Voir la source de Alternativité

En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[algèbre générale]], la propriété d''''alternativité''' peut concerner les [[loi de composition interne|lois de composition internes]], spécialement la multiplication de certaines [[Algèbre sur un corps|algèbres]]. C'est une propriété moins forte que l'[[associativité]] et, pour les algèbres, plus forte que l'[[associativité des puissances]].

== Définition ==
Un [[magma (mathématiques)|magma]] ''M'' est dit '''alternatif à gauche''' si (''xx'')''y''&nbsp;=&nbsp;''x''(''xy'') pour tous ''x'' et ''y'' dans ''M'' et '''alternatif à droite''' si ''y''(''xx'')&nbsp;=&nbsp;(''yx'')''x'' pour tous ''x'' et ''y'' dans ''M''.

Il est dit '''alternatif''' s'il est à la fois alternatif à gauche et alternatif à droite.

== Propriétés ==

Tout [[demi-groupe]] (c'est-à-dire tout magma [[associativité|associatif]]) est clairement alternatif. La réciproque est fausse : l'algèbre des [[octonion]]s est alternative mais non associative.

Plus généralement, pour qu'un magma ''M'' soit alternatif, il suffit que tout sous-magma de ''M'' engendré par deux éléments soit associatif.

{{refsou|Pour un magma quelconque, cette condition suffisante n'est pas nécessaire (un magma alternatif peut même ne pas être à puissances associatives).|date=mars 2011}}

Pour une algèbre, cette condition suffisante est aussi nécessaire, d'après un théorème d'[[Emil Artin|Artin]]<ref>Démontré dans {{harvsp|Schafer|1995|p=29-30}} et dans {{harvsp|Clark 2010|p=10-11}}</ref>. Un corollaire est que toute [[algèbre alternative]] est à puissances associatives, mais la réciproque est fausse : les [[sédénion]]s forment une algèbre à puissances associatives, bien que non alternative.

Toute algèbre alternative est ''[[Algèbre flexible|flexible]]'', c'est-à-dire<ref name="Schafer27-28">{{harvsp|Schafer|1995|p=27-28}}</ref> que l'[[Identité remarquable|identité]] (''xy'')''x''&nbsp;=&nbsp;''x''(''yx'') est satisfaite. Des arguments élémentaires sur l'[[associateur]] permettent de prouver directement ce cas particulier du théorème d'Artin<ref name="Schafer27-28"/> et même, de démontrer que si dans une algèbre ''A'' deux des trois conditions suivantes sont satisfaites, alors la troisième aussi :
* ''A'' est alternative à gauche ;
* ''A'' est alternative à droite ;
* ''A'' est flexible.

Dans toute algèbre alternative, les [[Boucle de Moufang|identités de]] [[Ruth Moufang|Moufang]] sont satisfaites :
#(''zxz'')''y = z''(''x''(''zy''))
#''y''(''zxz'') = ((''yz'')''x'')''z''
#(''zy'')(''xz'') = ''z''(''yx'')''z''
(puisque l'algèbre est flexible, les sous-expressions non parenthésées ci-dessus de la forme ''aba'' ne sont pas ambiguës).

{{Démonstration|titre=Quelques démonstrations<ref>{{harvsp|Clark 2010|p=8-10}}</ref>|contenu=
*L'associateur [ , , ], défini par [''x, y, z''] = ''x''(''yz'') – (''xy'')''z'', est une [[application trilinéaire]].
*L'alternativité à gauche et à droite et la flexibilité se traduisent respectivement par : [''x, x, y''] = 0, [''y, x, x''] = 0 et [''x, y, x''] = 0. Deux conditions entraînent la troisième. En effet, chacune [[Application multilinéaire#Application alternée|implique l'antisymétrie]] partielle de l'alternateur, par rapport, respectivement, aux variables (1, 2), (2, 3) et (1, 3). Comme deux quelconques des transpositions associées engendrent tout le [[groupe symétrique]] ''S''{{ind|3}}, la conjonction de deux quelconques des trois conditions équivaut à : l'alternateur est (globalement) antisymétrique.
*Toute algèbre alternative vérifie la première identité de Moufang :<br /><math>
\begin{align}(zxz)y-z(x(zy))&=[zx,z,y]+[z,x,zy]\\
&=-[z,zx,y]-[z,zy,x]\\
&=-(z^2x)y+z((zx)y)-(z^2y)x+z((zy)x)\\
&=-[z^2,x,y]-z^2(xy)-[z^2,y,x]-z^2(yx)+z\Big((zx)y+(zy)x\Big)\\
&=z\Big(-z(xy)-z(yx)+(zx)y+(zy)x\Big)\\
&=z\Big([z,x,y]+[z,y,x]\Big)=0.\end{align}
</math><br />et de même la deuxième (en intervertissant droite et gauche).
*La troisième se déduit par exemple de la première :<br /><math>
\begin{align}(zy)(xz)-z(yx)z&=[z,y,xz]+z\Big(y(xz)-(yx)z\Big)\\
&=-[z,xz,y]-z[y,x,z]\\
&=-(zxz)y+z\Big((xz)y-[y,x,z]\Big)\\
&=-z\Big(x(zy)-(xz)y+[y,x,z]\Big)\\
&=-z\Big(-[x,z,y]+[y,x,z]\Big)=0.\end{align}
</math>}}

== Notes et références ==
<references/>
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Richard D.|nom1=Schafer|titre=An introduction to nonassociative algebras|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1995|pages totales=166|passage=27-30|isbn=978-0-486-68813-8|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=IsmW8-etBEwC&pg=PA27}}
*{{ancre|Clark 2010}}{{en}} {{Lien web|auteur=Pete L. Clark|url=http://math.uga.edu/~pete/nonassociativealgebra.pdf|titre=Nonassociative Algebras|année=2010}}, {{p.|7-11}}

==Article connexe==
{{Lien|trad=Artin–Zorn theorem|Théorème d'Artin-Zorn}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre générale]]