Voir la source de Application lipschitzienne

[[Fichier:Lipschitz Visualisierung.gif|vignette|Une fonction réelle est ''k''-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de [[Graphe d'une fonction|son graphe]] sans que jamais la courbe de la fonction ne passe à l'intérieur. Plus la constante de Lipschitz est petite, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.]]
En [[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]], une '''application lipschitzienne''' (du nom de [[Rudolf Lipschitz]]) est une [[application (mathématiques)|application]] possédant une certaine propriété de ''régularité'' qui est plus forte que la [[Continuité (mathématiques)|continuité]]. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure, en [[valeur absolue]], à une constante appelée ''constante de Lipschitz''.

Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de [[condition de Hölder|fonctions höldériennes]].

== Définitions ==
=== Cas réel ===

Soient ''E'' une partie de ℝ, <math>f:E\to\R</math> une application et ''k'' un [[nombre réel|réel]] [[Nombre positif|positif]].

On dit que ''f'' est '''''k''-lipschitzienne''' si
<center><math>\forall(x,y)\in E^2,~|f(x)-f(y)|\le k~|x-y|.</math></center>

=== Cas des espaces métriques ===
Soient <math>(E,d_E)</math> et <math>(F,d_F)</math> des [[espace métrique|espaces métriques]], <math>f:E\to F</math> une application et ''k'' un réel positif.

On dit que ''f'' est '''''k''-lipschitzienne''' si<ref name=BalacChupin>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Stéphane|nom1=Balac|prénom2=Laurent|nom2=Chupin|titre=Analyse et algèbre|sous-titre=cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple|lieu=Lausanne|éditeur=[[PPUR]]|année=2008|lire en ligne={{Google Livres|Ihh2uOXnRQcC|page=558}}|page=558}}.</ref>
<center><math>\forall(x,y)\in E^2,~d_F\left(f(x),f(y)\right)\le k~d_E(x,y).</math></center>

=== De plus ===
*''f ''est dite '''lipschitzienne''' s'il existe ''k'' ≥ 0 tel que ''f ''soit ''k''-lipschitzienne<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Alain|nom1=Yger|prénom2=Jacques-Arthur|nom2=Weil|titre=Mathématiques appliquées L3|sous-titre=Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés|lieu=Paris|éditeur=Pearson|année=2009|lire en ligne={{Google Livres|fqOu6xKdmhcC|page=141}}|page=141}}.</ref>.
* S'il existe de tels ''k ''alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la '''constante de Lipschitz''' de ''f''.
* Notons Lip (''f'') cette constante : on a <math>\text{Lip}(f)=\sup_{x\neq{y}}\left ( \frac{d\bigl(f(x),f(y)\bigr)}{d(x,y)} \right )</math><ref>{{Lien web|langue=en|titre=fractals and self similarity, p.716|url=http://www.iumj.indiana.edu/docs/30055/30055.asp|site=université de l'Indiana|date=}}</ref>
*''f ''est dite '''[[application contractante|contractante]]''' s'il existe un <math>k\in[0,1[</math> tel que ''f ''soit ''k''-lipschitzienne, autrement dit si Lip (''f'') < 1.
*''f ''est dite '''[[Propriété locale|localement]] lipschitzienne''' si pour tout point ''x ''de ''E'', il existe un [[Glossaire de topologie#V|voisinage]] ''V ''de ''x ''tel que la [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restriction]] de ''f ''à ''V ''soit lipschitzienne (pour une certaine constante ''k ''qui peut dépendre de ''V'', donc de ''x'').

== Propriétés ==

=== Caractérisation parmi les fonctions dérivables ===
Une fonction {{math|''f''}} dérivable sur un [[intervalle réel]] est lipschitzienne si et seulement si sa [[dérivée]] est bornée<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|Wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme#Fonctions lipschitziennes et höldériennes|cette section de la leçon « Fonctions d'une variable réelle »|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.

;[[Corollaire (mathématiques)|Corollaire]]s
:*Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne<ref name=Wikiversité/>.
:*Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.

=== Quelques propriétés ===

* Toute fonction lipschitzienne est [[continuité uniforme|uniformément continue]] et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les [[Condition de Hölder|fonctions 1-höldériennes]], or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
*Si une fonction <math>f</math> définie sur un [[Espace métrique#Produit d'espaces métriques|produit de deux espaces métriques]] <math>(E_1,d_1)</math> et <math>(E_2,d_2)</math> est ''k''{{ind|1}}-lipschitzienne par rapport à la première variable et ''k''{{ind|2}}-lipschitzienne par rapport à la seconde, alors elle est {{nobr|(''k''{{ind|1}} + ''k''{{ind|2}})-}}lipschitzienne, sur ce produit <math>E=E_1\times E_2</math> muni de la distance <math>d_E</math> définie par <math>d_E(x,y)=\text{max}\bigg(d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\bigg)</math>. En effet, on a alors :
:<math>d_F\bigg(f(x),f(y)\bigg)\leqslant d_F\bigg(f(x_1,x_2), f(y_1,x_2)\bigg)+d_F\bigg(f(y_1,x_2), f(y_1, y_2)\bigg)\leqslant k_1d_1(x_1,y_1)+k_2d_2(x_2,y_2)\leqslant (k_1+k_2)d_E(x,y)</math>
*Sur un [[espace compact]], toute fonction localement lipschitzienne est lipschitzienne.
*Toute [[fonction réelle]] lipschitzienne est ([[Absolue continuité|absolument continue]] donc [[Fonction à variation bornée|à variation bornée]] donc) [[dérivable]] [[presque partout]] pour la [[mesure de Lebesgue]] et sa [[dérivée]] est [[Espace L∞|essentiellement bornée]].
*D'après un [[théorème de Rademacher]], toute fonction lipschitzienne définie sur ℝ<sup>''n''</sup> est encore dérivable Lebesgue-presque partout. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en [[théorie géométrique de la mesure]] où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
*Toute [[Convergence simple|limite simple]] <math>f</math> de fonctions ''k''-lipschitziennes <math>f_n: E\to F</math> est ''k''-lipschitzienne. À vrai dire, une limite simple sur un [[Compact (mathématiques)|compact]] est automatiquement [[Convergence uniforme|uniforme]] (la lipschitzianité uniforme implique [[Équicontinuité|l'équicontinuité]] qui implique la convergence uniforme sur tout compact). Soit <math>\varepsilon >0</math> ; on va montrer que <math>f</math> est <math>(k+\varepsilon)</math>-lipschitzienne. Pour tous points <math>x</math> et <math>y</math> de <math>E</math> on a l'existence d'un <math>N</math> tel que pour <math>n\geqslant N</math> on ait <math>d_F\bigg(f(x),f_n(x)\bigg)\leqslant \delta</math> (en prenant astucieusement <math>\delta=d_E(x,y)\dfrac \varepsilon 2</math>) et similairement pour <math>y</math> (quitte à prendre le plus grand entre le <math>N_x</math> et le <math>N_y</math>) : <math>d_F\bigg(f(x),f(y)\bigg)\leqslant D_F\bigg(f_n(x),f_n(y)\bigg)+2\delta \leqslant k d_E(x,y)+\varepsilon D_E(x,y)</math>
<math>f</math> étant (k+ε)-lipschitzienne pour tout ε, il en découle le fait que f est k-lipschitzienne.
*Le {{Lien|trad=Kirszbraun theorem|théorème de Kirszbraun}} (démontré pour deux [[espaces euclidiens]] par  Mojżesz David Kirszbraun puis généralisé par Frederick Valentine) assure que pour deux [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] ''H''{{ind|1}}, ''H''{{ind|2}}, une fonction lipschitzienne sur une partie de ''H''{{ind|1}} et à valeurs dans ''H''{{ind|2}} peut se prolonger en une fonction lipschitzienne de ''H''{{ind|1}} tout entier dans ''H''{{ind|2}}, avec la même constante de Lipschitz.

== Exemples ==
*Une application est 0-lipschitzienne si et seulement si elle est constante<ref name=BalacChupin/>.
*Quel que soit le réel ε > 0, la [[Racine carrée#Fonction réelle|fonction racine carrée]] n'est pas lipschitzienne sur [0,&nbsp;ε] ni même (ce qui par continuité est en fait équivalent) sur ]0,&nbsp;ε]<ref name=Wikiversité/> (elle est seulement {{frac|1|2}}-höldérienne).
*La fonction ''g ''définie sur l'intervalle fermé borné [0,&nbsp;1] par <math>g(x)=x^{3/2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> si ''x''&nbsp;≠&nbsp;0 et ''g''(0)&nbsp;=&nbsp;0 est dérivable sur tout son domaine, mais non lipschitzienne, car de dérivée non bornée.
*Considérons l'espace métrique <math>\Bbb R ^2</math> muni de la [[distance de Manhattan]]. L'application <math>(x,y)\rightarrow x+y</math> est alors 1-lipschitzienne<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean Dieudonné]]|titre=[[Éléments d'analyse]]|tome=I|titre volume=Fondements de l'analyse moderne|passage=79|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|date=1979|isbn=978-2-04-010410-8|oclc=489875029|consulté le=2022-07-08}}.</ref>. Plus généralement, toute [[Espace vectoriel normé#Opérateur_borné|application linéaire continue entre deux e.v.n.]] ([[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés) est lipschitzienne (en particulier, toute [[application linéaire]] d'un [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|e.v.n. de dimension finie]] dans un e.v.n.).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Théorème de Cauchy-Lipschitz]]
* [[Théorème du point fixe de Banach]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Lipschitzienne]]