Voir la source de Anneau des entiers de Q(√5)

{{Titre mis en forme|Anneau des entiers de '''Q'''(√5)}}
{{Voir homonymes|Entier}}

En [[mathématiques]], l''''anneau des entiers de Q({{sqrt|5}})'''<ref name=AncienTitreTI/> est l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]] de la forme ''a'' + ''b''(1+{{racine|5}})/2, où ''a'', ''b'' sont deux [[entier relatif|entiers relatifs]], muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le [[nombre d'or]] φ = (1+{{sqrt|5}})/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici '''Z'''[φ].

En [[théorie algébrique des nombres]], on le définit simplement comme l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] ''O''{{ind|'''Q'''({{sqrt|5}})}} des [[entier algébrique|entiers]] du [[corps quadratique]] réel '''Q'''({{sqrt|5}}). Cet anneau est [[Anneau euclidien|euclidien]]. Il possède donc des propriétés [[arithmétique élémentaire|arithmétique]]s analogues à celles des nombres entiers usuels : il est possible d’y définir une [[division euclidienne]], de calculer le [[plus grand commun diviseur]] et le [[plus petit commun multiple]] de deux ou plusieurs nombres, d’y démontrer le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]], l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] et une version du [[théorème fondamental de l'arithmétique]], garantissant l'existence de la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers. Une différence importante, cependant, est qu’il n’existe dans '''Z''' que deux éléments [[inversible]]s, 1 et –1, mais qu’il en existe une infinité dans '''Z'''[φ].

Cet anneau est souvent utilisé comme un des exemples privilégiés pour illustrer concrètement la théorie plus avancée des entiers dans les [[corps de nombres]]. Son arithmétique permet aussi de justifier plusieurs propriétés mathématiques du nombre d'or, et d’étudier certaines [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] classiques, comme ''x''{{5}} + ''y''{{5}} = ''z''{{5}}, liée au [[dernier théorème de Fermat]] dans le cas de degré égal à 5 ou ''x''{{2}} – 5''y''{{2}} = 1, un cas particulier de l'[[équation de Pell-Fermat]].

== Notations ==
Dans cet article, on utilise des [[Alphabet grec|lettres grecques]] pour désigner des éléments de '''Z'''[φ], et l'on réserve les [[Alphabet latin|lettres latines]] pour désigner les entiers relatifs ou les [[Nombre rationnel|nombres rationnels]]. La lettre ε est utilisée pour décrire une unité, c'est-à-dire un élément inversible de '''Z'''[φ].

Un élément α de '''Z'''[φ]<ref name=AncienTitreTI>Le terme « entier de Dirichlet » utilisé sur le blog de {{Lien web|lang=en|auteur=Larry Freeman|url=http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/11/dirichlet-integers.html|titre=Fermat's Last Theorem, Dirichlet Integers|année=2005}} n'est pas standard, comme il le dit lui-même. En général, les nombres de '''Z'''[φ] n’ont pas de nom particulier.</ref>, par définition, est donc un nombre (réel) qui peut s’écrire α = ''a'' + ''b''φ, pour deux [[entier relatif|entiers relatifs]] ''a'' et ''b''. Cette écriture est unique, et l'on appellera à l'occasion ''a'' et ''b'' les coordonnées de α.

== Structure ==
Dans cette section sont expliquées les opérations (addition, multiplication…) sur les nombres α = ''a'' + ''b''φ, et les structures fournies par ces opérations. La démarche suivie est analogue à celle utilisée dans le cas des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]], qui sont des nombres de la forme ''a'' + ''b''{{math|i}}, où {{math|i}} est un [[nombre complexe]] solution de l’équation ''x''{{2}} + 1 = 0, une [[équation quadratique]]. Ici φ est solution d’une autre équation quadratique, ''x''{{2}} – ''x'' – 1 = 0. Le [[polynôme]] ''X''{{2}} – ''X'' – 1 est appelé le [[Polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal de φ]].

=== Structure d'anneau ===
{{Article détaillé|Entier quadratique}}
De φ{{2}} = φ + 1, on déduit que :
*([[Raisonnement par récurrence|par récurrence]]) toute [[Puissance d'un nombre|puissance]] de φ appartient à '''Z'''[φ] — voir plus bas : [[#Suite de Fibonacci|§ Suite de Fibonacci]] — donc toute [[fonction polynomiale]] de φ à coefficients entiers également ;
*le sous-ensemble '''Z'''[φ] du [[corps commutatif|corps]] ℝ des nombres réels est donc le [[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|sous-anneau engendré par]] '''Z''' ∪ {φ} (ce qui rend légitime de le noter ainsi).

En tant que sous-anneau de ℝ, l'anneau '''Z'''[φ] est [[Anneau commutatif|commutatif]], [[Anneau intègre|intègre]] et [[Corps ordonné|totalement ordonné]] (donc de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle).

=== Une remarque sur Z[{{sqrt|5}}] ===
On aurait pu imaginer (pour mieux imiter les entiers de Gauss, par exemple) d’étudier les nombres, apparemment plus simples, de la forme ''u'' + ''v''  {{sqrt|5}}, avec ''u'' et ''v'' des entiers. Ils forment l’ensemble noté '''Z'''[{{sqrt|5}}], qui est aussi un sous-anneau du corps des nombres réels (le nombre {{sqrt|5}} est solution de l’équation quadratique x{{2}} – 5 = 0 et les mêmes raisonnements s’appliquent). Ce sous-anneau est inclus dans '''Z'''[φ] : en effet,
<center><math>u+v\sqrt5=(u-v)+(2v)\varphi.</math></center>
Cette inclusion de '''Z'''[{{sqrt|5}}] dans '''Z'''[φ] est stricte car d'après la formule ci-dessus, les seuls éléments ''a'' + ''b''φ de '''Z'''[φ] qui appartiennent au sous-anneau '''Z'''[{{sqrt|5}}] sont ceux pour lesquels l'entier ''b'' est pair.

En fait, si les propriétés algébriques des deux ensembles sont analogues (ce sont des anneaux pour les mêmes opérations), '''Z'''[{{sqrt|5}}] est trop petit, comme on le verra, pour y faire confortablement de l’arithmétique. Comprendre quels étaient les bons ensembles de nombres à prendre en compte est une des difficultés rencontrées par les mathématiciens du {{s|XIX}}.

=== Suite de Fibonacci ===
{{Article détaillé|Suite de Fibonacci#Propriétés de la suite de Fibonacci{{!}}Propriété 10 de la suite de Fibonacci}}
La [[suite de Fibonacci|« suite » (''F{{ind|n}}'') (indexée par ℤ) des entiers de Fibonacci]], définie par
<center><math>F_0=0,\quad F_1=1\quad{\rm et}\quad\forall n\in\Z\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,</math></center>
vérifie :
<center><math>\forall n\in\Z\quad\varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi.</math></center>

=== Le corps Q({{sqrt|5}}) ===
L'ensemble des réels de la forme ''a + b''φ avec ''a'' et ''b'' rationnels ou, [[#Une remarque sur Z&#91;√5&#93;|ce qui revient au même]], de la forme ''u + v''  {{sqrt|5}} avec ''u'' et ''v'' rationnels, est — de même que '''Z'''[φ] et '''Z'''[{{sqrt|5}}] étaient des sous-anneaux — une [[Algèbre associative sur un corps|'''Q'''-sous-algèbre]] de ℝ. Puisque {{sqrt|5}} est [[Nombre irrationnel|irrationnel]], l'écriture d'un élément de cet ensemble sous la forme ''u + v''  {{sqrt|5}} avec ''u'' et ''v'' rationnels est unique, ou encore : ce nombre n'est nul que si ''u = v'' = 0. Autrement dit : (1, {{sqrt|5}}) est une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de ce '''Q'''-[[sous-espace vectoriel]], et de même pour (1, φ). (Ceci généralise — donc justifie — l'unicité précédemment admise dans le cas de coordonnées entières.)

Cet ensemble est de plus stable par inverses car si ''u'' et ''v'' sont rationnels et non tous deux nuls alors ''u''{{2}} – 5''v''{{2}} est un rationnel non nul et 1/(''u'' + ''v''  {{sqrt|5}}) = (''u – v''  {{sqrt|5}})/(''u''{{2}} – 5''v''{{2}}). Par conséquent, c'est non seulement un sous-anneau mais un [[sous-corps]] de ℝ. On le note '''Q'''({{sqrt|5}}).

Comme '''Q'''({{sqrt|5}}) est le plus petit sous-corps de ℝ contenant '''Q''' et {{sqrt|5}} (ou '''Q''' et φ), il s'identifie au [[corps des fractions]] de '''Z'''[{{sqrt|5}}] et de '''Z'''[φ]. On peut se demander comment, inversement, récupérer ces anneaux directement à partir de '''Q'''({{sqrt|5}}). C’est la notion d'[[entier algébrique]] qui le permet — au moins pour '''Z'''[φ], qui va donc apparaître comme plus naturellement attaché à '''Q'''({{sqrt|5}}).

{{Théorème|Définition<ref>Cette définition, donnée par {{ouvrage|lien auteur=Godfrey Harold Hardy|prénom=G. H.|nom=Hardy|lien auteur2=Edward Maitland Wright|prénom2=E. M.|nom2=Wright|traducteur=François Sauvageot|préface=[[Catherine Goldstein]]|titre = Introduction à la théorie des nombres| éditeur = Vuibert-Springer | lieu = Paris et Heidelberg | année = 2007 | isbn = 978-2-7117-7168-4|page=264}} (§ 14.3) pour tout corps quadratique, est un cas particulier de celle d'entier algébrique d'un corps de nombres.</ref>|Les entiers de '''Q'''({{sqrt|5}}) sont les éléments de ce corps dont le [[Polynôme minimal (théorie des corps)|polynôme minimal sur '''Q''']] est à coefficients dans '''Z'''.|style=display:table}}

Comme '''Q'''({{sqrt|5}}) est un [[corps quadratique]], tous ses éléments sont [[Nombre algébrique|algébriques]] de degré 1 ou 2 : si α = ''u'' + ''v''  {{sqrt|5}} alors (α – ''u''){{2}} – 5''v''{{2}} = 0. L'élément α est entier si et seulement si les rationnels 2''u'' et {{Nobr|''u''{{2}} – 5''v''{{2}}}} sont des entiers (relatifs). On en déduit (voir « [[Entier quadratique#Entier quadratique|Entier quadratique]] ») :
{{Théorème|L'anneau des entiers de '''Q'''({{sqrt|5}}) est '''Z'''[φ].|style=display:table}}

L'anneau '''Z'''[φ] est donc [[anneau intégralement clos|intégralement clos]], si bien que '''Z'''[{{sqrt|5}}], qui a même corps des fractions mais est strictement plus petit, ne l'est pas. [[Lemme d'Euclide#Fermeture intégrale|Par conséquent]], '''Z'''[{{sqrt|5}}] n'est pas un [[anneau à PGCD]] (et ''a fortiori'' pas [[Anneau factoriel|factoriel]]), contrairement à '''Z'''[φ] qui — voir [[#Division euclidienne|plus bas]] — est même euclidien. En fait, '''Z'''[{{sqrt|5}}] ne vérifie même pas le [[lemme d'Euclide]], c'est-à-dire qu'il possède des [[Primalité dans un anneau|éléments irréductibles non premiers]]<ref name=Primalite/>. Par exemple, 2 est irréductible dans '''Z'''[{{sqrt|5}}] (et même dans '''Z'''[φ] : cf. § « Détermination des éléments irréductibles de Z[φ] » [[#Détermination des éléments irréductibles de Z&#91;φ&#93;|plus bas]]). Cependant, dans '''Z'''[{{sqrt|5}}], 2 n'est pas premier : il [[divise]] le produit (1 + {{sqrt|5}})(1 – {{sqrt|5}}) = –2{{2}} mais ne divise aucun des deux facteurs. Ce problème disparaît dans '''Z'''[φ], qui contient {{nobr|1=(1 + {{sqrt|5}})/2 = φ}} et (1 – {{sqrt|5}})/2 = 1 – φ. La définition des entiers, qui autorise ici le dénominateur 2, est donc ce qui leur garantit les meilleures propriétés. Plusieurs auteurs se penchèrent sur ces problèmes au cours du {{s-|xix}}, mais c'est [[Richard Dedekind]] qui donna une présentation complète de la notion d'entier algébrique, dans les suppléments à son édition des cours de Dirichlet, en 1871<ref>{{chapitre|lien auteur1=William John Ellison |nom1=Ellison|prénom1=W. J. et F.|titre chapitre=Théorie des nombres|titre ouvrage=[[Abrégé d'histoire des mathématiques]] 1700-1900|auteurs ouvrage=[[Jean Dieudonné]]|éditeur=Hermann|lieu=Paris|année=1978|volume=1|passage=165-334}} ({{p.|200-203}}).</ref>.

Le [[Forme trace#Exemple 2|discriminant de '''Z'''[φ], égal à 5]], est le plus petit discriminant d’un corps quadratique réel<ref>{{ouvrage|langue=en|nom1=Cohn|prénom1=Harvey|titre=Advanced Number Theory|année=1980|année première édition=1962|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|lieu=New York|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://books.google.fr/books?id=yMGeElJ8M0wC|page=271}}.</ref>.

== Deux outils importants ==
{{Voir|Extension quadratique#Groupe de Galois{{!}}Conjugaison et norme sur un corps quadratique|Entier quadratique#Conjugué et norme{{!}}sur l'anneau de ses entiers}}
Deux des outils pour l'étude de l'anneau '''Z'''[φ] sont constitués de fonctions. Une de ces fonctions imite la [[Conjugué|conjugaison complexe]] pour les entiers de Gauss, l’autre fait office de mesure pour la taille d’un élément de '''Z'''[φ].

=== Application conjuguée ===
La [[Extension quadratique#Groupe de Galois|conjugaison σ dans '''Q'''({{sqrt|5}})]] (intervertissant {{sqrt|5}} et son opposé) est un [[Isomorphisme de corps|automorphisme]] ([[Involution (mathématiques)|involutif]]) du corps '''Q'''({{sqrt|5}}) qui laisse [[Sous-espace stable|stable]] '''Z'''[φ], en intervertissant φ et son [[élément conjugué]] φ' = (1 – {{racine|5}})/2 = –1/φ = 1 – φ. Par [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|restriction]], on obtient ainsi :

{{Théorème|Théorème et définition|L'application σ, de '''Z'''[φ] dans lui-même, définie par<center><math>\forall a, b \in\Z\quad\sigma(a + b\varphi) = a + b\varphi',</math></center>est un [[Isomorphisme d'anneaux|automorphisme d'anneau]]{{refnec|date=janvier 2015|, appelé « application conjuguée »}}.|style=display:table}}

=== Norme ===
{{Article détaillé|Norme (théorie des corps)|Extension quadratique#Groupe de Galois{{!}}Cas particulier d'un corps quadratique}}

Une fois encore, la situation est un peu analogue à celle des nombres complexes. Pour ceux-ci, l'application [[module d'un nombre complexe|module]] est très utile : à un nombre, elle associe la [[racine carrée]] du produit de lui-même et de son conjugué. Comme, dans le cas qui nous intéresse, le produit correspondant n’est pas toujours positif, on évite en général de prendre la racine carrée et l'on définit plutôt :

{{Théorème|Définition|La norme d'un élément α de '''Q'''({{sqrt|5}}) est le produit ασ(α), c'est-à-dire que pour tous rationnels {{math|''u, v, a, b''}},
<center><math>\text{si }\alpha=u+v\sqrt5=a+b\varphi,\quad N(\alpha)=u^2-5v^2=\frac{(2a+b)^2-5b^2}4=a^2+ab-b^2.</math></center>
|style=display:table}}
C'est donc un rationnel, et même un [[entier relatif]] si α appartient à '''Z'''[φ]. Par exemple, la norme de {{racine|5}} est égale à –5 et la norme de φ est égale à –1.
{{Théorème|Remarque|Pour tout α dans '''Z'''[φ], l'entier ''N''(α) est [[Congruence sur les entiers|congru modulo 5]] à –1, 0 ou 1.
|style=display:table}}
{{Retrait|En effet, 4''N''(α) est un [[Résidu quadratique|carré modulo 5]].}}

La norme possède une propriété clé plus générale ({{cf.}} articles détaillés) :
{{Théorème|Propriété|<math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta).</math>|style=display:table}}

Traduite dans la base (1, {{sqrt|5}}), on retrouve le cas ''n'' = 5 de l'[[identité de Brahmagupta]] :
<center><math>(u^2-5v^2)(r^2-5s^2)=(ur+5vs)^2-5(us+vr)^2.</math></center>

== Division ==
Dans Z[φ], une condition nécessaire pour qu’un nombre ''α'' divise un nombre ''γ'' est que N(''α'') divise N(''γ''). Par conséquent, le nombre ''β'' tel que ''αβ'' = ''γ'' n’appartient pas à Z[φ] dans le cas général.

=== Nombre inversible ===
Pour qu’un nombre ''α'' ait un inverse, il faut donc que sa norme soit égale à 1 ou -1. Ces nombres sont donc tels que :
:<math>\mathrm{N}(\alpha) = a^2 + ab - b^2 =\pm 1.</math>

Ces équations ont des solutions entières lorsque {{nobr|5''a''{{2}} + 4}} ou {{nobr|5''a''{{2}} – 4}} sont des carrés. {{nobr|N(''α'') {{=}} ±1}} est une condition suffisante pour que ''α'' soit inversible, son inverse étant son conjugué (si {{nobr|N(''α'') {{=}} 1}}) ou l’opposé de son conjugué (si {{nobr|N(''α'') {{=}} –1}}).

Par exemple :

:''φ'' a pour inverse {{nobr|–1 + ''φ'' {{=}} –''φ{{'}}''}} ; car {{nobr|N(''φ'') {{=}} –1}} et {{nobr|''φ''(–1 + ''φ'') {{=}} 1}}
:{{nobr|5 – 3''φ''}} a pour inverse {{nobr|2 + 3''φ'' {{=}} 5 – 3''φ{{'}}''}} ; car {{nobr|N(5 – 3''φ'') {{=}} 1}} et {{nobr|(5 – 3''φ'')(2 + 3''φ'') {{=}} 1}} 

Tout produit de nombres inversibles est lui-même inversible ; notamment, toute puissance de ''φ'' possède un inverse. L’ensemble des nombres inversibles de Z[''φ''] constitue un groupe commutatif pour la multiplication, appelé groupe des unités (cf section suivante).

=== Division euclidienne ===
{{Article détaillé|Anneau euclidien}}

La norme permet de définir une [[division euclidienne]]. Cette norme n'est pas toujours positive. Le [[anneau euclidien|stathme]] ''v'', c’est-à-dire la fonction permettant d’évaluer le reste de la division — de même que la valeur absolue dans le cas des entiers relatifs — ne doit prendre que des valeurs positives. Pour cette raison, on le choisit égal à la [[valeur absolue]] de la norme. On montre alors que 5 fait partie, [[entier de Gauss|comme –1]], des [[Anneau euclidien#Autres anneaux euclidiens|21 valeurs de ''d'']] pour lesquelles l'anneau des entiers de '''Q'''({{sqrt|''d''}}) est euclidien pour ''v'' :

{{énoncé|Soit α et β deux éléments de '''Z'''[φ], β étant non nul, alors il existe au moins un couple (θ, ρ) d'éléments de '''Z'''[φ] tel que :
<center><math>\alpha=\beta\theta+\rho\quad{\rm avec}\quad|N(\rho)|<|N(\beta)|.</math></center>}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>Pour une méthode aussi élémentaire mais qui s'applique également à huit autres corps quadratiques réels, voir {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Władysław Narkiewicz]]|titre=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2004|numéro d'édition=3|pages totales=712|isbn=978-3-540-21902-6|présentation en ligne={{Google Livres|Pw4F-EVIK-oC|page=117}}|passage=117}}.</ref>}}
Il suffit ({{cf.}} fin du [[Anneau euclidien#Définitions|§ « Définitions » de l'article sur anneaux euclidiens]]) de vérifier le critère général suivant : pour tout élément ζ de '''Q'''({{racine|5}}), il existe au moins un élément θ de '''Z'''[φ] tel que {{Nobr|{{!}}''N''(ζ – θ){{!}} < 1.}}

Pour tous réels ''x'', ''y'' majorés en valeur absolue par 1/2, |''x''{{2}} + ''xy – y''{{2}}| < 1. Donc si ζ = ''a + b''φ avec ''a'' et ''b'' rationnels, en choisissant des entiers ''c'' et ''d'' tels que |''a – c''| ≤ 1/2 et |''b – d''| ≤ 1/2 puis en posant θ = ''c + d''φ, on a bien |''N''(ζ – θ)| < 1.
{{Démonstration/fin}}

Ceci montre qu'il existe une division euclidienne dans l'anneau '''Z'''[φ]. Elle possède un aspect un peu déroutant, au sens où il n’y a pas d’unicité stricte, comme dans le cas usuel. Le nombre des possibilités est en effet lié au groupe des unités. Cette situation n’est en fait pas très différente de celle des entiers relatifs où la [[division euclidienne]] n’est définie qu’au signe près, c’est-à-dire à une unité près.

== Groupe des unités ==
{{Article général|Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques}}
Les [[groupe des unités|unités]] d'un anneau commutatif comme '''Z'''[φ] sont ses éléments inversibles et forment un [[groupe (mathématiques)|groupe]] (commutatif) pour la multiplication, contenant 1 et –1. L'anneau '''Z''' ne possède que ces deux unités. Par contre, un anneau d'entiers d'un [[corps quadratique]] réel, comme '''Z'''[φ], possède toujours une infinité d'unités, ce qui se vérifie facilement dans le cas particulier envisagé<ref>{{Harvsp|Hardy|Wright|2007|p=266 et 284}}, § 14.4 et § 15.4.</ref>. Les unités ne sont pas traitables avec les outils classiques de l'arithmétique ; les notions fondamentales, la définition de [[nombre premier]] ou irréductible, la décomposition en facteurs irréductibles sont données au produit par une unité près, d'où l'utilité de décrire celles-ci. On appelle « associés » deux éléments de l'anneau se déduisant l'un de l'autre par multiplication par une unité.

L'étude générale du groupe des unités d'un corps quadratique montre que :
*Le groupe des unités de '''Z'''[φ] est composé des éléments de norme égale à ±1.{{Retrait|1=Déterminer le groupe des unités revient donc à résoudre l'équation suivante sur les entiers relatifs :<center><math>\frac{(2a+b)^2-5b^2}4=\pm 1.</math></center>Cette [[équation diophantienne]] (deux en fait : une pour 1, l'autre pour –1) équivaut par changement de variables à l'[[équation de Pell-Fermat]]<center><math>x^2-5y^2=\pm 4.</math></center>}}
*Les unités de '''Z'''[φ] sont les φ{{exp|''n''}} et –φ{{exp|''n''}}, ''n'' ∈ '''Z'''<ref>{{harvsp|Hardy|Wright|2007|p=284}}, § 15.4. La démonstration est détaillée pour montrer un résultat équivalent sur '''Q'''({{sqrt|2}}) § 14.6, {{p.|209}}.</ref>.{{Retrait|Cela tient au fait que φ (de norme –1 et d'inverse –φ') est la plus petite unité strictement supérieure à 1.}}

== Nombre premier ou irréductible ==
Un nombre de Z[φ] est dit premier ou irréductible si toute décomposition du nombre en deux facteurs de Z[φ] comprend un et un seul élément du groupe des unités.

Nota : si ''α'' est inversible d’inverse ''ᾱ'', tout nombre ''γ'' peut toujours s’écrire :
:''γ'' = ''αᾱγ'' = ''αβ'', en posant ''β'' = ''ᾱγ''

Un nombre de Z[φ] dont la valeur absolue de la norme est un nombre premier est premier ou irréductible.

Exemples :
:{{racine|5}} est irréductible car N({{racine|5}}) = -5
:2+''φ'' est irréductible car N(2+''φ'') = 5
:19 est réductible car N(19)= 19{{2}} et 19 = (4+3''φ'')(7-3''φ'')

Un nombre non nul de Z[φ] qui n’est pas une unité peut s’écrire comme un produit de nombres premiers.

Les nombres premiers, ou irréductibles<ref name=Primalite>Dans un anneau commutatif général, les différentes propriétés des nombres premiers de '''Z''' ne sont pas toujours vérifiées en même temps. On doit ainsi en général distinguer entre [[élément irréductible]], un élément qui n'est ni une unité, ni un produit de deux éléments qui ne sont pas des unités), et [[élément premier]], qui, s’il divise un produit de deux éléments de l’anneau, divise toujours l’un de ces éléments. Dans un anneau euclidien comme '''Z''' ou '''Z'''[φ], en revanche, ces notions coïncident.</ref>, jouent un rôle essentiel dans l’arithmétique de '''Z''' et il en est de même dans '''Z'''[φ].

Comme dans '''Z''', tout élément de '''Z'''[φ] se décompose en facteurs irréductibles, et ce de manière à peu près unique. Le « à peu près » vient des unités : dans '''Z''', 6 possède plusieurs décompositions en facteurs premiers, 2 × 3, mais aussi –2 × –3 par exemple. De même, dans '''Z'''[φ], les facteurs irréductibles ne sont fixés qu'à produit près par une unité<ref>Pour garantir l’unicité (à l’ordre près des termes) dans '''Z''', il faut imposer par exemple que les facteurs irréductibles soient choisis positifs (c’est-à-dire fixer un choix parmi les deux associés possibles d’un nombre premier, ''p'' et –''p''). On peut faire de même pour les nombres irréductibles de '''Z'''[φ].</ref>.

=== Détermination des éléments irréductibles de Z[φ] ===
{{Voir|Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Décomposition des nombres premiers{{!}}Décomposition des nombres premiers dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique}}

Un nombre premier de '''Z''' n'est pas toujours irréductible dans '''Z'''[φ]. Par exemple : 5 = ({{sqrt|5}}){{2}}, ou encore : 11 = 4{{2}} – 5 = (4 + {{sqrt|5}})(4 – {{sqrt|5}}).

La [[Entier quadratique#Classification des nombres premiers|classification des idéaux premiers de l'anneau des entiers de '''Q'''({{sqrt|''d''}})]] pour ''d'' quelconque (cf. article détaillé), appliquée ici à ''d'' = 5, indique que :
{{énoncé|1=Les éléments irréductibles de '''Z'''[φ] sont :
*les nombres premiers de '''Z''' de la forme 5''n'' + 2 ou 5''n'' – 2 et leurs associés,
*les éléments dont la norme est égale, au signe près, à 5 ou à un nombre premier de '''Z''' de la forme 5''n'' + 1 ou 5''n'' – 1.
De plus, dans le second cas ''p'' = {{!}}πσ(π){{!}}, le seul ''p'' pour lequel π et σ(π) sont associés est ''p'' = 5.
}}

On peut le redémontrer en remarquant d'abord que (d'après les propriétés générales de la [[Entier quadratique#Conjugué et norme|norme sur un anneau d'entiers quadratiques]]) les irréductibles de '''Z'''[φ] s'obtiennent en décomposant dans cet anneau les nombres premiers usuels, et pour un tel [[entier naturel]] premier ''p'', il n'y a que deux possibilités :
*ou bien ''p'' reste irréductible dans '''Z'''[φ],
*ou bien ''p'' = |''N''(π)| = ±πσ(π) pour un certain élément π de '''Z'''[φ], qui est alors irréductible.
Il reste à vérifier que ces deux cas correspondent aux congruences annoncées<ref>{{harvsp|Hardy|Wright|2007|p=284}}, § 15.4, th. 257.</ref> et que 5 est le seul nombre premier « [[Forme trace#Critère de ramification|ramifié dans '''Q'''({{sqrt|5}})]] ».
{{Démonstration/début|titre=Vérification}}
Si ''p'' ≡ ±2 (mod 5) alors (d'après la [[#Norme|remarque sur les normes modulo 5]]) ''p'' n'est pas de la forme |''N''(π)|, donc ''p'' reste irréductible dans '''Z'''[φ].

Si ''p'' ≡ ±1 (mod 5), un [[loi de réciprocité quadratique#Avec des nombres premiers|cas particulier de la loi de réciprocité quadratique]] montre que 5 est un carré modulo ''p'', c'est-à-dire qu'il existe un entier ''x'' tel que ''p'' divise ''x''{{2}} – 5. Dans '''Z'''[φ], ''p'' ne peut donc pas être irréductible, sinon, divisant {{nobr|1=''x''{{2}} – 5 = (''x'' + {{racine|5}})(''x'' – {{racine|5}}),}} il diviserait l’un des facteurs, ce qui est impossible car les nombres ''x''/''p'' – {{racine|5}}/p et ''x''/''p'' + {{racine|5}}/''p'' ne sont pas dans l'anneau.

Le cas ''p'' = 5 a déjà été examiné. C'est le seul ''p'' = |πσ(π)| pour lequel π et σ(π) sont associés. En effet, soient π = ''a + b''φ un élément de l'anneau et ''p'' ≠ 5 un nombre premier divisant π{{2}} = (''a''{{2}} + ''b''{{2}}) + (''b'' + 2''a'')''b''φ. Alors ''p'' divise 4''b''(''a''{{2}} + ''b''{{2}}) + (''b'' – 2''a'')(''b'' + 2''a'')''b'' = 5''b''{{3}} donc il divise ''b'' et — puisqu'il divise ''a''{{2}} + ''b''{{2}} — il divise aussi ''a''{{2}} donc ''a'' donc, finalement, π.
{{Démonstration/fin}}

=== Petit théorème de Fermat ===
{{Article détaillé|Norme (théorie des corps)#Théorie algébrique des nombres{{!}}Petit théorème de Fermat pour un corps de nombres}}
Le [[petit théorème de Fermat]] pour tout [[corps de nombres]] s'applique en particulier à tout [[corps quadratique]], donc à ℚ({{sqrt|5}}) :
{{énoncé|Soient {{mathPi}} un élément irréductible de '''Z'''[φ] et α un élément de '''Z'''[φ] qui n'est pas un multiple de {{mathPi}}. Alors
<center><math>\alpha^{|N(\pi)|-1}\equiv1\mod \pi,</math></center>
c'est-à-dire que α{{exp|{{!}}''N''({{mathPi}}){{!}}–1}} – 1 est divisible par π.}}

La caractérisation des éléments irréductibles donnée plus haut permet de détailler cet énoncé<ref>{{harvsp|Hardy|Wright|2007|p=284-286}}, § 15.4.</ref> : sous les mêmes hypothèses mais en excluant le cas où {{mathPi}} est associé à {{sqrt|5}},
*si |''N''({{mathPi}})| = ''p'' premier (de la forme 5''n'' + 1 ou 5''n'' – 1) alors<center><math>\alpha^{p-1} \equiv 1 \mod \pi</math></center>et si α n'est pas non plus multiple du conjugué σ(π), alors cette congruence est même vraie non seulement mod {{mathPi}} mais mod ''p'' ;
*si π = ''q'' premier (de la forme 5''n'' + 2 ou 5''n'' – 2) alors modulo ''q'', on a non seulement α{{exp|''q''{{2}}}} ≡ α mais même<ref>Voir « [[Corps fini#Groupe multiplicatif et conséquences|Automorphismes d'un corps fini]] ».</ref> α{{exp|''q''}} ≡ σ(α), autrement dit :
<center><math>\alpha^{q+1}\equiv N(\alpha)\mod q.</math></center>

{{Démonstration/début|titre=Vérification}}
On considère un élément irréductible {{mathPi}} de '''Z'''[φ], et un élément α non divisible par π, qu’on peut écrire ''a + b''φ, avec ''a'' et ''b'' entiers, ou encore ''c''/2 + (''d''/2){{racine|5}}, avec ''c'' et ''d'' entiers.

*Si |''N''(π)| = ''p'' premier (de la forme 5''n'' + 1 ou 5''n'' – 1), on a vu que 5 est un carré mod ''p''. En appliquant le [[petit théorème de Fermat]] sur '''Z''', on en déduit que modulo ''p'' (et ''a fortiori'' modulo {{mathPi}})<ref>Modulo {{sqrt|5}}, on a de même 2α{{5}} ≡ (2α){{5}} = (''c''+''d''{{racine|5}}){{5}} ≡ ''c''{{5}} ≡ ''c'' ≡ 2α.</ref>, 2α{{exp|''p''}} ≡ (2α){{exp|''p''}} = (''c''+''d''{{racine|5}})''{{exp|p}} ≡ c{{exp|p}} + d{{exp|p}}''5{{exp|(''p''–1)/2}}{{racine|5}} ≡ ''c + d''{{racine|5}} = 2α. Puisque 2 et α sont premiers à {{mathPi}}, on peut diviser par 2α cette congruence mod π et obtenir la relation voulue.<br />Lorsque α est aussi premier à σ({{mathPi}}), donc à |πσ(π)| = |''N''({{mathPi}})| = ''p'', on peut diviser par 2α la précédente congruence mod ''p''.
* Si π = ''q'' premier (de la forme 5''n'' + 2 ou 5''n'' – 2) et si ''q'' > 2, le raisonnement utilisé plus haut montre que modulo ''q'', 2α{{exp|''q''}} ≡ ''c – d''{{racine|5}} = 2σ(α), ce qui donne le résultat voulu en divisant par 2.
*Modulo 2, α{{2}} ≡ ''a''{{2}} + ''b''{{2}}φ{{2}} ≡ ''a'' + ''b''(1 – φ) = σ(α).
{{Démonstration/fin}}

=== Applications : suite de Fibonacci et nombres de Mersenne ===
Le petit théorème de Fermat dans '''Z'''[φ] permet d'établir ce qu’on appelle la « loi d'apparition des nombres premiers au sein de la [[#Suite de Fibonacci|suite de Fibonacci]]<ref>{{harvsp|Hardy|Wright|2007|p=286}}, § 15.4 et, pour une preuve plus élémentaire, {{p.|190-191}}, § 10.14.</ref> » : tout nombre premier divise un des termes de la suite de Fibonacci. Plus précisément :

*si ''p'' est un nombre premier de la forme 5''n'' + 1 ou 5''n'' – 1 (donc un nombre qui se décompose dans '''Z'''[φ]), alors ''p'' divise ''F''{{ind|''p''–1}} (et ''F''{{ind|''p''–2}} – 1) ;
*si ''q'' est un nombre premier de la forme 5''n'' + 2 ou 5''n'' – 2 (donc un nombre qui reste irréductible dans '''Z'''[φ]), alors ''q'' divise ''F''{{ind|''q''+1}} (et ''F''{{ind|''q''}} + 1).

En effet, par le petit théorème de Fermat dans '''Z'''[φ], ''p'' divise φ{{exp|''p''–1}} – 1 = ''F''{{ind|''p''–2}} + ''F''{{ind|''p''–1}}φ – 1 et ''q'' divise φ{{exp|''q''+1}} + 1 = ''F''{{ind|''q''}} + ''F''{{ind|''q''+1}}φ + 1.

On peut tester le résultat numériquement. Par exemple, ''F''{{ind|11–1}} = 5 × 11 (et ''F''{{ind|11–2}} – 1 = 3 × 11), ''F''{{ind|17+1}} = 2 584 = 152 × 17 (et ''F''{{ind|17}} + 1 = 1 598 = 94 × 17).

Un autre usage du petit théorème de Fermat dans '''Z'''[φ] est de fournir une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] pour que certains nombres de Mersenne soient premiers. Plus précisément, si ''p'' = 4''n'' + 3 est un nombre premier, le [[nombre de Mersenne]] ''M'' = 2{{exp|''p''}} – 1 est premier si et seulement si ''r''{{ind|''p''–1}} ≡ 0 (mod ''M''), où la suite (''r{{ind|m}}'') est définie par récurrence : ''r''{{ind|1}} = 3 et ''r''{{ind|''m''+1}} = ''r{{ind|m}}''{{2}} – 2.

La démonstration<ref>{{harvsp|Hardy|Wright|2007|p=286-288}}, § 15.5.</ref> repose sur le fait que la suite (''r{{ind|m}}'') s’exprime en fonction de φ, ''r{{ind|m}}'' = φ{{exp|2{{exp|''m''}}}} + σ(φ){{exp|2{{exp|''m''}}}}. Le critère de primalité fourni par ce résultat est celui utilisé par [[Édouard Lucas]] pour prouver que le nombre de Mersenne 2{{exp|127}} – 1 est premier.

== Équation de Pell-Fermat ==
{{Article détaillé|Équation de Pell-Fermat}}

=== Équation ===
L'objectif est, pour un entier fixé ''d'' non divisible par 5, de résoudre en nombres entiers l'équation
<center><math>({\rm E}_d)\quad u^2-5v^2=d</math></center>
ou encore, d'après le § « Norme » [[#Norme|ci-dessus]] :
<center><math>N(u+v\sqrt5)=d.</math></center>
On cherche donc ({{cf.}} § « Une remarque sur '''Z'''[{{sqrt|5}}] » [[#Une remarque sur Z.5B.E2.88.9A5.5D|ci-dessus]]) les éléments ''a + b''φ de '''Z'''[φ] de norme ''d'' avec ''b'' pair, ces éléments étant reliés aux solutions de (E{{ind|''d''}}) par le changement de variables {{Nobr|1=''u = a + b''/2}}, ''v = b''/2.

Cette restriction au sous-anneau '''Z'''[{{sqrt|5}}] n'est pas très gênante car

{{énoncé|tout élément de '''Z'''[φ] est le produit d'un inversible par un élément du sous-anneau '''Z'''[{{sqrt|5}}].}}

{{Retrait|En effet, pour tout α dans '''Z'''[φ], l'un des trois nombres α, φ{{2}}α (de même norme) ou φα (de norme opposée) appartient à ce sous-anneau.}}

On s'intéresse donc dans un premier temps à tous les éléments de '''Z'''[φ] de norme ±''d''.

=== Cas ''d'' = ±1 ===
Résoudre les deux équations (E{{ind|±1}}) provient directement de la connaissance des unités de '''Z'''[φ] ; elles sont de la forme ±φ{{exp|''n''}} où ''n'' est un entier relatif et la norme est (–1){{exp|''n''}}. La suite de Fibonacci donne les [[#Suite de Fibonacci|coordonnées des puissances de φ]], mais il faut déterminer dans quels cas le coefficient de φ dans l'écriture de ces unités est pair. Or [[PGCD]](''F{{ind|n}}'', 2) = [[Suite de Fibonacci#Propriétés de la suite de Fibonacci|PGCD(''F{{ind|n}}'', ''F''{{ind|3}}) = ''F''{{ind|PGCD(''n'', 3)}}]] donc ''F{{ind|n}}'' est pair si et seulement si ''n'' est multiple de 3. Les ensembles ''S''{{ind|±1}} des solutions des équations (E{{ind|±1}}) sont par conséquent<ref>Pour une détermination plus directe des solutions de ''u''{{2}} – ''Av''{{2}} = 1, voir [[Joseph-Louis Lagrange]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299428/f138.image Art. 75], {{p.|136-140}} des ''Additions'' aux ''Éléments d'algèbre d'[[Euler]], tome 2 : Analyse indéterminée'' réimprimées dans {{Ouvrage|auteur=[[Joseph-Alfred Serret]]|titre=Œuvres de Lagrange|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1877|volume=VII}} ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k123306p {{1e}} éd., Bruyset et Desaint, 1774, {{p.|379-658}} + 662-664] et [https://books.google.fr/books?id=NFWMxC1Kt7IC {{2e}} éd., Bruyset, 1798, {{p.|379-662}} + 666-668]).</ref> :

<center><math>S_1=\{\pm(F_{6k-1}+F_{6k}/2,F_{6k}/2)\mid k\in\Z\}\text{ et }S_{-1}=\{\pm(F_{6k+2}+F_{6k+3}/2,F_{6k+3}/2)\mid k\in\Z\}</math></center>

ou encore, en faisant intervenir les [[Nombre de Lucas|nombres de Lucas]] ''L{{ind|n}}'' = 2''F''{{ind|''n''–1}} + ''F{{ind|n}}'' :

<center><math>S_1=\{\tfrac{\pm1}2(L_{6k},F_{6k})\mid k\in\Z\}\text{ et }S_{-1}=\{\tfrac{\pm1}2(L_{6k+3},F_{6k+3})\mid k\in\Z\}.</math></center>

=== Cas ''d'' = ±''p'' où ''p'' est un nombre premier ===
L'analyse des éléments irréductibles de '''Z'''[φ] permet de résoudre la question : il existe dans '''Z'''[φ] des éléments de norme ±''p'' si et seulement si ''p'' est congru à 1 ou à –1 modulo 5.

=== Cas général ===
Le cas général s'en déduit :
{{énoncé|Si dans la décomposition en facteurs premiers de ''d'' apparaît un facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors les deux équations (E{{ind|±''d''}}) n'ont pas de solution.}}

En effet, la valeur absolue de la norme d'un élément irréductible correspondant à ce type de facteur est nécessairement un carré.

{{énoncé|Si dans la décomposition en facteurs premiers de ''d'' n'apparaît aucun facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors les deux équations (E{{ind|±''d''}}) admettent chacune une infinité de solutions.}}

Sous cette hypothèse, les différents facteurs premiers de ''d'', ou leurs carrés dans le cas de facteurs de la forme 5''n'' + 2 ou 5''n'' – 2, correspondent à des normes d'éléments de '''Z'''[φ]. En appliquant la multiplicativité de la norme, on fabrique<ref>{{ouvrage | langue=fr | nom1 = Guinot | prénom1 = Marc | titre = Arithmétique pour amateurs|volume = 4|titre volume=Une époque de transition : Lagrange et Legendre | éditeur = Aléas| lieu = Lyon | année = 1996 | isbn =2908016710|page=196}}.</ref> un élément de '''Z'''[φ] de norme ±''d'' et l'on en déduit (en le multipliant au besoin par φ ou φ{{2}}) un élément α = ''a + b''φ de '''Z'''[{{sqrt|5}}] de norme ''d'' ou –''d''.

Pour en déduire toutes les solutions des deux équations (E{{ind|''d''}}) et (E{{ind|–''d''}}), on procède alors comme dans le cas ''d'' = ±1 ci-dessus (pour lequel α était choisi égal à 1) : les solutions correspondent, parmi les ±φ{{exp|''m''}}α avec ''m'' entier relatif pair pour l'une et impair pour l'autre, aux éléments qui appartiennent aussi au sous-anneau '''Z'''[{{sqrt|5}}]. Compte tenu du fait que ''b'' est pair, cette condition supplémentaire sur ''m'' se traduit par : ''aF''{{ind|''m''}} est pair c'est-à-dire, si ''a'' est impair : ''m'' multiple de 3 (par le même argument que dans le cas ''d'' = ±1).

== Dernier théorème de Fermat pour l'exposant 5 ==
{{Article détaillé|Démonstrations du dernier théorème de Fermat#Cas où n est égal à cinq{{!}}Démonstration du dernier théorème de Fermat pour l'exposant 5}}
Pour l'exposant 5, le dernier théorème de Fermat énonce qu'il n'existe pas de triplet (''x'', ''y'', ''z'') d'entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux tel que ''x''{{5}} + ''y''{{5}} = ''z''{{5}}. S'il en existe, l'un des trois entiers est évidemment pair mais aussi, d'après le [[théorème de Sophie Germain]], l'un des trois est divisible par 5. On doit donc distinguer deux cas, selon que le même ''x'', ''y'' ou ''z'' est divisible par 2 et 5 ou non.

En juillet [[1825 en science|1825]], [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Lejeune Dirichlet]], alors à Paris, présenta devant l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]]<ref>{{article | prénom1=Johann Peter Gustav|nom1= Lejeune Dirichlet|titre=Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré |périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=3|année=1828|p.=354-375|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0003&DMDID=dmdlog41&LOGID=log41&PHYSID=phys367|sous-titre=lu à l'Académie royale des sciences (Institut de France), le 11 juillet 1825, par l'auteur}}. Repris dans {{Ouvrage|auteur=Lejeune Dirichlet|titre=Werke|tome=1|année=1889|url=http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_DIRICHLET__1_21_0 |page=21-46}}. Un additif [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3301m/f309.image.r=Legendre présenté en novembre 1825] complète la démonstration pour l'équation de Fermat de degré 5.</ref>{{,}}<ref>Voir pour le contexte {{article |langue=en|auteur={{Lien|lang=de|Jürgen Elstrodt}}|périodique = Clay Mathematics Proceedings
  | titre = The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) | année = 2007
  | url = http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | consulté le = 24 mars 2013 |passage=6}}.</ref> une preuve du théorème, dans le cas où l'un des ''x'', ''y'', ''z'' est divisible par 10. [[Adrien-Marie Legendre]], rapporteur du mémoire de Dirichlet à l'Académie, compléta la démonstration quelques mois plus tard. Dirichlet en donna finalement une nouvelle version, en suivant les principes de sa propre preuve, en {{date-|novembre 1825}}<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur=[[Harold Edwards]]|titre=Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|éditeur=Springer|lieu= New York, Heidelberg, Berlin|année=2000|année première édition=1977|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=50|isbn1=978-0-387-90230-2|isbn2=978-0-387-95002-0|url=https://books.google.fr/books?id=_IxN-5PW8asC&pg=PA66<!--ou https://books.google.fr/books?id=ae5V08nnE8wC&pg=PA66-->|page=66 et [https://books.google.fr/books?id=ae5V08nnE8wC&pg=PA70 70]}}, {{Citation étrangère|lang=en|in november of 1825, Dirichlet presented an appendix to his July paper in which he proved the second case in a manner which is a more natural extension of the proof of the first case.}}</ref>{{,}}<ref>Voir aussi {{ouvrage |langue=en| nom1=Ribenboim|prénom1=Paulo|lien auteur= Paulo Ribenboim| année = 2000 | titre = Fermat's Last Theorem for Amateurs | éditeur = Springer-Verlag | lieu = New York | isbn = 978-0-387-98508-4|page=49}}<!--The case n = 5 was first settled by Dirichlet. His paper was read at the Academy of Sciences of Paris in 1825, but his proof, published in 1828, did not consider all the possible cases. Legendre then published a complete and independent proof, while Dirichlet was able to settle the last remaining case-->.</ref>. C'est dans cette preuve que Dirichlet utilise les propriétés des nombres de '''Z'''[φ].

La preuve ({{cf.}} article détaillé) repose sur le lemme clé suivant<ref>{{Harvsp|Lejeune Dirichlet|1828|texte=Mémoire du 11 juillet 1825|loc=Théorème IV}}.</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Edwards|2000|p=68}}.</ref> :
{{énoncé|1=Si deux entiers ''u'' et ''v'', premiers entre eux et de parités différentes, sont tels que ''u''{{2}} – 5''v''{{2}} soit une puissance cinquième et ''v'' soit divisible par 5, alors il existe deux entiers ''U'' et ''V'' tels que ''u + v''{{sqrt|5}} = (''U + V''{{sqrt|5}}){{5}}.
}}
Pour cela, Dirichlet démontre plus généralement<ref>{{Harvsp|Lejeune Dirichlet|1828|texte=Mémoire du 11 juillet 1825|p=358-360}}.</ref> :

{{énoncé|1=Si deux entiers ''u'' et ''v'', premiers entre eux, sont tels que ''u''{{2}} – 5''v''{{2}} soit une puissance cinquième impaire et non divisible par 5 alors, dans '''Z'''[{{sqrt|5}}], ''u + v''{{sqrt|5}} est le produit d'une puissance cinquième par un élément de norme 1.
}}

La démonstration suivante de ces deux lemmes n'est pas exactement la sienne. Nous utiliserons le préambule de l'étude des [[#Détermination des éléments irréductibles de Z&#91;φ&#93;|éléments irréductibles de '''Z'''[φ]]], le fait que [[#Une remarque sur Z.5B.E2.88.9A5.5D|'''Z'''[{{sqrt|5}}] = '''Z''' + 2'''Z'''[φ]]], et la connaissance des [[#Cas d = ±1|inversibles de '''Z'''[{{sqrt|5}}]]].

{{Démonstration/début}}
Plaçons-nous sous les hypothèses du lemme général (dans le dernier point, on en déduira le « lemme clé »).
*''u + v''{{sqrt|5}} est le produit d'un inversible ε de '''Z'''[φ] par la puissance cinquième d'un élément de '''Z'''[{{sqrt|5}}] :<br />Pour chaque facteur premier ''p'' dans '''Z''' de ''u''{{2}} – 5''v''{{2}} = (''u + v''{{sqrt|5}})(''u – v''{{sqrt|5}}), choisissons — dans '''Z'''[{{sqrt|5}}], grâce à une remarque du [[#Équation|§ « Équation »]] — un facteur irréductible π{{ind|''p''}} de ''p'' intervenant dans la décomposition de ''u + v''{{sqrt|5}} dans '''Z'''[φ]. Si ''p'' n'est pas premier dans '''Z'''[φ], σ(π{{ind|''p''}}) ne peut pas intervenir aussi puisque |π{{ind|''p''}}σ(π{{ind|''p''}})| = ''p'' ne divise pas ''u + v''{{sqrt|5}}. Il existe donc un inversible ε de '''Z'''[φ] et des entiers naturels ''k{{ind|p}}'' tels que<center><math>u+v\sqrt5=\varepsilon\prod_p\pi_p^{k_p}\quad{\rm donc}\quad|u^2-5v^2|=\prod_p|\pi_p\sigma(\pi_p)|^{k_p}=\left(\prod_{p\text{ non premier dans }\Z[\varphi]}p^{k_p}\right)\left(\prod_{p\text{ premier dans }\Z[\varphi]}p^{2k_p}\right).</math></center>Comme ''u''{{2}} – 5''v''{{2}} est une puissance cinquième, tous les ''k{{ind|p}}'' sont donc multiples de 5 et<center><math>u+v\sqrt5=\varepsilon\alpha^5\quad{\rm avec}\quad\alpha:=\prod_p\pi_p^{k_p/5}\in\Z[\sqrt5].</math></center>
*ε est même un inversible de '''Z'''[{{sqrt|5}}] :<br />Dans '''Z'''[φ], ''u + v''{{sqrt|5}} et α sont congrus mod 2 à 0 ou 1, or ''u + v''{{sqrt|5}} ≡ ''u – v'' n'est pas divisible par 2 donc α non plus, si bien que ''u + v''{{sqrt|5}} et α sont congrus à 1 modulo 2 donc ε et ε{{-1}} aussi.
*ε peut être choisi de norme 1 :<br />On utilise un inversible de '''Z'''[{{sqrt|5}}] de norme –1, par exemple ε' = φ{{3}}. Si la norme de ε vaut –1, il suffit de remplacer ε par εε'{{5}} et α par ε'{{-1}}α.
*Supposons de plus ''v'' divisible par 5. Alors ε peut même être choisi égal à 1 :<br />D'après les points précédents, ''u + v''{{sqrt|5}} est de la forme ±φ{{exp|''n''}}α{{5}} avec ''n'' divisible par 6 et α élément de '''Z'''[{{sqrt|5}}]. Par conséquent, mod 5 dans '''Z'''[φ] (ou même '''Z'''[{{sqrt|5}}]), ''u'' est congru au produit d'un entier ''w'' par [[#Suite de Fibonacci|''F''{{ind|''n''–1}} + ''F{{ind|n}}''φ]], si bien que mod 5 dans '''Z''', ''uF{{ind|n}}'' ≡ ''F''{{ind|''n''–1}}''wF{{ind|n}}'' ≡ ''F''{{ind|''n''–1}}0 = 0 donc ''F{{ind|n}}'' est divisible par 5. Or PGCD(''F{{ind|n}}'', 5) = [[Suite de Fibonacci#Propriétés de la suite de Fibonacci|PGCD(''F{{ind|n}}'', ''F''{{ind|5}}) = ''F''{{ind|PGCD(''n'', 5)}}]]. Donc ''n'' = 5''m'' pour un certain entier ''m'' (encore divisible par 6) et ''u + v''{{sqrt|5}} = β{{5}} avec β = ±φ{{exp|''m''}}α.
{{Démonstration/fin}}

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=Wiley|année première édition=1989|année=1997|isbn=978-0-47119079-0}}
* {{Lang1}}
* {{Samuel1}}

=== Liens externes ===
* Robert Ferréol, [http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/fermat/historique%20du%20theoreme%20de%20fermat.html Les cas n=3, 4 et 5 du théorème de Fermat]
*{{Ouvrage|prénom=Bas|nom=Edixhoven|lien auteur1=Bas Edixhoven|prénom2=Laurent|nom2=Moret-Bailly|url=http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf|titre=Théorie algébrique des nombres, cours de [[Maîtrise (France)|maîtrise]] de mathématiques|éditeur=[[université de Rennes I]]|année=2004}}

{{Portail|théorie des nombres}}

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