Voir la source de Analyse multivectorielle

{{ébauche|algèbre|géométrie|analyse}}
L’'''analyse géométrique''', '''calcul géométrique''', '''analyse multivectorielle''', ou encore '''calcul multivectoriel'''<ref>Le manque de sources francophones, ainsi que l'existence de plusieurs termes même parmi les sources anglo-saxonnes, fait qu'il est difficile de choisir une expression unique pour nommer cette discipline.  ''calcul géométrique'' est une traduction plus littérale pour l'expression anglaise ''{{lang|en|geometric calculus}}'', tandis que ''analyse géométrique'' a le mérite de mettre en évidence l'analogie avec l'analyse vectorielle.</ref>, est une branche des [[mathématiques]] qui est aux structures d'[[algèbre géométrique (structure)|algèbres géométriques]] ce que l'[[analyse vectorielle]] est aux [[espaces vectoriels]].  En substance, l'analyse géométrique considère des [[fonction (mathématique)|fonction]]s définies sur un espace vectoriel et à valeurs dans l'algèbre géométrique sous-tendue par cet espace, et s'intéresse aux [[limite (mathématiques)|limites]] exhibées par ces fonctions dans le cadre du [[calcul infinitésimal]].

== Structure algébrique induite ==
L'ensemble <math>\mathcal{G}^\mathcal{V}</math> des fonctions de <math>\mathcal{V}</math> dans <math>\mathcal{G}</math> n'est pas, ''a priori'', une algèbre géométrique.  Cependant il peut être doté d'une telle structure en plaquant, point par point, la [[structure algébrique]] de <math>\mathcal{G}</math>, et en associant à tout élément de <math>\mathcal{G}</math> un élément de <math>\mathcal{G}^\mathcal{V}</math> à valeur constante.

<!-- \forall\mathbf{x}\in\mathcal{V},\, \forall\lambda\in\mathbb{K}, \forall(F,G)\in\mathcal{G}^\mathcal{V},-->
{{bloc emphase|<math>\begin{array}{ccl}
F+G & : & \mathbf{x}\mapsto F(\mathbf{x}) + G(\mathbf{x})\\
\lambda F & : & \mathbf{x}\mapsto \lambda F(\mathbf{x})\\
FG & : & \mathbf{x}\mapsto F(\mathbf{x})G(\mathbf{x})\\
M_\mathrm{cst} & : & \mathbf{x}\mapsto M
\end{array}</math>}}

Il est trivial de vérifier que <math>\mathcal{G}^\mathcal{V}</math> muni d'une telle structure constitue une algèbre géométrique.  Il n'est par ailleurs pas difficile de se convaincre que l'opération <math>M\mapsto M_\mathrm{cst}</math> constitue une [[injection (mathématiques)|injection]] ainsi qu'un [[morphisme]] d'algèbres.  Ce morphisme donne un sens à une expression telle que:

<math>A + B \wedge F</math>

où <math>A</math> et <math>B</math> appartiennent à <math>\mathcal{G}</math> tandis que <math>F</math> appartient à <math>\mathcal{G}^\mathcal{V}</math>.

De la même façon, tout opérateur qui agit sur <math>\mathcal{G}^\mathcal{V}</math>, c'est-à-dire qui transforme une fonction à valeurs multivectorielles en un autre fonction à valeurs multivectorielles, peut être incorporé à l'algèbre sus-mentionnée, et ce à l'aide d'un plaquage point par point similaire.  Un tel plaquage sera utilisé pour étudier les propriétés algébriques des opérateurs définis dans cet article.

== Dérivée directionnelle ==
=== Définition ===
{{Énoncé|dérivée directionnelle|Étant donné une application <math>F</math> d'un espace vectoriel <math>\mathcal{V}</math> vers son algèbre géométrique <math>\mathcal{G}(\mathcal{V})</math>, ainsi que deux vecteurs <math>\mathbf{a}</math> et <math>\mathbf{b}</math> de <math>\mathcal{V}</math>, on appelle ''dérivée de <math>F</math> dans la direction <math>\mathbf{b}</math> au point <math>\mathbf{a}</math>'', la limite, lorsqu'elle existe, du quotient <math>(F(\mathbf{a} + \epsilon\mathbf{b})- F(\mathbf{a}))/\epsilon</math> lorsque le scalaire <math>\epsilon</math> tend vers zéro.  Cette limite est alors notée<ref>D'autres notations existent, notamment: <math>\partial_\mathbf{b}F(\mathbf{a}) =
\mathbf{b}\cdot\partial F(\mathbf{a}) =
\mathbf{b}\cdot\nabla F(\mathbf{a})</math></ref> <math>\partial_\mathbf{b}F(\mathbf{a})</math>:
{{bloc emphase|<math>\partial_\mathbf{b}F(\mathbf{a}) =
\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{F(\mathbf{a} + \epsilon\mathbf{b})- F(\mathbf{a})}{\epsilon}</math>}}
L'opérateur <math>F\mapsto (\mathbf{a}\mapsto \partial_\mathbf{b}F(\mathbf{a}))</math>, dit ''de dérivation selon la direction <math>\mathbf{b}</math>'', est noté <math>\partial_\mathbf{b}</math>.

Dans une base <math>(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots)</math>, l'opérateur de dérivation selon la direction <math>\mathbf{e}_j</math> est noté <math>\partial_j</math>.
}}

=== Propriétés ===

* <math>\partial_{\mathbf{a}+\mathbf{b}} = \partial_\mathbf{a} + \partial_\mathbf{b}</math>
* <math>\partial_{\lambda\mathbf{a}} = \lambda\partial_{\mathbf{a}}</math>
* <math>\partial_\mathbf{a}(F + G) = \partial_\mathbf{a}F + \partial_\mathbf{a}G 
</math>
* <math>\partial_\mathbf{a}(FG) = (\partial_\mathbf{a}F)G + F\partial_{\mathbf{a}}G</math>  ([[règle du produit]])
* <math>\partial_\mathbf{a}{\langle F\rangle_k} = \langle\partial_\mathbf{a}F\rangle_k</math>  (invariance de grade)
* <math>\partial_{\mathbf{f}_i} = (\mathbf{f}_i\cdot\mathbf{e}^j)\partial_{\mathbf{e}_j}</math>  ([[covariance et contravariance|covariance]]).
* <math>\partial_\mathbf{a}({F\circ \lambda}) = (\partial_\mathbf{a}\lambda)\frac{dF}{d\lambda}</math> (règle dite d'enchainement scalaire, où <math>\lambda\in \mathbb{K}^\mathcal{V}</math> et <math>F\in\mathcal{G}^\mathbb{K}</math>)
* <math>\partial_\mathbf{a}(\mathbf{x}\mapsto\mathbf{x}) = \mathbf{a}</math>
* <math>\partial_\mathbf{a}(\mathbf{x}\mapsto A) = 0</math>, (où <math>A</math> est un [[multivecteur]] constant)
* <math>\partial_\mathbf{a}(\mathbf{x}\mapsto |\mathbf{x}|) =
(\mathbf{x}\mapsto\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|})
</math>
* <math>\partial_\mathbf{a}(\mathbf{x}\mapsto\frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|}) =
(\mathbf{x}\mapsto
\frac{(\mathbf{a} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{x})\mathbf{x}^{-1})}{|\mathbf{x}|} =
\frac{\mathbf{x}^{-1} (\mathbf{x}\wedge\mathbf{a})}{|\mathbf{x}|}
)</math>
* <math>F(\mathbf{x} + \mathbf{a}) = e^{\partial_\mathbf{a}}F(\mathbf{x})
= \sum_{k>=0}\frac{(\partial_\mathbf{a})^k}{k!}F(\mathbf{x})</math> ([[théorème de Taylor|développement de Taylor]])

== Différentielle ==
{{voir aussi|Différentielle}}

=== Définition ===
{{Énoncé|Une fonction <math>F\in\mathcal{G}^\mathcal{V}</math> est dite ''continuellement différentiable'' en un point <math>\mathbf{x}\in\mathcal{V}</math> lorsque pour tout vecteur <math>\mathbf{a}\in\mathcal{V}</math>, la dérivée de <math>F</math> selon la direction <math>\mathbf{a}</math> existe en tout point <math>\mathbf{y}</math> d'un [[voisinage (mathématiques)|voisinage]] de <math>\mathbf{x}</math>, et forme une fonction [[continuité (mathématiques)|continue]] de <math>\mathbf{y}</math> dans ce voisinage.

Si <math>F</math> est effectivement continuellement différentiable en <math>\mathbf{x}</math>, alors l'application <math>\mathbf{a}\mapsto \partial_\mathbf{a}F(\mathbf{x})</math> est une application linéaire appelée ''différentielle'', ou ''première différentielle'', de <math>F</math>.  Cette application est notée en soulignant <math>F</math> ou en l'indexant par <math>\mathbf{a}</math> de telle sorte qu'on a:
{{bloc emphase|<math>\underline{F}(\mathbf{a}, \mathbf{x}) = F_\mathbf{a}(\mathbf{x}) = \partial_\mathbf{a}F(\mathbf{x})</math>}}

ou encore, lorsque le point fixe <math>\mathbf{x}</math> est sous-entendu:
{{bloc emphase|<math>\underline{F}(\mathbf{a}) = F_\mathbf{a} = \partial_\mathbf{a}F</math>}}
}}

=== Propriétés ===
* <math>\underline{F}(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \underline{F}(\mathbf{a}) + \underline{F}(\mathbf{b})</math>
* Pour <math>|\mathbf{x}-\mathbf{x_0}|</math> suffisamment petit, <math>F(\mathbf{x}) - F(\mathbf{x_0}) \approx \underline{F}(\mathbf{x}) - \underline{F}(\mathbf{x_0})</math>
* <math>\frac{dF}{dt}(\mathbf{x}(t)) = \underline{F}(\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt},\mathbf{x})</math>

== Dérivée vectorielle ==

=== Définition ===
Il existe plusieurs manières de définir la dérivée vectorielle<ref>Certaines sources semblent utiliser simplement le terme ''gradient'', mettant en évidence l'analogie avec le [[gradient]] en analyse vectorielle.  Dans ''{{lang|en|Multivector calculus}}'' par exemple, Hestenes n'utilise pas une seule fois l'expression ''{{lang|en|vector derivative}}''.</ref>, et avec elle l'opérateur de dérivation vectorielle.  Chacune présente des avantages et des inconvénients.  Dans cette section les principales méthodes de définition sont présentées et sont assumées équivalentes.   Dans tous les cas, la ''dérivée vectorielle'' d'une fonction est l'application de l' ''opérateur de dérivation vectorielle'' sur cette fonction, ou inversement, selon que ce qui est défini tout d'abord est la dérivée vectorielle ou l'opérateur de dérivation vectorielle.

==== À partir d'opérateurs de dérivation directionnelle ====
{{Théorème|Théorème et définition|Pour toute base <math>(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots)</math> de base duale <math>(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,\ldots)</math>, l'expression <math>\textstyle \sum_j\mathbf{e}^j\partial_j</math> ne dépend pas de la base choisie.

Cette expression, notée <math>\partial</math>, est alors appelée ''opérateur de dérivation vectorielle'':
{{bloc emphase|<math>\partial = \sum_j \mathbf{e}^j\partial_j</math>}}
qui peut aussi être écrit, avec la [[convention de sommation d'Einstein]]:
{{bloc emphase|<math>\partial = \mathbf{e}^j\partial_j</math>}}
}}
{{Démonstration|Il suffit d'observer que <math>\partial</math> est un [[Covariant et contravariant#Produit contracté|produit contracté]].}}

==== À partir de différentielles ====
{{...}}

==== Définition de Hestenes ====
{{...}}

=== Propriétés ===
====Comportement algébrique====
{{Théorème|L'opérateur de dérivation vectorielle se comporte algébriquement comme un vecteur.
{{bloc emphase|<math>\partial\wedge I = I\wedge\partial = 0</math>}}
}}
{{Démonstration|Il s'agit essentiellement d'une conséquence du comportement algébrique de l'opérateur de dérivation directionnelle.
:<math>\partial\wedge I =
e^i\partial_i\wedge I =
\partial_i e^i\wedge I =
\partial_i (e^i\cdot e^j) e_j\wedge I =
0</math>
}}
====Caractérisation algébrique de la dérivée directionnelle====
{{Théorème|L'opérateur de dérivation directionnelle est le produit intérieur de sa direction par l'opérateur de dérivation vectorielle.
{{bloc emphase|<math>\partial_\mathbf{a} = \mathbf{a}\cdot\partial</math>}}
}}
{{Démonstration|Il suffit essentiellement de remarquer que <math>\mathbf{a}</math> s'écrit, dans une base <math>(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots)</math>:
:<math>\mathbf{a} = (\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i</math>
Il vient alors:
:<math>\begin{align}\partial_\mathbf{a}
 & = \partial_{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i}\\
 & = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i\partial_{\mathbf{e}_i}\\
 & = \mathbf{a}\cdot \partial
\end{align}</math>
{{cqfd}}
}}

== Notes et références ==
{{Références|taille=30}}

== Annexes ==

=== Articles connexes ===
* [[Analyse vectorielle]]
* [[Algèbre géométrique (structure)|Algèbre géométrique]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://vixra.org/abs/1306.0116 ''Vector Differential Calculus''], Eckhard Hitzer.
* {{en}} [http://www.lomont.org/Math/GeometricAlgebra/Multivector%20Calculus%20-%20Hestenes%20-%201968.pdf ''{{lang|en|Multivector calculus}}''] {{Pdf}}, [[David Hestenes]].
* {{en}} [http://www.lomont.org/Math/GeometricAlgebra/Differential%20Forms%20in%20Geometric%20Calculus%20-%20Hestenes%20-%201993.pdf ''Differential forms in Geometric Calculus''] {{Pdf}}, David Hestenes.

{{Portail|mathématiques|algèbre|analyse}}
[[Catégorie:Algèbre]]
[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]