Voir la source de Anneau commutatif

[[Fichier:Algebraic structures.png|vignette|Tableau des différents ensembles et des relations entre eux.]]
Un '''anneau (unitaire) commutatif''' est un [[anneau unitaire|anneau (unitaire)]] dans lequel la [[loi de composition interne|loi]] de multiplication est [[commutativité|commutative]].

L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’[[algèbre commutative]].

== Définition ==
Un '''anneau commutatif''' est un [[anneau unitaire|anneau]] (unitaire) dans lequel la [[loi de composition interne|loi]] de multiplication est [[commutativité|commutative]]<ref name=Definition />.

Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des [[anneau unitaire|anneaux]] particuliers, nombre de [[concept (philosophie)|concepts]] de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de [[morphisme d'anneaux|morphismes d'anneaux]], d'[[idéal|idéaux]] et d'[[anneau quotient|anneaux quotients]], de [[sous-anneau]]x, d'[[élément nilpotent|éléments nilpotents]]<ref name=Atiyah1 />. Il est simplement inutile de distinguer idéaux à gauche et à droite : les idéaux sont systématiquement bilatères et permettent la définition de quotients.

== Exemples ==
* L’ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]] muni des lois d’addition et de multiplication ordinaires est l'archétype des anneaux commutatifs. L’anneau est généralement noté <math>\mathbb{Z}</math> en référence au mot allemand « Zahlen » (nombres).
* Les [[nombre rationnel|nombres rationnels]], les [[nombre réel|nombres réels]] et les [[nombre complexe|nombres complexes]] forment des anneaux commutatifs. Ce sont tous des [[corps commutatif]]s, c'est-à-dire des anneaux commutatifs où la division est possible.
* Si ''n'' est un [[Entier naturel|entier strictement positif]], alors l’ensemble [[Anneau Z/nZ|'''Z'''/''n'''''Z''']] des classes de [[congruence sur les entiers|congruence]] modulo ''n'' est un anneau commutatif à ''n'' éléments.
* Si ''A'' est un anneau commutatif, alors les [[polynôme formel|polynômes]] à une [[indéterminée]] (ou plus généralement les [[Polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes à plusieurs indéterminées]]), à coefficients dans ''A'' constituent un nouvel anneau commutatif, noté ''A''[''X''] (respectivement  ''A''[''X''<sub>1</sub>,…,''X''<sub>''n''</sub>]).
* Il en est de même des [[série formelle|séries formelles]] à coefficients dans ''A'', dont l'anneau est noté {{R((X))|R=A}} (respectivement {{R((X))|R=A|X=X''<sub>1</sub>,…,''X''<sub>''n</sub>}}).
* Les [[anneau de Boole|anneaux de Boole]] sont des anneaux commutatifs de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] 2, intimement liés aux [[Algèbre de Boole (structure)|algèbres de Boole]].
* Les [[fonction continue|fonctions continues]] de [0, 1] vers '''R''' constituent, pour l'addition et la multiplication usuelle, un anneau commutatif ([[Anneau intègre#Exemples|non intègre]]).

== Histoire ==
{{Article détaillé|contenu=Voir : [[Théorie des anneaux#Histoire|Théorie des anneaux § Histoire]]}}

== Anneaux intègres ==
{{article détaillé|Anneau intègre}}

Un élément non nul ''a'' d’un anneau commutatif est appelé un '''[[diviseur de zéro]]''', lorsqu’il existe un élément non nul ''b'' de l’anneau tel que ''ab = 0''. Un élément ''a'' d’un anneau commutatif est appelé un '''[[élément inversible|inversible]]''' (ou une '''unité''') lorsqu’il possède un [[élément symétrique|symétrique]] pour la multiplication, c’est-à-dire quand il existe un élément de ''b'' de l’anneau tel que ''ab'' = 1. Un élément inversible n'est jamais un diviseur de zéro.

Un anneau commutatif non réduit à {0} qui ne possède aucun diviseur de zéro est appelé un '''[[anneau intègre]]'''<ref name="Atiyah2"/>.

L'absence de diviseurs de zéro rend peut-être la multiplication sur un anneau intègre plus proche de l'intuition issue de la fréquentation des entiers. Il pourra être utile au lecteur novice de jeter un coup d'œil à l'article « [[Anneau intègre]] » avant de passer à la prochaine section, la suite de cet article traitant seulement des questions qui font sens dans un anneau contenant d'éventuels diviseurs de zéro.

Comme en théorie générale des anneaux commutatifs, la manipulation des [[idéal|idéaux]] joue un rôle important dans l'étude des anneaux intègres ; en étendant à d'autres cadres les techniques d'arithmétiques rodées sur les entiers. On est amené à définir les [[anneau principal|anneaux principaux]] comme ceux dont tout idéal est un [[idéal principal]] ainsi que d'autres classes importantes d'anneaux intègres ([[anneau factoriel|anneaux factoriels]], [[anneau euclidien|anneaux euclidiens]],...).

On appelle '''[[corps commutatif]]''' un anneau commutatif non réduit à {0} dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles. Les corps commutatifs sont donc des anneaux intègres particulièrement simples : un corps commutatif n'a que deux idéaux, lui-même et {0}<ref name="Atiyah2"/>.

De la même façon qu'on peut [[injection (mathématiques)|plonger]] l'anneau '''Z''' des entiers dans le corps '''Q''' des rationnels, ou l'anneau '''R'''[''X''] des polynômes réels dans le corps '''R'''(''X'') des [[fraction rationnelle|fractions rationnelles]], tout anneau intègre se plonge dans un corps commutatif qui lui est associé. Cette opération est un cas particulier simple de la [[localisation (mathématique)|localisation]] traitée plus bas dans le cadre plus général des anneaux pouvant contenir des diviseurs de zéro.

== Idéaux en algèbre commutative ==

=== Idéaux premiers ===
{{article détaillé|Idéal premier}}

Soit ''A'' anneau commutatif. Un [[idéal]] ''P'' de ''A'' est appelé un '''[[idéal premier]]''' lorsque l'[[anneau-quotient]] ''A''/''P'' est intègre. Cette condition équivaut à la condition suivante : ''P'' est une partie stricte de ''A'' et, pour tous ''x'', ''y'' de ''A'', quand le produit ''xy'' est dans ''P'', alors ''x'' appartient à ''P'' ou ''y'' appartient à ''P''<ref name="Lang99"/>.

On montre que l'intersection de tous les idéaux premiers est égale à l'ensemble des [[nilpotent]]s de ''A'' (et on l'appelle le [[nilradical]] de ''A'')<ref name="Atiyah3"/>.

Un anneau est dit '''réduit''' lorsqu'il n'a pas de nilpotents (hormis 0).

=== Idéaux maximaux ===
{{article détaillé|Idéal maximal}}

Soit ''A'' anneau commutatif. Un idéal ''M'' de ''A'' est appelé un '''[[idéal maximal]]''' lorsque l'[[anneau-quotient]] ''A''/''M'' est un corps.
Cette condition équivaut à la condition suivante : ''M'' est un [[élément maximal]] dans l'ensemble des idéaux autres que ''A'', [[ensemble ordonné|ordonné]] par l'inclusion<ref name="Lang99"/>.

Un [[théorème de Krull]] assure que tout idéal propre (i.e. différent de ''A'') est contenu dans au moins un idéal maximal.

== Localisation ==
{{article détaillé|contenu=Article détaillé : [[Localisation (mathématiques)|Localisation]].}}

La localisation est une technique de construction qui généralise la construction du [[corps des fractions]] d'un anneau intègre.

Si ''B'' est un sous-ensemble d’un anneau commutatif ''A'', qui n’a aucun [[diviseur de zéro]] et qui est stable pour la multiplication, c’est-à-dire tel le produit de deux éléments quelconques de ''B'' appartienne à ''B'', alors l’ensemble des fractions formelles (''a'', ''b'') où ''a'' est un élément quelconque de ''A'' et ''b'' est un élément quelconque de ''B'' forme un nouvel anneau commutatif; l’addition, la soustraction, la multiplication et l’égalité étant définies sur ce nouvel ensemble de la même façon que pour les fractions ordinaires. Le nouvel anneau est noté ''A''<sub>''B''</sub> et est appelé la [[localisation (mathématiques)|localisation]] de ''A'' à ''B''. <br />Un exemple illustrant ce qui précède est la localisation de l’anneau des nombres entiers au sous-ensemble des nombres entiers impairs stable par multiplication. Le corps des nombres rationnels est la localisation de l’anneau commutatif des nombres entiers à l’ensemble stable par multiplication de nombres entiers non nuls.

== Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux ==
Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers comme :
* '''Anneau principal''' : anneau commutatif unitaire intègre dont tous les idéaux sont principaux.
:: ''Voir article détaillé'' : [[Anneau principal]]
:: Un anneau euclidien est principal
:: Un anneau principal est factoriel

* '''Anneau noethérien''' : anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont engendrés par un nombre fini d'éléments
:: ''Voir article détaillé'' : [[Anneau noethérien]]

* '''Anneau artinien''' : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.
:: ''Voir article détaillé'' : [[Anneau artinien]]

* '''[[Anneau local]]''' : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul idéal maximal.
::l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur est impair est un exemple d'anneau local ;
::l'ensemble des [[série formelle|séries formelles]], ''A''<nowiki>[[</nowiki>''X''<nowiki>]] </nowiki> sur un anneau commutatif ''A'' en est un autre exemple.

Ces anneaux s'organisent selon une hiérarchie dont le schéma ci-dessous donne une idée partielle. La hiérarchie verticale va de l'anneau le plus général à l'anneau le plus particulier, chaque flèche descendante indique une filiation. On remarque que l'anneau possédant le plus de propriétés analogues à celles de '''Z''' est l'[[anneau euclidien]]. Ne figure pas sur ce schéma le corps qui est un cas particulier d'anneau euclidien.

{{Arbre généalogique/début}}
{{Arbre généalogique| | | | | | |pse| | | |pse=[[Pseudo-anneau]]<br />commutatif}}
{{Arbre généalogique| | | | | | | |!| | | | | |}}
{{Arbre généalogique| | | | | | |uni| | | |uni=Anneau commutatif<br />unitaire}}
{{Arbre généalogique| | | |,|-|-|-|(| | | | | |}}
{{Arbre généalogique| | |noe| |int| | | |noe=[[Anneau noethérien]]<br />commutatif|int=[[Anneau intègre]]}}
{{Arbre généalogique| |,|-|(| | | |!| | | | |}}
{{Arbre généalogique|art|!| | |clo| | | | | |art=[[Anneau artinien]]<br />commutatif|clo=Anneau<br />[[Anneau intégralement clos|intégralement clos]]}}
{{Arbre généalogique| | | |)|-|-|'|!| | | | |}}
{{Arbre généalogique| | | |!| | |pgc| | | |pgc=[[Anneau à PGCD]]<br />intègre}}
{{Arbre généalogique| | | |!| | | |)|-|-|-|.|}}
{{Arbre généalogique| | |ded| |fac| |bez|ded=[[anneau de Dedekind|Anneau]] <br />[[Anneau de Dedekind|de Dedekind]]|fac=[[Anneau factoriel]]|bez=[[Anneau de Bézout]]<br />intègre}}
{{Arbre généalogique| | | |`|-|-|-|+|-|-|-|'|}}
{{Arbre généalogique| | | | | | |pri| | | |pri=[[Anneau principal]]}}
{{Arbre généalogique| | | | | | | |!| | | | |}}
{{Arbre généalogique| | | | | | |euc| | | |euc=[[Anneau euclidien]]}}
{{Arbre généalogique/fin}}

== Complétion ==
Si ''I'' est un idéal d’un anneau commutatif ''A'', les puissances de ''I'' forment un voisinage topologique de ''0'' ce qui permet à ''A'' d’être considéré comme un [[anneau topologique]]. ''A'' peut être complété en conservant cette topologie. Par exemple, si <math>\mathbb{K}</math> est un corps, <math>\mathbb{K}[[X]]</math>, l’anneau des [[série formelle|séries formelles]] en une indéterminée à coefficients dans <math>\mathbb{K}</math>, est le [[espace complet|complété]] de l’anneau <math>\mathbb{K}[X]</math> des polynômes à coefficients dans <math>\mathbb{K}</math>, sous la topologie produite par les puissances de l'idéal engendré par ''X''.

== Voir aussi ==
* [[Anneau local]], [[Théorème de Popescu]], [[Artin approximation theorem]].

== Notes et références ==

<references>
<ref name=Definition>{{MacLaneBirkhoff1}}, tome 1, {{p.|135}}.</ref>{{,}}<ref name=Atiyah1>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Michael Atiyah]]|auteur2=[[Ian G. Macdonald]]|titre=Introduction to Commutative Algebra|lieu=Reading (Mass.) etc.|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1969|isbn=978-0-201-00361-1|isbn10=0-201-00361-9|bnf=373622871}} définissent tous les concepts cités en exemples en pages 1 ou 2 du traité.</ref>{{,}}<ref name=Atiyah2>{{Harvsp|Atiyah|Macdonald|1969|p=2}}.</ref>{{,}}<ref name="Lang99">{{Lang1}}, p. 99-100 dans l'édition Dunod.</ref>{{,}}<ref name=Atiyah3>{{Harvsp|Atiyah|Macdonald|1969|p=3-6}}.</ref>
</references>

== Liens externes ==
*{{Lien web|auteur=[[Antoine Chambert-Loir]]|url=https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/g1/algcom-p6.pdf|titre=Algèbre commutative|année=2005|lieu=[[Université de Rennes I]]}}, chap. 2 : « Anneaux, idéaux, algèbres »
*{{Lien web|lang=en|titre=Database of Ring Theory|url=https://ringtheory.herokuapp.com/}}

{{Palette|Théorie des anneaux|Structures algébriques}}
{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Anneau]]