Voir la source de Algèbre d'un monoïde

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En [[algèbre]], plus précisément en [[théorie des anneaux]], l''''algèbre d'un [[monoïde]]''' ''M'' sur un [[anneau commutatif]] ''A'' est la [[algèbre associative|''A''-algèbre]] formée des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] d'éléments de ''M'', à [[coefficient]]s dans ''A''. Cette construction généralise celle des [[Polynôme en plusieurs indéterminées|anneaux de polynômes]] et intervient, lorsque ''M'' est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]], dans la théorie de ses [[Représentation de groupe|représentations]] et dans la définition de [[Homologie des groupes|son homologie]]. Lorsque ''A'' est un [[Anneau unitaire|anneau non commutatif]], la même construction ne fournit pas une ''A''-algèbre mais seulement un anneau.

== Définition ==
Soient ''A'' un anneau commutatif (unifère) et ''M'' un monoïde. On note ''A''<sup>''M''</sup> le [[module sur un anneau|''A''-module]] des applications de ''M'' dans ''A''. La ''A''-algèbre de ''M'', notée ''A''[''M''], est le sous-module de ''A''<sup>''M''</sup> constitué des applications de [[support d'une fonction|support]] fini (c'est-à-dire nulles sauf sur une partie finie de ''M''), muni de la [[produit (mathématiques)|multiplication]] définie par :
{{Centrer|<math>(fg)(m)=\sum_{x,y\in M,xy=m}f(x)g(y).</math>}}

Si l'on identifie chaque élément ''m'' de ''M'' avec la [[fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction caractéristique]] du singleton {''m''}, alors ''M'' s'identifie à une partie de ''A''[''M''] et ''A''[''M''] est le ''A''-[[module libre]] de base ''M'', muni du produit qui étend (par [[Application bilinéaire|bilinéarité]]) la loi de monoïde de ''M''. Plus explicitement, un élément de ''A''[''M''] est noté
{{Centrer|<math>f=\sum_{m\in M}f_mm,\quad f_m\in A</math>}}

où les éléments ''{{math|f{{ind|m}}}} ''sont presque tous nuls, et le produit de deux tels éléments est donné par :

{{Centrer|<math>\left(\sum_{x\in M}f_xx\right)\left(\sum_{y\in M}g_yy\right)=\sum_{m\in M}\left(\sum_{x,y\in M,xy=m}f_xg_y\right)m.</math>}}

Si ''M'' est un groupe, ''A''[''M''] est appelée l'algèbre du groupe ''M''.

== Exemples ==
*Si ''A ''est l'anneau ℤ des [[entiers relatifs]], le groupe additif de ''A''[''M''] est le [[groupe abélien libre]] sur ''M''.
*Pour tout ensemble ''I'', l'algèbre de polynômes ''A''[(''X{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}}] est la ''A''-algèbre du monoïde commutatif [[Objet libre|libre]] sur ''I'', c'est-à-dire du monoïde ''M ''= ℕ{{exp|(''I'')}} des applications de support fini de ''I'' dans ℕ (muni de l'addition naturelle), tandis que l'algèbre de polynômes en les mêmes variables, mais ''non commutatives'', est l'algèbre du [[Monoïde#Bases et monoïdes libres|monoïde libre]] sur ''I''.
*Toutes les ''A''-algèbres, même commutatives et unifères, ne sont pas des algèbres de monoïdes. Par exemple si ''A'' est un [[corps commutatif|corps]] de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2, la seule ''A''-algèbre de monoïde de rang 2 est ''A''<nowiki>[</nowiki>[[Groupe cyclique|ℤ/2ℤ]]<nowiki>]</nowiki> ≃ [[Théorème des restes chinois#Dans un anneau principal| ''A''[''X'']/(''X''{{2}} – 1) ≃ ''A''[''X'']/(''X''{{2}} – ''X'') ≃ ''A''⊕''A'']], et ''A''[''X'']/(''X''{{2}}) ne lui est pas isomorphe car elle possède un élément [[nilpotent]] non nul.

== Propriété universelle ==
A posteriori, ''A''[''M''] peut être caractérisée (à [[isomorphisme]] près) par une [[propriété universelle]] : pour ''A'' fixé, le [[foncteur]] qui à ''M'' associe ''A''[''M''] (de la [[Catégorie (mathématiques)|catégorie]] des monoïdes vers celle des ''A''-algèbres) est l'[[Adjoint (foncteur)|adjoint à gauche]] du [[Foncteur#Exemples|foncteur d'oubli]]. ''A''[''M''] est donc appelée la '''''A''-algèbre libre sur le monoïde''' ''M''.

== Cas où l'anneau n'est pas commutatif ==
Si ''A'' n'est pas commutatif, ''A''[''M''] n'est plus une algèbre sur ''A'' mais sur le centre de ''A''. C'est donc en particulier un anneau.

C'est également un ''A''-[[bimodule]].

== Références ==
* [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'' : Algèbre, chapitres 1 à 3, [[Springer Verlag|Springer]], 2007 {{ISBN|978-3-540-33849-9}}
* {{Lang1}}

==Articles connexes==
*[[Algèbre d'un groupe fini]]
*{{Lien|trad=Groupoid algebra|Algèbre d'un groupoïde}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre associative|Monoide]]