Voir la source de Anneau factoriel

[[Fichier:Algebraic structures.png|vignette|Organigramme des relations entre les différentes structures algébriques]]
En [[mathématiques]], un '''anneau factoriel''' est un cas particulier d'[[anneau intègre]]. À l'image des [[entier relatif|nombres entiers]], il existe un équivalent du [[théorème fondamental de l'arithmétique]] pour une telle structure : tout élément non nul d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un [[Élément symétrique|élément inversible]] et d'éléments [[#Définitions|irréductibles]], cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans l'anneau '''Z''' des [[entier relatif|entiers relatifs]], –2 est irréductible. 

Tout [[anneau principal]] (c'est-à-dire intègre et dont tout [[idéal]] est [[idéal principal|principal]]) est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de [[polynôme formel|polynômes]] à coefficients dans un anneau factoriel ''k'' est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau ''k'' est un [[corps commutatif|corps]]. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal. Il peut être à son tour généralisé en abandonnant l'hypothèse d'unicité de la décomposition en produit de facteurs irréductibles. On obtient ainsi la classe plus large des [[Anneau atomique|anneaux atomiques]]<ref>Par exemple, un [[anneau noethérien]] est atomique, mais n'est pas factoriel en général.</ref>.

Certains résultats usuels de l'[[arithmétique élémentaire]] s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le [[lemme d'Euclide]] est vérifié et il est possible de définir un [[plus grand commun diviseur]] et un [[plus petit commun multiple]] bénéficiant presque des propriétés usuelles sur '''Z'''.

== Définitions ==
La notion d'anneau factoriel s'appuie sur trois définitions :
*un élément de ''A'' est dit [[Élément irréductible|irréductible]] s'il n'est ni nul, ni [[Inverse#Anneau (ou corps)|inversible]], ni produit de deux éléments non inversibles ;
*deux éléments ''a'' et ''b'' non nuls de ''A'' sont dits [[Éléments associés dans un anneau|associés]] s'il existe un élément inversible ''u'' tel que ''a'' = ''ub'' (cette relation est une [[relation d'équivalence]]) ;
*un élément ''p'' de ''A'' est dit [[Élément premier|premier]] s'il est non nul et non inversible et si pour tout produit ''ab'' multiple de ''p'', ''a'' ou ''b'' est multiple de ''p''.

La définition la plus courante d'anneau factoriel est :

{{énoncé|Un anneau intègre ''A'' est dit factoriel s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
*pour tout élément ''a'' de ''A'', non nul et non inversible, il existe une suite finie ''p''<sub>1</sub>,…, ''p''<sub>''n''</sub> d'éléments irréductibles de ''A'' dont ''a'' est le produit :
<center><math>a=p_1\cdots p_n</math> ;</center>
*si, pour un tel élément ''a'', on a deux telles suites ''p''<sub>1</sub>, …, ''p<sub>n</sub>'' et ''q''<sub>1</sub>, …, ''q<sub>m</sub>'', alors {{nobr|''m'' {{=}} ''n''}} et il existe une [[permutation]] σ de l'ensemble {1, … , ''n''} ainsi que des éléments inversibles ''u''<sub>1</sub>, …, ''u<sub>n</sub> ''tels que {{nobr|''p<sub>i</sub> {{=}} u<sub>i</sub>q''<sub>σ(''i'')</sub>}} pour tout ''i'' (la décomposition de ''a'' est unique à l'ordre des facteurs et à association près).
}}
On verra, grâce aux premières propriétés [[#Premières propriétés|ci-dessous]], que cette définition équivaut à :
{{énoncé|Un anneau intègre ''A'' est dit factoriel si tout élément non nul et non inversible de ''A'' est premier ou produit d'éléments premiers.}}

Exemple : L'anneau '''Z''' des entiers relatifs est factoriel. Ses éléments inversibles sont –1 et 1, donc deux entiers non nuls sont associés lorsqu'ils sont égaux ou opposés. Ses éléments irréductibles sont les [[entier naturel|entiers naturels]] [[nombre premier|premiers]] et leurs opposés. Tout élément non nul de '''Z''' se décompose en un produit d'éléments irréductibles. Par exemple, –28 se décompose en (–2).2.7. On pourrait aussi le décomposer par exemple en (–7).2.2 mais cette dernière décomposition est considérée comme la même que la première, car elle s'en déduit en permutant les facteurs et en les multipliant par des inversibles.

Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles particuliers, ainsi un élément irréductible et positif de '''Z''' est appelé nombre premier. Dans ''K''[''X''] (si ''K'' est un corps), les éléments particuliers sont les [[Polynôme irréductible|polynômes irréductibles]] [[Polynôme unitaire|unitaires]], c'est-à-dire dont le coefficient du [[Monôme (mathématiques)|monôme dominant]] est égal à 1. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible particulier. Cette approche permet de normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité soit absolue, et plus seulement à permutation et association près.

Il est toujours possible d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une [[Famille (mathématiques)|famille]] (''p<sub>i</sub>'') d'éléments irréductibles telle que si ''i'' est différent de ''j'' alors ''p<sub>i</sub> ''n'est pas associé à ''p<sub>j</sub> ''et tout élément irréductible est associé à un ''p<sub>i</sub>''. L'[[axiome du choix]] montre qu'il est toujours possible de trouver une famille maximale d'éléments irréductibles deux à deux non associés : on prend un représentant par classe d'association d'éléments irréductibles. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article : elle n'est pas nécessaire mais permet d'alléger les énoncés.
Un élément ''a'' non nul d'un anneau factoriel s'écrit ainsi de façon unique :
<center><math>a =u \prod_{i\in I}p_i^{v_{p_i}(a)}~,</math></center>
où ''u'' est un élément inversible. La fonction ''v<sub>p<sub>i</sub></sub>'', de ''A'' dans l'ensemble '''N''' des entiers naturels, s'appelle une [[Valuation|valuation ''p''-adique]]. La valeur ''v<sub>p<sub>i</sub></sub>''(''a'') est aussi appelée '''ordre de multiplicité''' de ''p<sub>i</sub> ''dans ''a''.

== Motivation ==
L'[[arithmétique]] dans l'anneau des entiers relatifs permet la démonstration de nombreux théorèmes. Les démonstrations utilisent le fait que cet anneau est [[anneau euclidien|euclidien]] donc principal. En revanche, de nombreux anneaux ne le sont pas, par exemple celui des polynômes à coefficients dans les entiers relatifs ou encore les [[polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes en plusieurs indéterminées]] sur un corps commutatif.

Ce dernier exemple est important : les [[variété algébrique|variétés algébriques]] sont définies comme les [[racine d'un polynôme|racines]] d'un idéal de polynômes à plusieurs variables. Ainsi la [[sphère]] [[nombre réel|réelle]] est définie comme les racines communes des polynômes à trois indéterminées multiples de ''X''{{exp|2}} + ''Y''{{exp|2}} + ''Z''{{exp|2}} – 1. L'anneau des [[Fonction polynomiale|fonctions polynomiales]] définies sur la sphère n'est ni euclidien, ni même principal. En revanche, il est factoriel<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Pierre Samuel]]|titre=Unique Factorization|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|vol=75|numéro=9|année=1968|p.=945-952|url=http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/PierreSamuel.pdf}} le démontre comme exemple d'application d'un théorème de [[Masayoshi Nagata|Nagata]] (réciproque partielle du fait que tout [[anneau de fractions]] d'un anneau factoriel est factoriel).</ref>.

Sur un anneau factoriel, certains théorèmes fondamentaux des anneaux principaux restent vrais. Ainsi, le lemme d'Euclide, les propriétés des plus petits communs multiples et des plus grands communs diviseurs ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique restent valables (ce dernier est vérifié par définition).

Tous ne s'appliquent plus, ainsi un [[idéal premier]] n'est pas toujours [[Idéal maximal|maximal]] : dans l'anneau '''Z'''[''X''] des polynômes à coefficients entiers, l'idéal 2'''Z'''[''X''] est premier mais n'est pas maximal car l'[[anneau quotient]] '''Z'''[''X'']/2'''Z'''[''X''], [[Isomorphisme d'anneaux|isomorphe]] à ('''Z'''/2'''Z''')[''X''], est intègre mais n'est pas un corps. L'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] n'est pas toujours vérifiée : dans '''Z'''[''X''], les éléments 2 et ''X'' n'ont pas de facteur commun, pourtant l'[[idéal engendré]] par 2 et ''X'' n'est pas l'anneau tout entier. En fait, les seuls anneaux factoriels [[Anneau de Bézout#Hiérarchie|dans lesquels l'identité de Bézout est satisfaite]] sont les anneaux principaux<ref>Cette caractérisation des anneaux principaux est énoncée dans l'exercice 6 du chapitre 2 de {{Perrin1}}, {{p.|61}}.</ref>.

== Exemples et contre-exemples ==
* L'anneau '''Z''' est un exemple simple d'anneau factoriel. Un autre exemple est l'anneau '''Z'''[i] des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]] : les complexes s'écrivant sous la forme ''a ''+ i''b ''où ''a ''et ''b ''sont des entiers relatifs.
* Si ''K ''est un corps alors l'anneau ''K''[''X''] des [[polynôme]]s à coefficients dans ''K ''est factoriel<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Pete L. Clark|titre=Commutative algebra|date=2015|url=http://alpha.math.uga.edu/~pete/integral2015.pdf|site=alpha.math.[[Université de Géorgie|uga.edu]]|page=283-285 et 290}}, en donne quatre preuves : la preuve classique par le lemme de Gauss présentée ici {{infra|Anneaux des polynômes}}, deux preuves par la caractérisation « [[condition de chaîne ascendante]] sur les idéaux principaux + lemme d'Euclide » {{infra|Premières propriétés}}, et une par le critère de Nagata {{infra|Premières propriétés}}.</ref>. Plus généralement, dès que ''A ''est factoriel, il en est de même de l'[[Polynôme en plusieurs indéterminées|anneau de polynômes en ''n'' indéterminées]] ''A''[''X''<sub>1</sub>, … , ''X<sub>n</sub>'']<ref>Ce théorème s'étend à tout anneau de polynômes en une infinité d'indéterminées, en utilisant qu'un tel anneau est la réunion de ses sous-anneaux de polynômes en un nombre fini d'indéterminées : cf. [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre commutative]]'', chap. VII, § 3, exercice 2, ou {{Harvsp|Clark|2015|loc=p. 285, Corollary 15.28}}.</ref>.
* On démontre que tout [[anneau principal]] (à plus forte raison tout [[anneau euclidien]]) est aussi factoriel<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|le paragraphe « Factorialité de ''A'', décomposition primaire » dans la leçon sur les anneaux|début=Voir par exemple}}</ref>.
* Un anneau d'[[entier quadratique|entiers quadratiques]] non factoriel (bien qu'[[Clôture intégrale|intégralement clos]]) est [[Entier quadratique#Anneaux non factoriels|'''Z'''<nowiki>[</nowiki>i{{sqrt|5}}<nowiki>]</nowiki>]], [[Primalité dans un anneau#Liens entre ces trois notions|dans lequel 2 est irréductible mais non premier]]. Mais en l'élargissant à '''Z'''[i{{mvar|[[Nombre d'or|φ]]}}], on obtient un anneau factoriel<ref name=Trotter/>.
*Parmi les '''Z'''[ζ] où ζ est une [[racine de l'unité]], [[Extension cyclotomique#Quelques questions arithmétiques|seuls trente sont factoriels]]. Par exemple, '''Z'''[{{math|e{{exp|i2π/''n''}}}}] est factoriel pour 1 ≤ ''n ''≤ 22, mais pas pour ''n ''= 23. Pour trouver une solution très générale à cette difficulté, [[Ernst Kummer]] crée des ''nombres idéaux'', maintenant formalisés par les travaux de [[Richard Dedekind]] à travers le concept d'[[anneau de Dedekind]].
*Tout [[sous-anneau]] strictement compris entre '''Z''' et [[entier d'Eisenstein|'''Z'''<nowiki>[</nowiki>{{math|e{{exp|i2π/3}}}}<nowiki>]</nowiki>]] est non factoriel (car non intégralement clos). Un [[contre-exemple]] célèbre est le sous-anneau '''Z'''[i{{sqrt|3}}], dans lequel 4 possède deux décompositions différentes : 4 = 2 × 2 = (1 + i{{sqrt|3}})(1 – i{{sqrt|3}}). On soupçonne fortement que [[Leonhard Euler]] se soit implicitement appuyé sur la factorialité de '''Z'''[i{{sqrt|3}}] pour un argument important et non justifié de sa démonstration du [[Démonstrations du dernier théorème de Fermat#Cas où n est égal à trois|dernier théorème de Fermat dans le cas ''n ''= 3]] (''Algebra'' 1770).
* Un contre-exemple « géométrique » est celui du [[Anneau quotient|quotient]] de ''K''[''X'', ''Y'', ''Z''] par l'idéal engendré par ''X''{{2}} – ''YZ''. Soit ''p ''l'application de passage au quotient ; ''p''(''X''{{2}}) admet deux décompositions distinctes en facteurs irréductibles : on a ''p''(''X''{{2}}) = ''p''(''X'')''p''(''X'') mais aussi ''p''(''X''{{2}}) = ''p''(''Y'')''p''(''Z'').
*Un contre-exemple de même nature est l'anneau des [[Polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]] à coefficients [[Nombre réel|réels]]<ref name=Trotter>{{Article|lang=en|titre=An overlooked example of nonunique factorization|prénom=Hale F.|nom=Trotter|revue=Amer. Math. Month.|vol=95|numéro=4|mois=4|année=1988|p.=339-342|url=http://alpha.math.uga.edu/~pete/trotter.pdf}}.</ref>, dans lequel sin{{2}} = (1 + cos)(1 – cos). Il est isomorphe au quotient de '''R'''[''X'', ''Y''] par l'idéal engendré par {{nobr|1=''X''{{2}} + ''Y''{{2}} – 1 = ''Y''{{2}} – (1 + ''X'')(1– ''X'')}} ou encore, au quotient du contre-exemple précédent (pour ''K'' = '''R''') par l'idéal engendré par ''p''(''Y ''+ ''Z ''– 2).
* Un contre-exemple plus anecdotique est celui de l'anneau '''Z'''/4'''Z''' : tout élément non nul et non inversible s'y écrit de façon unique (à association près) comme produit d'éléments irréductibles, mais '''Z'''/4'''Z''' n'est pas factoriel faute d'intégrité.

== Propriétés ==
=== Premières propriétés ===
*''Tout anneau factoriel A est un [[anneau à PGCD]].''<br />Voir la section suivante pour plus de détails. Par conséquent :
**''A vérifie le [[lemme d'Euclide]]'' (tout élément irréductible de A est premier) ;
**''A est [[Anneau intégralement clos|intégralement clos]]'' (les seuls éléments de son [[corps des fractions]] qui sont [[élément entier|entiers]] sur ''A'' sont les éléments de ''A'').
*''Pour un anneau intègre A, les trois propriétés suivantes sont équivalentes<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Pete L. Clark|titre=Factorization in integral domains|url=http://alpha.math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf|date=2010|page=17|site=alpha.math.uga.edu}}, {{Lang|en|Theorem}} 22.</ref>{{,}}<ref>Preuve de 1 ⇒ 3 et 3 ⇒ 2 : tout anneau factoriel vérifie le lemme d'Euclide (cf. ci-dessus) et est [[Anneau atomique#Cas particuliers|à factorisation bornée, donc vérifie la condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux, si bien que l'anneau est atomique]]. Pour 2 ⇒ 1, voir par exemple {{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/g1/algcom-p6.pdf|titre=Algèbre commutative|auteur=[[Antoine Chambert-Loir]]|éditeur=[[université de Rennes 1]]|année=2005|passage=66-68}} ou {{Note autre projet|wikiversité|Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|le paragraphe « Factorialité de ''A'', décomposition primaire » dans la leçon sur les anneaux|début=}} L'équivalence 1 ⇔ 3 est aussi le théorème 2.21 de {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Nathan Jacobson]]|titre=Basic Algebra I|numéro d'édition=2|url={{Google Livres|JHFpv0tKiBAC|page=144}}|page=144}}.</ref>'' :
*#''A est factoriel'' ;
*#''A est [[anneau atomique|atomique]] et vérifie le lemme d'Euclide ;''
*#''toute suite croissante d'idéaux principaux de A est stationnaire et A vérifie le lemme d'Euclide.''

On doit à [[Irving Kaplansky]]<!--ou pas ? dans https://mathoverflow.net/questions/15354/characterizations-of-ufd-and-euclidean-domain-by-ideal-theoretic-conditions, Pete L. Clark le suggère et précise une ref mais sans être aussi affirmatif que dans son poly, ou que PlanetMath--> la caractérisation suivante :
*''Un anneau intègre A est factoriel si et seulement si tout idéal premier non nul de A contient un élément premier''{{sfn|Clark|2010|loc=Theorem 67}}{{,}}<ref>{{Planetmath|titre=Equivalent definitions for UFD}}.</ref> ou, ce qui est équivalent : ''contient un idéal premier principal non nul''<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Algebra|numéro dans collection=73|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|auteur={{Lien|Thomas W. Hungerford}}|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=1974|url={{Google Livres|t6N_tOQhafoC|page=140}}|page=140}}, ex. 2.</ref>.
Elle constitue un lemme commode<ref>{{lien web|lang=en|url=https://math.stackexchange.com/questions/2066749/localization-preserves-ufds-using-kaplansky-criterion|titre=Localization preserves UFDs using Kaplansky criterion|site=math.[[Stack Exchange Network|stackexchange]].com}}.</ref> pour prouver que :
*''tout [[Localisation (mathématiques)|localisé]] d'un anneau factoriel est factoriel.''
Ce théorème admet une réciproque, le critère de [[Masayoshi Nagata|Nagata]]{{sfn|Clark|2010|loc=Theorem 62}} :
*''Soient A un anneau atomique, T un ensemble d'éléments premiers de A et S l'ensemble de tous les produits de puissances d'éléments de T. Si le localisé A{{ind|S}} est factoriel, alors A est factoriel.
Par ailleurs, dans l'article « [[Anneau principal]] » (dans la section sur les [[Anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]]), on démontre :
*''Un anneau factoriel A est principal si (et seulement si) sa [[dimension de Krull]] est inférieure ou égale à'' 1'', c'est-à-dire si tout idéal premier non nul de A est maximal''.

=== Diviseur et multiple communs ===
Dans cette section, ''A'' désigne un anneau factoriel et (''a<sub>i</sub>'') une famille d'éléments non nuls de ''A''.
* Le '''[[plus grand commun diviseur]]''' de ces éléments est, parmi les diviseurs communs aux ''a<sub>i</sub>'', celui qui est multiple de tous les autres. Il est unique à produit près par un inversible : c'est le produit de tous les irréductibles présents dans la décomposition de chaque ''a<sub>i</sub>'', affectés chacun d'un exposant égal au plus petit de ses ordres de multiplicité dans les ''a<sub>i</sub>''.
* Le '''[[plus petit commun multiple]]''' des ''a<sub>i</sub> ''est, parmi les [[multiple (mathématiques)|multiples]] communs (s'il en existe) à ces éléments, celui qui est diviseur de tous les autres. Il est unique à produit près par un inversible s'il existe (ce qui est toujours le cas si l'ensemble des ''a<sub>i</sub> ''est fini) : c'est le produit des facteurs irréductibles présents dans la décomposition d'au moins l'un des ''a<sub>i</sub>'', affectés chacun d'un exposant égal au plus grand de ses ordres de multiplicité dans les ''a<sub>i</sub>''.
* Les ''a<sub>i</sub> ''sont dits [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], ou '''premiers entre eux dans leur ensemble''', si leur plus grand diviseur commun est égal à 1. Ils sont dits '''premiers entre eux deux à deux''' si pour toute paire {''i'', ''j''} d'indices, ''a<sub>i</sub> ''et ''a<sub>j</sub> ''sont premiers entre eux.

Ces définitions généralisent les notions de ''plus petit commun multiple'' et ''plus grand commun diviseur''. Dans ce contexte, certaines des propriétés vraies sur un anneau principal s'appliquent encore, d'autres non. La relation d'ordre ''partiel'' utilisée ici (ou plus exactement : de [[préordre]] partiel) est la divisibilité : ''a'' est '''plus petit''' que ''b'' si c'est un ''diviseur'' de ''b''. Elle se traduit en termes d'idéaux par l'ordre inverse de l'inclusion : ''a'' est plus petit que ''b'' si l'idéal engendré par ''a'' ''contient'' l'idéal engendré par ''b''.

Soient ''a'' et ''b'' deux éléments non nuls de ''A''.
* ''Il existe un élément inversible u tel que''<center><math>\text{pgcd} (ba_i)=u~b~\text{pgcd} (a_i)</math>.</center>
* ''Si la famille ''(''a<sub>i</sub>'') ''est finie, il existe un élément inversible u tel que''<center><math>\text{ppcm} (ba_i)=u~b~\text{ppcm} (a_i)</math>.</center>
* ''Si la famille ''(''a<sub>i</sub>'') ''est finie et si les a<sub>i</sub> sont premiers entre eux deux à deux, il existe un élément inversible u tel que''<center><math>\text{ppcm} (a_i)=u~\prod_n a_i</math>.</center>
* ''Il existe un élément inversible u tel que''<center><math>ab = u~\text{ppcm} (a,b)~\text{pgcd} (a,b)</math>.</center>
* ''Le plus petit idéal principal contenant tous les a<sub>i</sub> est l'idéal engendré par le plus grand commun diviseur des a<sub>i</sub>.''

En effet, un idéal principal ''dA'' contient un élément ''a'' si et seulement si ''d'' divise ''a''. L'idéal engendré par le pgcd des ''a<sub>i</sub>'' contient donc l'idéal engendré par la famille, mais {{supra|Motivation}} lorsque ce dernier n'est pas principal, l'inclusion est stricte.

* ''Si les a<sub>i</sub> admettent un plus petit commun multiple, l'intersection des idéaux qu'ils engendrent est l'idéal principal engendré par ce plus petit commun multiple.''
* ''Si R désigne la relation d'équivalence d'association définie dans le paragraphe « Définitions » et A* l'ensemble des éléments non nuls de l'anneau, alors l'ensemble quotient A*/R des classes d'association, muni des opérateurs ''pgcd'' et ''ppcm'', forme un [[treillis (ensemble ordonné)|treillis]].''

=== Anneaux des polynômes ===
{{Voir|Lemme de Gauss (polynômes)}}
Les [[polynôme formel|anneaux de polynômes]] représentent la première motivation historique pour les anneaux factoriels. Si les coefficients sont choisis dans un corps commutatif, l'anneau dispose d'une [[division d'un polynôme|division euclidienne]] ; dans le cas contraire, [[arithmétique des polynômes|une autre arithmétique]] apparaît. En 1801, au début de ses ''[[Recherches arithmétiques]]'', [[Carl Friedrich Gauss]] démontre une propriété, appelée aujourd'hui [[Lemme de Gauss (polynômes)|lemme de Gauss sur les polynômes]]. Pour formuler ce lemme, on introduit une définition :

{{énoncé|Un polynôme ''P'' de ''A''[''X''] est dit '''primitif''' si ses coefficients sont [[#Diviseur et multiple communs|premiers entre eux dans leur ensemble]].<!--inutile d'ajouter « P non nul » : ça résulte de « coefs premiers entre eux » car 0,0,0... ne sont pas premiers entre eux, 0 étant un diviseur commun non inversible-->
}}

La version moderne du lemme de Gauss est alors :
{{Théorème|nom=Lemme de Gauss|Si ''A'' est factoriel, le produit de deux polynômes primitifs de ''A''[''X''] est primitif.
|style=display:table}}

Dans l'article détaillé, on démontre ce théorème et l'on en déduit le corollaire suivant :
{{Théorème|nom=Corollaire|Soient ''A'' un anneau factoriel et ''K'' son [[corps des fractions]]. Les éléments premiers de ''A''[''X''] sont :
*les éléments premiers de ''A'' ;
*les polynômes primitifs de ''A''[''X''] irréductibles dans ''K''[''X''].
|style=display:table}}

Ce lemme et son corollaire vont permettre d'établir le théorème suivant :
* ''Si A est factoriel alors pour tout entier naturel n, A''[''X''<sub>1</sub>, …, ''X<sub>n</sub>''] ''est factoriel.''
{{Démonstration|1=
* '''L'anneau ''A''[''X''] est factoriel :'''<br />Il suffit de vérifier que dans ''A''[''X''], tout élément ''P'' non nul et non inversible est un produit d'éléments premiers. Utilisons sa décomposition dans l'anneau ''K''[''X''], dont on sait qu'il est factoriel (et même [[anneau euclidien|euclidien]]).<br />Soit ''P = P''<sub>1</sub> … ''P<sub>m</sub> ''une décomposition de ''P'' en produit d'éléments irréductibles ''P<sub>i</sub> ''de ''K''[''X'']. Pour chaque indice ''i'', ''P{{ind|i}}'' peut s'écrire comme le produit d'un polynôme primitif ''Q{{ind|i}}'' de ''A''[''X''] par un élément non nul ''c{{ind|i}}'' de ''K''. Soient ''c'' le produit des ''c{{ind|i}}'' et ''Q'' le produit des ''Q{{ind|i}}''. Alors, ''P = cQ'' et (d'après le lemme de Gauss) ''Q'' est primitif, donc ''c'' appartient à ''A''. Si ''c'' est inversible, on peut le supposer égal à 1 (quitte à remplacer ''c'' par 1 et l'un des ''Q{{ind|i}}'' par ''Q{{ind|i}}''/''c''). Si ''c'' n'est pas inversible, il est produit d'éléments premiers ''p{{ind|j}}'' de ''A''. On obtient ainsi une décomposition de ''P'' en produit des éventuels ''p{{ind|j}}'' et des ''Q{{ind|i}}'' qui, d'après le corollaire ci-dessus du lemme de Gauss, sont tous des éléments premiers de ''A''[''X''].
* '''Soit ''n'' un entier naturel, l'anneau ''A''[''X''<sub>1</sub>, … , ''X<sub>n</sub>''] est factoriel :'''<br />Cette proposition (immédiate pour ''n'' = 0 puisqu'il s'agit alors de l'anneau ''A'') se déduit de la précédente par récurrence sur le nombre ''n'' d'indéterminées, en utilisant l'isomorphisme naturel d'anneaux entre ''A''[''X''<sub>1</sub>, … , ''X''<sub>''n ''– 1</sub>][''X<sub>n</sub>''] et ''A''[''X''<sub>1</sub>,&nbsp;… ,&nbsp;''X<sub>n</sub>''].
}}

Réciproquement (d'après le corollaire ci-dessus) :
*''Si un anneau A est tel que A''[''X''] ''soit factoriel, alors A est factoriel.''

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
*{{Article|lang=en|lien auteur=Paul Cohn|prénom=P. M.|nom=Cohn|titre=Unique Factorization Domains|revue=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|vol=80|numéro=1|mois=1|année=1973|p.=1-18|doi=10.2307/2319253}}{{Commentaire biblio SRL|Généralités sur la factorialité, incluant le cas des anneaux non commutatifs.}}
*{{Lien web|url=http://les.mathematiques.free.fr/pdf/aritfact.pdf|auteur=Guy Philippe|titre=Arithmétique factorielle|site=les.mathematiques.free.fr}}{{Commentaire biblio SRL|Généralités sur la factorialité, avec un détour par les semi-groupes factoriels. Attention, G. Philippe emploie en permanence le mot « premiers » pour désigner les éléments irréductibles.}}

{{Palette|Théorie des anneaux}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Anneau]]