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En [[mathématiques]], une '''application projective''' est une application entre deux [[espace projectif|espaces projectifs]] qui préserve la structure projective, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces… en des droites, plans, espaces.

Une application projective [[bijection|bijective]] s'appelle une '''homographie'''.
<center> [[Image:France1.gif]] ➪ [[Fichier:France homographie (1).gif]]</center>{{Centrer|Transformation d'un graphique par homographie}}

== Définition et premières propriétés ==
Rappelons que la définition moderne d'un espace projectif <math>E\,</math> est d'être un ensemble dont les points sont les droites vectorielles d'un <math>\mathbb K</math>-[[espace vectoriel]] <math>\vec E</math>.
Une application <math>f\,</math> d'un [[espace projectif]] <math> E\,</math> vers un espace projectif <math> E'\,</math> est dite ''projective'' s'il existe une application linéaire <math>\vec f</math> injective de <math>\vec E</math> vers <math>\vec E'</math> telle que pour tout point <math>M\,</math> de <math>E\,</math> (qui est aussi une droite de <math>\vec E</math>), <math>f(M)=\vec f(M)</math>. L'application linéaire <math>\vec f</math>, qui est définie à une constante multiplicative près, est appelée l'application ''homogène'' associée à <math>f\,</math> 
(et <math>f\,</math> est dite ''induite'' par <math>\vec f</math>). On dit aussi<ref>{{Ouvrage|auteur1=Alfred Doneddu|titre=mathématiques supérieures et spéciales, compléments de géométrie algébrique|passage=45|éditeur=[[Dunod]]|date=1972|pages totales=348}}</ref> que <math>f</math> est obtenue à partir de <math>\vec f</math> par ''passage au quotient''.

On peut généraliser au cas d'une application <math>\vec f</math> non injective, mais alors l'application projective n'est plus définie que sur <math>E - C</math> où <math>C=\pi\left(\ker \vec f - \{\vec 0\}\right)</math>. Ici, <math> \pi</math> représente la projection canonique de <math> \vec{E} - \{\vec 0\}</math> sur <math>E </math> et <math> \ker (\vec f)</math> le [[noyau (algèbre)|noyau]] de <math>\vec f</math>. On parle alors<ref>{{Tauvel}}, {{p.|180}}.</ref> d{{'}}''application projective de <math>E</math> dans <math> F</math> de centre <math>C</math>''.

Si <math>E\,</math> est de dimension <math>n\,</math>, une application projective est entièrement déterminée par la donnée de <math>n+2\,</math> points formant un [[repère projectif]] et de leurs images.

Les applications projectives transforment un sous-espace projectif en un sous-espace projectif, et conservent le [[birapport]] de 4 points alignés distincts.

Dans le cas <math>E=E'\,</math>, les points fixes de <math>f\,</math> ne sont autres que les droites de <math>\vec E</math> dirigées par un vecteur propre de <math>\vec f</math> associé à une [[valeur propre]] non nulle.

Les applications projectives [[Bijection|bijectives]] sont appelées des ''transformations projectives'', ou ''homographiques'', ou encore des ''homographies''. Les homographies d'un espace projectif dans lui-même forment un groupe, appelé le [[Groupe général linéaire#Groupe projectif linéaire|''groupe projectif'']] de <math>E\,</math>, noté <math>GP(E)\,</math> ; ce groupe, noté également <math>PGL(\vec E)\,</math>, est isomorphe au quotient du [[groupe linéaire]] <math>GL(\vec E)\,</math> par le sous-groupe des [[homothétie]]s.

Une classe importante d'homographies est constituée par les [[homologie (géométrie)|homologies]], ayant un [[hyperplan]] de points fixes, qui engendrent le groupe projectif en dimension finie.

== Exemple des projections ==

{| class="wikitable centre" border="1"
|[[Image:perspective_centrale.gif]]
|Étant donné un hyperplan <math>H\,</math> de l'espace projectif <math>E\,</math> et un point <math>S\,</math> n'appartenant pas à <math>H\,</math> la projection (ou perspective) de ''centre'' <math>S\,</math> et de ''base'' <math>H\,</math> est l'application qui à tout point <math>M\,</math> différent de <math>S\,</math> fait correspondre le point d'intersection de la droite <math>(SM)\,</math> avec <math>H\,</math> ; c'est une application projective, car elle est induite par la [[projecteur (mathématiques)|projection vectorielle]] de base <math>\vec H\,</math> (qui est un hyperplan de <math>\vec E\,</math>) et de direction <math>S\,</math> (qui est une droite de <math>\vec E\,</math>).
|-
|[[Image:Projection projective.gif|right]]
|Plus généralement, si <math>F\,</math> et <math>G\,</math> sont deux sous-espaces projectifs supplémentaires de <math>E\,</math> (c'est-à-dire <math>\vec F + \vec G = \vec E\,</math>), la projection de ''sous-espace central'' <math>G\,</math> et de ''base'' <math>F\,</math> est l'application qui à tout point <math>M\,</math> n'appartenant pas à <math>G\,</math> fait correspondre le point d'intersection du sous-espace projectif engendré par <math>G\,</math> et <math>M\,</math> avec <math>F\,</math>. En dimension 3 par exemple, si <math>D_1\,</math> et <math>D_2\,</math> sont deux droites non coplanaires on peut définir la projection de droite centrale <math>D_1\,</math> et de base <math>D_2\,</math>.
|}

== Expression analytique des applications projectives ==
Nous rapportons les espaces projectifs <math>E\,</math> et <math>E'\,</math> à des [[Repère projectif|repères projectifs]] <math>R=(A_1,...,A_{n+1},\Omega)\,</math> et <math>R'=(A'_1,...,A'_{n+1},\Omega')\,</math> ; pour <math>R\,</math>, il existe une unique base de <math>\vec E : B=(\vec e_1,...,\vec e_{n+1})</math> telle que <math>\vec e_i</math> dirige <math>A_i\,</math> et <math>\vec e_1+...+\vec e_{n+1}</math> dirige <math>\Omega\,</math> (idem pour <math> R'\,</math>).

La ''matrice homogène'' de <math>f\,</math> dans <math>R\,</math> et <math> R'\,</math> est la matrice <math>A=(a_{ij})\,</math> de <math>\vec f</math> dans <math>B\,</math> et <math>B'\,</math>.

Si l'on envoie à l'infini l'hyperplan passant par <math>A_1,...,A_{n+1}\,</math>, l'espace affine <math>\check E</math> obtenu s'identifie à l'hyperplan <math> X_{n+1}=1\,</math> de <math>\vec E</math> et on rapporte <math>\check E</math> au repère <math>\check R=(X_{n+1},\vec e_1,...,\vec e_n)</math> ; les coordonnées affines <math>(x_1,..., x_n)\,</math> d'un point <math>M\,</math> dans <math>\check R</math> et ses coordonnées homogènes <math>(X_1,...,X_{n+1})\,</math> sont reliées par les relations <math>x_i=X_i / X_{n+1}\,</math>. Si l'on fait de même dans <math>E'\,</math>, l'expression analytique homogène de <math>f\,</math> est donnée par les formules : 
<center><math>X'_i=\sum_{j=1}^{n+1}{a_{ij}X_j}</math></center>, et son expression analytique affine par les formules 
<center><math>x'_i={\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_j} + a_{i,n+1} \over \sum_{j=1}^{n}{(a_{n+1,j})x_j} + a_{n+1,n+1}}</math></center>

Les applications projectives sont donc définies analytiquement comme des quotients de formes affines par une même forme affine.

== Homographies de la droite ==

Une bijection d'une [[droite projective]] dans elle-même est une homographie si et seulement si elle conserve le [[birapport]]. Donc si <math>(A,B,C)</math> et <math>(A',B',C')</math> sont deux triplets de points distincts de la droite, l'unique homographie qui transforme <math>(A,B,C)</math> en <math>(A',B',C')</math> est définie par 
<center><math>(A',B',C',M')=(A,B,C,M).</math></center>

On rapporte la droite projective à un repère projectif <math>(X_\infty,O,I)</math>, et rapportons au repère <math>(O,I)\,</math> la droite affine obtenue en envoyant à l'infini le point <math>X_\infty</math> ; les coordonnées des différents points sont données dans le tableau :

{| class="wikitable centre" border="1"
!Points
|<math>X_\infty</math>
|<math>O</math>
|<math>I</math>
|<math>G</math>
|-
!Coordonnées homogènes
|(1,0)
|(0,1)
|(1,1)
|(1,2)
|-
!Coordonnée affine
|<math>\infty</math>
|0
|1
|1/2
|}

La classification des homographies de la droite provient de celle des matrices d'ordre 2 ; dans le cas où le [[polynôme caractéristique]] de l'application homogène est scindé (donc par exemple en [[géométrie complexe]]), il n'y a que deux possibilités, suivant que ce polynôme est à racines simples ou a une racine double :

{| class="wikitable centre" border="1"
!Matrice homogène réduite dans un repère projectif <math>(A,B,\Omega)</math>
!Points fixes
!cas <math>A=X_\infty,B=0,\Omega=I\,</math>
!expression analytique dans ce cas
!cas <math>A=I, B=O, \Omega=G\,</math>
|-
| align="center" | <math>\begin{bmatrix} a &  \\  & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>A</math> et <math>B</math><br/>[[Homologie (géométrie)|Homologie]] spéciale de base <math>A</math> et de centre <math>B</math> (ou l'inverse)
| Homothétie de rapport <math>a</math> 
|<math>x'=ax\,</math>
|<math>x'=\frac {ax}  {(a-1)x+1}</math><br/>Homographie à deux points fixes <math>O</math> et <math>I</math>
|-
| align="center" | <math>\begin{bmatrix} 1 & 1    \\ &  1 \end{bmatrix}</math>
|<math>A</math><br/>[[Homologie (géométrie)|Homologie]] spéciale de base A et centre B 
|Translation de vecteur <math>\overrightarrow {OI}</math>.
|<math>x'=x+1\,</math>
|<math>x'=\frac{1}{2-x},</math><br/>Homographie à un point fixe <math>I</math>
|}

Dans le cas réel, les homographies à 2, 1 et 0 points fixes (correspondant à un [[discriminant]] de polynôme caractéristique >0, =0 ou <0) sont dites ''hyperboliques'', ''parabolique'', ou ''elliptiques''.

Dans le cas complexe, les homographies de la droite projective complexe, qui est un plan réel adjoint d'un [[point à l'infini]], et les homographies composées avec les réflexions (appelées ''antihomographies'') forment exactement les [[transformation circulaire|transformations circulaires]].

== Homographies du plan ==
Nous rapportons le plan projectif à un repère projectif <math>(X_\infty,Y_\infty,O,K)</math>, et rapportons à un repère <math>(O,I,J)\,</math> le plan affine obtenu en envoyant à l'infini la droite <math>(X_\infty,Y_\infty)</math> ; les coordonnées des différents points sont données dans le tableau :

{| class="wikitable center"
!Points
|<math>X_\infty</math>
|<math>Y_\infty</math>
|<math>O</math>
|<math>I</math>
|<math>J</math>
|<math>K</math>
|<math>G</math>
|-
!Coordonnées homogènes
|(1,0,0)
|(0,1,0)
|(0,0,1)
|(1,0,1)
|(0,1,1)
|(1,1,1)
|(1,1,3)
|-
!Coordonnées affines
|(<math>\infty</math>,0)
|(0,<math>\infty</math>)
|(0,0)
|(1,0)
|(0,1)
|(1,1)
|(1/3,1/3)
|}

La classification des homographies provient de celle des matrices d'ordre 3 ; pour les cas où le polynôme caractéristique de l'application homogène est scindé, on obtient :

{| class="wikitable center"
!Matrice homogène réduite dans un repère projectif <math>(A,B,C,\Omega)</math>
!Points fixes et droites stables
!Cas <math>A=X_\infty, B=X_\infty,C=0,\Omega=K\,</math>
!Expressions analytiques dans ce cas
!Cas <math>A=I, B=J, C=O, \Omega=G\,</math>
|-
| align="center" |<math>\begin{bmatrix} a & &  \\ & b &  \\ & & 1 \end{bmatrix}</math>
|[[Fichier:Homographie 1.gif]]
|Biaffinité de rapport <math>a</math> suivant <math>Ox</math>, et de rapport <math>b</math> suivant <math>Oy</math>
|<math>\begin{align}x'&=ax\\y'&=by\end{align}</math>
|<math>\begin{align}x' &=\frac {ax}  {(a-1)x+(b-1)y+1} \\ y' &= {by \over (a-1)x+(b-1)y+1} \end{align}</math>
|-
| align="center" |<math>\begin{bmatrix} a & &  \\ & a &  \\ & & 1 \end{bmatrix}</math>
|[[Fichier:Homographie 2.gif]]<br/>La droite <math>(AB)</math> est formée de points fixes, <math>C</math> est fixe et les droites passant par <math>C</math> sont stables.
|Homothétie de rapport <math>a</math> et de centre <math>O</math>
|<math>\begin{align}x'&=ax\\y'&=ay\end{align}</math>
|<math>\begin{align}x' &=\frac {ax}  {(a-1)(x+y)+1} \\ y'&={ay \over (a-1)(x+y)+1}\end{align}</math><br/>[[Homologie (géométrie)|Homologie]] générale de centre <math>O</math>, de base <math>(IJ)</math> et de rapport <math>a</math>.
|-
| align="center" |<math>\begin{bmatrix} 1 & &  \\ & 1 & 1  \\ & & 1 \end{bmatrix}</math>
|La droite <math>(AB)</math> est formée de points fixes et les droites passant par <math>A</math> sont stables
|Translation de vecteur <math>\vec j</math>.
|<math>\begin{align}x'&=x\\y'&=y+1\end{align}</math>
|<math>\begin{align}x' &= {x\over 2-x-y} \\ y' &={1-x\over 2-x-y}\end{align}</math><br/>[[Homologie (géométrie)|Homologie]] spéciale de centre <math>I</math> et de base <math>(IJ)</math>
|-
| align="center" |<math>\begin{bmatrix} a & &  \\ & 1 & 1  \\ & & 1 \end{bmatrix}</math>
|<math>A</math> et <math>B</math> sont fixes, et les droites <math>(AB)</math> et <math>(BC)</math> sont fixes.
|Dilatation de rapport <math>a</math> suivant <math>Ox</math> et translation de vecteur <math>\vec j</math> .
|<math>\begin{align}x'&=ax\\y'&=y+1\end{align}</math>
|
|-
| align="center" |<math>\begin{bmatrix} 1 &1 &   \\ &  1& 1  \\ & & 1 \end{bmatrix}</math>
|<math>A</math> est fixe et la droite <math>(AB)</math> est invariante
|[[Transvection]] suivant <math>Ox</math> et translation suivant <math>Oy</math>
|<math>\begin{align}x'&=x+y\\y'&=y+1\end{align}</math>
|
|}

On peut remarquer qu'il y a toujours autant de points fixes que de droites stables. Plus généralement, on montre que pour toute homographie, il existe une [[dualité (géométrie projective)|dualité]] (bijection entre les points et les droites du plan inversant les appartenances) induisant une bijection entre ses points fixes et ses droites stables.

== Caractérisation géométrique des homographies ==
On suppose dans ce paragraphe que <math>\mathbb K=\mathbb{R}</math> et que les espaces sont de dimension finie.

{{Théorème|Théorème fondamental de la géométrie projective||énoncé=En dimension <math>\geqslant 2</math>, les homographies d'un espace projectif dans lui-même sont les bijections transformant une droite en une droite, ou mieux, transformant trois points alignés en trois points alignés.}}

Ceci constitue le ''théorème fondamental de la géométrie projective'', se déduisant du [[théorème fondamental de la géométrie affine]]. Il est remarquable qu'il n'y ait pas besoin de préciser la conservation du birapport dans cette caractérisation.

== Liens ==

* [[Géométrie projective]]
* [[Fonction homographique]]
* [[Dualité (géométrie projective)]]

== Bibliographie ==
* Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009, {{ISBN|978-2-91-635208-4}}
* ''Méthodes modernes en géométrie'' de Jean Fresnel
* Bruno Ingrao, ''Coniques affines, euclidiennes et projectives'', C&M, {{ISBN|978-2-916352-12-1}}
* Jean-Claude Sidler, ''Géométrie projective'', [[Éditions Dunod|Dunod]], 2000 ({{2e}} édition) {{ISBN|2-10-005234-9}}
* Alain Bigard, ''Géométrie'', Masson, 1998
* Yves Ladegaillerie, ''Géométrie'', Ellipses, 2003

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie projective]]
[[Catégorie:Transformation géométrique]]