Voir la source de Analyse harmonique (mathématiques)

{{Redirect5|Analyse harmonique|la discipline musicale|Analyse harmonique (musique)}}
{{sources à lier|date=avril 2009}}
[[Fichier:Harmonic analyser.jpg|thumb|upright=1.2|Analyseur harmonique mécanique de [[Lord Kelvin]] datant de 1878.]]
L''''analyse harmonique''' est la branche des [[mathématiques]] qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de [[série de Fourier]] et de [[transformée de Fourier]]. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physique sous le nom d'[[analyse spectrale]], et connaît des applications récentes notamment en [[traitement du signal|traitement des signaux]], [[mécanique quantique]], [[neurosciences]], [[stratigraphie]]… Des [[analyseur harmonique|analyseurs harmoniques]] mécaniques ont vu le jour vers 1920 et permettaient d'obtenir graphiquement jusqu'au {{150e|coefficient}} d'un développement de Fourier{{refnec}}.

L'analyse harmonique, historiquement liée au développement de la théorie des séries de Fourier, a reçu un ensemble de généralisations modernes, notamment grâce aux travaux de l'école russe de [[Israel_Gelfand|Gelfand]], qui la situe dans un contexte très général et abstrait : par exemple l'analyse harmonique sur les [[Groupe de Lie|groupes de Lie]].

== Séries et transformées de Fourier ==

Les [[Série de Fourier|séries de Fourier]] visent à décomposer une [[fonction périodique]] en une « somme infinie de fonctions trigonométriques » de fréquences dont chacune est un multiple d'une [[fréquence fondamentale]]. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du « contenu en fréquences », appelé [[Spectre (physique)|spectre]] de la fonction. Puis, selon les hypothèses caractérisant la fonction et le cadre d'analyse choisi, divers théorèmes permettent de la recomposer.

Les [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] sont un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier qui fournit un lien entre analyse harmonique et [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]].

La [[transformation de Fourier]] généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques et permet également de leur associer un [[Analyse spectrale|spectre en fréquences]]. Ce dernier concerne alors toutes les fréquences. Ainsi, la sommation des composantes périodiques se présentera sous forme d'intégrale.

La transformée de Fourier classique sur <math>\mathbb R^n</math> reste actuellement un domaine de recherche active, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les [[Distribution tempérée|distributions tempérées]]. Par exemple, en imposant des contraintes à une distribution, elles peuvent se traduire directement sur sa transformée de Fourier. Le [[théorème de Paley-Wiener]] en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que la transformée de Fourier d'une distribution non nulle à support compact n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des [[Principe d'incertitude|relations d'incertitude]] de [[Werner Heisenberg|Heisenberg]].

== Analyse harmonique abstraite ==
{{article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}

L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, initiée au milieu du {{s-|XX|e}}, est l'analyse sur les [[Groupe topologique|groupes topologiques]]. L'idée est que la transformation de Fourier peut être généralisée en une transformation des fonctions définies sur des [[Espace localement compact|groupes localement compacts]].

La théorie pour les [[Groupe abélien|groupes abéliens]] localement compacts est la [[dualité de Pontriaguine]]. L'analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et essaie de les étendre à d'autres structures, par exemple les [[Groupe de Lie|groupes de Lie]] non abéliens.

En général, pour les groupes non abéliens localement compacts, l'analyse harmonique est liée à la [[théorie des représentations]] des groupes unitaires. Pour les groupes compacts, le [[Groupe compact#Théorème de Peter-Weyl|théorème de Peter-Weyl]] explique comment obtenir les harmoniques en choisissant une représentation irréductible dans chaque [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]]. Ce choix des harmoniques permet de profiter de certaines propriétés utiles de la transformation de Fourier qui transforme le [[produit de convolution]] en produit usuel et révèle la structure de groupe sous-jacente.

Si le groupe n'est ni abélien ni compact, aucune théorie satisfaisante, c'est-à-dire équivalent au moins au [[théorème de Plancherel]], n'est à présent connue. Mais certains cas particuliers ont été étudiés, comme le [[Groupe général linéaire#Groupe spécial linéaire|groupe spécial linéaire]] SL{{ind|''n''}}. Dans ce cas, les [[représentation]]s de dimension infinie jouent un rôle crucial.

== Dans le domaine de l'intelligence artificielle ==
Un des problèmes posés par l'[[intelligence artificielle]] générative est qu'elle est comme une boîte noire.

Il semble possible d'utiliser l'analyse de Fourier pour analyser comment un réseau de neurones profonds apprend à effectuer des tâches complexes spécifiques : des chercheurs de l'[[université Rice]], après avoir formé un réseau de neurones profonds pour reconnaître les flux complexes d'air ou d'eau et prédire comment ces flux changeraient avec le temps lui ont ensuite appliqué une analyse de Fourier (sur les équations régissant le réseau de neurones). Cette méthode a révélé ce que le réseau de neurones avait appris, et surtout comment il était parvenu à ces connaissances<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Charles Q. Choi |titre=200-Year-Old Math Opens Up AI’s Mysterious Black Box |url=https://spectrum.ieee.org/black-box-ai |date=25 février 2023 |site=[[IEEE Spectrum|spectrum.ieee.org]] |consulté le=28 octobre 2023}}.</ref>.

== Annexes ==
=== Références ===
{{Références}}

=== Articles connexes ===
* [[Analyse harmonique non commutative]]
* [[Analyse spectrale]] pour trouver le pendant en physique
* Modèles de régression multiple postulés et non postulés
*[[Série de Fourier généralisée]]
* [[Traitement du signal]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=HarmonicAnalysis|titre=Harmonic Analysis}}
* {{es}} [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/fourier/Fourier.html ''Análisis de Fourier''] sur le site de l'[[université du Pays basque]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=Claude Gasquet|auteur2=Patrick Witomski|titre=Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique et ondelettes|éditeur=[[Éditions Masson|Masson]]|année=1990|pages totales=354|isbn=978-2-225-82018-2}}
* {{Ouvrage|auteur1=Claude Gasquet|auteur2=Patrick Witomski|titre=Analyse de Fourier et applications|sous-titre=exercices corrigés|éditeur=[[Dunod]]|année=2000|pages totales=233|isbn=978-2-10-005017-8}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Yitzhak Katznelson]]|titre=An Introduction to Harmonic Analysis|lieu=Cambridge/New York|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2004|pages totales=314|isbn=0-521-83829-0}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Elias Menachem Stein]]|titre=Harmonic Analysis|éditeur={{lang|en|[[Princeton University Press]]}}|année=1993|isbn=0-691-03216-5}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Tomas Wolff|champ libre=direction Izabella Aba et Carol Shubin|titre=Lectures on Harmonic Analysis|éditeur={{lang|en|[[American Mathematical Society]]}}|année=2003|pages totales=137|isbn=978-0-8218-3449-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=ua74AwAAQBAJ&printsec=frontcover}}

{{Palette|Traitement du signal}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse harmonique|*]]