Voir la source de Anneau euclidien

[[Fichier:EuclidStatueOxford.jpg|vignette|Statue d'Euclide à Oxford.]]
{{Confusion|Corps euclidien}}
En [[mathématiques]] et plus précisément en [[algèbre]], dans le cadre de la [[théorie des anneaux]], un '''anneau euclidien''' est un type particulier d'[[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]] (voir aussi l'article [[anneau euclidien non commutatif]]).

Un anneau est dit '''euclidien''' s'il est possible d'y définir une [[division euclidienne]].

Un anneau euclidien est toujours [[anneau principal|principal]]. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]], le [[lemme d'Euclide]], il est [[anneau factoriel|factoriel]] et satisfait les conditions du [[théorème fondamental de l'arithmétique]]. On retrouve ainsi tous les résultats de l'[[arithmétique élémentaire]] et plus spécifiquement de l'[[arithmétique modulaire]], mais dans un cadre plus général.

L'anneau euclidien le plus classique est celui des [[entier relatif|entiers relatifs]], mais on trouve aussi celui des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]] ou certains autres anneaux d'[[Entier quadratique|entiers quadratiques]]. L'anneau des [[polynôme formel|polynômes]] à coefficients dans les [[Nombre réel|nombres réels]] ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel [[corps commutatif]] est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une [[arithmétique des polynômes]].

== Histoire ==

[[Fichier:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|vignette|Couverture de la première édition anglaise des ''Éléments'' par Henry Billingsley, 1570.]]

=== Origine ===
La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le [[Livre VII des Éléments d'Euclide|livre VII]]<ref>Euclide, ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant'', traduction de 1632, consultable sur [[Gallica]].</ref>, des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]] ''d'[[Euclide]] datant d'environ 300 ans {{av JC}} On y trouve la première définition théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'[[Arithmétique]]. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres [[entier relatif|entiers]].

Certains mathématiciens comme [[Diophante d'Alexandrie]]<ref>Diophante d'Alexandrie, ''[[Arithmetica]]'', éd. et tr. [[Roshdi Rashed]], Paris, les Belles Lettres, 1984.</ref> puis, bien plus tard, [[Pierre de Fermat]]<ref> Pierre de Fermat, ''Œuvres de Fermat'', publiées par [[Paul Tannery]] et [[Charles Henry]].</ref> comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le [[petit théorème de Fermat]] et formulent des conjectures comme le [[théorème des deux carrés de Fermat]] ou le [[grand théorème de Fermat]]. Un outil théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers. Au {{XVIIIe siècle}}, certaines conjectures sont démontrées. On peut citer [[Leonhard Euler]]<ref>Leonhard Euler, ''Opera mathematica'', vol. 3, 1771.</ref> avec le théorème des deux carrés ou le cas ''n'' = 3 du grand théorème de Fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la [[loi de réciprocité quadratique]] apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à la virtuosité des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables.

=== Émergence du concept ===

[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|vignette|gauche|Carl Friedrich Gauss.]]

En 1801, [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>C. F. Gauss, ''[[Disquisitiones arithmeticae|Recherches arithmétiques]]'', traduction [[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]], 1801, traduction 1807, réimpr. 1989 Éditions Jacques Gabay.</ref> étudie le premier [[anneau unitaire|anneau]] d'[[Entier algébrique|entiers algébriques]], celui des [[entier de Gauss|entiers qui portent maintenant son nom]]. Cet anneau possède l'équivalent d'une [[division euclidienne]] dans '''Z'''. En conséquence, l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]], le [[lemme d'Euclide]], et le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un [[corps commutatif]], dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit une arithmétique analogue aux précédentes. Ainsi, la division euclidienne n'apparaît plus comme une spécificité des nombres relatifs mais un algorithme qui s'applique à divers ensembles munis d'une multiplication et d'une addition.

Cette approche est utilisée pour d'autres [[entier algébrique|entiers algébriques]], par exemple par [[Gotthold Eisenstein]]<ref>G. Eisenstein, ''[[Journal de Crelle]]'', [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0027 vol. 27], 1844 : plusieurs articles sur les formes quadratiques et cubiques.</ref> qui découvre l'ensemble des nombres appelés [[entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]] et qui dispose d'une division euclidienne.

L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique et des progrès tangibles sont réalisés vers la résolution des [[Démonstrations du dernier théorème de Fermat|premiers cas particuliers du grand théorème de Fermat]]. Celui où l'exposant est 3 est prouvé de façon parfaitement rigoureuse. Les cas d'un exposant&nbsp;5, puis 14, puis 7, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées. L'application de la décomposition en facteurs premiers aux [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]] permet à Gauss de trouver la première [[construction à la règle et au compas]] du [[polygone régulier]] à 17 côtés, l'[[heptadécagone]].
{{clr}}

=== Formalisation ===

Paradoxalement, la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, [[Gabriel Lamé]] pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat<ref>{{Article|prénom=G.|nom=Lamé|titre=Démonstration générale du théorème de Fermat, sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation ''x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>''|lien périodique=CRAS|revue=CRAS|vol=24|année=1847|p.=310-315|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29812/f310}}.</ref>. [[Ernst Kummer]] montre par un exemple<ref>{{Article|lang=en|lien auteur=Harold Edwards|prénom=Harold|nom=Edwards|titre=The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes|revue=Arch. History Exact Sci.|vol=14|année=1975}}.</ref> en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise ''nombre complexe idéal'' pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire.

Ces travaux ouvrent la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer [[Richard Dedekind]]<ref>{{Ouvrage|langue=de|prénom1=Heinrich|nom1=Weber|lien auteur1=Heinrich Weber (mathématicien)|titre=Lehrbuch der Algebra|année=1871}}.</ref> et [[David Hilbert]]<ref>{{Ouvrage|langue=de|prénom1=David|nom1=Hilbert|titre={{Lien|Zahlbericht}}|année=1897}}.</ref> parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie, la [[théorie des anneaux]]. Dans ce contexte, l'anneau euclidien est un cas spécifique d'[[anneau intègre]]. Il entre dans la sous-famille des [[anneau factoriel|anneaux factoriels]] et plus précisément des [[anneau principal|anneaux principaux]], un cas particulier d'anneau factoriel. Les anneaux d'entiers étudiés par Kummer entrent dans une famille différente, celle des [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]].

== Exemples ==
=== [[Entier relatif|Entiers relatifs]] ===
{{Article détaillé|arithmétique élémentaire}}
[[Fichier:Square root of 2 triangle.png|vignette|Illustration de l'irrationalité de {{racine|2}}.]]

Les entiers relatifs forment le prototype de l'anneau euclidien. Cet ensemble vérifie la propriété suivante :

<center><math>\forall a\in\Z\quad\forall b\in\Z\setminus\{0\}\quad\exists q, r\in\Z\quad\text{tels que}\quad a=bq+r \quad {\rm et } \quad |r| < |b|.</math></center>

On reconnait ici la forme de la division euclidienne dans l'ensemble '''N''' des [[entier naturel|entiers naturels]] pour laquelle |''n''| = ''n''. On peut remarquer toutefois que, d'une part '''N''' n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de ''q'' et ''r''.
Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à '''Z''' (ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]]) la définition de la division dans '''N''', il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur ''r'' (''r'' >= 0), ou bien accepter de prendre ''r'' négatif et prendre pour définition ''a = bq + r'' avec |''r''| < |''b''|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles :
: '''19''' = '''(– 5)''' × '''(– 3)''' + '''4''' avec |'''4'''| < '''|–5|''' mais aussi '''19''' ='''(– 5)''' × '''(– 4)''' + ('''–1)''' avec '''|–1|''' < '''|–5|'''.

Cette division permet de bâtir une [[arithmétique]] vérifiant les propriétés suivantes :
* tout [[idéal]] de l'anneau des entiers est principal, c'est-à-dire qu'il est de la forme ''n'''''Z''' pour un certain élément ''n'' de '''Z'''. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit [[anneau principal|principal]] ;
* l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] est vérifiée ;
* le [[lemme d'Euclide]] est vérifié ;
* le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] s'applique.

En conséquence, il est possible de définir : la famille des [[nombre premier|nombres premiers]], le [[plus petit commun multiple|ppcm]] ainsi que le [[plus grand commun diviseur|pgcd]]. L'[[Anneau Z/nZ|anneau quotient '''Z'''/''n'''''Z''']] est bien défini, il est la structure à la base de l'[[arithmétique modulaire]].

Toutes ces propriétés ne sont les conséquences que de la première : la principalité.

La première application connue est probablement la [[racine carrée de deux#Preuves d'irrationalité|démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de deux]]. Le [[petit théorème de Fermat]] se démontre rapidement une fois établi le fait que si ''n'' est premier '''Z'''/''n'''''Z''' dispose d'une structure de corps. Fermat utilise largement cette arithmétique, par exemple pour démontrer l'absence de solution pour son grand théorème si ''n'' = 4. Euler donne une large quantité d'exemples d'utilisation de l'arithmétique dans '''Z''', comme l'étude de l'[[équation de Pell-Fermat]].

=== [[Polynôme formel|Polynômes]] à coefficients dans un [[corps commutatif]] ===
{{Article détaillé|Division d'un polynôme}}

[[Fichier:evariste galois.jpg|vignette|gauche|Évariste Galois, initiateur de la théorie portant son nom.]]
[[Fichier:Pentagone construit.png|vignette|Construction d'un pentagone.]]

Si ''K'' est un corps commutatif, alors l'anneau des polynômes ''K''[''X''] est euclidien. La division prend la forme suivante :
<center><math>\forall A(X)\in K[X],\quad\forall B(X)\in K[X]\setminus\{0\},\quad \exists ! Q(X), R(X)\in K[X]</math></center>
<center><math>\text{tel que} \quad A(X)=B(X)Q(X)+R(X)\quad\text{et} \quad \text{deg} R(X) < \text{deg} B(X)</math>.</center>
Si la forme est globalement analogue à celle des entiers, on remarque néanmoins qu'une [[relation d'ordre]] sur l'ensemble ''K''[''X''] n'est pas nécessaire. Il suffit d'une application, analogue à celle qui, à un polynôme associe son degré, et dont l'ensemble d'arrivée est ordonné, une telle application est appelée '''stathme euclidien'''.

L'arithmétique se fonde sur les mêmes conséquences, l'anneau est principal, l'identité de Bézout est vérifiée, le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. Les équivalents des ''nombres premiers'' sont les '''polynômes irréductibles''', c’est-à-dire ceux qui n'ont pour diviseurs qu'eux-mêmes ou l'unité à une constante multiplicative près. La décomposition en polynômes irréductibles est la [[Factorisation des polynômes|factorisation]] la plus complète possible.

L'équivalent de l'arithmétique modulaire se focalise sur les anneaux quotientés par des [[Idéal premier|idéaux premiers]] (c’est-à-dire des idéaux engendrés par des polynômes irréductibles). Comme précédemment ces idéaux possèdent une structure de corps. Les quotients sont appelés [[corps de rupture]] car ce sont les plus ''petits'' corps contenant une [[Racine d'un polynôme|racine du polynôme]]. Cette approche, permettant de définir une [[extension finie]] du corps ''K'' définit l'outil de base de la [[théorie de Galois]].

Un exemple d'application est le suivant : les [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]] sont les facteurs irréductibles des polynômes ''X<sup>n</sup> ''– 1, liés aux [[racine de l'unité|racines de l'unité]]. Leur analyse permet de déterminer tous les [[Polygone régulier|polygones réguliers]] [[Construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]].

=== Entiers de Gauss ===

{{Article détaillé|Entier de Gauss}}

[[Fichier:Entier de Gauss division.jpg|vignette|Ici, ''a''/''b'' est à une distance inférieure à 1 des trois entiers de Gauss 2 + 2i, 2 + 3i et 3 + 3i.]]

Les entiers de Gauss sont les nombres de la forme ''u'' + {{math|i}}''v'' où ''u'' et ''v'' sont choisis entiers. Ils forment un anneau, noté ℤ[{{math|i}}], euclidien d'après la proposition suivante, où ''N''(''x'') désigne la [[Entier quadratique#Conjugué et norme|norme algébrique]] c’est-à-dire le carré du [[module d'un nombre complexe|module]] de ''x'' :
<center><math>\forall a\in\Z[\mathrm i]\quad\forall b\in\Z[\mathrm i] \setminus \{ 0 \} \quad\exists q,r\in\Z[\mathrm i]\quad\text{tels que}\quad a=bq+r \quad\text{et}\quad  N(r) < N(b).</math></center>
L'application qui à un entier associe sa norme algébrique est bien une application des entiers de Gauss dans un ensemble ordonné, à savoir celui des [[entier naturel|entiers positifs]]. Cette norme correspond graphiquement au carré de la distance entre l'origine et l'entier de Gauss.

Dire que la division euclidienne existe signifie qu'il existe un entier de Gauss à une distance inférieure à 1 du [[nombre complexe]] ''a''/''b''. La figure ci-jointe illustre par un fond rouge le carré de sommet des entiers de Gauss et contenant ''a''/''b''. La figure montre qu'il existe toujours au moins un entier à une distance inférieure à 1 de ''a''/''b''. Dans le cas illustré, il en existe trois vérifiant cette propriété. L'unicité de la solution n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'une division euclidienne.

Une fois encore, la division euclidienne apporte une arithmétique analogue aux deux cas précédents.

Les applications sont nombreuses. Dedekind a, par exemple, trouvé une [[Théorème des deux carrés de Fermat#Gauss et ses entiers|preuve]] élégante du [[théorème des deux carrés de Fermat]] à partir de cet ensemble. Certaines [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] [[Fonction carré|quadratiques]] se résolvent bien dans cet ensemble. Gauss a utilisé cette arithmétique pour démontrer la [[loi de réciprocité quadratique]].

De même que dans l'anneau des [[Entier algébrique|entiers]] de n'importe quel [[corps de nombres]], tout anneau strictement compris entre ℤ et ℤ[{{math|i}}], comme ℤ[{{math|2i}}], est non [[Anneau intégralement clos|intégralement clos]], donc non principal et a fortiori non euclidien.

=== Autres anneaux euclidiens ===
* L'anneau des [[entier quadratique|entiers d'un]] [[corps quadratique]] ℚ({{racine|''d''}}) ({{mvar|d}} [[entier sans facteur carré]]) est euclidien ''pour [[Entier quadratique#Conjugué et norme|la norme algébrique]]'' (ou sa valeur absolue, si {{math|''d'' > 0}}) si et seulement si {{math|''d''}} est l'une des 21 valeurs suivantes<ref>{{Article|lang=en|prénom1=Eric S. |nom1=Barnes|lien auteur1=Eric Barnes|lien auteur2=Peter Swinnerton-Dyer|prénom2=H. P. F.|nom2=Swinnerton-Dyer|titre=The inhomogeneous minima of binary quadratic forms|lien périodique=Acta Mathematica|revue=Acta Math.|année=1952}} (I : vol. 87, {{p.|259-323}} et II : vol. 88, {{p.|279-316}}) ont rectifié une erreur antérieure de {{Article|lang=de|nom1=[[László Rédei|L. Rédei]]|titre=Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Ann.|volume=118|année=1942|p.=588-608|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002281120&IDDOC=37148}}, qui ({{p.|607}}) ajoutait 97 à cette liste.</ref> :<center>–11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ({{OEIS|id=A048981}})<ref>En utilisant le critère de la fin du [[#Définitions|§ « Définitions »]], {{Harvsp|Narkiewicz|2004|p=115-117}} démontre de façon complètement élémentaire que pour ''d'' < 0, les cinq valeurs mentionnées sont valides et sont les seules, et que les neuf valeurs 2, 3, 5, 6, 7, 13, 17, 21 et 29 sont également valides.</ref></center>(''d'' = –1 correspond aux [[#Entiers de Gauss|entiers de Gauss]], ''d'' = –3 à [[Entier d'Eisenstein|ceux d'Eisenstein]] et ''d'' = 5 à l'[[Anneau des entiers de Q(√5)|anneau ℤ<nowiki>[</nowiki>(1 + {{racine|5}})/2<nowiki>]</nowiki>]]).
* Les cinq valeurs –11, –7, –3, –2, –1 sont les seules<ref>{{Article|lang=en|nom=Motzkin|prénom=Theodore|lien auteur=Theodore Motzkin|titre=The Euclidean algorithm|lien périodique=Bulletin of the American Mathematical Society|revue=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=55|numéro=12|p.=1142-1146|année=1949|url=http://projecteuclid.org/handle/euclid.bams/1183514381}}.</ref> valeurs négatives de ''d'' pour lesquelles cet anneau est euclidien (pour [[Nombre de Heegner|quatre autres valeurs négatives]], il est seulement principal). Mais il existe d'autres valeurs positives ([[Conjecture|conjecturalement]] : une infinité), comme ''d ''= 69<ref>{{Article|lang=en|prénom=David A.|nom=Clark|titre=A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean|revue=[[Manuscripta Math.]]|volume=83|année=1994|p.=327-330|url=http://www.math.clemson.edu/~jimlb/CourseNotes/AbstractAlgebra/EuclideanNotNormEuclidean.pdf}}.</ref> ou ''d ''= 14<ref>{{Article|lang=en|prénom=M.|nom=Harper|titre=ℤ[{{racine|14}}] is Euclidean|revue=Canad. J. Math.|volume=56|année=2004|p.=55-70}} et {{lang|en|« A proof that ℤ[{{racine|14}}] is Euclidean », [[Ph.D.]] thesis, [[Université McGill|McGill University]]}}, 2000.</ref>, pour lesquelles il est euclidien ''pour une autre norme.'' Plus précisément : une conjecture non résolue de Gauss prévoit qu'il existe une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers est principal, or on sait que parmi eux, au plus deux sont non euclidiens<ref>{{Article|lang=en|titre=Euclidean algorithm in small Abelian fields|nom=[[Władysław Narkiewicz]]|revue=Funct. Approx. Comment. Math.|vol=37|numéro=2|année=2007|p.=337-340|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.facm/1229619657}}.</ref> et même aucun si l'[[hypothèse de Riemann généralisée]] est vraie<ref>{{Article|lang=en|nom=[[Peter J. Weinberger|P. J. Weinberger]]|titre=On Euclidean rings of algebraic integers|revue=Proc. Symposia Pure Math.|vol=24|année=1972|p.=321-332}}.</ref>.
* Si ''K'' est un corps commutatif, l'anneau ''K''<nowiki>[[</nowiki>''X''<nowiki>]]</nowiki> de ses [[série formelle|séries formelles]] est aussi euclidien, pour la [[Anneau de valuation discrète|valuation]] : ''v''(''P'') = plus petit degré de ''X'' dans ''P''.
* Si ''A'' est un anneau euclidien et si ''S'' est une partie de ''A'' stable pour la multiplication, le [[localisation (mathématique)|localisé]] de ''A'' par rapport à ''S'' est aussi un anneau euclidien<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://math.stackexchange.com/questions/1748012/localization-preserves-euclidean-domains|titre=Localization Preserves Euclidean Domains|date=2016|site=math.[[Stack Exchange Network|stackexchange]].com}}.</ref>.
*Tout anneau principal [[Anneau local#Propriétés|semi-local]] est euclidien<ref>{{Article|lang=en|auteur=P. Samuel|titre=About Euclidean rings|revue=[[Journal of Algebra|J. Algebra]]|vol=19|numéro=2|date=1971|p.=282-301|doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4}}, Proposition 5.</ref>.

== Définitions ==

Il existe certains points communs entre les exemples : l'anneau est toujours [[anneau intègre|intègre]] et, dans chaque cas, une fonction à valeurs dans '''N''' ([[valeur absolue]], [[Degré (mathématiques)|degré]] ou [[Norme (théorie des corps)|norme]]) est utilisée pour définir la division euclidienne. Ces fonctions sont des cas particuliers de '''stathme euclidien'''. De façon générale, si ''A'' désigne un anneau intègre, on pose la définition suivante.

* Un '''stathme euclidien''' sur ''A'' est une application ''v'' de ''A''\{0} dans l'ensemble '''N''' des entiers naturels vérifiant les deux propriétés<ref>Par exemple {{harvsp|Bourbaki|1973}}. Voir aussi {{harvsp|Dress|1970}} (où la notion de stathme est plus générale : l'ensemble d'arrivée est un ordinal quelconque et non forcément '''N''').</ref> :
::<math>(1)\quad \forall a\in A\quad\forall b\in A\setminus\{ 0 \}\quad\exists q,r\in A \quad\text{tels que}\quad a = bq + r \quad \text{et} \quad r = 0 \;\, \text{ou}\; v(r) < v(b),</math>
::<math>(2)\quad \forall a, b \in A\setminus\{0 \} \quad v(b) \leq v(ab).</math>
La condition (2) revient à dire que si ''A''\{0} est muni de la relation de [[préordre]] « divise » et '''N''' de la relation d'ordre usuelle, l'application ''v'' est croissante.

* Le terme de '''préstathme euclidien''' désigne une application de ''A''\{0} dans '''N''' possédant la propriété (1).
* Il est commode de prolonger ''v'' à ''A'' en posant <math>v(0)=-\infty</math> ou <math>v(0)=-1</math>. Il est aussi possible de poser <math>v(0)=0</math>, au prix d'ajouter un terme correctif, afin d'harmoniser les exemples courants de stathmes tout en conservant le fait qu'un stathme soit à valeurs dans <math>\N</math>. Une illustration de ceci serait de penser à ajouter 1 dans certains stathmes : par exemple pour la division euclidienne dans <math>K[X]</math> avec <math>K</math> un corps, le stathme deviendrait alors l'application qui, à un polynôme <math>P</math> de <math>K[X]</math>, y associe <math>\mathbb{deg}(P)+1</math>.
* Un anneau intègre est dit '''euclidien''' si et seulement s'il existe un stathme euclidien sur cet anneau. On parle alors de division euclidienne dans cet anneau par rapport au stathme.

;Remarques :
* Certains auteurs utilisent le terme de stathme euclidien pour désigner ce qui est appelé ici un préstathme<ref>On peut citer par exemple {{harvsp|Perrin|2004}}. Pour différentes définitions du stathme, voir encore {{harvsp|Dress|1970}}, {{harvsp|Bourbaki|1973}}, {{harvsp|Goblot|2001}}.</ref>. La différence n'est pas grande, car s'il existe un préstathme sur ''A'', il existe aussi un stathme<ref>Démonstration dans {{harvsp|Dress|1970}} ou encore, avec une autre terminologie, dans {{harvsp|Goblot|2001}}.</ref>.

{{Démonstration/début}}
Soit ''A'' un anneau intègre muni d'un préstathme ''v''. Nous allons définir un stathme ''w''. Pour tout élément non nul ''x'' de A, désignons par ''w''(''x'') la plus petite des valeurs ''v''(''y''), ''y'' parcourant les multiples non nuls de ''x''. Puisque ''x'' est lui-même un tel ''y'', nous avons :
<center><math>w(x) \leq v(x).</math></center>

* ''Soient a et b deux éléments non nuls de A tels que a divise b, alors w''(''a'') ''est inférieur ou égal à w''(''b'') '':''<br />En effet, par définition de ''w'', il existe un élément non nul ''c ''de ''A ''tel que ''w''(''b'') = ''v''(''bc''). Puisque ''bc ''est un multiple non nul de ''b ''donc de ''a'', ''w''(''a'') est inférieur ou égal à ''v''(''bc''), c'est-à-dire à ''w''(''b'').
* ''La fonction ''w'' est un stathme, c'est-à-dire qu'elle vérifie aussi la condition :''<center><math>\forall a\in A,\forall b\in A\setminus\{ 0 \},\quad\exists q,r\in A \quad / \quad a = bq + r \quad\text{avec}\quad r = 0 \quad\text{ou}\quad w(r) < w(b).</math></center>Si ''b ''divise ''a'', le résultat est immédiat. Supposons donc que ''b ''ne divise pas ''a'' et soit, comme précédemment, ''c'' non nul tel que ''w''(''b'') = ''v''(''bc'').<br />La division euclidienne de ''a'' par ''bc'' relativement au préstathme ''v'' fournit un couple (''q''<sub>0</sub>, ''r'') d'éléments de ''A'' tel que :<center><math>a=bcq_0+r\quad\text{avec}\quad v(r)<v(bc).</math></center>(Le cas ''r'' = 0 est ici exclu, puisqu'on a supposé que ''b ''ne divise pas ''a''.)<br />Nous avons vu que la fonction ''w'' est inférieure ou égale à ''v'', donc{{retrait|<math>w(r)\le v(r)<v(bc)=w(b),</math>}}d'où {{nobr|''w''(''r'') < ''w''(''b'').}}<br />Nous avons obtenu ainsi une « division de ''a'' par ''b'' » euclidienne par rapport à ''w'', avec pour quotient ''cq''<sub>0</sub> et pour reste ''r'', ce qui termine la démonstration.
{{Démonstration/fin}}

* Comme le montrent des exemples donnés dans les cas particuliers introductifs, les éléments ''q'' et ''r'' de la relation (1) ne sont pas forcément uniques.
* On ignore si tout anneau euclidien possède un stathme [[Fonction multiplicative|(complètement) multiplicatif]]<ref>{{Article|nom=[[Franz Lemmermeyer]]|titre=The Euclidean algorithm in algebraic number fields|revue=Expositiones Mathematicae|vol=13|numéro=5|année=1995|p.=395-416}}. [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.rzuser.uni-heidelberg.de%2F~hb3%2Fpubl%2Fsurvey.pdf {{Lang|en|Update version}}, 2004], p. 5.</ref>.
* Si ''A'' est l'[[Entier algébrique|anneau des entiers]] d'un [[corps de nombres]] ''K'', la [[Norme (théorie des corps)#Théorie algébrique des nombres|norme ''N'' : ''K'' → '''Q''']] est multiplicative et ses valeurs sur ''A'' sont entières. L'anneau ''A'' est euclidien pour |''N''| si et seulement si pour tout élément ''k'' du corps, il existe au moins un élément ''q'' de l'anneau tel que |''N''(''k'' – ''q'')| < 1. En effet<ref>{{Harvsp|Narkiewicz|2004|p=115}}, Proposition 3.30.</ref>, pour tous {{nobr|''b'' ≠ 0}}, ''a'' et ''q'' dans ''A'', |''N''(''a – bq'')| < |''N''(''b'')| équivaut (par multiplicativité de ''N'') à |''N''(''a''/''b'' – ''q'')| < 1, or ''K'' est le [[corps des fractions]] de ''A''.

== Propriétés ==
=== Propriétés des anneaux euclidiens ===

{{Article détaillé|Anneau principal|Anneau factoriel}}

Dans la suite de l'article, ''A'' est un [[anneau intègre]].

{{énoncé|Tout anneau euclidien est [[anneau principal|principal]].}}

En effet, si ''v'' est un préstathme sur l'anneau euclidien ''A'', tout idéal non nul ''J'' de ''A'' admet pour générateur tout élément de ''J''\{0} dont l'image par ''v'' est minimale<ref>Pour plus de détails, voir (par exemple) :
*{{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3|numéro d'édition=2|sous-titre=Cours complet avec applications et 300 exercices corrigés|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|date=2021|url={{Google Livres|j3E4EAAAQBAJ|page=5}}|page=5}},
*{{Ouvrage|titre=Algèbre et géométrie|collection=Objectif Licence|auteur=Jean Delcourt|auteur2=Rémi Goblot|éditeur=Ediscience|date=2005|url={{Google Livres|6lAD0Awq-QQC|page=40}}|page=40}},
*{{Lien web|url=https://www.math.u-bordeaux.fr/~ybilu/alg4_exams/exam14_corr.pdf|titre=ce corrigé d'examen}} ou
*{{Lien web|url=https://perso.univ-rennes1.fr/david.bourqui/enseignement/1920/2019-2020-ANAR-notes-de-cours-euclidien-principaux-factoriels-V.pdf|titre=cet extrait de cours}}.</ref> : c'est la principale [[norme de Dedekind-Hasse#Équivalence avec la principalité|propriété des normes de Dedekind-Hasse]], qui sont des généralisations des préstathmes.

En revanche, un anneau principal n'est pas toujours euclidien : l'article « [[Norme de Dedekind-Hasse]] » présente un [[contre-exemple]].

Un anneau euclidien possède toutes les propriétés de divisibilité des anneaux principaux, à commencer par le [[Théorème de Bachet-Bézout#Extension aux anneaux principaux quelconques|théorème de Bachet-Bézout]], ce qui en fait un [[anneau de Bézout]] et a fortiori un [[anneau à PGCD]]. Il vérifie par conséquent le lemme de Gauss, donc le lemme d'Euclide. Comme il est de plus [[Anneau atomique#Cas particuliers|atomique car toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire]], il est factoriel<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|le paragraphe « Factorialité de ''A'', décomposition primaire » dans la leçon sur les anneaux|début=Voir par exemple}}</ref>, c'est-à-dire qu'il vérifie le théorème fondamental de l'arithmétique.

Si l'on dispose d'un algorithme effectif de division euclidienne, par exemple pour '''Z''' ou pour les polynômes à coefficients dans un corps, on peut définir des algorithmes effectifs fournissant explicitement des objets dont l'existence reste théorique dans un cadre plus général. Ainsi, l'[[algorithme d'Euclide étendu]] permet de trouver un [[plus grand commun diviseur]] de deux éléments. De même, le [[théorème des facteurs invariants]] permet de trouver une [[base (algèbre linéaire)|base]] d'un ''A''-[[module sur un anneau|module]] de type fini.

''Remarque :'' Pour prouver qu'un anneau euclidien est principal, nous avons seulement utilisé l'existence d'un préstathme et non celle d'un stathme, ce qui explique que certains auteurs ne s'intéressent qu'aux préstathmes (qu'ils appellent stathmes)<ref>{{harvsp|Perrin|2004}}, {{harvsp|Goblot|2001}}.</ref>. Toutefois, la preuve du fait qu'un anneau principal est factoriel repose (quant à l'existence de la décomposition en produits d'éléments irréductibles) sur l'[[Axiome du choix#Axiome du choix dépendant|axiome du choix dépendant]]. Dans le cas d'un anneau euclidien, nous avons démontré ci-dessus directement que l'anneau est factoriel sans recourir à cet axiome.

=== Propriétés des stathmes ===

* ''Soient a et b deux éléments non nuls de A et v un stathme ; on a'' [''v''(''a'') = ''v''(''b'')'' et a divise b''] ''si et seulement si a et b sont [[éléments associés dans un anneau|associés]].''

{{Démonstration|contenu=
Soient ''q'' et ''r'' dans ''A'' tels que
<center><math>a=bq+r\quad\text{avec}\quad v(r)<v(b)</math>.</center>

Supposons que ''a'' divise ''b'' et ''v''(''a'') = ''v''(''b''). Alors, ''a'' divise ''a – bq = r'' et ''v''(''r'') < ''v''(''b'') = ''v''(''a'').

On déduit alors de la condition (2) de la [[#Définitions|définition des stathmes]] que ''r'' = 0 donc ''b'' divise ''a'', si bien que ''a'' et ''b'' sont finalement associés.

La réciproque est une conséquence immédiate de cette même condition (2).
}}

Il est toujours possible de ''normaliser'' un stathme ''v'' par translation, c'est-à-dire de choisir un stathme ''w'' tel que l'image par le stathme d'une [[Groupe des unités|unité]] soit égal à 1. Plus précisément, il suffit de définir ''w'' par ''w''(''x'') = ''v''(''x'') – ''v''(1) + 1 pour tout élément non nul ''x'' de ''A''. Dans ce cas :

* ''Un élément non nul u de A est une unité de A si, et seulement si, w''(''u'') = 1. ''De plus, ''1 ''est la valeur minimale que prend w sur A''\{0}.

Si l'on étend le stathme normalisé ''w'' à l'anneau ''A'' tout entier en posant ''w''(0) = 0, 0 est le seul élément ''x'' de ''A'' tel que ''w''(''x'') = 0, ce qui permet de donner au principe de division euclidienne cette forme un peu plus élégante :
<center><math>\forall a\in A\quad\forall b\in A\setminus\{0\}\quad\exists q,r\in A\quad\text{tels que}\quad a=bq+r\quad\text{et}\quad w(r)<w(b).</math></center>

Cette convention n'est pas suivie dans tous les cas. Le stathme dispose de propriétés qui dépassent souvent celles de la division euclidienne. Dans le premier exemple sur '''Z''', le stathme dispose de propriétés [[espace métrique|métriques]], dans le deuxième exemple la fonction degré vérifie une propriété utile : le degré du produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés des polynômes. Pour ne pas perdre cette propriété, les unités de l'anneau ont un stathme (degré) choisi égal à ''zéro'' et le polynôme nul a pour image (degré) moins l'infini.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|colonnes=2}}
=== Références ===
* {{Ouvrage|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|lien auteur1=Nicolas Bourbaki|titre=Algèbre|lien titre=Éléments de mathématique|année=1973|titre chapitre=7, § 1|passage=125}}, exercice. 7
* {{Article|nom1=Dress|prénom1=François|titre=Stathmes euclidiens et séries formelles|périodique=Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres|volume=12|année=1970|pages=1-7|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SDPP/SDPP_1970-1971__12_/SDPP_1970-1971__12__A1_0/SDPP_1970-1971__12__A1_0.pdf}} ou (sous le même titre) ''[[Acta Arithmetica]]'', vol. 19, 1971, p. 261-265 {{Lire en ligne|lien=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa19/aa1935.pdf|texte=texte intégral}}
* {{Ouvrage|prénom1=R.|nom1=Goblot|titre=Algèbre commutative|éditeur=Dunod|année=2001|numéro d'édition=2|passage=24}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Władysław Narkiewicz|titre=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2004|numéro d'édition=3|pages totales=712|isbn=978-3-540-21902-6|présentation en ligne={{Google Livres|Pw4F-EVIK-oC|page=115}}}}
* {{Ouvrage|prénom1=Daniel|nom1=Perrin|lien auteur1=Daniel Perrin|titre=Cours d'algèbre|année=2004|passage=50|référence=Référence:Cours d'algèbre (Daniel Perrin)}}, déf. 3.28
== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Article|lang=en|titre=Non-galois cubic fields which are euclidean but not norm-euclidean|prénom=David A.|nom=Clark|revue=Math. Comp.|vol=65|année=1996|p.=1675-1679|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1996-65-216/S0025-5718-96-00764-8}}
* {{Lang1}}
* {{MacLaneBirkhoff1}}

=== Articles connexes ===
[[Chronologie de l'algèbre]]
{{Palette|Théorie des anneaux}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Anneau|Euclidien]]
[[Catégorie:Arithmétique modulaire]]