Voir la source de Arc sinus

{{redirect confusion|Arcsin|Arsin}}
{{sources|date=mai 2021}}
{{Infobox Fonction mathématique
 | nom = Fonction arc sinus
 | image = Arcsine.svg
 | légende = Représentation graphique de la fonction arc sinus.
 | notation = <math>\arcsin(x)</math>
 | réciproque = <math>\sin(x)</math> sur <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
 | dérivée = <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 | primitives = <math>x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C</math>
 | ensemble de définition = [−1, 1]
 | ensemble image = <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
 | parité = impaire
 | périodicité = 
 | zéro = 
 | plusinf = 
 | moinsinf = 
 | maxima = 
 | minima = 
 | asymptotes = 
 | zéros = 
 | points critiques = 
 | points d'inflexion = 
 | points fixes = 
}}

En [[mathématiques]], l’'''arc sinus''' d'un [[nombre réel]] compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'[[angle]] en [[radian]]s dont le [[Sinus (mathématiques)|sinus]] vaut ce nombre, et comprise entre <math>-\frac{\pi}{2}</math> et <math>\frac{\pi}{2}</math>.

La [[Fonction (mathématiques)|fonction]] qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée <math>\arcsin</math> (<math>\operatorname{Arcsin}</math><ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles|sous-titre=Filière : scientifique (MPSI)|pages totales=35|passage=10|lire en ligne=https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/imported_files/document/programme-MPSI_252456.pdf|accès url=libre|format électronique=pdf|consulté le=2024-06-05|titre chapitre=Techniques fondamentales de calcul en analyse}}</ref> ou <math>\operatorname{Asin}</math> en notation française, et <math>\sin^{-1}</math>, parfois <math>\operatorname{asin}</math> ou <math>\operatorname{asn}</math> , en notation anglo-saxonne). 

Il s'agit alors de la [[bijection réciproque]] de la [[Restriction (mathématiques)|restriction]] de la [[fonction trigonométrique]] sinus à l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] <math>\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]</math>. Elle fait partie des [[Fonction circulaire réciproque|fonctions circulaires réciproques]].

On a donc par définition :

<math>
\begin{cases} \theta=\arcsin x \\ x\in [-1;1] \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=\sin \theta \\ 
\theta\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right] \end{cases}
</math>.

== Courbe représentative ==
Dans un [[repère cartésien]] [[Base orthonormée|orthonormé]] du plan, la [[courbe représentative]] de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle <math>\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]</math> par la [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]] d'axe la droite d'équation <math>y=x</math>.

== Relations avec les fonctions circulaires directes ==

* <math>\sin(\arcsin x)=x</math> pour <math>
x\in [-1;1]
</math> ;
* <math>
\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}
</math> pour <math>
x\in [-1;1]
</math> ;
* <math>
\tan(\arcsin x)=\frac x{\sqrt{1-x^2}}
</math> pour <math>
x \in \left]-1;1\right[
</math>.

Par contre, <math>
\arcsin(\sin x)=x
</math> seulement pour <math>
x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}\right]
</math>.

La formule générale est <math>
\arcsin(\sin x)=(-1)^k(x-k\pi)
</math> où <math>
k
</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de <math>
\frac x {\pi}+\frac12
</math>.

== Dérivée ==
Comme [[dérivée]] d'une bijection réciproque, <math>\arcsin</math> est dérivable sur <math>
]-1;1[
</math> et vérifie :
{{retrait|<math>\arcsin'x=\frac1\sqrt{1-x^2}</math>.}}
Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la [[Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque|dérivée d'une bijection réciproque]] et à la relation :
{{retrait|<math>\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}</math>.}}

== Développement en [[série entière]]==
Si <math>|x|\leqslant1</math>,
: <math>\begin{align}
\arcsin x& =x+\frac12\cdot\frac{x^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}5+\frac{1\cdot3\cdot5}
{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{x^7}7+\cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{\dbinom{2n} n x^{2n+1}}{4^n (2n+1)}.
\end{align}</math>
(Voir aussi [[Fonction hypergéométrique#Cas particuliers]].)
{{Démonstration|Le [[Formule du binôme généralisée|développement de la dérivée]] est :
:<math>\begin{align}\arcsin'(x)&=(1-x^2)^{-\frac12}\\&=1+\left(-\frac12\right)(-x^2)+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}2(-x^2)^2+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{2\cdot3}(-x^2)^3+\cdots\\
&=1+\frac12x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^6+\cdots,\end{align}</math>
d'où le résultat, en « [[Primitive|intégrant]] » [[Série entière#Dérivation|terme à terme]].
}}

== Forme intégrale indéfinie ==
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une [[intégrale indéfinie]] :

{{retrait|<math>\arcsin x=\int_0^x\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt</math>.}}

== Primitives ==
Les [[primitive]]s de l'arc sinus s'obtiennent par [[intégration par parties]] :

{{retrait|<math>\int\arcsin x\,\mathrm dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C</math>.}}

== Relation entre arc sinus et arc cosinus ==
[[Fichier:Arcsine Arccosine.svg|right|upright=0.5|thumb| Représentations graphiques d'<math>\arccos x</math> (en bleu) et d'<math>\arcsin x</math> (en rouge).]]
{{Article détaillé|contenu=Voir section détaillée « [[Arc cosinus#Relation entre arc cosinus et arc sinus|Relation entre arc cosinus et arc sinus]] » de l'article « [[arc cosinus]] »}}
Pour tout réel <math>
x
</math> entre −1 et 1 :{{retrait|<math>\arccos x+\arcsin x=\frac\pi2</math>.}}

{{Clr|right}}

== Extension aux complexes ==
De la relation valable pour tout <math>z</math> [[Nombre complexe|complexe]] : <math>\sin z = -\mathrm{i} \sinh(\mathrm{i}z)</math>, on déduit
:<math>
\arcsin z=-{\rm i}\operatorname{arsinh}({\rm i}z)
</math>.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un [[logarithme complexe]] :{{retrait|<math>\arcsin z= -{\rm i}\ln\left({\rm i}z+\sqrt{1-z^2}\right)</math>, valable pour <math>z \in \C \setminus \left]-\infty,-1\right[ \cup \left]1,+\infty\right[</math>.}}

Le développement en série <math>\arcsin z = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n} n \frac{z^{2n+1}}{4^n (2n+1)}</math> est alors valable pour tout <math>z</math> dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

==Références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Arc sine function| v=Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin| wikiversity titre=Fonction arcsin}}

=== Articles connexes ===
* [[Arc cosinus]]
* [[Sinus hyperbolique réciproque]]
* [[Intégrale de Wallis]] (pour le développement de <math>\tfrac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}</math>)

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{MathWorld|nom_url=InverseSine|titre=Inverse Sine}}
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}, § 4.4, p.&nbsp;79-83

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|géométrie|analyse}}

[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]