Voir la source de Analyse harmonique sur un groupe abélien fini

{{à sourcer|date=décembre 2015}}
En [[mathématiques]], l''''analyse harmonique sur un groupe abélien fini''' est un cas particulier d'[[Analyse harmonique (mathématiques)|analyse harmonique]] correspondant au cas où le [[groupe (mathématiques)|groupe]] est [[groupe abélien fini|abélien et fini]].

L'analyse harmonique permet de définir la notion de [[transformée de Fourier]] ou le [[produit de convolution]]. Elle est le cadre de nombreux théorèmes comme celui de [[Théorème de Plancherel|Plancherel]], l'[[égalité de Parseval]] ou la [[dualité de Pontryagin]].

Le cas où le groupe est abélien et fini est le plus simple de la théorie, la transformée de Fourier se limite à une somme finie et le [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] est [[Morphisme de groupes#Isomorphismes de groupes|isomorphe]] au groupe d'origine.

L'analyse harmonique sur un groupe abélien fini possède de nombreuses applications, particulièrement en [[arithmétique modulaire]] et en [[théorie de l'information]].

== Contexte ==
Dans tout cet article, ''G'' désigne un groupe abélien d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''g'', noté additivement, et ℂ le [[corps commutatif|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]] ; si ''z'' désigne un nombre complexe, {{surligner|''z''}} désigne son [[conjugué]].
=== Espace des applications de ''G'' dans ℂ ===
L'ensemble ℂ<sup>''G''</sup> des applications de ''G'' dans ℂ est muni de plusieurs structures :
* c'est un [[espace vectoriel]] complexe de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] ''g'', de [[base canonique]] (δ<sub>''s''</sub>)<sub>''s''∈''G''</sub>, où δ<sub>''s''</sub> désigne le [[symbole de Kronecker]] : δ<sub>''s''</sub>(''t'') vaut 1 pour ''t=s'' et vaut 0 pour les autres ''t''∈''G''. Les coordonnées dans cette base d'une application ''f'' sont les nombres complexes ''f''(''s''), aussi notés ''f<sub>s</sub>'' ;
<!--Autocensure 1/3 : joli mais gratuit àma

L'application δ est une [[Injection (mathématiques)|injection]] de ''G'' dans ℂ<sup>''G''</sup>, qu'on assimile souvent à une inclusion. Via cette identification de ''G'' à une base de ℂ<sup>''G''</sup>, l'espace vectoriel ℂ<sup>''G''</sup> est naturellement [[Espace dual|autodual]] : toute application de G dans ℂ se prolonge de manière unique en une [[forme linéaire]] sur ℂ<sup>''G''</sup>.

-->
* cet espace vectoriel est canoniquement muni d'un [[produit hermitien]] <math>\langle\cdot|\cdot\rangle</math> défini par :<center><math>\forall f,h\in\Complex^G,\quad \langle f|h\rangle=\frac1g\sum_{s\in G}\overline{f(s)}h(s).</math></center>Ce produit hermitien confère à ℂ<sup>''G''</sup> une structure d'[[espace hermitien]], noté ℓ<sup>2</sup>(''G'') ;
<!--Autocensure 2/3 : pas utile finalement

la base ({{sqrt|''g''}}δ<sub>''s''</sub>)<sub>''s''∈''G''</sub> est [[Base orthonormée|orthonormée]]

-->
* cet espace vectoriel est aussi muni du [[produit de convolution]] ∗, défini par :<center><math>\forall(a_s)_{s\in G},(b_t)_{t\in G}\in\Complex^G\quad\left(\sum_{s\in G}a_s\delta_s\right)*\left(\sum_{t\in G}b_t\delta_t\right)=\sum_{s,t\in G} a_sb_t\delta_{s+t}</math>.</center>Cette multiplication interne prolonge la loi du groupe ''G'' : δ<sub>''s''</sub>∗δ<sub>''t''</sub> = δ<sub>''s''+''t''</sub>. Elle confère à ℂ<sup>''G''</sup> une structure de [[Algèbre associative sur un corps|ℂ-algèbre]], appelée l'[[Algèbre d'un groupe fini|algèbre du groupe fini ''G'']] et notée ℂ[''G'']. On démontre (mais ce ne sera pas utilisé dans cet article) que pour tout groupe fini ''G'' (abélien ou pas) ℂ[''G''] est un [[anneau semi-simple]].

=== Groupe dual ===
{{Article détaillé|Caractère d'un groupe fini}}

Le [[Caractère d'un groupe fini|groupe dual]] de ''G'', noté ''Ĝ'', est constitué des caractères de ''G'', c'est-à-dire des [[Morphisme de groupes|morphismes]] de ''G'' dans le groupe multiplicatif ℂ*.

Il forme un groupe multiplicatif isomorphe (non canoniquement) au groupe additif ''G''.

Il est inclus dans ℂ<sup>''G''</sup> et forme une [[base orthonormée]] de ℓ<sup>2</sup>(''G''), ce qui justifie ''a posteriori'' le choix du produit hermitien sur ℂ<sup>''G''</sup>.
<!--Autocensure 3/3 : joli mais gratuit àma

De même que ''G'' vu comme base de ℂ<sup>''G''</sup> permettait d'identifier le dual de ℂ<sup>''G''</sup> à ℂ<sup>''G''</sup> lui-même, la nouvelle base ''Ĝ'' permet d'identifier canoniquement ce dual à ℂ<sup>''Ĝ''</sup>.

-->

Tout groupe abélien fini est canoniquement isomorphe à son [[Caractère d'un groupe fini#Bidual|bidual]] (le dual de son dual). Cette propriété se généralise sous le nom de [[dualité de Pontryagin]].

== Théorie de l'analyse harmonique ==
=== Égalité de Bessel-Parseval ===
Le cas d'égalité de l'[[inégalité de Bessel]] dans un espace hermitien montre que tout élément<center><math>a=\sum_{s\in G}a_s\delta_s\in\ell^2(G)</math></center>se décompose sur la base orthonormée ''Ĝ'' sous la forme suivante :
<center><math>\text{en notant}\quad a_\chi=\langle\chi\mid a\rangle=\frac1g\sum_{s\in G}\overline{\chi(s)}~a_s,\quad\text{on a}\quad a=\sum_{\chi\in\widehat G}a_\chi\chi\quad\text{donc}\quad\|a\|^2=\sum_{\chi\in\widehat G}|a_\chi|^2</math>.</center>

=== Transformée de Fourier ===
La [[transformée de Fourier]] de cet élément <math>a</math> de ℓ<sup>2</sup>(''G'') est l'application<center><math>\widehat a:\widehat G\to\Complex</math></center>définie par :
<center><math>\widehat a(\chi)=ga_\chi=\sum_{s \in G}\overline{\chi(s)}a_s</math>.</center>
Ceci définit une [[application linéaire]], la transformation de Fourier ⌃ : ℓ<sup>2</sup>(''G'') → ℂ<sup>''Ĝ''</sup>, dont les principales propriétés sont détaillées ci-dessous, mais dont on peut déjà remarquer qu'elle est bijective, puisque les deux espaces sont de dimension ''g'' et que l'égalité de Bessel-Parseval, réécrite sous la forme suivante appelée [[Théorème de Plancherel|inversion de Plancherel]], assure l'injectivité :
<center><math>\forall a\in\ell^2(G)\quad a=\frac1g\sum_{\chi\in\widehat G}\widehat a(\chi)\chi</math>.</center>

=== Produit de convolution ===
Le choix ci-dessus de multiplier <math>a_\chi</math> par <math>g</math> dans la définition de la transformée de Fourier assure sa compatibilité avec le produit de convolution ∗, défini dans la section « Espace des applications de ''G'' dans ℂ » {{supra|Espace des applications de G dans .E2.84.82}} :

{{énoncé|Soient {{mvar|a}} et {{mvar|b}} deux éléments de l'algèbre du groupe {{mvar|G}}, la transformée de Fourier de {{math|''a''∗''b''}} est le produit de celles de {{mvar|a}} et {{mvar|b}} :
<center><math>\forall a,b\in\Complex[G]\quad\widehat{a*b}=\hat a\,\hat b</math>.</center>
}}

{{Démonstration|contenu=<math>\begin{align}\forall\chi\in\widehat G\qquad\widehat{a*b}(\chi)&=\sum_{u\in G}\overline{\chi(u)}(a*b)(u)\\&=\sum_{u\in G}\overline{\chi(u)}\left(\sum_{s,t\in G, s+t=u}a_sb_t\right)\\&=\sum_{s,t\in G}\overline{\chi(s+t)}a_sb_t\\&=\left(\sum_{s\in G}\overline{\chi(s)}a_s\right)\left(\sum_{t\in G}\overline{\chi(t)}b_t\right)\\&=\hat a(\chi)\hat b(\chi).\end{align}</math>}}

=== Égalité de Parseval ===
Faire de la bijection linéaire ⌃ : ℓ<sup>2</sup>(''G'') → ℂ<sup>''Ĝ''</sup> un isomorphisme d'espaces hermitiens revient à choisir sur ℂ<sup>''Ĝ''</sup> l'unique produit hermitien pour lequel la base (''g''δ<sub>χ</sub>)<sub>χ∈''Ĝ''</sub> (transformée de Fourier de la base orthonormée ''Ĝ'') est orthonormée. On pose donc :
<center><math>\forall f,h\in\Complex^{\widehat G}\quad \langle f\mid h\rangle=\frac1{g^2}\sum_{\chi\in\widehat G}\overline{f(\chi)}h(\chi)</math>.</center>
On remarquera que ce produit hermitien correspond à la [[mesure de Haar]] sur ''Ĝ'' de masse {{frac|1|''g''}}, alors que celui introduit pour définir ℓ<sup>2</sup>(''G'') correspondait à la mesure de Haar sur ''G'' de masse 1. On notera cependant ℓ<sup>2</sup>(''Ĝ'') l'espace ℂ<sup>''Ĝ''</sup> muni du produit hermitien ci-dessus. On obtient ainsi :

{{énoncé|Avec la définition ci-dessus de ℓ<sup>2</sup>(''Ĝ''), la transformation de Fourier
<center><math>\widehat{}:\ell^2(G)\to\ell^2(\widehat G)</math></center>
est un isomorphisme d'espaces hermitiens. En particulier elle vérifie l'égalité suivante, dite [[égalité de Parseval|de Parseval]] :
<center><math>\forall a,b\in\ell^2(G)\quad\langle\hat a|\hat b\rangle_{\ell^2(\hat G)}=\langle a|b\rangle_{\ell^2(G)}</math>.</center>
}}

=== Orthogonal d'un sous-groupe ===
Soit ''H'' un sous-groupe de ''G'', nous appellerons ''groupe orthogonal'' de ''H'', et noterons ''H''<sup>⊥</sup>, le sous-groupe de ''Ĝ'' constitué des caractères dont le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] contient ''H''.

D'après les [[théorèmes d'isomorphisme]] :
* ''H''<sup>⊥</sup> est isomorphe au dual du [[groupe quotient]] ''G''/''H''.{{Retrait|En effet, ''H''<sup>⊥</sup> est l'ensemble des caractères de ''G'' qui se [[Théorème de factorisation#Le cas des groupes|factorisent]] par ''G''/''H'', donc c'est l'[[Morphisme de groupes#Noyau et image|image]] du plongement canonique du dual de ''G''/''H'' dans celui de ''G''. Ceci fournit une première preuve du fait que ''H''<sup>⊥</sup> est bien un sous-groupe de ''Ĝ'', et montre de plus que son ordre est égal au quotient de l'ordre de ''G'' par celui de ''H''.}}
*Le groupe quotient ''Ĝ''/''H''<sup>⊥</sup> est isomorphe à ''Ĥ''.{{Retrait|En effet, ''H''<sup>⊥</sup> est le noyau du morphisme canonique de restriction, de ''Ĝ'' dans ''Ĥ'', ce qui fournit un morphisme injectif de ''Ĝ''/''H''<sup>⊥</sup> dans ''Ĥ'', et ce morphisme est aussi surjectif par un argument de cardinalité.}}

Les deux énoncés ci-dessus peuvent aussi se déduire de l'[[Suite exacte|exactitude]] de la suite <math>0\to\widehat{G/H}\to\widehat G\to\widehat H\to 0</math>, due à l'[[Module injectif|injectivité]] du [[Groupe divisible#Exemples|groupe divisible ℂ*]].

=== Formule sommatoire de Poisson ===
{{énoncé|Soit ''H'' un sous-groupe d'ordre ''h'' de ''G''. Tout élément <math>a</math> de ℓ<sup>2</sup>(''G'') vérifie la [[formule sommatoire de Poisson]] suivante :
<center><math>g\sum_{t \in H} a_t=h\sum_{\chi \in H^{\perp}} \hat a (\chi)</math>.</center>
}}

{{Démonstration|contenu=
:<math>g\sum_{t \in H}a_t=g^2\langle\sum_{t\in H}\delta_t\mid a\rangle_{\ell^2(G)}=\sum_{t\in H}g^2\langle\widehat{\delta_t}\mid\hat a\rangle_{\ell^2(\hat G)}=\sum_{t\in H,\chi\in\widehat G}\overline{\widehat{\delta_t}(\chi)}\hat a(\chi)=\sum_{\chi\in\widehat G}c_\chi\hat a(\chi)</math>
avec
:<math>c_\chi=\sum_{t\in H}\chi(t)=h\langle1\mid\chi_{|H}\rangle_{\ell^2(H)}=\begin{cases}
h\quad\text{si}\quad\chi_{|H}=1\\
0\quad\text{sinon.}
\end{cases}</math>
Or la restriction de χ à ''H'' est égale au caractère 1 sur ''H'' si et seulement si χ appartient à l'orthogonal de ''H'', ce qui termine la démonstration.}}

== Applications ==
=== Arithmétique modulaire ===
{{Article détaillé|Arithmétique modulaire}}
Les premières utilisations historiques des caractères ont pour objectif l'arithmétique. Le [[symbole de Legendre]] est un exemple de caractère sur le groupe multiplicatif du [[corps fini]] [[Anneau ℤ/nℤ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|'''F'''<sub>''p''</sub> = ℤ/''p''ℤ]] où ℤ désigne l'anneau des [[entier relatif|entiers relatifs]] et ''p'' un [[nombre premier]] impair.

Il est utilisé pour le calcul des [[somme de Gauss|sommes de Gauss]] ou des [[période de Gauss|périodes de Gauss]]. Ce caractère est à la base d'une démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]].
==== Symbole de Legendre ====
{{Article détaillé|Symbole de Legendre}}
Dans ce paragraphe ''p'' désigne un nombre premier impair. ''G'' est ici le groupe ℤ/''p''ℤ. Le symbole de Legendre désigne la fonction qui, à un entier ''a'', associe 0 si ''a'' est un multiple de ''p'', associe 1 si la classe de ''a'' dans '''F'''<sub>''p''</sub> est un carré non nul, et associe -1 sinon.

{{énoncé|L'image de la fonction symbole de Legendre sur le groupe multiplicatif de '''F'''<sub>''p''</sub> {{pas clair|date=août 2018|correspond au caractère à valeurs dans}} l'ensemble {-1, 1}.}}

En effet, le symbole de Legendre est défini sur ℤ. Cette fonction est constante sur les classes d'entiers [[congruence sur les entiers|modulo]] ''p'' ; elle est donc définie sur le groupe multiplicatif de '''F'''<sub>''p''</sub>. Sur ce groupe, le symbole de Legendre prend ses valeurs dans l'ensemble {-1, 1} et est un morphisme de groupes, car le symbole de Legendre est un [[caractère de Dirichlet]].

''Les démonstrations sont données dans l'article associé.''

==== Somme de Gauss ====
{{Article détaillé|Somme de Gauss}}

Dans le reste de l'article ''p'' est un nombre premier impair.

Soit ψ un [[caractère d'un groupe fini|caractère]] du groupe additif ('''F'''<sub>''p''</sub>, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif ('''F'''<sub>''p''</sub>*, .), alors la '''somme de Gauss associée à χ et ψ''' est le nombre complexe, ici noté ''G''(χ, ψ) et défini par :
<center><math>G(\chi ,\psi)=\sum_{x \in F_p^*} \chi(x)\psi(x)</math>.</center>

En termes de [[transformée de Fourier]], on peut considérer l'application qui à χ associe ''G''(χ, {{surligner|ψ}}) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à ''F''<sub>p</sub> par l'égalité χ(0) = 0  dans le groupe additif du corps et l'application qui à
ψ associe ''G''({{surligner|χ}}, ψ) comme la transformé de Fourier de la restriction de ψ à '''F'''<sub>''p''</sub>* dans le groupe multiplicatif du corps.

Les sommes de Gauss sont largement utilisées en arithmétique, par exemple pour le calcul des [[période de Gauss|périodes de Gauss]]. Elles permettent notamment de déterminer la somme des valeurs du groupe des [[résidu quadratique|résidus quadratiques]] des racines ''p''-ièmes de l'unité, et plus généralement de déterminer les racines du [[polynôme cyclotomique]] d'indice ''p''.

==== Loi de réciprocité quadratique ====
{{Article détaillé|Loi de réciprocité quadratique}}
Les sommes de Gauss ont une application historique importante : la loi de réciprocité quadratique, qui s'exprime de la manière suivante :
{{énoncé|Si ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers impairs distincts, alors
<center><math> \left(\frac pq\right) \left(\frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}</math>.</center>
}}
''Ce théorème est démontré dans l'article [[Somme de Gauss]].''

==== Caractère de Dirichlet ====
{{Article détaillé|Caractère de Dirichlet}}
Pour démonter le [[théorème de la progression arithmétique]], affirmant que toute classe inversible de l'[[Anneau ℤ/nℤ|anneau ℤ/''n''ℤ]] contient une infinité de nombres premiers, Dirichlet généralise les travaux de Gauss et étudie systématiquement le groupe des caractères du [[Groupe des unités|groupe des inversibles]] d'un tel anneau.

L'utilisation de la transformée de Fourier est une étape clé de la démonstration. Les caractères de Dirichlet ont un rôle important dans la [[théorie analytique des nombres]] particulièrement pour analyser les [[Zéro d'une fonction|racines]] de la [[fonction zêta de Riemann|fonction ζ de Rieman]].

== Cas particulier : espace vectoriel fini ==
Un cas particulier est celui des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] sur un [[corps fini]]. Les propriétés des corps finis permettent d'établir les résultats de la théorie sous une forme légèrement différente. Ce cas est utilisé par exemple en [[théorie de l'information]] à travers l'étude des [[Fonction booléenne|fonctions booléennes]], correspondant au cas où le corps contient deux éléments. La théorie est utilisée pour résoudre des questions de [[cryptologie]] notamment pour les [[S-Box|boîtes-S]], ainsi que pour les [[chiffrement par flot|chiffrements par flot]]. L'analyse harmonique sur un [[espace vectoriel fini]] intervient aussi dans le contexte de la [[théorie des codes]] et particulièrement pour les [[code linéaire|codes linéaires]], par exemple pour établir l'[[identité de MacWilliams]].

=== Dualité de Pontryagin ===
{{Article détaillé|Dualité de Pontryagin}}

Pour tout [[groupe abélien]] [[groupe localement compact|localement compact]] ''G'', le morphisme injectif [[Canonique (mathématiques)|canonique]] de ''G'' dans son bidual est bijectif. Si ''G'' est un groupe abélien fini, il existe même des [[Caractère d'un groupe fini#Dual|isomorphismes (non canoniques) de ''G'' dans son dual]]. Dans le cas particulier où ''G'' est le groupe additif d'un espace vectoriel fini, c'est-à-dire un [[groupe abélien élémentaire]], on peut construire comme suit certains de ces isomorphismes.

==== Isomorphisme fondamental ====
Sur n'importe quel espace vectoriel ''V'' de dimension finie, une [[forme bilinéaire]]〈 | 〉est [[Forme bilinéaire non dégénérée|non dégénérée]] si et seulement si [[Forme bilinéaire#Forme bilinéaire et application linéaire|l'application ''x'' ↦ 〈''x''〉est un isomorphisme]] de ''V'' dans son [[espace dual]] ''V''*.

Dans cet article, ''V'' désigne un espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur un corps fini '''F'''<sub>q</sub> de cardinal ''q''. Le symbole <math>\hat V</math> désigne le [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] de ''V'', χ<sub>0</sub> un [[caractère d'un groupe fini|caractère non trivial du groupe additif de '''F'''<sub>q</sub>]] et〈 | 〉une forme bilinéaire non dégénérée sur ''V''.

En ne considérant de l'espace vectoriel ''V''* que son groupe additif, on a :

{{énoncé|Le [[morphisme de groupes]] <math>V^*\to\hat V,f\mapsto\chi_0\circ f</math> est un [[isomorphisme de groupes|isomorphisme]].
}}
En effet, ce morphisme est [[injection (mathématiques)|injectif]] car de [[Noyau (algèbre)|noyau]] [[Groupe trivial|trivial]], puisque si ''f'' est une [[forme linéaire]] non nulle donc [[surjection|surjective]], alors le caractère χ<sub>0</sub>∘''f'' est, comme χ<sub>0</sub>, non trivial. Les deux groupes ayant même [[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''q{{exp|n}}'', ce morphisme injectif est [[bijectif]].

Par [[Composition des applications|composition]], on en déduit :

{{énoncé|Le morphisme de groupes <math>U:V\to\hat V</math> défini par
<center><math>\forall x,y \in V \quad U_x(y) = \chi_0 (\langle x\mid y\rangle)</math></center>
est un isomorphisme.
}}

==== Orthogonalité relativement à la dualité de Pontryagin ====
Soit ''S'' un sous-ensemble de ''V''. [[#Orthogonal d'un sous-groupe|Comme dans le cas général d'un groupe abélien fini]], l'orthogonal de ''S'' est le sous-groupe ''S''{{exp|⊥}} de <math>\hat V</math> constitué des caractères dont le noyau contient ''S''. On définit de plus {{refnec<!--de meilleure qualité que le poly de Bechata-->|date=septembre 2016|l'orthogonal de ''S'' relativement à}} la {{Quoi|date=septembre 2016|dualité de Pontryagin associée à (χ<sub>0</sub>,〈 {{!}} 〉)}} comme le [[sous-groupe]] ''S''° := ''U''{{-1}}(''S''{{exp|⊥}}) de ''V'' :
<center><math>S^{\circ}=\{x\in V\mid\forall y\in S\quad \chi_0(\langle x\mid y\rangle)=1\}</math>.</center>

On remarque que :
*l'[[Orthogonalité#Définitions formelles|orthogonal à gauche de ''S'' relativement à la forme bilinéaire]] est un [[sous-espace vectoriel]] de ''V'' inclus dans le sous-groupe ''S''°. Il lui est égal dès que χ<sub>0</sub> est injectif — c'est-à-dire dès que ''q'' est premier — mais aussi dès que ''S'' est un sous-espace vectoriel ;
*si la forme bilinéaire〈 | 〉est symétrique ou antisymétrique, ''S''°° est le [[sous-groupe engendré]] par ''S'' ; en effet, ce sous-groupe ''H'' est inclus dans ''H''°°, or l'ordre |''H''°| = |''H''{{exp|⊥}}| de ''H''° est égal à |''V''|/|''H''| et de même, |''H''°°| est égal à |''V''|/|''H''°| donc à |''H''|, si bien que ''H'' = ''H''°° = ''S''°°.

=== Transformée de Fourier ===
L'[[algèbre d'un groupe fini]] est notée [[nombre complexe|ℂ]][''G'']. La [[#Transformée de Fourier|transformation de Fourier]], de ℂ[''G''] dans ℂ[''Ĝ''], est la bijection linéaire définie par : <math>\widehat a(\chi):=\sum_{y\in G}\overline{\chi(y)}a(y)</math>. La [[#Transformée de Fourier|formule de Plancherel]] est <math>a=\frac1g\sum_{\chi\in\widehat G}\widehat a(\chi)\chi</math> et si ( , ){{ind|''G''}} désigne le produit hermitien canonique de l'espace vectoriel complexe ℂ[''G''], l'[[#Égalité de Parseval|égalité de Parseval]] s'écrit : <math>(\hat a|\hat b)_{\widehat G}=|G|~(a|b)_G</math>.

Dans le cas ''G'' = ''V'', l'[[#Isomorphisme fondamental|isomorphisme ''U'' ci-dessus]], de ''V'' dans son groupe dual, permet de transporter cette transformation de Fourier en une application de ℂ[''V''] dans ℂ[''V''], {{Refnec|date=septembre 2016|encore appelée transformation de Fourier et encore notée ^}} :
<center><math>\forall a\in\Complex[V]\quad\forall x\in V\quad\hat a(x):=\hat a(U(x))=\sum_{y\in V}a(y)\chi_0(-\langle x\mid y\rangle)</math>.</center>
L'égalité de Parseval se réécrit alors :
<center><math>\forall a,b\in\Complex[V]\quad(\hat a\mid\hat b)=q^n(a\mid b)</math></center>
et la formule de Plancherel :
<center><math>\forall a\in\Complex[V] \quad \forall y\in V\quad a(y)=\frac1{q^n}\sum_{x\in V}\widehat a(x)\chi_0(\langle x\mid y\rangle)</math>.</center>

=== Formule sommatoire de Poisson ===
{{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini#Formule sommatoire de Poisson{{!}}Formule sommatoire de Poisson pour un groupe abélien fini}}
Si ''W'' est un sous-groupe de ''V'' et <math>a</math> un élément de ℂ[''V''], alors la formule sommatoire de Poisson prend la forme suivante :
<center><math>\sum_{w\in W}a(w)=\frac1{|W^{\circ}|}\sum_{w^{\circ}\in W^{\circ}} \hat a (w^{\circ})</math>.</center>

=== Applications ===
==== Fonction booléenne ====
{{Article détaillé|fonction booléenne}}
Il existe un cas particulier, celui où l'espace vectoriel est binaire, c'est-à-dire sur le corps à deux éléments '''F'''<sub>2</sub>. Dans ce contexte, il n'existe qu'un caractère non trivial, celui qui à l'unité associe –1. La transformée de Fourier prend alors une forme simple et porte le nom de [[transformée de Walsh]].

Il possède de nombreuses applications en [[théorie des codes]]. Il sert par exemple en [[cryptographie]] pour assurer la sécurité d'un message à l'aide d'une [[boîte-S]] dans le cas des [[Algorithmique|algorithmes]] à [[Cryptographie symétrique|chiffrement symétrique]].

==== Identité de MacWilliams ====
{{Article détaillé|Identité de MacWilliams}}
L'analyse harmonique sur les espaces vectoriels finis est aussi utilisée pour les [[code correcteur|codes correcteurs]], particulièrement dans le contexte des [[code linéaire|codes linéaires]].

L'identité de MacWilliams est un exemple ; elle relie le polynôme énumérateur des poids, c'est-à-dire la distribution des [[poids de Hamming]], d'un code linéaire et celui de son dual. Il sert pour l'étude de codes comme celui de [[code de Hamming|Hamming]].

== Voir aussi ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini|129847376}}
=== Articles connexes ===
*[[Transformée de Fourier discrète]]
*[[Analyse harmonique non commutative]]

=== Lien externe ===
* C. Bachoc, [http://www.math.u-bordeaux1.fr/~bachoc/Enseignements/MDTF/mathdis.pdf Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier], [[Université Bordeaux I]]
*{{Lien web|url=http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/harmonique/finis_commutatifs/pdf/fourier_groupe_fini.pdf|titre=Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs|auteur=A. Bechata|page=10-11}}
*{{Lien web|titre=Harmonic Analysis on Vector Spaces over Finite Fields|url=www.maths.ed.ac.uk/~carbery/analysis/notes/fflpublic.pdf|auteur=Anthony Carbery|page=4-5}}.

=== Ouvrages ===
* {{Demazure1}}
* [[André Warusfel]], ''Structures algébriques finies'', Hachette, 1971
* Gabriel Peyré, ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'', [[Éditions Ellipses|Ellipses]], 2004
* [[Audrey Terras]] (1999): Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, [[London Mathematical Society]], Cambridge Univ. Press, {{ISBN|978-0-521-45718-7}}.
* David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, [[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]], (Nov, 2001), Vol.48, No.10, pp.1151-1161.
* David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, Modern Signal Processing, MSRI Publications, Vol.46,(2003), pp.281-300.
* Rockmore, D.N. (2004). Recent Progress and Applications in Group FFTs. In: Byrnes, J. (eds) Computational Noncommutative Algebra and Applications. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Vol.136, Springer, {{ISBN|978-1-4020-1982-1}}.

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse harmonique discrète]]
[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]