Voir la source de Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles

{{À désacadémiser|date=novembre 2008}}

Dans la résolution des '''[[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]]''' à coefficients constants, les propriétés de la '''[[transformée de Laplace|transformation de Laplace]]''', concernant la linéarité et la transformée de la dérivée,  offrent un moyen de résoudre certaines d'entre elles. Cette technique est un outil pratique pour les ingénieurs.

== Principe ==
La [[transformée de Laplace|transformation  de Laplace]] transforme une fonction<math> f\,</math> en une fonction  <math>\mathcal{L}\{f\}</math>  définie par 
: <math> \mathcal{L}\{f\}(s)  =\int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>
En pratique, la recherche de <math>\mathcal{L}\{f\}</math> se fait plus facilement à l'aide de tables de transformées de Laplace (voir [[Transformée de Laplace#Quelques transformées usuelles|quelques transformées usuelles]])

La transformation de Laplace possède les propriétés suivantes
*Linéarité : 
: <math>\mathcal{L}\left\{a f + b g \right\}
  = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} +
    b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}</math>

*Transformée d'une dérivée : 
: <math>\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}(f) - f(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math>

Ces propriétés peuvent s'appliquer à une équation différentielle linéaire. Supposons que l'on veuille résoudre l'équation différentielle suivante :
: <math>\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}=\varphi</math> 
En appliquant la transformation de Laplace à cette égalité on obtient l'équation équivalente suivante :

: <math>\sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}\}=\mathcal{L}\{\varphi\}</math>

: <math>\Leftrightarrow \mathcal{L}\{f\}=\frac{\mathcal{L}\{\varphi\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)}{\sum^n_{i=0}a_is^i}</math>

où <math>f^{(k)}(0)\,</math> sont les conditions initiales.

Il suffit alors de trouver<math> f\,</math> en appliquant la transformation inverse sur <math>\mathcal{L}\{f\}</math>. Cette opération se révèle parfois difficile sauf dans le cas où <math>\mathcal{L}\{f\}</math> est une somme de transformées de Laplace classiques figurant dans un tableau de transformées de Laplace.

== Un exemple ==

On cherche à  résoudre : 
:<math>f^{(2)}(t)+4f(t) = \sin(2t)\,</math> 
avec les conditions initiales <math>f(0) = 0\,</math> et <math>f'(0) = 0\,</math>

On note : <math>\varphi(t)=\sin(2t)\,</math>

Le [[Transformée de Laplace#Quelques transformées usuelles|tableau de transformées de Laplace]] donne  : 
: <math>\mathcal{L}\{\varphi\}(s)=\frac{2}{s^2+4}</math>

L'équation devient :
: <math>s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f^{(1)}(0)+4\mathcal{L}\{f\}=\mathcal{L}\{\varphi\}</math>

On en déduit : 
: <math>\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{(s^2+4)^2}</math>

Il s'agit maintenant de retrouver la fonction <math>f\,</math>, c'est-à-dire d'appliquer la transformation de Laplace inverse. Dans ce cas, la fonction <math>\mathcal{L}\{f\}</math> est une [[fonction rationnelle]] qu'il suffit de [[décomposition en éléments simples|décomposer en éléments simples]]. La lecture inverse du [[Transformée de Laplace#Quelques transformées usuelles|tableau de transformées de Laplace]] fournira alors la valeur de <math>f\,</math>

: <math>\frac{2}{(s^2+4)^2} = \frac{\frac{1}{16i}}{s-2i} -\frac{\frac{1}{16i}}{s+2i} -\dfrac{\frac{1}{8}}{(s+2i)^2} - \frac{\frac{1}{8}}{(s-2i)^2} = \dfrac 14 \frac{1}{s^2+4} - \frac 18\left(\dfrac{1}{(s+2i)^2} + \frac{1}{(s-2i)^2}\right)</math>

Toutes ces différentes fractions figurent dans la colonne de droite du tableau de transformées de Laplace et permettent de retrouver <math> f\,</math> :
: <math>f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)- \frac 18\left(te^{-2it}+te^{2it} \right)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)</math>

{{Portail|Analyse}}

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[[Catégorie:Équation différentielle|Transformation de Laplace]]