres <math>a</math> et <math>b</math> s'écrit <math>a^2-b^2</math>

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des variables, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression <math>x^2+x-1</math> pour <math>x=2</math> consiste à effectuer le calcul <math>2^2+2-1</math>.

== Propriétés de l'addition ==
L'addition :
*s'écrit ''a'' + ''b'' ;
* est [[Commutativité|commutative]] : ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' ;
* est [[associative]] : (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') ;
* a une [[application réciproque]] appelée soustraction : (''a'' + ''b'') − ''b'' = ''a'', équivaut à additionner un nombre négatif, ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b'') ;
* a un [[élément neutre]] 0 qui conserve le nombre : ''a'' + 0 = ''a''.

== Propriétés de la multiplication ==
La multiplication :
*s'écrit ''a'' × ''b'' ou ''a'' • ''b'' ;
* est [[Commutativité|commutative]] : ''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a'' ;
* est [[associative]] : (''a'' × ''b'') × ''c'' = ''a'' × (''b'' × ''c'') ;
* est abrégé par la juxtaposition : ''a'' × ''b'' ≡ ''ab'' ;
* a un [[élément neutre]] 1 qui conserve le nombre :  ''a'' × 1 = ''a'' ;
* pour les nombres différents de [[zéro]], a une [[application réciproque]] appelée division : (''ab'')/''b'' = ''a'', équivaut à multiplier par son [[inverse]], ''a''/''b'' = ''a''(1/''b'') ;
* est [[Distributivité|distributive]] par rapport à l'addition : (''a'' + ''b'')''c'' = ''ac'' + ''bc'' ;
* a un [[élément absorbant]] 0 qui annule le nombre : ''a'' × 0 = 0.

== Factorisation et développement ==

Factoriser une expression algébrique, <math>E</math>, consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions (<math>A</math>, <math>B</math>, ...) :
<center><math>E = A\times B\times \cdots</math></center>
Chacune des expressions <math>A</math>, <math>B</math>, ... est appelée un facteur.

Développer une expression algébrique, <math>E</math>, consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. (<math>A</math>, <math>B</math>, ...) :
<center><math>E = A + B + \cdots</math></center>
Chacune des expressions <math>A</math>, <math>B</math>, ... est appelée un terme.

== Bibliographie ==

=== Ouvrages ===
* {{DahanPeiffer}}
* {{DjebbarAlgèbre}}

=== Articles d'encyclopédies ===
* {{article|titre=Algebra|url=http://eom.springer.de/A/a011340.htm|revue=Encyclopaedia of Mathematics|langue=en|prénom1= Yu. I.|nom1= Merzlyakov|prénom2=A.I.|nom2=Shirshov|éditeur=Springer|année=2001|isbn=1402006098}}
* « Algèbre », dans Encyclopédie Larousse, {{Lire en ligne|url=http://www.larousse.fr/encyclopedie/nom-commun-nom/alg%C3%A8bre_nf_Branche_des_math%C3%A9matiques_qui,_dans_sa_partie_classique,_se_consacre_%C3%A0/19868}} 
* {{Baruk|Algèbre}}, § Algèbre classique.
{{Traduction/Référence|en|Elementary algebra|299529603}}

{{Portail|algèbre}}

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[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]