Voir la source de Algèbre linéaire

{{Voir homonymes|Algèbre (homonymie)}}
{{Infobox Discipline
|partie de=[[Algèbre]]|image=Linear subspaces with shading.svg|légende=[[ℝ³]] est un espace vectoriel de dimension 3. Les droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. 
}}

L’'''algèbre linéaire''' est la branche des [[mathématiques]] qui s'intéresse aux [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] et aux [[Application linéaire|transformations linéaires]], formalisation générale des théories des [[Système d'équations linéaires|systèmes d'équations linéaires]].

== Histoire ==
L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse [[Al-Khwârizmî]] qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant<ref>[[Roshdi Rashed]], ''D'Al Khwarizmi à Descartes, Étude sur l'histoire des mathématiques classiques'', Hermann, 2011</ref>. Elle a été reprise par [[René Descartes]] qui pose des problèmes de [[géométrie]], comme la détermination de l'intersection de deux [[Droite (mathématiques)|droites]], en termes d'[[équation linéaire]], établissant dès lors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'alors séparées : l'[[algèbre]] et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qu'est celle d'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès, et cette utilisation naturelle des aspects linéaires des équations manipulées demeurera utilisée de manière ''ad hoc'', fondée essentiellement sur les idées géométriques sous-jacentes. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des [[déterminant (mathématiques)|déterminants]] par [[Jean Le Rond d'Alembert|Jean d'Alembert]].

Ce n'est qu'au {{s-|XIX}} que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. [[Carl Friedrich Gauss]] trouve [[Élimination de Gauss-Jordan|une méthode générique]] pour la résolution des systèmes d'équations linéaires et [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]] résout définitivement le problème de la [[réduction d'endomorphisme]]. En 1843, [[William Rowan Hamilton]] (inventeur du terme ''vector'') découvre les [[quaternion]]s ([[Algèbre simple|extension]] de degré 4 du [[corps commutatif|corps]] des [[nombre réel|nombres réels]]). En 1844, [[Hermann Günther Grassmann|Hermann Grassmann]] publie son traité ''Die lineale Ausdehnungslehre'', ''La théorie de l'extension linéaire'', qui est la première tentative de formalisation générale de la notion d'espace vectoriel. Si son œuvre reste grandement inaperçue, elle contient l'essentiel des idées modernes de l'algèbre linéaire, et cette étape fondamentale dans le développement de l'algèbre linéaire est reconnue comme telle tant par Hamilton que par [[Giuseppe Peano]], qui axiomatise entièrement la théorie en 1888. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omniprésente dans presque tous les domaines mathématiques, notamment en [[analyse (mathématiques)|analyse]] ([[espace fonctionnel|espaces de fonctions]]).

== Intérêt ==
Sous leur forme la plus simple, les applications linéaires dans les [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la [[Droite (mathématiques)|droite]], le [[Plan (mathématiques)|plan]] ou notre [[Espace (notion)#Physique|espace]] physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite par [[Euclide]] au {{IIIe siècle av. J.-C.}} La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des [[Dimension d'un espace vectoriel|dimensions]] quelconques.

L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en [[Mécanique (science)|mécanique]], mais aussi dans de nombreuses autres branches comme les [[Science de la nature|sciences naturelles]] ou les [[sciences sociales]].

Les espaces vectoriels forment aussi un outil fondamental pour les [[sciences de l'ingénieur]] et servent de base à de nombreux domaines dans la [[recherche opérationnelle]].

Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques dans des domaines aussi divers que la [[théorie des groupes]], [[Théorie des anneaux|des anneaux]] ou [[Corps commutatif|des corps]], l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], la [[géométrie différentielle]] ou la [[théorie des nombres]].

== Présentation élémentaire ==
L'algèbre linéaire commence par l'étude de [[vecteur]]s dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est une [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] de bipoints qui unifie les segments de droite caractérisés à la fois par leur longueur (ou ''norme''), leur direction et leur sens : deux bipoints représentent un même vecteur si le quadrilatère formé sur les quatre points est un [[parallélogramme]]. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés entre eux ou encore multipliés par des scalaires (''nombres''), formant ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne s'intéresse beaucoup aux espaces de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension arbitraire, éventuellement infinie]]. La plupart des résultats obtenus en dimension 2 ou 3 peuvent être étendus aux dimensions finies supérieures, ce qui permet une interprétation géométrique de listes de nombres (une liste de ''n'' nombres s'interprétant comme un vecteur d'un espace à ''n'' dimensions).

== Quelques théorèmes ==
* [[Théorème de la base incomplète]]<ref>Dans le cas où ''G ''est infinie, ce théorème utilise l'[[axiome du choix]], qui intervient de même dans les énoncés suivants en dimension infinie.</ref> : soient ''E ''un espace vectoriel, ''G ''une [[famille génératrice]] de ''E ''et ''L ''une [[Indépendance linéaire|famille libre]] de vecteurs de ''E''. Alors il existe au moins une [[base (algèbre linéaire)|base]] de ''E ''formée en prenant la réunion de ''L ''et d'une partie de ''G''.
* En particulier, tout espace vectoriel possède au moins une base.
* Toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]].
* Tout espace vectoriel A possède un [[espace dual]] A* ; si A est [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], A* est de même dimension.
* [[Formule de Grassmann]] : Soient <math>F</math> et <math>G</math> deux [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] d'un même espace vectoriel. On a alors :<!--MERCI DE NE PAS MODIFIER LES SIGNES DE CETTE FORMULE : en cas de doute, consulter l'article "Formule de Grassmann"--><center><math>\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).</math></center>

D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de [[Matrice (mathématiques)|matrices]] de divers types :
* [[matrice diagonale]] ;
<!--* bande ?-->
* [[matrice triangulaire]] ;
* [[matrice à diagonale dominante]].

Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices (''cf''. l’article [[Matrice par blocs]]). Avec les mémoires actuelles de plusieurs [[Octet|gigaoctets]], cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en [[théorie des nombres]], pour la [[décomposition en produit de facteurs premiers]] avec le [[Crible algébrique|crible général de corps de nombres]] (''[[algorithme de Lanczos]]'').

== Utilisations ==
Les espaces vectoriels forment le support et le fondement de l'algèbre linéaire. Ils sont aussi présents dans de nombreux domaines distincts. S'il n'est pas possible d'indiquer ici tous les cas d'utilisation, on peut tout de même citer pour les principales structures objet de théories, des exemples significatifs. Leurs rôles dans de vastes théories ne traitant pas d'une structure particulière, comme celles des [[théorie algébrique des nombres|nombres algébriques]] ou  de [[Théorie de Galois|Galois]] peuvent aussi être évoqués.

Les espaces vectoriels utilisés sont d'une grande diversité. On y trouve les classiques espaces vectoriels de dimension 2 ou 3 sur les [[nombre réel|nombres réels]], cependant la dimension peut être quelconque, même infinie. Les nombres complexes sont aussi très utilisés, ainsi que les [[nombre rationnel|rationnels]]. Il n'est pas rare qu'une partie des nombres réels ou complexes soit considéré comme un espace vectoriel rationnel. Le corps de base peut aussi contenir un nombre fini d'éléments, définissant parfois un [[espace vectoriel fini]].

Les propriétés géométriques de la structure permettent la démonstration de nombreux théorèmes. Elles ne se limitent pas aux cas où l'espace est réel, même dans le cas de corps plus insolites comme les [[corps fini]]s ou les [[extension finie|extensions finies]] des rationnels, les propriétés géométriques s'avèrent parfois essentielles.

=== Groupe fini ===
{{Article détaillé|Représentations d'un groupe fini}}
[[Fichier:Rotations du cube.jpg|thumb|[[Représentations du groupe symétrique|Représentation du groupe symétrique d'indice 4]] comme groupe des rotations du cube dans un espace vectoriel de dimension 3.]]

La [[Groupe fini#Classification des groupes finis|classification des groupes finis]] est une vaste question, encore objet de recherche. Si le groupe contient un petit nombre d'éléments, les [[théorèmes de Sylow]] peuvent suffire pour en déterminer la structure. Une méthode beaucoup plus puissante est nécessaire dans le cas général.

[[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]], à la suite de travaux de [[Richard Dedekind]], développe une nouvelle théorie<ref>{{en}} [[Charles W. Curtis|C. W. Curtis]], «{{lang|en|texte= Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer }}», dans ''[[The Mathematical Intelligencer|Math. Intelligencer]]'', 1992, {{p.|48-57}}</ref> en [[1896 en science|1896]]. Elle se fonde sur l'idée que l'ensemble des « [[symétrie]]s » (au sens : [[Application linéaire#Cas particuliers|automorphismes]]) d'un espace vectoriel possède une structure de groupe. Il est toujours possible de ''représenter'' un groupe fini par des « symétries » bien choisies sur un espace vectoriel de dimension suffisante. Un groupe est ainsi incarné par des [[Transformation géométrique|transformations géométriques]] simples. Une telle incarnation prend le nom de ''représentation d'un groupe''.

Les espaces vectoriels choisis sont de dimension finie, en général sur le corps des complexes<ref>Les 11 premiers chapitres de {{Serre2}} ne concernent que les espaces vectoriels complexes.</ref>, cependant pour disposer de bonnes propriétés arithmétiques le corps peut être celui des [[nombre rationnel|rationnels]]<ref>{{en}} [[Walter Feit]], ''Characters of finite groups'', Benjamin, 1967</ref> ou encore utiliser des [[entier algébrique|entiers algébriques]] comme pour la démonstration du [[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|théorème de Burnside sur les groupes résolubles]]<ref>{{en}} [[William Burnside]], ''Theory of Groups of Finite Order'', Dover, 2004</ref>. [[Richard Brauer]] étudie un cas très abstrait, celui des représentations sur un espace vectoriel construit à l'aide d'un [[corps fini]]<ref>{{de}} [[Richard Brauer]], « Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern », dans ''[[Hermann (éditions)#1876-1956|Act. Sci. Ind.]]'', vol. 195, 1935</ref>.

Un exemple relativement simple d'utilisation de cette théorie est donné par Burnside, avec [[Théorème de Burnside (problème de 1902)|son théorème]] sur les [[sous-groupe]]s d'[[Exposant d'un groupe|exposant]] fini du [[groupe (mathématiques)|groupe]] [[Groupe général linéaire|linéaire]] GL(''n'', [[nombre complexe|ℂ]]).

=== Anneau ===
{{Article détaillé|Théorie des anneaux}}
[[Fichier:Noether.jpg|thumb|left|[[Emmy Noether]] utilise la notion d'espace vectoriel pour étudier les [[Anneau noethérien|anneaux]] portant maintenant son nom.]]
Un exemple célèbre d'anneau disposant aussi d'une structure d'espace vectoriel est celui des [[polynôme formel|polynômes]] à coefficients dans un corps. Cet espace vectoriel, de dimension infinie, est largement utilisé en algèbre linéaire, à travers par exemple le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] ou [[polynôme caractéristique|caractéristique]]. Le [[polynôme d'endomorphisme|morphisme canonique]] entre les polynômes et les applications linéaires d'un espace vectoriel est à l'origine d'une structure d'algèbre qui est un anneau, si la multiplication externe est ''oubliée''.

Cette méthode permet d'élucider la structure de certains anneaux. Tout anneau est un espace vectoriel sur ceux de ses sous-anneaux qui sont des corps. L'espace vectoriel ressemble à la structure développée par Grassman. Cette remarque est utilisée au début du {{s-|XX}}, en particulier par [[Emil Artin]] et [[Emmy Noether]], pour élucider cette structure dans le cas des anneaux artiniens et [[Anneau noethérien|noethériens]], qui sont des copies de sous-algèbres sur un espace vectoriel construit sur [[sous-anneau]] qui s'avère être un corps.

Un exemple est la généralisation d'un théorème de [[Joseph Wedderburn|Wedderburn]] par Artin et portant maintenant le nom de [[théorème d'Artin-Wedderburn]]. Il est important en [[Théorie des anneaux|algèbre non commutative]].

[[Anneau opposé|Un lemme élémentaire]] permet par ailleurs d'interpréter le corps des [[quaternion]]s comme l'algèbre des [[Représentation de groupe#Définitions|endomorphismes]] d'[[Quaternion#Représentation des quaternions comme matrices 4x4 de nombres réels|une représentation réelle de degré 4]] du [[groupe des quaternions|groupe associé]].

=== Théorie de Galois ===
{{Article détaillé|Théorie de Galois}}
[[Fichier:Pentagone construit.png|thumb|La théorie de Galois permet de déterminer quels polygones réguliers sont constructibles à la règle et au compas. [[Construction du pentagone régulier à la règle et au compas|Le pentagone en fait partie]].]]
La théorie de Galois contient de nombreux exemples d'espaces vectoriels. Elle consiste à étudier un corps comme un espace vectoriel sur un sous-corps. Ainsi chaque sous-corps permet de considérer la structure initiale comme un espace vectoriel particulier.

Un exemple d'application est celui des figures [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]]. Ces points forment un corps disposant d'une structure d'espace vectoriel sur les nombres rationnels. Il est de dimension infinie et, pour chaque point, le plus petit sous-corps le contenant est de dimension finie égale à une [[Puissance de deux|puissance de 2]]. Un tel sous-corps est appelé une [[tour d'extensions quadratiques]]. Cette propriété de ces espaces vectoriels permet de résoudre d'antiques conjectures comme la [[duplication du cube]], la [[trisection de l'angle]] ou la construction d'un [[polygone régulier]].

L'exemple historique de la théorie est celui de la résolution d'une [[équation polynomiale]]. Le [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]] donne une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] de résolution par [[Racine d'un nombre#Racines d'un complexe|radicaux]]. Les espaces vectoriels utilisés ont pour éléments ceux du plus petit corps ''L'' contenant tous les coefficients du polynôme ainsi que ses racines et le corps sous-jacent est un sous-corps ''K'' du premier contenant tous les coefficients. Le [[groupe de Galois]] est composé des automorphismes du corps ''L'' qui laissent invariant le corps ''K''. Ces automorphismes sont en nombre fini et sont des [[Application linéaire#Cas particuliers|automorphismes du ''K''-espace vectoriel]] ''L''. L'élément clé de [[Théorème d'Abel (algèbre)#Démonstration du théorème de Galois|la démonstration]] montre que l'équation est résoluble seulement si ces automorphismes sont [[Diagonalisation|diagonalisables]].

== Notes et références ==

{{Références}}

== Bibliographie ==
* Vincent Blanloeil, ''Une introduction moderne à l’algèbre linéaire'', Ellipses, 2012
* Roger Mansuy et Rached Mneimné, ''Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes'', Vuibert, 2012

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|commons=Category:Linear algebra
|wikt=algèbre linéaire
|b=Algèbre linéaire
|v=Algèbre linéaire
}}
=== Articles connexes ===
* [[Propriétés métriques des droites et plans]]
*[[Algèbre générale]]
* [[Algèbre multilinéaire]]
* [[Loi d'inertie de Sylvester]]
* [[Optimisation linéaire]]
* [[Algorithme de Bartels-Stewart]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://www.egwald.com/linearalgebra/index.php Linear Algebra] par Elmer G. Wiens
* [https://web.archive.org/web/20101108172830/http://roso.epfl.ch/teaching.html Les cours du ROSO, dont de l'Algèbre linéaire]
* [http://braise.univ-rennes1.fr/  Braise : la base raisonnée d'exercices de mathématiques et son chapitre sur l'Algèbre linéaire]
* {{lien web
 | url = https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
 | titre = Essence of linear algebra
 | auteur = 3Blue1Brown
 | site = YouTube
 | consulté le = 2018-06-12
 | langue = en
}} {{commentaire biblio|chaîne dont le but est  « d'animer les intuitions géométriques soustendant de nombreux sujets enseignés dans les cours habituels d'algèbre linéaire. »}}

{{Palette|Algèbre linéaire|Domaines des mathématiques}}
{{Portail|Algèbre}}

{{DEFAULTSORT:Algebre lineaire}}
[[Catégorie:Algèbre linéaire| ]]