Voir la source de Apeirogone

{{Infobox Polytope
 | nom                         = Apeirogone
 | image                       = Hyperbolic apeirogon example.png
 | légende                     = Représentation d'un apeirogone (régulier) dans le modèle du [[disque de Poincaré]]
 | type                        = [[Polygone régulier]]
 | arêtes                      = ∞
 | sommets                     = ∞
 | symbole de schläfli         = {∞}
 | diagramme de coxeter–dynkin = 
 | groupe de symétrie          = 
 | angle interne               = 
 | propriétés                  = 
}}
[[Fichier:Isogonal apeirogon skew-unequal.png|vignette]]
[[Fichier:Isotoxal skew apeirogon.svg|vignette]]
[[Fichier:Isogonal apeirogon linear.png|vignette]]
En [[géométrie]], un '''apeirogone''' (du {{lang-grc|"ἄπειρος"}} ''apeiros :'' infini, sans bornes, et "{{lang|grc|γωνία}}" ''gonia'' : angle) est un [[polygone]] généralisé ayant un nombre [[Ensemble dénombrable|infini (dénombrable)]] de côtés. Le plus souvent, le terme désigne un [[polygone régulier]] [[Ensemble convexe|convexe]] (tous les angles et tous les côtés sont égaux, et [[Polygone régulier étoilé|les côtés ne se croisent pas]]) ; il n'existe pas à ce sens d'apeirogone non trivial en [[géométrie euclidienne]], mais il y en a plusieurs familles (non [[Similitude (géométrie)|semblables]] les unes aux autres) en [[géométrie hyperbolique]].

== Définitions ==
=== Définitions concrètes ===
==== Géométrie euclidienne ====
[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]] part de la donnée, dans un [[espace euclidien]], d'un point de base ''A<sub>0</sub>'' et d'une [[translation]] ''S'' ; l'ensemble des [[Itération|itérés]] ''A<sub>i</sub> = S<sup>i</sup>(A<sub>0</sub>)'' (avec <math>i\in\mathbb Z</math>) et des [[Arête (géométrie)|arêtes]] reliant les sommets adjacents  <math>A_i </math> et <math>A_{i+1} </math>définit un apeirogone (régulier)<ref name="Coxeter">{{ouvrage|nom=Coxeter |prénom=H. S. M. |lien auteur=Harold Scott MacDonald Coxeter |titre=[[Regular polytopes]] |éditeur=Methuen & Co. Ltd. |lieu=London |année=1948 |page=45}}.</ref>. On peut aussi interpréter cette construction comme le partage d'une droite en segments d'égale longueur<ref name="Johnson">{{ouvrage|prénom=Norman W.|nom=Johnson|lien auteur=Norman Johnson |titre=Geometries and transformations|année=2018|chapter=11: Finite Symmetry Groups|page=226|url=https://books.google.com/books?id=J7NavgAACAAJ|éditeur=[[Cambridge University Press]]}}.</ref>.

==== Géométrie hyperbolique ====
La construction classique d'un [[polygone régulier]] du [[plan euclidien]] (par une suite de rotations de  <math>\frac {2\pi}n</math> autour d'un centre bien choisi) peut s'adapter en itérant des rotations du segment <math>[A_i,A_{i+1}]</math> autour du point <math>A_{i+1}</math> et d'angle <math>\frac {(n-2)\pi}n</math>  (le point <math>A_{i}</math> devenant le point <math>A_{i+2}</math>) ; si on remplace ce dernier angle par un angle <math>\alpha</math> quelconque, on n'obtient qu'un [[polygone régulier étoilé]], ou une [[ligne polygonale]] ne se refermant pas, mais restant inscrite dans une [[Couronne (géométrie)|couronne circulaire]]. En revanche, en [[géométrie hyperbolique]] (et en prenant pour [[Courbure sectionnelle|courbure]] <math>K = -1</math>), si on part d'un côté de longueur ''a'' et d'un angle 
<math>\alpha\ge \alpha_0=2\arcsin \frac1{\cosh(a/2)}</math>{{Note|texte=<math>\alpha_0</math> est le double de  l'[[Géométrie hyperbolique#Angle de parallélisme|angle de parallélisme]] en <math>A_1</math>  à la médiatrice du segment <math>[A_0,A_{1}]</math> ; pour cette valeur, les médiatrices de <math>[A_0,A_{1}]</math> et de <math>[A_0,A_{2}]</math> sont parallèles asymptotes.}}, la suite des segments s'éloigne à l'infini ; l'ensemble des  <math>A_{i}</math>, qu'on appelle un apeirogone d'angle <math>\alpha</math> et de côté ''a'', est inscrit dans un [[horocycle]] si <math>\alpha=\alpha_0</math>, et dans un [[hypercycle]] si <math>\alpha>\alpha_0</math> (certains auteurs réservent le nom d'apeirogone à ceux inscrits dans des horocycles).

=== Définition abstraite ===
Un [[polytope abstrait]] est un ensemble [[Relation d'ordre|partiellement ordonné]] d'objets (les faces) dont la relation d'ordre modélise l'inclusion des faces de [[Polytope|polytopes]] concrets<ref name="McMullen-Schulte"/>{{rp|22–25}}. Le cas particulier des polygones abstraits correspond à un ordre partiel sur certains sous-ensembles d'un ensemble de sommets : les sommets eux-mêmes, certains ensembles de deux sommets (les arêtes) et les deux sous-ensembles triviaux vide et plein, chaque sommet appartenant exactement à deux arêtes, et le graphe formé des sommets et des arêtes étant connexe<ref name="McMullen-Schulte">{{ouvrage|langue=en| nom1 = McMullen | prénom1 = Peter | prénom2 = Egon | nom2 = Schulte | titre = Abstract Regular Polytopes | numéro d'édition = 1st | éditeur = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = décembre 2002 | accès url = inscription | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu]}}.</ref>{{rp|22–25}}<ref name="McMullen">{{article|langue=en|nom=McMullen|prénom=Peter|doi=10.1007/BF01832961|numéro=2-3|journal=Aequationes Mathematicae|mr=1268033|pages=223–239|titre=Realizations of regular apeirotopes|volume=47|année=1994}}.</ref>{{rp|224}} ; si l'ensemble des sommets est infini dénombrable, on parle d'un '''apeirogone abstrait'''<ref name="McMullen-Schulte" />{{rp|25}}; il est unique à isomorphisme près. Le groupe des [[Automorphisme|automorphismes]] de l'apeirogone abstrait (appelés ''symétries'' dans ce cas) est le [[Groupe diédral#Groupe diédral infini|groupe diédral infini]]<ref name="McMullen-Schulte" />{{rp|31}}.

== Réalisations ==
=== Définition ===
Une '''réalisation''' d'un polygone abstrait est une application de ses sommets vers des points d'un [[espace métrique]] (le plus souvent, l'[[espace euclidien]] ou l'[[Géométrie hyperbolique|espace hyperbolique]] de dimension ''n'') telle que chaque automorphisme du polygone correspond à une [[isométrie]]  de l'ensemble des images<ref name="McMullen-Schulte"/>{{rp|121}}<ref name="McMullen"/>{{rp|225}} ; deux réalisations sont dites ''congruentes'' si la [[bijection]] naturelle entre leurs ensembles de sommets est induite par une isométrie des espaces d'arrivée tout entiers<ref name="McMullen-Schulte"/>{{rp|126}}<ref name="McMullen"/>{{rp|229}}. Ainsi, les définitions concrètes données précédemment sont des réalisations de l'apeirogone abstrait, respectivement dans le plan euclidien et dans le plan hyperbolique, mais bien qu'isomorphes, elles ne sont pas congruentes.

=== Symétries ===
Le groupe ''G'' des automorphismes d'une réalisation ''V''  de l'apeirogone abstrait  peut se décrire comme engendré par deux symétries (orthogonales), dont le produit envoie chaque sommet de ''V'' sur le suivant : la première symétrie laisse un sommet donné <math>S_0</math> [[invariant]], et la seconde échange deux sommets adjacents <math>S_0</math> et <math>S_1</math><ref name="McMullen-Schulte"/>{{rp|140–141}}<ref name="McMullen"/>{{rp|231}} ; selon la réalisation considérée, il est isomorphe au [[Groupe diédral#Groupe diédral infini|groupe diédral infini]]  (si ''V'' est infini) ou au [[groupe diédral]] d'ordre 2''n'' (si ''V'' a ''n'' éléments).

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Apeirogon|id1=1014612856}}
{{Références}}

== Articles connexes ==
* ''[[Apeirogon (roman)]]'' (2020, [[Colum McCann]])
== Liens externes ==
* {{mathworld |author=''Russell, Robert A.'' |nom_url=Apeirogon |titre=Apeirogon}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone]]
[[Catégorie:Infini]]