Voir la source de Algèbre d'un groupe fini

{{Voir homonymes|Algèbre (homonymie)}}
En [[mathématiques]], l''''algèbre d'un groupe fini''' est un cas particulier d'[[algèbre d'un monoïde]] qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des [[représentations d'un groupe fini]].

Une '''algèbre d'un groupe fini''' est la donnée d'un [[groupe fini]], d'un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] l'ordre du groupe et d'une [[Base (algèbre linéaire)|base]] indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la composition des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une [[algèbre semi-simple]], elle dispose de toute une théorie dont le [[théorème d'Artin-Wedderburn]] est le pilier.

Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, le théorème de [[réciprocité de Frobenius]], celui d'[[Emil Artin|Artin]] ou par exemple le {{Lien|trad=Brauer's theorem on induced characters|théorème de Brauer sur les caractères induits}}.

== Introduction ==
=== Nature de la démarche ===
L'objectif est l'étude des représentations d'un groupe fini ''G'' sous un angle particulier. Dans un premier temps, une unique représentation est étudiée, la [[représentation régulière]]. L'ensemble de départ est linéarisé, c’est-à-dire qu'il est identifié à l'[[espace vectoriel]] sur le [[corps commutatif|corps]] ''K'' de la représentation, le groupe devenant la base canonique de l'espace. Le [[morphisme de groupes]] de ''G'' dans le [[groupe linéaire]] de l'espace vectoriel est prolongé par linéarité. On obtient une structure d'[[algèbre associative sur un corps]] [[commutatif]], noté ''K''[''G''] (pour les notations, voir l'article [[polynôme en plusieurs indéterminées]]). Avec les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères]], cette approche est l'un des deux piliers de la [[théorie des représentations d'un groupe fini|théorie des représentations]].

Le [[théorème de Maschke]] démontre que si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] du corps ''K'', l'algèbre est [[algèbre semi-simple|semi-simple]]. Cette structure, objet d'une vaste théorie, permet la démonstration de résultats variés grâce à ses nombreux théorèmes. L'un des plus importants est sans doute celui d'[[Théorème d'Artin-Wedderburn|Artin-Wedderburn]], il indique que si le [[polynôme]] ''X<sup>g</sup>'' – 1 est scindé, l'algèbre est isomorphe à une [[somme directe]] d'algèbres des endomorphismes sur des ''K''-[[Espace vectoriel de dimension finie|espaces vectoriels de dimensions finies]]. Ici ''g'' désigne l'ordre du groupe.

L'algèbre d'un groupe opère sur toutes les représentations, il suffit de prolonger le morphisme de groupes par linéarité. On obtient une structure de [[module sur un anneau|module]] où l'[[anneau unitaire|anneau]] ''K''[''G''] opère sur l'espace vectoriel de la représentation. Une telle structure se nomme ''G''-module. Il existe une équivalence stricte entre la notion de ''G''-module et celle de représentation de ''G''.

=== Applications ===
L'essentiel des premiers résultats de la théorie des représentations est une conséquence directe des propriétés générales des algèbres semi-simples. On peut démontrer le caractère fini du nombre de représentations irréductibles, ou l'égalité entre l'ordre du groupe et la somme des carrés des dimensions des [[représentation irréductible|représentations irréductibles]]. Il est vrai que ces propriétés se démontrent souvent facilement à l'aide des caractères, sans l'adjonction d'une théorie riche mais parfois complexe. En revanche, certains de ces résultats se démontrent de manière plus aisée avec une approche par les algèbres semi-simples, c'est le cas du critère de [[réciprocité de Frobenius]].

Il existe des éléments propres aux algèbres qui sont indispensables à la théorie des représentations. Le [[centre (algèbre)|centre]] de l'algèbre ''K''[''G''] est naturellement une [[extension abélienne]] commutative du corps ''K''. Il est possible d'utiliser la notion d'[[entier algébrique]]. Cette remarque permet d'introduire une [[arithmétique]], qui s'avère incontournable. Elle est utilisée dans cet article pour démontrer que toute représentation irréductible possède un degré divisant l'ordre du groupe.

Dans le cas où ''g'' est un multiple de la caractéristique du groupe, la propriété fondamentale des caractères, à savoir l'aspect [[base orthonormale|orthonormal]] des caractères irréductibles disparait. L'algèbre du groupe perd aussi sa semi-simplicité. En revanche la théorie des  anneaux semi-simples et particulièrement le concept de [[radical de Jacobson]] permet d'élucider la nature des représentations.

== Définitions ==
=== Algèbre d'un groupe ===
{{Article détaillé|Algèbre d'un monoïde}}
Les notations et hypothèses suivantes sont utilisées dans tout l'article :
* ''G'' désigne un groupe fini noté multiplicativement, son élément neutre est noté 1 et son ordre ''g'' ;
* ''K'' est un [[corps commutatif|corps]] dont la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] ne [[Diviseur|divise]] pas ''g'', et sur lequel '''''le [[polynôme]] ''X<sup>g</sup>'' – 1 est scindé''''' (ou même seulement le polynôme ''X<sup>e</sup>'' – 1, où ''e'' désigne l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] de ''G'').
* ''K<sup>G</sup>'' désigne l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace vectoriel des applications de ''G'' dans ''K'']]. Sa [[base canonique]] est la famille ([[symbole de Kronecker|δ]]<sub>''s''</sub>)<sub>''s∊G''</sub>, où δ<sub>''s''</sub>(''t'') vaut 1 pour ''t = s'' et vaut 0 pour les autres ''t'' ∈ ''G''.

La '''[[Algèbre associative sur un corps|''K''-algèbre]] du groupe ''G''''', notée ''K''[''G''], est définie en munissant l'espace vectoriel ''K<sup>G</sup>'' du [[produit de convolution]] ∗, décrit par :<center><math>\forall a,b\in K^G,\quad\forall u\in G,\qquad(a*b)(u)=\sum_{s,t\in G,\ st=u}a(s)b(t)</math></center>
ou encore :
<center><math>\forall (a_s)_{s\in G},~(b_t)_{t\in G}\in K^G,\quad\left(\sum_{s\in G}a_s\delta_s\right)*\left(\sum_{t\in G}b_t\delta_t\right)= \sum_{s,t\in G} a_sb_t\delta_{st}.</math></center>Cette multiplication interne prolonge la loi du groupe au sens où δ<sub>''s''</sub>∗δ<sub>''t''</sub> = δ<sub>''st''</sub>.

=== ''G''-module ===
{{Article détaillé|Module semi-simple}}
* Un [[Module sur un anneau|module]] sur l'algèbre ''K''[''G''] est appelé un''' ''G''-module'''.
On dispose alors d'un [[Représentation de groupe#Lien avec les K.5BG.5D-modules|dictionnaire complet]] entre représentations de ''G'' et ''G''-modules.
En particulier :
* Les [[Module simple|modules simples]] correspondent aux [[Représentation irréductible|représentations irréductibles]].
* Si ''V''<sub>1</sub> et ''V''<sub>2</sub> sont deux ''G''-modules, la ''K''-algèbre des morphismes de ''G''-modules de ''V''<sub>1</sub> dans ''V''<sub>2</sub> est l'algèbre des morphismes entre les deux représentations correspondantes. Elle sera notée ''hom''<sub>K</sub><sup>G</sup>(''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>).

D'après le [[théorème de Maschke]] :
* ''Si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K, alors tout ''G''-module est [[Module semi-simple|semi-simple]], c'est-à-dire [[somme directe]] de modules simples. Autrement dit : K''[''G''] ''est une [[algèbre semi-simple]].''

== Propriétés ==
=== Centre de l'algèbre ===
{{Article détaillé|Fonction centrale sur un groupe fini}}
Il résulte de la définition du produit dans l'anneau ''K''[''G''] que son [[Centre (algèbre)|centre]] est constitué des applications de ''G'' dans ''K'' qui sont [[Fonction centrale|centrales]], c'est-à-dire constantes sur chaque [[classe de conjugaison]]. Ce [[sous-espace vectoriel]] de ''K<sup>G</sup>'' a donc pour [[base canonique]] la famille ('''1'''<sub>''c''</sub>)<sub>''c∊C''</sub> des [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] de ces classes de conjugaison (une telle indicatrice se décompose dans la base canonique de ''K<sup>G</sup>'' en : '''1'''<sub>''c''</sub> = ∑<sub>''s∊c''</sub>δ<sub>''s''</sub>).

On démontre par ailleurs que pour la [[forme bilinéaire symétrique]] non dégénérée sur ''K<sup>G</sup>'' définie par<center><math>(f|h)=\frac1g\sum_{s\in G}f(s)h(s^{-1}),</math></center>
*''les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères irréductibles]] forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales.''
Il en résulte (en considérant la dimension de ce sous-espace) :
*''Le nombre de caractères irréductibles est égal au nombre h de classes de conjugaison du groupe.''

Le groupe n'a donc sur ''K'' (à équivalence près) que ''h'' représentations irréductibles (''S''<sub>1</sub>, ρ<sub>1</sub>), … (''S<sub>h</sub>'', ρ<sub>''h''</sub>), dont les caractères χ<sub>1</sub>, ..., χ<sub>''h''</sub> forment une base de l'espace des fonctions centrales.

=== Théorème d'Artin-Wedderburn ===
Avec les notations du paragraphe précédent, on démontre directement le théorème fondamental suivant :
*''L'algèbre K''[''G''] ''est isomorphe à la somme directe des algèbres'' L<sub>''K''</sub>(''S<sub>i</sub>'') ''d'[[Application linéaire|endomorphismes]] des K-espaces vectoriels S<sub>i</sub> sous-jacents aux h représentations irréductibles de G :''<center><math>K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h\mathrm L_K(S_i).</math></center>Une manière plus savante d'arriver au même résultat est d'utiliser le [[Anneau semi-simple#Cas des algèbres semi-simples de dimension finie|théorème d'Artin-Wedderburn pour les algèbres semi-simples de dimension finie]].

{{Démonstration|titre=Démonstration directe|contenu=
* Chacune des représentations ρ''<sub>i</sub>'' : ''G'' → GL(''S<sub>i</sub>'') définit un morphisme, que l'on note encore ρ''<sub>i</sub>'', de ''K''[''G''] dans L(''S<sub>i</sub>''), et l'on note ρ le morphisme de ''K''[''G''] dans la somme directe des L(''S<sub>i</sub>''). On note de plus ''f<sub>k</sub>'' les formes linéaires canoniques (coefficients matriciels) sur cette somme.
* Pour toute forme linéaire φ = ∑λ''<sub>k</sub>f<sub>k</sub>'' sur cette somme directe, si φ est nulle sur l'image de ρ, alors ∑λ''<sub>k</sub>m<sub>k</sub>'' = 0, où ''m<sub>k</sub> = f<sub>k</sub>''∘ρ. Or il résulte du [[Lemme de Schur#Corollaire 4|corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur »]] que les ''m<sub>k</sub>'' forment une famille libre, ce qui entraîne la nullité de tous les λ''<sub>k</sub>'' donc de φ. Ceci prouve que l'image de ρ n'est incluse dans aucun hyperplan, donc que ρ est surjectif.
* Si un élément ''f'' de ''K''[''G''] est dans le noyau de ρ, c'est-à-dire dans le noyau de tous les ρ''<sub>i</sub>'', alors ''f'' est aussi dans le noyau du morphisme λ : ''K''[''G''] → L(''K<sup>G</sup>'') associé à la [[représentation régulière]] puisque celle-ci est, comme toute représentation de ''G'', somme directe d'irréductibles. Puisque λ(f) est nulle, l'image par λ(f) de l'élément δ<sub>1</sub> de ''K''[''G''] l'est aussi, or cette image n'est autre que ''f''. Ceci prouve que ρ est injectif.
}}
* Puisque l'espace vectoriel sous-jacent à ''K''[''G''] est ''K<sup>G</sup>'' on a donc, en notant ''d<sub>i</sub>'' la dimension de l'espace ''S<sub>i</sub>'', l'égalité d'[[entier naturel|entiers]] :<center><math>g=\sum_{i=1}^hd_i^2.</math></center>(Dans l'article [[Représentation régulière]], cette identité remarquable est démontrée seulement modulo la caractéristique de ''K''.)
* Un élément <math>f</math> de ''K''[''G''] appartient au centre si et seulement si chacune de ses composantes est une homothétie. De plus, l'étude des [[Fonction centrale sur un groupe fini|fonctions centrales]] montre que le rapport λ<sub>''i''</sub> de l'homothétie  sur ''S<sub>i</sub>'' vaut alors :<center><math>\lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s\in G}f(s)\chi_i(s).</math></center>

=== Représentation régulière ===
{{Article détaillé|Représentation régulière}}

La représentation régulière λ de ''G'' est celle qui correspond, via le « dictionnaire » mentionné précédemment, à la structure naturelle de ''K''[''G'']-module à gauche de l'algèbre ''K''[''G'']. Grâce à la décomposition ci-dessus de cette algèbre on a donc :
*''La représentation régulière est équivalente à la somme directe des représentations irréductibles'' ρ''<sub>i</sub> répétées chacune un nombre de fois égal à son degré d<sub>i</sub> :''
<center><math>(K^G,\lambda)~\simeq~\bigoplus_{i=1}^h d_i(S_i,\rho_i).</math></center>
Autrement dit, les [[Module semi-simple#Décomposition canonique|composantes isotypiques]] du module semi-simple associé à λ sont les
<center><math>d_i(S_i,\rho_i)=(S_i,\rho_i)\oplus\ldots\oplus(S_i,\rho_i)\quad(d_i\text{ fois}),\quad\text{avec}\quad d_i=\dim(S_i).</math></center>

=== Orthogonalité ===
La complémentarité des deux approches, par les caractères et par l'algèbre du groupe, s'applique aussi sur les propriétés d'orthogonalité. Soient (''V''<sub>1</sub>, ρ{{exp|1}}) et (''V''<sub>2</sub>, ρ{{exp|2}}) deux représentations de ''G''.
* ''Si''  χ{{exp|1}} ''et'' χ{{exp|2}} ''désignent les caractères de'' ρ{{exp|1}} ''et'' ρ{{exp|2}} ''et si les représentations'' (''V''<sub>1</sub>, ρ{{exp|1}}) ''et'' (''V''<sub>2</sub>, ρ{{exp|2}}) ''sont considérées comme des ''G''-modules, alors l'égalité suivante est vérifiée dans K :''
<center><math>(\chi_1|\chi_2)=\dim\left(\hom_K^G(V_1,V_2)\right).</math></center>
{{Démonstration|contenu=
En utilisant les notations précédentes, notons :
<center><math>(V_1,\rho^1)\simeq\bigoplus_{i=1}^hn_{1,i}(S_i,\rho_i)\quad\text{et}\quad(V_2,\rho^2)\simeq\bigoplus_{i=1}^hn_{2,i}(S_i,\rho_i).</math></center>
Le lemme de Schur démontre que dim(Hom''<sub>K</sub><sup>G</sup>''(''S<sub>i</sub>,S<sub>j</sub>''))=δ<sub>''i,j''</sub> (le [[symbole de Kronecker]]). On en déduit :
<center><math>\dim\left(\hom_K^G(V_1,V_2)\right)=
\dim\left(\hom_K^G\left(\bigoplus_{i=1}^hS_i^{n_{1,i}},\bigoplus_{j=1}^hS_j^{n_{2,j}}\right)\right)=
\sum_{i,j\in[1,h]} n_{1,i}n_{2,j}\dim\left(\hom_K^G(S_i,S_j)\right)=
\sum_{i=1}^h n_{1,i}n_{2,i}.</math></center>
La propriété d'orthonormalité des caractères irréductibles permet de conclure.}}

== Applications ==
=== Réciprocité de Frobenius ===
{{Article détaillé|réciprocité de Frobenius}}

Un bon exemple d'utilisation de la structure d'algèbre de groupe est donné par le critère de réciprocité de Frobenius. Il concerne un mode de construction de ''G''-module appelé [[représentation induite d'un groupe fini|représentation induite]]. Soit ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''W'' un ''K''[''H'']-module. Alors la structure suivante est le ''G''-module induit par ''W'' :
<center><math>V\simeq K[G]\otimes_{K[H]}W \;</math></center> 
La représentation induite correspond, à une extension des scalaires ''K''[''H''] à l'anneau ''K''[''G''] sur le ''H''-module ''W''. Dans le cas où ''H'' est un [[sous-groupe normal]] de ''G'', le ''G''-module induit est l'équivalent d'un [[produit semi-direct]].

Le critère de réciprocité de Frobenius est une méthode simple pour calculer le produit hermitien du caractère d'un module induit. Si  ψ désigne le caractère de la représentation θ issus du ''H''-module ''W'' et χ celui d'une représentation ρ de ''G'', si ''Ind'' ψ désigne le caractère d'une représentation induite, c’est-à-dire la représentation associée au module induit et ''Res'' χ le caractère de la restriction de ρ à ''H'', alors :
<center><math><Ind_H^G\,\psi\,|\,\chi>_G=<\psi\,|\,Res_H^G\,\chi>_H \;</math></center>
Elle se démontre en établissant un isomorphisme entre les deux structures de morphismes de ''K''-algèbre associée, l'égalité des dimensions permet de conclure.

=== Entier algébrique ===
{{Article détaillé|Élément entier}}
*''Soit u un élément du centre de K''[''G''] ''dont toutes les coordonnées — dans la'' [[#Centre de l'algèbre|''base canonique'' ('''1'''{{ind|''c''}}){{ind|''c''∈''C''}}]] — ''sont'' [[Élément entier|''entières sur'' ℤ]]'', alors u est entier sur'' ℤ.
Pour le prouver, on démontre<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés|Théorie des groupes, Caractères complexes des groupes finis, Lemme 36|début=Voir}}</ref> que le ℤ-[[module de type fini]] engendré par les '''1'''{{ind|''c''}} est en fait une [[Algèbre associative sur un anneau|ℤ-algèbre]].

Avec les notations des paragraphes précédents, on en déduit :
* ''Soit u un élément du centre de K''[''G''] ''dont toutes les coordonnées sont entières sur'' ℤ'', alors l'élément suivant de K est entier sur'' ℤ.
<center><math>\lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)</math></center>
En effet, d'après le [[#Théorème d'Artin-Wedderburn|paragraphe « Théorème d'Artin-Wedderburn »]], ce nombre est le rapport de l'homothétie ρ<sub>i</sub>(''u'') sur ''S<sub>i</sub>''. D'après la proposition précédente, cette homothétie est un élément entier sur ℤ, donc son rapport aussi car l'application qui à une homothétie associe son rapport est un morphisme d'algèbres.

Lorsque ''K'' est de caractéristique nulle, on peut en déduire la propriété suivante {{refsou|date=octobre|(qui est en fait vraie en caractéristique quelconque)}} :
* ''Le degré d<sub>i</sub> d'une représentation irréductible divise l'ordre g du groupe.''
{{Démonstration|titre=Démonstration directe|contenu=
Considérons l'élément ''u'' égal à la somme, pour ''s'' décrivant ''G'', des éléments χ<sub>''i''</sub>(''s''<sup>-1</sup>)δ<sub>''s''</sub>. Les χ<sub>''i''</sub>(''s''<sup>-1</sup>) sont des [[Entier algébrique|entiers algébriques]], par [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini#Premières propriétés|intégralité des caractères]]. D'autre part χ<sub>i</sub> est, comme tout caractère, une fonction centrale sur ''G'', ce qui démontre que ''u'' est un élément du centre de ''K''[''G'']. Comme ses coordonnées dans la base canonique sont des entiers algébriques, la proposition précédente s'applique et ''g''/''d''<sub>i</sub> est un entier algébrique. Mais c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de '''Z''', ce qui démontre que  ''d''<sub>i</sub> divise l'ordre du groupe.
}}

=== Groupe abélien ===
{{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}
Si le groupe fini ''G'' est abélien, son [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] est fini et isomorphe (non canoniquement) à ''G''. On possède alors tous les outils de l'[[analyse harmonique]] sur l'algèbre du groupe (à coefficients complexes). On définit une [[transformée de Fourier]] et un [[produit de convolution]], et les théorèmes comme l'[[égalité de Parseval]], le [[théorème de Plancherel]] ou la [[dualité de Pontryagin]] s'appliquent.

De nombreux théorèmes classiques se réinterprètent en termes d'analyse harmonique sur un [[groupe abélien fini]] ; on peut citer en [[arithmétique]] la constitution d'outils comme le [[symbole de Legendre]], les [[somme de Gauss|sommes de Gauss]] utilisées pour la démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]] ou pour le calcul des [[période de Gauss|périodes de Gauss]] et la recherche des racines des [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
{{Lien|trad=Groupoid algebra|Algèbre d'un groupoïde}}
=== Bibliographie ===
* {{Serre2}}
* {{Hall1}}
* {{Lang1}}
* [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]], Algèbre'', chap. VIII
=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/corrige-repres-groupe-fini.pdf|titre=TD Représentation des groupes finis|auteur=Vincent Beck|date=2005-2006}} du cours de [[Master (France)|M2]] de [[Michel Broué]] ([[Université Paris VII - Diderot]]), et [https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/corrige-repres-groupe-fini.pdf corrigé]
*{{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~daniel.ferrand/RepFinal.pdf|titre=Représentation linéaire des groupes finis, une introduction|auteur=Daniel Ferrand|date=2005|site=[[IMJ-PRG]]}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://www.math.umn.edu/~webb/RepBook/Ch1-8.pdf|titre=Finite Group Representations for the Pure Mathematician|auteur=Peter Webb}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]