Voir la source de Anneau d'ensembles

{{ébauche|mathématiques}}
Un '''anneau d'ensembles''', ou '''clan''', est une classe non vide de parties d'un ensemble ''X'' vérifiant deux propriétés de stabilité. Le concept, très voisin de celui d'[[algèbre d'ensembles]], est utilisé en [[théorie de la mesure]] pour initialiser les constructions de [[mesure (mathématiques)|mesures]] classiques qu'on étendra ensuite à la [[tribu engendrée]] par l'anneau. Vus comme parties de l'[[anneau de Boole]] de toutes les parties de ''X'' (considéré comme un [[pseudo-anneau]]), ils en sont les sous-anneaux (non nécessairement unitaires).

== Définition ==

{{Théorème|Définition<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur1=[[Paul Halmos]]|titre=Measure Theory|éditeur=Van Nostrand|année=1950|page=19}}, parmi d'innombrables sources possibles.</ref>|Un '''anneau d'ensembles''' est un ensemble <math>\mathcal R</math> de parties d'un ensemble <math>X</math> qui vérifie : 

# <math>\mathcal R</math> n'est pas [[ensemble vide|vide]] ;
# <math>\mathcal R</math> est stable par [[différence ensembliste]] ;
# <math>\mathcal R</math> est stable par [[union (mathématiques)|union]] (finie).}}

Une minorité de sources exigent également que <math>X</math> ne soit pas vide<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|trad=Adriaan Cornelis Zaanen}}|titre=Integration|éditeur=North Holland|année=1967|numéro d'édition=2|passage=26}}
 ou {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ole A. Nielsen|titre=An Introduction to Integration and Measure Theory|éditeur=Wiley-interscience|année=1997|pages totales=496|isbn=978-0-471-59518-2|passage=125}}.
</ref> ; cette hypothèse supplémentaire n'est nulle part utilisée dans le présent article.

== Propriétés élémentaires ==
Soit <math>\mathcal R</math> un anneau d'ensembles. Alors :

* l'ensemble vide appartient à <math>\mathcal R</math> (l'écrire <math>A\setminus A</math> pour un élément <math>A</math> de l'ensemble non vide <math>\mathcal R</math>) ;
* <math>\mathcal R</math> est stable par [[différence symétrique]] (on peut en effet écrire <math>A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)</math>) ;
* <math>\mathcal R</math> est stable par [[intersection (mathématiques)|intersection]] (on peut en effet écrire <math>A\cap B=(A\cup B) \setminus (A\Delta B)</math>) ;

Toute [[algèbre d'ensembles]] est un anneau d'ensembles (on peut en effet écrire <math>A\setminus B={}^c({}^cA\cup B)</math>, où l'on note <math>{}^cE</math> le complémentaire d'une partie <math>E</math>). Il existe en revanche des anneaux d'ensembles qui ne sont pas des algèbres d'ensembles, l'exemple le plus simple étant celui de <math>\{\varnothing\}</math>.

Un anneau d'ensembles sur <math>X</math> est une algèbre d'ensembles si et seulement si <math>X</math> appartient à l'anneau.

== Utilisations en théorie de la mesure ==
Dans la généralisation de la construction de la [[mesure de Lebesgue]] que synthétise le [[théorème d'extension de Carathéodory]], une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] est construite sur une [[Tribu (mathématiques)|σ-algèbre]] par un procédé d'extension relativement sophistiqué, mais dont la première étape est assez simple : on construit d'abord les valeurs de la mesure sur les éléments d'un anneau d'ensembles <math>\mathcal A</math>. La construction peut avoir été initiée sur un [[semi-anneau d'ensembles]] qui engendre lui-même <math>\mathcal A</math> (comme anneau d'ensembles).

Dans l'exemple de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle, le semi-anneau qui initie la construction peut être l'ensemble des intervalles bornés de <math>\R</math>, et l'anneau est alors l'ensemble des réunions finies d'intervalles bornés.

Il existe des variantes de cette construction qui font intervenir des variantes de la notion de [[tribu (mathématiques)|σ-algèbre]] : on appelle dans cette optique [[sigma-anneau|σ-anneau]] un anneau stable par réunion dénombrable et [[Delta-anneau|δ-anneau]] un anneau stable par intersection dénombrable.

== Anneaux d'ensembles et [[algèbre de Boole (structure)]] ==
On peut donner la définition des anneaux d'ensembles sous une forme alternative :
{{Théorème|Définition équivalente|Un ensemble <math>\mathcal R</math> de parties d'un ensemble <math>X</math> est un anneau d'ensembles lorsque :

# <math>\mathcal R</math> n'est pas [[Ensemble vide|vide]]
# <math>\mathcal R</math> est stable par [[différence symétrique]]
# <math>\mathcal R</math> est stable par [[Intersection (mathématiques)|intersection]] (finie).}}

Les remarques faites plus haut ont montré que la définition initiale entraînait cette caractérisation. Réciproquement, si <math>\mathcal R</math> vérifie les trois hypothèses qui précèdent, il est stable par différence ensembliste (puisque <math>A\setminus B = A\Delta (A\cap B)</math>) et par réunion (puisque <math>A\cup B=(A\Delta B)\Delta(A\cap B)</math>) et est donc un anneau d'ensembles.

On rappelle que l'algèbre de Boole de toutes les parties de l'ensemble <math>X</math> est munie d'une structure d'[[anneau de Boole]], l'addition étant la différence symétrique (de neutre <math>\varnothing</math>) et la multiplication étant l'intersection (de neutre <math>X</math>). Pour cette structure, les anneaux de parties sont donc les sous-groupes additifs stables par la multiplication : ce sont donc les sous-structures pour la structure de [[pseudo-anneau]]. Quant aux algèbres de parties, ce sont, pour leur part, les sous-groupes additifs stables pour la multiplication et contenant le neutre de celle-ci : ce sont donc les sous-structures pour la structure d'[[anneau unitaire]]<ref>La relation entre les anneaux d'ensembles et la structure d'anneau de Boole est exposée dans {{Harvsp|Halmos|1950|p=21-22}}.</ref>.

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Anneau]]
[[Catégorie:Système d'ensembles en théorie de la mesure]]