Voir la source de Appartenance (mathématiques)

{{Voir homonymes|appartenance}}
{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la relation d'[[inclusion (mathématiques)|inclusion]].}}

[[Fichier:In symbol in theory.png|vignette|Le symbole de l'appartenance.]]

En [[mathématique]] [[théorie des ensembles|ensembliste]], l’{{terme  défini|appartenance}} est une [[relation (mathématiques)|relation]] entre un élément et un [[ensemble]], et également par abus de notations une relation entre un objet et une [[classe (mathématiques)|classe]].

On écrit <math>x \in E</math> pour signifier que l'élément <math>x</math> appartient à l'ensemble <math>E</math>, ou que l'objet <math>x</math> appartient à la classe <math> E</math>.
 
L'[[axiome d'extensionnalité]] donne un rôle important à la relation d'appartenance, car elle permet de [[caractérisation (mathématiques)|caractériser]] un ensemble par les éléments qui lui appartiennent. L'[[axiome de fondation]] énonce que la relation d'appartenance est [[relation bien fondée|bien fondée]], ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même<ref group="Note">D'autres théories des ensembles requièrent au contraire l'[[axiome d'anti-fondation]] pour obtenir des {{lien|trad=hyperset|fr=hyperensemble|texte=hyperensembles|lang=en}} qui échappent à cette restriction.</ref>. L'appartenance n'est ni [[relation symétrique|symétrique]], ni [[relation transitive|transitive]]<ref group="Note">Mais peut l'être sur une sous-classe d'ensembles, comme il en est sur la classe particulière, mais souvent considérée, des [[Nombre ordinal|nombres ordinaux]].</ref>, ni [[relation réflexive|réflexive]].

== Notation et terminologie ==
[[Fichier:First_usage_of_the_symbol_∈.png|vignette|Première utilisation de ϵ par [[Giuseppe Peano]].]]
Le symbole [[Symbole d'appartenance|<math>\in</math>]] a été introduit par [[Giuseppe Peano]] en 1889 dans ''{{lien|trad=Arithmetices principia, nova methodo exposita|fr=Arithmetices principia, nova methodo exposita|texte=Arithmetices principia, nova methodo exposita|lang=en}}'' (page X) : {{Citation bloc|Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b ; ...}}Il s'agit d'un [[epsilon]], première lettre de la troisième personne du singulier [[wikt:ἐστί|ἐστί]] du verbe « être » en [[grec ancien]]. Sa graphie correspond à celle répandue en Europe continentale à l'époque de Peano. Cependant Peano utilisera aussi le symbole ε<ref name="Peano">[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k84142s/f2 G. Peano, Formulaire de mathématiques, Tome II, Logique mathématique] (1897) [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k84142s/f4 Notations pour les classes]</ref>.

La relation <math>x \in E</math> se lisait ainsi à l'origine « <math>x</math> est un <math>E</math> »<ref name="Peano"/>. Cette formulation subsiste aujourd'hui dans une certaine mesure, par exemple lorsque l'on traduit <math>n \in \mathbb{N}</math> par « <math>n</math> est un '''entier naturel''' »<ref group="Note"> Qui est plutôt une affirmation du [[Théorie des types|type]] de <math>n</math>, à savoir celui des entiers naturels, que l'on noterait formellement aujourd'hui <math>n:\mathbb{N}</math>.</ref>.

Dans le cas général <math>x \in E</math> se lit de nos jours « <math>x</math> appartient à <math>E</math> », « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> », ou « <math>x</math> est dans <math>E</math> »<ref name=":0" group="Note">[[Nicolas Bourbaki]] recommande d'utiliser « <math>x</math> appartient à <math>E</math> » ou « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> » (E II.1) ; mis à part quelques rares exceptions (par exemple « tout sous-groupe du groupe additif '''Z''' qui contient 1 est égal à '''Z''' », A I.98), cette recommandation est respectée dans l'ensemble des [[Éléments de mathématique]]s.</ref>.

La relation [[Relation binaire#R.C3.A9ciproque|réciproque]] <math>E \ni x</math>, moins utilisée, se lit « <math>E</math> contient <math>x</math> », « <math>E</math> comprend <math>x</math> », ou « <math>E</math> possède <math>x</math> ». Le terme ''contient'' présente le désavantage d'être ambigu, pouvant également désigner l'[[Inclusion (mathématiques)|inclusion]]. Utiliser ''possède'', comme le recommande [[Gérard Debreu]] en soulignant que ''possède'' est le symétrique naturel de ''appartient''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Debreu,|nom1=Gérard.|titre=Theory of value : an axiomatic analysis of economic equilibrium.|éditeur=Yale Univ. Press|année=|isbn=978-0-300-01558-4|oclc=632217029|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/632217029}}</ref>, élude ce problème. D'autres auteurs, tels que [[Paul Halmos]]<ref>{{Article|langue=anglais|auteur1=[[Paul Halmos]]|titre=How to Write Mathematics|périodique=[[L'Enseignement mathématique]], Vol.16|date=1970|issn=|lire en ligne=http://www.di.ens.fr/~bouillar/Stages/Halmos-How-To-Write.pdf|pages=144}}</ref> ou [[George Boolos]]<ref>[[George Boolos]] (4 février 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture). (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.</ref>, recommandent plutôt d'utiliser systématiquement « <math>E</math> contient <math>x</math> » pour traduire <math>E \ni x</math>, et « <math>E</math> inclut <math>X</math> » pour <math>E \supseteq X</math>. Enfin, la plupart des auteurs, dont par exemple [[Nicolas Bourbaki]]<ref name=":0" group="Note" />, n'utilisent tout simplement pas cette relation réciproque, tournant systématiquement leurs phrases de façon à pouvoir utiliser « <math>x</math> appartient à <math>E</math> » ou « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> ».

En [[LaTeX|LaTex]] : <math>x \in E</math> s'écrit en utilisant la commande « \in », signifiant ''dans'' en anglais ; <math>E \ni x</math> s'écrit en utilisant l'une des commandes équivalentes « \ni » et « \owns », respectivement un « \in » inversé et ''possède'' en anglais.

Dans le langage de programmation [[Haskell]] qui admet une définition de listes en compréhension, l'appartenance se note <code><-</code>.

==Première approche==
{{Article détaillé|Théorie naïve des ensembles}}

La définition historique donnée par [[Georg Cantor|Cantor]] en {{date-|1895}}<ref>{{Ouvrage
 | langue=de
 | auteur1=Georg Cantor
 | titre=''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre''
 | lieu=Leipzig
 | éditeur=Teubner
 | année=1894-1895
 | isbn=
}}, page 481 {{Lire en ligne
  |lien=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99481x.image.r=cantor.f4.langFR
  |texte=Lire en ligne sur Gallica
  |date=14 avril 2009
}}</ref> est :

{{Citation bloc|Un ensemble est une collection <math>M</math> d'objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de <math>M</math>), considérée comme un tout.}}

Par exemple, si <math>M= \{1,2,3 \}</math>, alors <math>1</math>, <math>2</math> et <math>3</math> sont les éléments de <math>M</math>. Ils appartiennent à <math>M</math>.

On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « [[inclusion (mathématiques)|sous-ensemble]] ». Dans l'exemple qui précède, <math>\{1,2 \}</math> et <math>\{3 \}</math> sont parmi d'autres des sous-ensembles de <math>M</math> mais n'en sont pas des éléments. Ils n'appartiennent donc pas à <math>M</math>, au même titre que <math>7</math> ou <math>\pi</math>.

== Approche [[logique formelle|formelle]] ==
Les exposés contemporains de la [[théorie des ensembles]] la décrivent comme une [[calcul des prédicats|théorie égalitaire du premier ordre]] comportant outre l'égalité = un seul [[Prédicat (logique mathématique)|prédicat]] [[arité|binaire]], l'appartenance <math>\in</math><ref>Voir {{Cori-Lascar II}}, chapitre 7, p. 113-114 notamment.</ref>. Dans cette approche, la phrase « ''x'' est '''élément''' de ''M'' » n'est que la verbalisation de la [[formule (mathématiques)|formule]] <math>x\in M</math>.

Le formalisme le plus généralement admis est [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|celui de Zermelo-Fraenkel]].

[[Felix Hausdorff]] relève que cette approche ne constitue pas une définition à partir d'un concept antérieur, mais est un point de départ pour la formalisation d'une grande partie des mathématiques :
{{Citation bloc|on pourra objecter qu'on a défini ''idem per idem'' voire ''obscurum per obscurius''. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous […]<ref group="Note">Comme le fait remarquer  dans son exposé de la théorie des ensembles ({{Ouvrage
 | langue=en
 | auteur1=Felix Hausdorff
 | titre=''Set theory''
 | éditeur=AMS Chelsea Publishing
 | année=1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande)
 | pages totales=352
 | isbn=978-0-8218-3835-8
 | isbn10=0821838350
}}, page 11.</ref>.}}

== Éléments d'ensembles, éléments de classes ==

Dans l'expression « ''x'' est élément de ''M'' », la lettre ''M'' désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut, où cette expression est notée <math>x\in M</math>.

Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des [[Théorie naïve des ensembles#Paradoxes et conséquences|paradoxes]] fameux, comme [[Paradoxe de Russell|celui créé par l'ensemble de tous les ensembles]], il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément ''x'' à un objet ''M'' qui  n'est pas un ensemble mais une [[classe (mathématiques)|classe]]. C'est par exemple le cas en [[théorie des catégories]] ; dans ce dernier contexte, toutefois, on utilise plutôt l'expression :  « ''x''  est un "objet" de ''M'' ».

Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la [[ZFC|théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel]], les classes s'identifient à des [[prédicat (logique mathématique)|prédicats]] unaires du langage. Dire que ''x'' est élément de la classe ''M'' correspondant au prédicat ''P'', c'est simplement une autre façon de dire que ''P''(''x'') est vrai.

== Symbole d'appartenance ==
Le '''symbole d'appartenance''' « ∈ » est un [[table des symboles mathématiques|symbole mathématique]] introduit par [[Giuseppe Peano]]<ref>[[Hans Freudenthal]], « Notation mathématique », ''Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications'', Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.</ref> pour l'appartenance en [[théorie des ensembles]]. Sa graphie correspond à celle de la lettre grecque [[epsilon]] en Europe continentale à cette époque.

Il en existe une version minuscule et une version barrée, et ces trois caractères ont également un codage [[Unicode]] renversé de droite à gauche.
{| class='wikitable'
|-
! Nom
! colspan=2 | [[Unicode]]
! [[HTML]]
! colspan=2 | [[LaTeX]]
|-
| appartient à || {{glyphe|∈}} || U+2208 || &amp;isin; || <math>\in</math> || <code class='latex'>\in</code>
|-
| n'appartient pas à || {{glyphe|∉}} || U+2209 || &amp;notin; || <math>\notin</math> || <code class='latex'>\notin</code>
|-
| petit appartient à || {{glyphe|∊}} || U+220A || ||
|-
| contient comme élément || {{glyphe|∋}} || U+220B || &amp;ni; || <math>\ni</math> || <code class='latex'>\ni</code> ou <code class='latex'>\owns</code>
|-
| ne contient pas comme élément || {{glyphe|∌}} || U+220C || ||  <math>\not\ni</math> || <code class='latex'>\not\ni</code> ou <code class='latex'>\not\owns</code>
|-
| petit contient comme élément || {{glyphe|∍}} || U+220D || || 
|}

Ce symbole est repris comme titre d'un recueil de poésie publié par [[Jacques Roubaud]] en [[1967]]. Pour l'auteur, il est aussi « par extension, symbole de l'appartenance au monde de « l'être au monde »<ref>{{Ouvrage
 | langue=fr
 | auteur1=Jacques Roubaud
 | titre=∈
 | lieu=Paris
 | éditeur=Gallimard, coll. Poésie/Gallimard
 | année=1988 ({{1re}} éd. 1967)
 | pages totales=154
 | isbn=978-2-07-032524-5
 | isbn10=2070325245
 | bnf=349925811
}}, p. 11.
</ref>. »
{{Autres projets
|wiktionary=∈}}

== Articles connexes ==
* [[Inclusion (mathématiques)|Inclusion]]
* [[SETL]], un [[langage de programmation]] fondé sur la notion d'ensemble
* [[Liste en compréhension]]

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe="Note" }}
===Références===
{{références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]]
[[Catégorie:Axiome de la théorie des ensembles]]