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En [[algèbre linéaire]], une '''application multilinéaire''' est une [[application (mathématiques)|application]] [[fonction de plusieurs variables|à plusieurs variables]] [[Vecteur|vectorielles]] et à valeurs vectorielles qui est [[linéarité|linéaire]] en chaque variable. Une application multilinéaire à valeurs [[Scalaire (mathématiques)#Scalaires d'espaces vectoriels|scalaires]] est appelée [[forme multilinéaire]]. Une application multilinéaire à deux variables vectorielles est dite [[application bilinéaire|bilinéaire]].

Quelques exemples classiques :

* le [[produit scalaire]] est une [[forme bilinéaire]] [[Forme bilinéaire symétrique|symétrique]] ;
* le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est une forme multilinéaire [[Forme antisymétrique|antisymétrique]] des colonnes (ou lignes) d'une [[matrice carrée]].

L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du [[produit extérieur]] et de nombreux autres outils ayant un contenu [[géométrique]]. La branche de l'algèbre correspondante est l'[[algèbre multilinéaire]]. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des [[variété (géométrie)|variétés]], en [[topologie différentielle]]. 

== Définition ==

Soient un entier {{math|''k'' > 0}} et des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] <math>E_1,\ldots,E_k,F</math> sur un même [[Corps (mathématiques)|corps]] {{math|''K''}}. Une application
:<math>f:E_1\times\ldots\times E_k\to F</math>
est dite multilinéaire (ou plus précisément : {{math|''k''}}-linéaire) si elle est [[application linéaire|linéaire]] en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs <math>x_1, ..., x_k, x'_i</math> et des scalaires {{math|''a''}} et {{math|''b''}},
:<math>f(x_1,\dots,x_{i-1},ax_i+bx'_i,x_{i+1},\dots,x_k)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots, x_k)+bf(x_1,\dots,x'_i,\dots x_k).</math>

De façon informelle, on peut se représenter une application {{math|''k''}}-linéaire comme une application produit de {{math|''k''}} termes, avec une propriété de type [[distributivité]].

L'ensemble des applications {{math|''k''}}-linéaires de <math>E_1\times\ldots\times E_k</math> dans {{math|''F''}} est un [[sous-espace vectoriel]] de [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|l'espace ''F''<sup>''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>n</sub></sup>'' de toutes les applications de ''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>n</sub>'' dans ''F'']]. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note <math>L(E_1,\ldots,E_k;F)</math>, ou plus simplement <math>L_k(E;F)</math> lorsque <math>E_1=\ldots=E_k=E</math>. L'espace <math>L_k(E;K)</math> des [[Forme multilinéaire|formes {{math|''k''}}-linéaires]] sur {{math|''E''}} est noté <math>L_k(E)</math>.

Si {{math|1=''k'' = 1}}, on retrouve l'espace <math>L(E;F)</math> des applications linéaires de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}}. En revanche si {{math|''k'' > 1}}, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires <math>L(E_1,\ldots,E_k;F)</math> avec l'espace <math>L(E_1\times\ldots\times E_k;F)</math> des applications linéaires sur l'[[Espace vectoriel#Produits et sommes directes|espace vectoriel produit]] <math>E_1\times\ldots\times E_k</math>. Par exemple, de ''K×K'' dans ''K'', la multiplication <math>(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2</math> est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection <math>(x_1,x_2)\mapsto x_1</math> est linéaire mais pas bilinéaire.

== Écriture en composantes ==

Si <math>\mathcal B_1,\ldots,\mathcal B_k</math> (finies ou pas) sont des bases respectives des espaces <math>E_1,\ldots,E_k</math>, l'application (linéaire) de restriction
:<math>L(E_1,\ldots,E_k;F)\to F^{\mathcal B_1\times\ldots\times\mathcal B_k},\qquad f\mapsto f_{|\mathcal B_1\times\ldots\times\mathcal B_k}</math>
est [[bijective]] (donc est un [[isomorphisme d'espaces vectoriels]]), c'est-à-dire qu'une application {{math|''k''}}-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les {{math|''k''}}-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de {{math|''F''}}.

Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que
:<math>E_1=\ldots=E_k\quad\text{et}\quad\mathcal B_1=\ldots=\mathcal B_k=(e_i)_{i=1,\ldots,n},</math>
on peut décomposer chaque vecteur
:<math>x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i.</math>
Alors l'expression d'une forme {{math|''k''}}-linéaire sur le {{math|''k''}}-uplet <math>x_1, ..., x_k</math> devient
:<math>f(x_1,\dots,x_k )= f\left(\sum_{i_1=1}^n X_{i_1,1} e_{i_1}, \dots, \sum_{i_k=1}^n X_{i_k,k} e_{i_k}\right)=\sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_k=1}^n \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}).</math>
La connaissance des <math>n^k</math> valeurs <math>f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})</math> détermine entièrement l'application {{math|''k''}}-linéaire {{math|''f''}}.

En particulier, l'espace <math>L_k(E)</math> des formes {{math|''k''}}-linéaires sur un espace vectoriel {{math|''E''}} de dimension {{math|''n''}} a pour dimension <math>n^k</math>.

== Symétrie et antisymétrie ==

Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite
* '''{{Page h'|symétrique}}''' si elle est [[Loi commutative|commutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math> ;
* [[Forme antisymétrique|'''antisymétrique''']] si elle est [[Anticommutativité|anticommutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=-f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math>.

On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une [[permutation]] des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si {{math|''f''}} est symétrique, et changé en son opposé si {{math|''f''}} est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si {{math|''f''}} est symétrique, et de multiplier par la [[permutations paires et impaires|signature]] de la permutation si {{math|''f''}} est antisymétrique. En résumé, <math>\mathfrak S_k</math> désignant le [[groupe symétrique]] d'indice <math>k</math> :
* si {{math|''f''}} est symétrique alors<ref name=":0">{{Chapitre|auteur1=Lucien Chambadal|auteur2=Jean-Louis Ovaert|titre chapitre=Linéaire & multilinéaire|titre ouvrage=Dictionnaire des mathématiques: algèbre, analyse, géométrie|éditeur=Albin Michel|jour=4|mois=9|année=1997|pages totales=923|passage=644|isbn=978-2226094230}}</ref> :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=f(x_1,\dots, x_k)</math> ;
* si {{math|''f''}} est antisymétrique alors<ref name=":0" /> :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots, x_k)</math> où <math>\varepsilon(\sigma)</math> est la [[Signature d'une permutation|signature]] de  <math>\sigma</math>.

Les sous-ensembles correspondants de <math>L_k(E;F)</math>, notés respectivement <math>S_k(E;F)</math> et <math>A_k(E;F)</math>, sont des sous-espaces vectoriels. Si la [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] du corps {{math|''K''}} est égale à 2, ils sont égaux.

== Application alternée ==

Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite '''alternée''' si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un {{math|''k''}}-uplet contenant deux vecteurs identiques<ref name=":0" /> :
: <math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_k)=0.</math>

De façon équivalente, une application {{math|''k''}}-linéaire sur <math>E^k</math> est alternée si elle s'annule sur tous les {{math|''k''}}-uplets liés. En particulier, si {{math|''k''}} est strictement supérieur à la dimension de {{math|''E''}}, alors la seule application {{math|''k''}}-linéaire alternée de <math>E^k</math> dans {{math|''F''}} est l'application nulle.

{{énoncé|Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique.

Si la caractéristique du corps {{math|''K''}} est différente de 2, la réciproque est vérifiée : toute application multilinéaire antisymétrique est alternée<ref name=Wikiversité>Pour une démonstration, voir par exemple la [[#Voir aussi|leçon sur Wikiversité]].</ref>.
}}

=== Application {{math|''n''}}-linéaire alternée en dimension {{math|''n''}} ===

Dans cette section on suppose que l'espace {{math|''E''}} est de dimension finie {{math|''n''}} et l'on étudie le cas particulier {{math|1=''k = n''}}. Pour {{math|1=''F = K''}}, cette étude permet de donner une définition alternative du [[Déterminant (mathématiques)|déterminant dans une base ''e'' d'un ''n''-uplet de vecteurs, ou de sa matrice]], lorsqu'on l'a défini au préalable par la [[Formule de Leibniz#Déterminant d'une matrice carrée|formule de Leibniz]].

Si {{math|''E''}} est muni d'une base <math>e=(e_1,\dots, e_n)</math>, on peut décomposer chaque vecteur
: <math>x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i</math>.

Alors, l'expression d'une forme {{math|''n''}}-linéaire {{math|''f''}} sur le {{math|''n''}}-uplet <math>x_1,\dots, x_n</math> {{supra|Écriture en composantes}} se simplifie lorsque {{math|''f''}} est alternée (donc aussi antisymétrique) :
: <math>f(x_1,\dots,x_n )=\left(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_1,\dots,e_n)={\det}_e(x_1,\dots, x_n)f(e_1,\dots,e_n)</math><ref name=Wikiversité/> où <math>\varepsilon(\sigma)</math> est la [[Signature d'une permutation|signature]] de  <math>\sigma</math>.

Ainsi, la connaissance du seul vecteur <math>f(e_1,\dots,e_n)</math> ''suffit'' pour déterminer complètement la fonction {{math|''f''}}, et l'application <math>{\det}_e</math> est l'unique forme {{math|''n''}}-linéaire alternée {{math|''f''}} telle que <math>f(e_1,\dots,e_n)=1</math>.

{{Théorème|Théorème<ref name=Wikiversité/>|Si {{math|''E''}} est de dimension {{math|''n''}}, alors l'espace <math>A_n(E;F)</math> des applications {{math|''n''}}-linéaires alternées de {{math|''E{{exp|n}}''}} dans {{math|''F''}} est isomorphe à {{math|''F''}}.}}Remarque : ce théorème permet d'[[Orientation (mathématiques)|orienter]] des espaces vectoriels réels en choisissant, dans le cas où F=R, dans la droite A des formes n-linéaires alternées, l'une ou l'autre des [[Demi-droite|demi-droites]] A<nowiki>' ou A'' et en appelant plans vectoriels orientés les couples (E,A) ou (E,A'</nowiki>)<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean Dieudonné|titre=Algèbre linéaire et géométrie élémentraire|lieu=Paris|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1964|passage=pp. 78-83 pour les plans vectoriels}}</ref>.

=== Application {{math|''k''}}-linéaire alternée en dimension {{math|''n>k''}} ===

Reprenant le cas d'une application {{math|''k''}}-linéaire alternée en dimension {{math|''n''}}, on suppose cette fois que {{math|''n > k''}} (rappelons que si {{math|''n < k''}}, toute application {{math|''k''}}-linéaire alternée est nulle). Une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figure deux fois le même vecteur ; il vient
: <math>f(x_1,\dots,x_k )=  \sum_{(i_1, \dots,i_k)\in J} \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})</math>
où {{math|''J''}} est l'ensemble des {{math|''k''}}-uplets <math>(i_1, ..., i_k)</math> avec chaque <math>i_j</math> dans [|1,n|] et les <math>i_j</math> tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans {{math|''f''}} de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme 
: <math>f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})\qquad\text{ avec }1\le i_1<i_2<\dots<i_{k-1}<i_k\le n.</math>
Le nombre de tels {{math|''k''}}-uplets réordonnés est le [[coefficient binomial]] <math>\tbinom{n}{k}</math>, et une forme {{math|''k''}}-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de {{math|''f''}} sur ces {{math|''k''}}-uplets. En définitive, le théorème précédent se généralise en :

{{Théorème|Si {{math|''E''}} est de dimension {{math|''n''}}, alors l'espace <math>A_k(E;F)</math> des applications {{math|''k''}}-linéaires alternées de {{math|''E{{exp|k}}''}} dans {{math|''F''}} est isomorphe à
<center><math>F^{\tbinom nk}.</math></center>}}

Plus précisément, la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un [[mineur (algèbre linéaire)|mineur]] de la [[Matrice (mathématiques)#Coordonnées|matrice représentative]] de la famille des vecteurs <math>x_i</math> dans la base des <math>e_j</math>.
: <math>f(x_1,\dots,x_k )=  \sum_{ 1\leq i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\leq n}  \begin{vmatrix} 
X_{i_1;1}&X_{i_1;2}&\dots &X_{i_1;k} \\
X_{i_2;1}&X_{i_2;2}&\dots &X_{i_2;k} \\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
X_{i_k;1}&X_{i_k;2}&\dots &X_{i_k;k} 
\end{vmatrix}f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}).</math>

==Note==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
  | wikiversity = Application multilinéaire
}}
===Articles connexes===
[[Algèbre extérieure]] • [[Anticommutativité]]  • [[Permanent (mathématiques)|Permanent]] • [[Tenseur]]

===Bibliographie===
[[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre''

{{Palette|Algèbre linéaire}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre multilinéaire]]