Voir la source de Anneau artinien

En [[algèbre commutative]], un '''anneau artinien''' est un [[anneau unitaire|anneau]] vérifiant la [[condition de chaîne descendante]] pour ses [[Idéal|idéaux]]. Les anneaux artiniens doivent leur nom au [[mathématicien]] [[Autriche|autrichien]] [[Emil Artin]].

== Définition ==

On dit qu'un [[anneau commutatif]] (unitaire) ''A'' est un anneau artinien si c'est un ''A''-[[module artinien]], autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de ''A'' est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide d'idéaux de ''A'' admet un [[Élément maximal|élément minimal]] (pour la relation d'inclusion).

Pour un anneau (unitaire) non commutatif, on définit de même les notions d'artinien à gauche et artinien à droite (relatives aux idéaux à gauche et à droite). Si l'anneau est [[Anneau simple|simple]], c'est-à-dire s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même, les notions d'artinien à gauche et d'artinien à droite coïncident<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', ''Algèbre'', Chapitre 8, § 7, proposition 1, (ii), {{p.|VIII.115}} ; définition 1, {{p.|VIII.116}} et corollaire 1, b, {{p.|VIII.117}}. Noter que dans Bourbaki, un anneau simple est défini autrement que dans le présent article.</ref>.

== Exemples ==

* Tout [[anneau fini]] est artinien. 
* Tout [[Corps (mathématiques)|corps]] est artinien.
* L'anneau des [[entier relatif|entiers]] n'est pas artinien :<center><math>\Z\supsetneq2\Z\supsetneq2^2\Z\supsetneq2^3\Z\supsetneq\cdots.</math></center>De même et plus généralement, un [[anneau intègre]] qui n'est pas un corps ne peut pas être artinien<ref>{{Bourbaki}}, ''Algèbre'', Chapitre 8, {{p.|VIII.5}}.</ref>.
* Soient ''A'' un [[anneau noethérien]] et ''M'' un [[idéal maximal]] de ''A''. Alors ''A''/''M{{exp|n}}'', où ''n'' est un [[Entier naturel|entier strictement positif]], est un anneau artinien. En effet, il est de [[longueur d'un module|longueur]] finie en tant que ''A''-module.
* Si ''k'' est un corps, les [[Anneau quotient|anneaux quotients]] ''k''[''T'']/(''T{{exp|n}}'') sont artiniens. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. Ces anneaux sont à la base de la théorie des déformations en [[géométrie algébrique]]. Plus généralement, les [[Algèbre associative sur un corps|''k''-algèbres]] [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] sont des anneaux artiniens, puisque [[#Propriétés|ce sont des ''k''-modules artiniens]] et que leurs idéaux sont des ''k''-[[sous-module]]s.
* Si ''A'' est un anneau noethérien et si ''P'' est un [[idéal premier]] minimal (i.e. ne contenant aucun autre idéal premier), alors le [[localisation (mathématiques)|localisé]] ''A{{ind|P}}'' est un anneau artinien. En géométrie algébrique, un anneau artinien apparait comme l'anneau local d'un [[schéma noethérien]] en un [[Spectre premier#Points particuliers|point générique]].

== Propriétés ==
*Sur un anneau artinien (à gauche), tout module (à gauche) artinien ou [[Module de type fini|de type fini]] est [[Longueur d'un module|de longueur finie]]<ref name=BVIII7>N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8'', {{p.|VIII.7}}.</ref>, [[Longueur d'un module#Propriétés|autrement dit à la fois]] artinien et [[Anneau noethérien#Anneau et module|noethérien]].
*En particulier, tout anneau artinien à gauche est noethérien à gauche<ref>N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8'', Paris, 1981, rééd. 2012, partiellement consultable sur [https://books.google.be/books?id=9q8xDGbjHckC&pg=RA1-PR20 Google Livres] et sur le [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-35316-4/page/1# site des éditions Springer], {{p.|VIII.5-6}}.</ref>.
* La classe des anneaux artiniens est stable par quotient et [[Produit d'anneaux|produit direct]] fini<ref name=BVIII7/>. 
*Tout anneau commutatif artinien est de [[dimension de Krull]] nulle, c'est-à-dire que ses idéaux premiers sont maximaux<ref>N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique'', ''Algèbre'', Chapitre 8, {{p.|VIII.8}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Steps in Commutative Algebra|auteur=R. Y. Sharp|éditeur=[[Cambridge University Press]]|date=2000|url={{Google Livres|Oi4x9NznFEUC|page=163}}|page=163}}, {{lang|en|Lemma}} 8.39.</ref>.
* Tout anneau commutatif artinien est le produit direct d'un nombre fini d'[[Anneau local|anneaux locaux]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|nom1=[[David Eisenbud]]|titre=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2004|année première édition=1995|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=150|url=
https://books.google.fr/books?id=Fm_yPgZBucMC&pg=PA76|page=76}} (dans cet ouvrage — {{cf.}} {{p.|11}} — tous les anneaux sont supposés commutatifs).</ref>. Autrement dit : un tel anneau n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux et il est isomorphe au [[Produit direct#Produit direct d'anneaux|produit direct]] des [[localisation (mathématiques)|localisés]] correspondants<ref>{{Lang1}}, Dunod, 2004, {{p.|456}}, exercice 10.9.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Robert B. Ash|url=http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html|titre=A Course In Commutative Algebra|chapitre=1|titre chapitre=[http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg/ComAlg1.pdf Primary Decomposition and Associated Primes]|page=12-13}}, propositions 1.6.5 et 1.6.7.</ref> (ces facteurs sont encore artiniens, à double titre : comme localisés ou comme quotients).

* '''Caractérisation''' : 
** Un anneau commutatif est artinien si<ref>{{Harvsp|Sharp|2000|p=163}}, Prop. 8.38 (ii).</ref> — et seulement si, d'après ce qui précède — il est noethérien et de dimension de Krull nulle ;
** Soit ''A'' un anneau local noethérien, d'idéal maximal ''M''. Alors ''A'' est artinien si et seulement si ''M{{exp|n}}'' = 0 pour un entier ''n'' strictement positif.

== Notes et références ==
{{en}} [[Michael Atiyah|M. F. Atiyah]] et [[Ian G. Macdonald|I. G. Macdonald]], ''Introduction to Commutative Algebra'', [[Addison-Wesley]], 1969, chap. 8
{{Références}}

== Article connexe ==
{{Lien|trad=Perfect ring|Anneau parfait|texte=Anneau semi-parfait}}

{{Palette|Théorie des anneaux}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des anneaux]]